1、第 1 页（共 15 页） 2020-2021 学年安徽省池州市高二（上）期末数学试卷（文科）学年安徽省池州市高二（上）期末数学试卷（文科） 一、选择题：共一、选择题：共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中只有一项是分在每小题给出的四个选项中只有一项是 符合题目要求的符合题目要求的 1 （5 分）命题“xR ，sin0 x xe”的否定为( ) AxR ，sin0 x xe BxR ，sin0 x xe CxR ，sin0 x xe DxR ，sin0 x xe 2 （5 分）若直线 1:2 310lxy 与 2: 10lxy 互相垂直，则实数的
2、值为( ) A 3 2 B 2 3 C 3 2 D 2 3 3 （5 分）若双曲线 22 :1 12 xy C n 的焦距为 8，则双曲线C的虚轴长为( ) A2 B3 C4 D6 4 （5 分）已知函数 2 2 ( ) 2 x f xlnx e ，则曲线( )yf x在点(e，f（e）)处的切线方程为( ) A 21 2 yx e B 11 2 yx e C 27 2 yx e D 15 2 yx e 5 （5 分）若圆 22 1: 2440Cxyxy与圆 22 2: 8120()CxyxymmR外切，则 (m ) A36 B38 C48 D50 6 （5 分）设m，n是两条不同的直线，是两
3、个不同的平面，现有如下命题： 若m，/ /mn，则n； 若m，/ /mn，/ /n，则； 若m，n，mn，则 则正确命题的个数为( ) A0 B1 C2 D3 7 （5 分）如图中小正方形的边长为 1，粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的体 积为( ) 第 2 页（共 15 页） A64 B48 C32 D16 8 （5 分）已知抛物线 2 1: 2(0)Cxpy p的焦点为F，点A在抛物线 1 C上，且4| 3AF ， 抛物线 2 2: 8Cypx的焦点为F，若点A的纵坐标为 1 2 ，则| (FF ) A 17 2 B 17 4 C 5 2 D 5 4 9 （5 分）圆 22 :2C
4、 xy关于直线250 xy对称的圆的方程为( ) A 22 (2)(4)2xy B 22 (2)(4)2xy C 22 (4)(6)2xy D 22 (4)(6)2xy 10 （5 分）若函数 3 ( )f xx lnx，则( ) A既有极大值，也有极小值 B有极小值，无极大值 C有极大值，无极小值 D既无极大值，也无极小值 11（5 分） 已知三棱锥SABC中，90ABC，SC 平面ABC，1 11 1 543 ABSCBC， 故三棱锥SABC外接球的表面积为( ) A100 B75 C50 D25 12 （5 分）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左、右焦点分别
5、为 1 F， 2 F，点M在双 曲线C的渐近线上，若 2 1221 cos12cosMFFMF F ， 1221 3FMFMF F ，则双曲线C的 离心率为( ) A2 3 B3 C2 2 D2 二、填空题：共二、填空题：共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）命题“若1x，则() 0lnx ”的逆否命题为 第 3 页（共 15 页） 14 （5 分）若直线 1:2 10lxy 与 2:4 40lxmy平行，则 1 l， 2 l间的距离为 15 （5 分）已知直线:310lxy 与抛物线 2 :3C yx交于M，N两点，O为坐标原点， 则OMN的面积为
6、16 （5 分）已知正方体 1111 ABCDABC D的体积为 8，点E，F分别是线段CD，BC的中 点， 平面过点 1 A，E，F且与正方体 1111 ABCDABC D形成一个截面图形， 现有如下说法： 截面图形是一个六边形； 若点I在正方形 11 CDDC内（含边界位置） ，且I 平面，则点I的轨迹长度为 2 13 3 ； 截面图形的周长为2 132 则说法正确命题的序号为 三、解答题：共三、解答题：共 6 小题，满分小题，满分 70 分解答应写出文字说明，证明过程和解题步骤分解答应写出文字说明，证明过程和解题步骤 17 （10 分）已知圆台上、下底面的底面积分别为16，81，且母线长
