1、第 1 页（共 29 页） 2020-2021 学年重庆市北碚区等四区联考八年级（上）期末数学学年重庆市北碚区等四区联考八年级（上）期末数学 试卷试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，共小题，共 36.0 分）分） 1 （3 分）给出下列 4 个说法： 只有正数才有平方根； 2 是 4 的平方根； 平方根等于它本身的数只有 0； 27 的立方根是3其中，正确的有( ) A B C D 2 （3 分）下列式子从左到右的变形属于因式分解的是( ) A 2 11 (2 ) 22 abaa ba B 2 41(4) 1xxx x C 1 1(1)xx x D 22 ()()ab
2、abab 3 （3 分）如图，点O在直线AB上，过O作射线OC，100BOC，一直角三角板的直 角顶点与点O重合，边OM与OB重合，边ON在直线AB的下方若三角板绕点O按每秒 10的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角 AOC，则t的值为( ) A5 B4 C5 或 23 D4 或 22 4 （3 分）已知实数a，b为ABC的两边，且满足 2 1440abb ，第三边5c ， 则第三边c上的高的值是( ) A 5 5 4 B 4 5 5 C 5 5 2 D 2 5 5 5 （3 分）希望中学七年级四个班的学生去阳光公园义务植树，已知在每小时内，5 个女生 种
3、 3 棵树，3 个男生种 5 棵树，各班学生人数如图所示，则植树最多的班级是( ) 第 2 页（共 29 页） A七（1）班 B七（2）班 C七（3）班 D七（4）班 6 （3 分）下列计算正确的是( ) A 2 22 B 2 22 C 2 42 D 2 42 7 （3 分）若 22 425(2)xxxak，则ak的值可以是( ) A25 B15 C15 D20 8 （3 分）如图，长方形ABCD中，6ADBC，10ABCD点E为射线DC上的一 个动点，ADE与AD E关于直线AE对称，当AD B为直角三角形时，DE的长为( ) A2 或 8 B 8 3 或 18 C 8 3 或 2 D2 或
4、 18 9 （3 分）已知，如图，ABC是等边三角形，AECD，BQAD于Q，BE交AD于点 P，下列说法：APEC ，AQBQ，2BPPQ，AEBDAB，其正确的 个数有( )个 A1 B2 C3 D4 第 3 页（共 29 页） 10 （3 分）如图，ABC是等边三角形，AQPQ，PRAB于点R，PSAC于点S， PRPS，则下列结论：点P在A的角平分线上； ASAR； / /QPAR； BRPQSP 正确的有( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 11 （3 分）已知35 a ，310 b ，则 2 3a b 的值为( ) A50 B50 C500 D500 12（3 分） 如图
5、， 在Rt ABC中，ABAC，90BAC，D、E为BC上两点，45DAE， F为ABC外一点， 且FBBC，FAAE， 则下列结论： CEBF； 222 BDCEDE； 1 4 ADE SAD EF ； 222 2CEBEAE，其中正确的是( ) A B C D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，共小题，共 18.0 分）分） 13 （3 分）如图，等边ABC的边长为 2，BD是高，延长BC到点E，使CECD，则DE 的长为 14（3 分） 甲乙两人完成因式分解 2 xaxb时， 甲看错了a的值， 分解的结果是(6)(2)xx， 乙看错了b的值， 分解的结果为(8)(4)x
6、x， 那么 2 xaxb分解因式正确的结果为 15 （3 分）对于任意实数a，b，定义关于“”的一种运算如下：2abab例如 342342若2xy ，且4yx ，则xy的值为 第 4 页（共 29 页） 16 （3 分）课本第 78 页阅读材料从勾股定理到图形面积关系的拓展中有如下问题：如 图分别以直角三角形的三条边为边，向形外分别作正三角形，则图中的 1 S， 2 S， 3 S满足 的数量关系是 现将ABF向上翻折，如图，已知6S 甲 ，5S 乙 ，4S 丙 ，则ABC 的面积是 17 （3 分）某校为了举办“庆祝建军 90 周年”活动，调查了本校所有学生，调查的结果如 图，根据图中给出的信
