1、第 1 页（共 15 页） 2020-2021 学年湖南省常德市高二（上）期末数学试卷（文科）学年湖南省常德市高二（上）期末数学试卷（文科） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 （5 分）若1Zi ，则 2 | (ZZ ) A0 B1 C2 D2 2 （5 分）命题“若函数( )f x是奇函数，则( )f x图象过原点”的否命题是( ) A若函数( )f x是偶函数，则( )f x图象不过原点 B若函数( )f x是偶函数
2、，则( )f x图象过原点 C若函数( )f x不是奇函数，则( )f x图象不过原点 D若函数( )f x不是奇函数，则( )f x图象过原点 3 （5 分）椭圆 22 21xy的离心率是( ) A 1 2 B 2 2 C 3 2 D 3 2 4 （5 分） “pq为真命题”是“pq为真命题”的( )条件 A充分不必要 B必要不充分 C充要 D既不充分又不必要 5 （5 分）设( )f xxlnx，若 0 ()2fx，则 0 x等于( ) A 2 e Be C 2 2 ln D2ln 6 （5 分）若 2 ( )24f xxxlnx，则( )f x的单调递增区间为( ) A( 1,0) B(
3、 1，0)(2，) C(2,) D(0,) 7 （5 分）为了研究高中学生对乡村音乐的态度（喜欢和不喜欢两种态度）与性别的关系， 运用22列联表进行独立性检验，经计算 2 8.01k，附表如表： 2 0 ()P K 卥 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 0 k 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 参照附表，得到的正确的结论是( ) A有99%以上的把握认为“喜欢乡村音乐与性别有关” 第 2 页（共 15 页） B有99%以上的把握认为“喜欢乡村音乐与性别无关” C在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“喜欢乡村音乐与性别有关” D在犯错误
4、的概率不超过0.1%的前提下，认为“喜欢乡村音乐与性别无关” 8 （5 分）已知双曲线 22 22 :1(0,0) yx Cab ab 的渐近线方程为 1 2 yx ，则双曲线C的离 心率为( ) A 5 2 B5 C 6 2 D6 9 （5 分）已知椭圆 22 :1 94 xy C的左、右焦点分别是 1 F， 2 F，过 2 F的直线与椭圆C交于 A，B两点，且 11 | 8AFBF，则| (AB ) A4 B6 C8 D10 10 （5 分）函数( ) x x f x e 在区间0，3上的最大值为( ) A0 B 1 e C 2 2 e D 3 3 e 11 （5 分）抛物线 2 1 4
5、yx 上的动点M到两定点(0, 1)A，(1, 3)B的距离之和的最小值为 ( ) A4 B 7 2 C19 D 49 16 12 （5 分）已知 2 ( )(1)f xln x， 1 ( )( ) 2 x g xm，若 1 0 x，3， 2 1x，2，使得 12 ()()f xg x，则实数m的取值范围是( ) A 1 4 ，) B(， 1 4 C 1 2 ，) D(， 1 2 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13 （5 分）命题“xR ， 2 10 xx ”的否定是 14 （5 分）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零
6、件所花费的时间，为此进行了 5 次 试验收集到的数据如表：由最小二乘法求得回归方程为0.6754.9yx，现发现表中有一个 数据模糊不清，请你推断出该数据的值为 零件数x 10 20 30 40 50 加工时间 /y min 62 75 81 89 第 3 页（共 15 页） 15 （5 分）已知直线l与双曲线 2 2 1 4 x y相交于A，B两点，若点(6,3)P为线段AB的中 点，则直线l的方程是 16 （5 分）设函数( )(1) x f xe x，函数( )(0)g xmxm m，若对任意的 1 2x ，2， 总存在 2 2x ，2，使得 12 ()()f xg x，则实数m的取值范
7、围是 三、解答题：共三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 （10 分）求下列各曲线的标准方程 （1）实轴长为 12，离心率为 2 3 ，焦点在x轴上的椭圆方程； （2）抛物线的焦点是双曲线 22 169144xy的左顶点，求抛物线方程 18 （12 分） 如图是我国 2008 年至 2014 年生活垃圾无害化处理量 （单位： 亿吨） 的折线图 注：年份代码17分别对应年份20082014 （）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以 证明； （）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01)，