7、为 13 （1）求圆台的高； （2）求圆台的侧面积 18 （12 分）如图所示，直棱柱 1111 ABCDABC D中，四边形ABCD为菱形，点E是线段 1 CC 的中点 （1）求证： 1/ / AC平面BDE； （2）求证： 1 BDAE 19 （12 分）已知圆 222 :240C xymxm，且圆C与直线:22 20l xy仅有 1 个公共点 （1）求实数m的值； 第 4 页（共 15 页） （2）若0m ，且直线:220lxy与圆C交于P，Q两点，求|PQ的值 20 （12 分）已知命题 1 :(2,), 242 x pxm x ，命题q：方程 22 1 213 xy m 表示焦点 在
8、x轴上的椭圆 （1）若p为真，求实数m的取值范围； （2）若pq是假命题，pq是真命题，求实数m的取值范围 21 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 3 , ( 2, 1), , 2 AP Q在椭圆C上， 且P，Q异于点A （1）求椭圆C的方程； （2）若| |OPOQ，| |APAQ，求直线PQ的方程 22 （12 分）已知函数( )f xxlnxe （1）求函数( )f x的单调区间； （2）若关于x的不等式( ) x ef xmx在(0,)上恒成立，求实数m的取值范围 第 5 页（共 15 页） 2020-2021 学年安徽省池州市高二（上）期末
9、数学试卷（文科）学年安徽省池州市高二（上）期末数学试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：共一、选择题：共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中只有一项是分在每小题给出的四个选项中只有一项是 符合题目要求的符合题目要求的 1 （5 分）命题“xR ，sin0 x xe”的否定为( ) AxR ，sin0 x xe BxR ，sin0 x xe CxR ，sin0 x xe DxR ，sin0 x xe 【解答】解：特称命题的否定为全称命题， 故“xR ，sin0 x xe”的否定为“xR ，sin0 x xe” 故选：B 2
10、 （5 分）若直线 1:2 310lxy 与 2: 10lxy 互相垂直，则实数的值为( ) A 3 2 B 2 3 C 3 2 D 2 3 【解答】解：因为直线 1:2 310lxy 与 2: 10lxy 互相垂直， 所以2( 3)0 ，解得 2 3 故选：B 3 （5 分）若双曲线 22 :1 12 xy C n 的焦距为 8，则双曲线C的虚轴长为( ) A2 B3 C4 D6 【解答】解：依题意双曲线 22 :1 12 xy C n 的焦距为 8， 1216n，故4n ，则双曲线C的虚轴长为 4， 故选：C 4 （5 分）已知函数 2 2 ( ) 2 x f xlnx e ，则曲线( )
11、yf x在点(e，f（e）)处的切线方程为( ) A 21 2 yx e B 11 2 yx e C 27 2 yx e D 15 2 yx e 【解答】解：依题意 2 1 ( ) x fx xe ，故 2 12 ( ) e f e eee ； 第 6 页（共 15 页） 而 2 2 3 ( ) 22 e f elne e ， 故所求切线方程为 32 () 2 yxe e ， 即 21 2 yx e ， 故选：A 5 （5 分）若圆 22 1: 2440Cxyxy与圆 22 2: 8120()CxyxymmR外切，则 (m ) A36 B38 C48 D50 【解答】解：根据题意，圆 22 1
12、: 2440Cxyxy，即 22 (1)(2)9xy，其圆心为 (1,2)，半径3r ， 圆 22 2: 8120Cxyxym， 即 22 (4)(6)52xym， 其 圆心 为(4,6)， 半 径 52Rm， 若两圆外切，则有 22 (4 1)(62)523m，解得48m ， 故选：C 6 （5 分）设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，现有如下命题： 若m，/ /mn，则n； 若m，/ /mn，/ /n，则； 若m，n，mn，则 则正确命题的个数为( ) A0 B1 C2 D3 【解答】解：由m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，知： 对于，若m，/ /mn，则由线面垂直的判定定