8、预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理 量 附注： 参考数据： 7 1 9.32 i i y ， 7 1 40.17 ii i t y ， 7 2 1 ()0.55 i i yy ，72.646 参考公式：相关系数 1 22 11 ()() ()() n ii i nn ii ii ttyy r ttyy ， 回归方程 yabt中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： 第 4 页（共 15 页） 1 2 1 ()() () n ii i n i i ttyy b tt ， a ybt 19 （12 分）已知函数 32 ( )3f xxaxx （1）若4a 时，求( )f x在1x，4上的最大值
9、和最小值； （2）若( )f x在2x，)上是增函数，求实数a的取值范围 20 （12 分）设p：实数x满足 22 430 xaxa；q：实数x满足|3| 1x （1）若q为假，求实数x的取值范围； （2）若0a 且q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围 21 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的一个焦点是(1,0)，两个焦点与短轴的一个 端点构成等边三角形 （1）求椭圆C的方程； （2）过点(4,0)Q且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于A、B两点，设点A关于x轴的对 称点为 1 A，求证：直线 1 A B过x轴上一定点，并求此定点坐标 22 （12 分）已
10、知函数 1 ( ) 1 x f xln x ， （）求曲线( )yf x在点(0，(0)f处的切线方程； （）求证，当(0,1)x时， 3 ( )2() 3 x f xx； （）设实数k使得 3 ( )() 3 x f xk x对(0,1)x恒成立，求k的最大值 第 5 页（共 15 页） 2020-2021 学年湖南省常德市高二（上）期末数学试卷（文科）学年湖南省常德市高二（上）期末数学试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有分。在每小题给出的四个选项中
11、，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 （5 分）若1Zi ，则 2 | (ZZ ) A0 B1 C2 D2 【解答】解：1Zi ， 2222 (1)(1)1 211ZZiiiiiiii ， 222 |( 1)12ZZ 故选：C 2 （5 分）命题“若函数( )f x是奇函数，则( )f x图象过原点”的否命题是( ) A若函数( )f x是偶函数，则( )f x图象不过原点 B若函数( )f x是偶函数，则( )f x图象过原点 C若函数( )f x不是奇函数，则( )f x图象不过原点 D若函数( )f x不是奇函数，则( )f x图象过原点 【解答】解：根据原命题：若p，则
12、q，它的否命题：若p，则q； 写出命题“若函数( )f x是奇函数，则( )f x图象过原点”的否命题是： “若函数( )f x不是奇函数，则( )f x图象不过原点” 故选：C 3 （5 分）椭圆 22 21xy的离心率是( ) A 1 2 B 2 2 C 3 2 D 3 2 【解答】解：把椭圆方程化为标准方程得： 2 2 1 1 2 y x ，得到1a ， 2 2 b ， 则 2 2 c ，所以椭圆的离心率 2 2 c e a 故选：B 4 （5 分） “pq为真命题”是“pq为真命题”的( )条件 A充分不必要 B必要不充分 第 6 页（共 15 页） C充要 D既不充分又不必要 【解答
13、】解：若“p且q为真”成立，则p，q全真，所以“p或q为真”成立 若“p或q为真”则p，q全真或真q假或p假q真，所以“p且q为真”不一定成立 “p且q为真”是“p或q为真”的充分不必要条件 故选：A 5 （5 分）设( )f xxlnx，若 0 ()2fx，则 0 x等于( ) A 2 e Be C 2 2 ln D2ln 【解答】解：( )f xxlnx， ( )1fxlnx ， 由 0 ()2fx， 得 0 12lnx ，即 0 1lnx ，则 0 xe， 故选：B 6 （5 分）若 2 ( )24f xxxlnx，则( )f x的单调递增区间为( ) A( 1,0) B( 1，0)(2
14、，) C(2,) D(0,) 【解答】解：函数的定义域为(0,) 求导函数可得： 4 ( )22fxx x ， 令( )0fx，可得 4 220 x x ， 2 20 xx，1x 或2x 0 x ，2x ( )f x的单调递增区间为(2,) 故选：C 7 （5 分）为了研究高中学生对乡村音乐的态度（喜欢和不喜欢两种态度）与性别的关系， 运用22列联表进行独立性检验，经计算 2 8.01k，附表如表： 2 0 ()P K 卥 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 0 k 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 第 7 页（共 15 页） 参照附表，得到
15、的正确的结论是( ) A有99%以上的把握认为“喜欢乡村音乐与性别有关” B有99%以上的把握认为“喜欢乡村音乐与性别无关” C在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“喜欢乡村音乐与性别有关” D在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“喜欢乡村音乐与性别无关” 【解答】解： 2 8.016.635k， 在犯错误概率不超过 0.1 的前提下认为“喜欢乡村音乐与性别有关” ， 即有99%以上的把握认为“喜欢乡村音乐与性别有关” 故选：A 8 （5 分）已知双曲线 22 22 :1(0,0) yx Cab ab 的渐近线方程为 1 2 yx ，则双曲线C的离 心率为( ) A 5 2 B5
16、C 6 2 D6 【解答】解：根据题意，双曲线的方程为 22 22 1 yx ab ，其焦点在y轴上，其渐近线方程为 a yx b ， 又由其渐近线方程为 1 2 yx ， 则有 1 2 a b ，即2ba， 22 5caba， 则其离心率5 c e a ； 故选：B 9 （5 分）已知椭圆 22 :1 94 xy C的左、右焦点分别是 1 F， 2 F，过 2 F的直线与椭圆C交于 A，B两点，且 11 | 8AFBF，则| (AB ) A4 B6 C8 D10 【解答】解：由已知椭圆的方程可得： 2 9a ，所以3a ， 由椭圆的定义可得： 12 | 26AFAFa， 12 | 26BFB
17、Fa， 第 8 页（共 15 页） 所以三角形 1 ABF的周长为6612， 所以 11 | 12 | 1284ABAFBF， 故选：A 10 （5 分）函数( ) x x f x e 在区间0，3上的最大值为( ) A0 B 1 e C 2 2 e D 3 3 e 【解答】解：( ) x x f x e ，0 x，3 1 ( ) x x fx e ， 可得函数( )f x在0，1上单调递增，在1，3上单调递减 可得1x 时，函数( )f x取得极大值即最大值，f（1） 1 e 故选：B 11 （5 分）抛物线 2 1 4 yx 上的动点M到两定点(0, 1)A，(1, 3)B的距离之和的最小
18、值为 ( ) A4 B 7 2 C19 D 49 16 【解答】解：将抛物线方程化成标准方程为 2 4xy， 可知焦点坐标为(0, 1)， 1 3 4 ，所以点(1, 3)B在抛物线的内部， 如图所示，设抛物线的准线为l，过M点作MPl于点P， 过点B作BQl于点Q，由抛物线的定义可知，|MFMB |MPMBBQ，当且仅当点M在BQ上时取等号，又 | 1( 3)4BQ ，故距离之和的最小值为 4 故选：A 第 9 页（共 15 页） 12 （5 分）已知 2 ( )(1)f xln x， 1 ( )( ) 2 x g xm，若 1 0 x，3， 2 1x，2，使得 12 ()()f xg x，
19、则实数m的取值范围是( ) A 1 4 ，) B(， 1 4 C 1 2 ，) D(， 1 2 【解答】解：因为 1 0 x ，3时， 1 ()0f x ，10ln； 2 1x ，2时， 2 1 ()4g xm， 1 2 m 故只需 11 0 44 mm厖 故选：A 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13 （5 分）命题“xR ， 2 10 xx ”的否定是 xR ， 2 1 0 xx 【解答】解：命题“xR ， 2 10 xx “的否定是： xR ， 2 1 0 xx 故答案为：xR ， 2 1 0 xx 14 （5 分）某