13、理得n，故正确； 对于，若m，/ /mn，/ /n，则由m，/ /mn，得n， 再由/ /n，利用面面垂直的判定定理得，故正确； 对于，若m，n，mn，则利用线面垂直的性质定理和面面垂直的判定定理可 以判断，故正确 故选：D 7 （5 分）如图中小正方形的边长为 1，粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的体 第 7 页（共 15 页） 积为( ) A64 B48 C32 D16 【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体的直观图为：该几何体为四棱锥体， 如图所示： 四棱锥的体积为 1 (64)432 3 V ， 故选：C 8 （5 分）已知抛物线 2 1: 2(0)Cxpy p的焦点为F，
14、点A在抛物线 1 C上，且4| 3AF ， 抛物线 2 2: 8Cypx的焦点为F，若点A的纵坐标为 1 2 ，则| (FF ) A 17 2 B 17 4 C 5 2 D 5 4 【解答】解：因为4| 3AF ，所以 13 224 p ，解得 1 2 p 所以 22 12 1 :,:4 ,(0, ) 4 Cxy Cyx F，(1,0)F， 所以 117 |1 164 FF ， 故选：B 9 （5 分）圆 22 :2C xy关于直线250 xy对称的圆的方程为( ) A 22 (2)(4)2xy B 22 (2)(4)2xy 第 8 页（共 15 页） C 22 (4)(6)2xy D 22
15、(4)(6)2xy 【解答】解：圆关于直线对称的圆，则半径不变，圆心关于直线对称， 设对称圆的方程为 22 ()()2xayb， 故点( , )a b与(0,0)关于直线250 xy对称， 所以 00 250 22 0 2 0 ab b a ，解得2a ，4b ， 故所求圆的方程为 22 (2)(4)2xy 故选：A 10 （5 分）若函数 3 ( )f xx lnx，则( ) A既有极大值，也有极小值 B有极小值，无极大值 C有极大值，无极小值 D既无极大值，也无极小值 【解答】解：依题意， 222 ( )3(31)f xx lnxxxlnx； 令( )0fx，解得 1 3 xe ， 故当
16、1 3 (0,)xe 时，( )0fx， 当 1 3 (,)xe 时，( )0fx，故当 1 3 xe 时， 函数( )f x有极小值，且函数无极大值， 故选：B 11（5 分） 已知三棱锥SABC中，90ABC，SC 平面ABC，1 11 1 543 ABSCBC， 故三棱锥SABC外接球的表面积为( ) A100 B75 C50 D25 【解答】解：依题意，5AB ，4SC ，3BC ，将三棱锥SABC置于长宽高分别为 5， 4，3 的长方体中， 可得三棱锥SABC外接球的直径为 222 54350， 故所求表面积 2 50Sd， 故选：C 第 9 页（共 15 页） 12 （5 分）已知
17、双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，点M在双 曲线C的渐近线上，若 2 1221 cos12cosMFFMF F ， 1221 3FMFMF F ，则双曲线C的 离心率为( ) A2 3 B3 C2 2 D2 【解答】解：因为 2 1221 cos12cosMFFMF F ，故 1221 coscos2MFFMF F， 即 1221 2MFFMF F ， 而 1221 3FMFMF F ，故 12 60MFF， 21 30MF F，则 1 MFO为等边三角形， 故双曲线C的渐近线方程为3yx ， 则 2 2 12 b e a ， 故选：
18、D 二、填空题：共二、填空题：共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）命题“若1x，则() 0lnx ”的逆否命题为 若()0lnx，则1x 【解答】解：逆否命题即为将原命题的条件和结论互换并且同时否定， 所以命题“若1x，则() 0lnx ”的逆否命题为“若()0lnx，则1x ” 故答案为：若()0lnx，则1x 14 （5 分） 若直线 1:2 10lxy 与 2:4 40lxmy平行， 则 1 l， 2 l间的距离为 5 5 【解答】解：因为直线 1:2 10lxy 与 2:4 40lxmy平行， 直线 1 l可变形为4220 xy， 故2m ，
19、 所以直线 2:4 240lxy，即 2:2 20lxy， 故 1 l， 2 l间的距离 |2 1|5 55 d 故答案为： 5 5 15 （5 分）已知直线:310lxy 与抛物线 2 :3C yx交于M，N两点，O为坐标原点， 第 10 页（共 15 页） 则OMN的面积为 5 6 【解答】解：联立 2 310 3 xy yx ，消去x可得： 2 10yy ， 设 1 (M x， 1) y， 2 (N x， 2) y，直线:310lxy 与x轴交于点A， 则 12 1yy， 12 1y y ， 故OMN的面积 12 1115 | |14 2236 SOAyy 故答案为： 5 6 16 （5
20、 分）已知正方体 1111 ABCDABC D的体积为 8，点E，F分别是线段CD，BC的中 点， 平面过点 1 A，E，F且与正方体 1111 ABCDABC D形成一个截面图形， 现有如下说法： 截面图形是一个六边形； 若点I在正方形 11 CDDC内（含边界位置） ，且I 平面，则点I的轨迹长度为 2 13 3 ； 截面图形的周长为2 132 则说法正确命题的序号为 【解答】解：延长EF，AD，交于点P，连接 1 A P交 1 DD于点G， 延长EF，AB，交于点Q，连接 1 AQ，交 1 BB于点H， 则五边形 1 EFHAG即为所求截面，:1:3DP AP ， 所以G，H分别是线段
21、1 DD和 1 BB的三等分点， 则 13 3 EGFH，即为点I的轨迹长度， 而 11 2 13 3 AGAH，则2EF ， 则五边形的周长为 132 13 2222 132 33 ，故对 故答案为： 第 11 页（共 15 页） 三、解答题：共三、解答题：共 6 小题，满分小题，满分 70 分解答应写出文字说明，证明过程和解题步骤分解答应写出文字说明，证明过程和解题步骤 17 （10 分）已知圆台上、下底面的底面积分别为16，81，且母线长为 13 （1）求圆台的高； （2）求圆台的侧面积 【解答】解： （1）依题意，圆台上、下底面的底面积分别为16，81， 所以圆台的上底面半径 1 4r
22、 ，下底面半径 2 9r ， 又圆台的母线长为 13， 故圆台的高 22 13(94)12h ； （2）圆台的侧面积 12 ()4 139 13169Srlr l 18 （12 分）如图所示，直棱柱 1111 ABCDABC D中，四边形ABCD为菱形，点E是线段 1 CC 的中点 （1）求证： 1/ / AC平面BDE； （2）求证： 1 BDAE 【解答】证明： （1）如图，连接AC交BD于点O，连接OE， 因为O，E分别为线段AC， 1 CC的中点， 故 1 / /OEAC， 第 12 页（共 15 页） 而OE 平面BDE， 1 AC 平面BDE， 故 1/ / AC平面BDE； （2
23、）因为直棱柱 1111 ABCDABC D， 故 1 CC 平面ABCD， 又BD平面ABCD，所以 1 CCBD 因为ABCD是菱形，所以ACBD 又 1 ACCCC，AC 平面 11 ACC A， 1 CC 平面 11 ACC A， 所以BD 平面 11 ACC A 因为 1 A E 平面 11 ACC A，故 1 BDAE 19 （12 分）已知圆 222 :240C xymxm，且圆C与直线:22 20l xy仅有 1 个公共点 （1）求实数m的值； （2）若0m ，且直线:220lxy与圆C交于P，Q两点，求|PQ的值 【解答】解： （1）依题意，圆 22 :()4Cxmy， 所以(