20、车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了 5 次 试验收集到的数据如表：由最小二乘法求得回归方程为0.6754.9yx，现发现表中有一个 数据模糊不清，请你推断出该数据的值为 68 零件数x 10 20 30 40 50 加工时间 /y min 62 75 81 89 【解答】解：设表中有一个模糊看不清数据为m 由表中数据得： 1 (1020304050)30 5 x ， 1307 (62758189) 55 m ym ， 由于由最小二乘法求得回归方程为0.6754.9yx， 将30 x ， 307 5 m y ，代入回归直线方程，得68m 故答案为：68 15 （5 分
21、）已知直线l与双曲线 2 2 1 4 x y相交于A，B两点，若点(6,3)P为线段AB的中 点，则直线l的方程是 290 xy 第 10 页（共 15 页） 【解答】解：设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y，则 12 12xx， 12 6yy， 22 11 44xy， 22 22 44xy， 两式相减可得： 12121212 ()()4()()0 xxxxyyyy， 1212 12()24()0 xxyy， 2 AB k， 直线的方程为32(6)yx，即290 xy 故答案为：290 xy 16 （5 分）设函数( )(1) x f xe x，函数( )(0)g xmxm
22、 m，若对任意的 1 2x ，2， 总存在 2 2x ，2，使得 12 ()()f xg x，则实数m的取值范围是 2 e，) 【解答】解：( )(1) x f xe x的导数为( ) x f xxe， 当0 x 时，( )f x递增；0 x 时，( )f x递减， 即0 x 时，( )f x取得极小值，且为最小值1； 由 2 ( 2)3fe，f（2） 2 e， 可得( )f x在 2，2的值域为 1， 2 e 由( )(0)g xmxm m在 2，2递增， 可得( )g x的值域为 3m，m 又对任意的 1 2x ，2，总存在 2 2x ，2，使得 12 ()()f xg x， 可得 1，
23、2 3em ，m， 即为 2 31mem 剟， 解得 2 m e， 即m的取值范围是 2 e，) 故答案为： 2 e，) 三、解答题：共三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 （10 分）求下列各曲线的标准方程 第 11 页（共 15 页） （1）实轴长为 12，离心率为 2 3 ，焦点在x轴上的椭圆方程； （2）抛物线的焦点是双曲线 22 169144xy的左顶点，求抛物线方程 【解答】解： （1）由已知可得：212a ， 2 3 c a ， 解得6a ，4c ，则 2 36 1620b ， 所以椭圆的方程为 22
24、 1 3620 xy ； （2）双曲线的标准方程为： 22 1 916 xy ， 则 2 9a ， 2 16b ，则3a ， 所以抛物线的焦点坐标为( 3,0)， 则6p ， 所以抛物线的方程为 2 12yx 18 （12 分） 如图是我国 2008 年至 2014 年生活垃圾无害化处理量 （单位： 亿吨） 的折线图 注：年份代码17分别对应年份20082014 （）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以 证明； （）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01)，预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理 量 附注： 参考数据： 7 1 9.32 i i y ， 7 1
25、 40.17 ii i t y ， 7 2 1 ()0.55 i i yy ，72.646 第 12 页（共 15 页） 参考公式：相关系数 1 22 11 ()() ()() n ii i nn ii ii ttyy r ttyy ， 回归方程 yabt中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： 1 2 1 ()() () n ii i n i i ttyy b tt ， a ybt 【解答】解： （1）由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，理由如下： 77 11 7777 2222 1111 ()()7 40.174 9.322.89 0.99 2.91062 7 0.55 ()()(
26、)() iiii ii iiii iiii ttyyt yty r ttyyttyy ， 0.990.75， 故y与t之间存在较强的正相关关系； （2） 7 11 7 222 11 ()()7 2.89 0.103 28 ()7 n iiii ii n ii ii ttyyt yty b tttt ， 1.3310.103 40.92aybt， y关于t的回归方程0.100.92yt， 2016 年对应的t值为 9， 故0.10 90.921.82y ， 预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量为 1.82 亿吨 19 （12 分）已知函数 32 ( )3f xxaxx （1）若4a 时，求