24、 ,0)C m，半径为 2， 因为圆C与直线:22 20l xy仅有 1 个公共点， 所以直线l与圆C相切， 故圆心( ,0)C m到直线:22 20l xy的距离直线 |22 2 | 2 2 m d ， 故|22 2 | 2 2m， 第 13 页（共 15 页） 解得22 22 2m或22 22 2m ， 故2m 或24 2m ； （2）依题意，圆 22 :(2)4Cxy， 则圆心(2,0)C到直线:220lxy的距离 2 5 d ， 故 48 5 | 2 4 55 PQ 20 （12 分）已知命题 1 :(2,), 242 x pxm x ，命题q：方程 22 1 213 xy m 表示焦
25、点 在x轴上的椭圆 （1）若p为真，求实数m的取值范围； （2）若pq是假命题，pq是真命题，求实数m的取值范围 【解答】解： （1）命题 1 :(2,), 242 x pxm x ， 若p为真，则 1 242 x m x ， 而 11212 1 212 242242242 xxx xxx ， 当且仅当 12 242 x x ，即3x 时等号成立； 故2m， 所以实数m的取值范围为(，2； （2）命题q：方程 22 1 213 xy m 表示焦点在x轴上的椭圆， 若q为真，则213m ，故1m ； 因为若pq是假命题，pq是真命题， 所以p和q一真一假， 若p真q假，则1m， 若p假q真，则2
26、m ， 综上所述，实数m的取值范围为(，1(2,) 21 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 3 , ( 2, 1), , 2 AP Q在椭圆C上， 且P，Q异于点A （1）求椭圆C的方程； 第 14 页（共 15 页） （2）若| |OPOQ，| |APAQ，求直线PQ的方程 【解答】解： （1）由题意得 22 22 222 3 2 ( 2)( 1) 1 c a ab abc ，解得 2 2 2 8 2 6 a b c ， 故椭圆C的方程为 22 1 82 xy ； （2）设 1 (P x， 1) y， 2 (Q x， 2) y，直线PQ的方程为yx
27、bk， | |OPOQ，| |APAQO，A两点都在PQ垂直平分线上，所以直线AO为线段PQ的垂 直平分线， 直线OA的方程为 1 2 yx，则设直线PQ的方程为2yxm ，设PQ中点横坐标为 0 x，联 立直线方程得， 1 2 2 yx yxm ，解得 0 2 5 xm， 22 22 120 1168 1716480 82 1717 2 xy m xmxmxxxm yxm ， 28 0 517 mmm， 所以直线PQ的方程为2yx 22 （12 分）已知函数( )f xxlnxe （1）求函数( )f x的单调区间； （2）若关于x的不等式( ) x ef xmx在(0,)上恒成立，求实数m
28、的取值范围 【解答】解： （1）因为函数( )f xxlnxe， 所以函数的定义域为(0,)， 又 11 ( )1 x fx xx ， 令( )0fx，解得1x ，令( )0fx，解得01x， 故函数( )f x的单调递增区间为(1,)，递减区间为(0,1)； （2）关于x的不等式( ) x ef xmx在(0,)上恒成立， 第 15 页（共 15 页） 因为0 x ，故不等式可转化为 () x xlnxee m x 在(0,)上恒成立， 令 () ( ) x xlnxee h x x ， 故 ( )minmh x， 因为 2 (1)(1) ( ) x x lnxxe e h x x ， 令
29、11 ( )1,( )1 x xlnxxex xx ， 由（1）可知，当(0,1)x时，( )0 x，当(1,)x时，( )0 x， 又 22 11 ()30, (1)20, ( )0eee ee ， 所以( )x在(0,1)上存在唯一零点 0 x，在(1,)上存在唯一零点xe， 当 0 0 xx时，( )0 x，( )0h x， 当 0 1xx时，( )0 x，( )0h x， 当1xe时，( )0 x，( )0h x， 当xe时，( )0 x，( )0h x， 所以函数( )h x在 0 (0,)x和(1, ) e上为减函数，在 0 (x，1)和( ,)e 上为增函数， 所以 ( )minh x是 0 ()h x与h（e）中的较小者，而h（e） 1e e ， 因为 000 ()10 xlnxxe ， 故 0 1 0 xe xe ， 即有 00 1lnxxe ， 故 0 0 100 0 00 () () x xe xlnxee h xee xx ， 故 1e me ， 综上所述，实数m的取值范围为(， 1e e