27、( )f x在1x，4上的最大值和最小值； （2）若( )f x在2x，)上是增函数，求实数a的取值范围 【解答】解： （1）4a 时， 32 ( )43f xxxx， 2 ( )383f xxx ， 函数在1，3上单调递减，3，4上单调递增， ( )f x在1x，4上的最大值为f（1）6 ，最小值为f（3）18 ； （2）在2x，)上， 2 ( )323 0f xxax ， 第 13 页（共 15 页） 可得 2 33 2 x a x 在2x，)上恒成立， 只要求 2 33 2 x x 的最小值即可，而 2 33 2 x y x 2 2 66 4 x y x 恒大于零， y在R上为增函数，
28、9 4 min y， 9 4 a 20 （12 分）设p：实数x满足 22 430 xaxa；q：实数x满足|3| 1x （1）若q为假，求实数x的取值范围； （2）若0a 且q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围 【解答】解： （1）q为假，q为真， 24x 为所求x的取值范围 （2）由0a 且 22 430 xaxa得(3 )()0 xa xa， q是p的充分不必要条件，pq且qp， 则 02 34 a a ， 实数a的取值范围是 4 2 3 a剟 21 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的一个焦点是(1,0)，两个焦点与短轴的一个 端点构成等边三角形
29、（1）求椭圆C的方程； （2）过点(4,0)Q且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于A、B两点，设点A关于x轴的对 称点为 1 A，求证：直线 1 A B过x轴上一定点，并求此定点坐标 【解答】解： （1）椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的一个焦点是(1,0)， 所以半焦距1c ， 又因为椭圆两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形， 所以 1 2 c a ，解得2a ，3b ， 所以椭圆C的标准方程为 22 1 43 xy 第 14 页（共 15 页） （2）证明：设直线:4t xmy与 22 1 43 xy 联立并消去x得： 22 (34)24360mymy， 记 1 (A x
30、， 1) y， 2 (B x， 2) y， 12 2 24 34 m yy m ， 12 2 36 34 y y m ， 由A关于x轴的对称点为 1 A，得 11 (A x， 1) y，根据题设条件设定点为( ,0)T t， 得 1 TBTA kk，即 21 21 yy xttx ， 所以 2121211212 121212 (4)(4)2 4431 x yy xmyymy ymy y t yyyyyy ， 即定点(1,0)T 22 （12 分）已知函数 1 ( ) 1 x f xln x ， （）求曲线( )yf x在点(0，(0)f处的切线方程； （）求证，当(0,1)x时， 3 ( )2
31、() 3 x f xx； （）设实数k使得 3 ( )() 3 x f xk x对(0,1)x恒成立，求k的最大值 【解答】解答： （1）因为( )(1)(1)f xlnxlnx所以 11 ( ),(0)2 11 fxf xx 又因为(0)0f，所以曲线( )yf x在点(0，(0)f处的切线方程为2yx （2）证明：令 3 ( )( )2() 3 x g xf xx，则 4 2 2 2 ( )( )2(1) 1 x g xfxx x ， 因为( )0(01)g xx，所以( )g x在区间(0,1)上单调递增 所以( )(0)0g xg，(0,1)x， 即当(0,1)x时， 3 ( )2()
32、 3 x f xx （3）由（2）知，当2k时， 3 ( )() 3 x f xk x对(0,1)x恒成立 当2k 时，令 3 ( )( )() 3 x h xf xk x，则 4 2 2 (2) ( )( )(1) 1 kxk h xfxkx x ， 所以当 4 2 0 k x k 时，( )0h x，因此( )h x在区间 4 2 (0,) k k 上单调递减 第 15 页（共 15 页） 当 4 2 0 k x k 时，( )(0)0h xh，即 3 ( )() 3 x f xk x 所以当2k 时， 3 ( )() 3 x f xk x并非对(0,1)x恒成立 综上所知，k的最大值为 2