7、息，这所学校赞成举办演讲比赛的学生有 人 18 （3 分）如图，在Rt ABC中，90ACB，6AC ，8BC ，AD平分CAB交BC 于D点，E，F分别是AD，AC上的动点，则CEEF的最小值为 三、计算题（本大题共三、计算题（本大题共 1 小题，共小题，共 6.0 分）分） 19 （6 分）计算： （1） 1511 ( 2 )()()() 4848 ； 第 5 页（共 29 页） （2） 2 9( 4)( 2) ； （3） 23 5 ( 4 )0.25( 5)( 4) 8 ； （4）42 (35)35 四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 7 小题，共小题，共 56.0 分）分） 20
8、已知多项式 22 2Axxn，多项式 22 2433Bxxn （1）若多项式 22 2xxn是完全平方式，则n ； （2）已知xm时，多项式 22 2xxn的值为1，则xm 时，该多项式的值为多少？ （3）判断多项式A与B的大小关系并说明理由 21如图，AD是ABC的高，AD垂直平分线分别交AB，AC于点E，F （1）求证： 1 2 BAED （2）若1DE ，求AB的长 22如图，在ABC中，ABAC，点D是BC的中点，连接AD，45CBE，BE分别 交AC，AD于点E、F若13AB ，10BC ，求AF的长度 23随着互联网的发展，同学们的学习习惯也有了改变，一些同学在做题遇到困难时，喜欢
9、 上网查找答案针对这个问题，某校调查了部分学生对这种做法的意见（分为：赞成、无所 谓、反对） ，并将调查结果绘制成图 1 和图 2 两个不完整的统计图 第 6 页（共 29 页） 请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）此次抽样调查中，共调查了多少名学生？ （2）将图 1 补充完整； （3）求出扇形统计图中持“反对”意见的学生所在扇形的圆心角的度数； （4）根据抽样调查结果，请你估计该校 1500 名学生中有多少名学生持“无所谓”意见 24勾股定理是数学史上非常重要的一个定理早在 2000 多年以前，人们就开始对它进行 研究，至今已有几百种证明方法在欧几里得编的原本中证明勾股定理的方法如下
10、，请 同学们仔细阅读并解答相关问题： 如图，分别以Rt ABC的三边为边长，向外作正方形ABDE、BCFG、ACHI （1）连接BI、CE，求证：ABIAEC ； （2）过点B作AC的垂线，交AC于点M，交IH于点N 试说明四边形AMNI与正方形ABDE的面积相等； 请直接写出图中与正方形BCFG的面积相等的四边形 （3）由第（2）题可得： 正 方 形ABDE的 面 积正 方 形BCFG的 面 积 的 面 积 ， 即 在Rt ABC中 ， 22 ABBC 25请阅读下列材料： 我们可以通过以下方法求代数式 2 65xx的最小值 第 7 页（共 29 页） 22222 6523335(3)4xx
11、xxx ， 2 (3)0 x 当3x 时， 2 65xx有最小值4 请根据上述方法，解答下列问题： （） 22222 4122221()xxxxxab ，则ab的值是 ； （）求证：无论x取何值，代数式 2 2 67xx的值都是正数； （）若代数式 2 27xxk的最小值为 2，求k的值 26 【发现问题】爱好数学的小明在做作业时碰到这样的一道题目： 如图，点O为坐标原点，O的半径为 1，点(2,0)A动点B在O上，连结AB，作等 边(ABC A，B，C为顺时针顺序） ，求OC的最大值 【解决问题】小明经过多次的尝试与探索，终于得到解题思路：在图中，连接OB，以OB 为边在OB的左侧作等边三角
12、形BOE，连接AE （1）请你找出图中与OC相等的线段，并说明理由； （2）线段OC的最大值为 【灵活运用】 （3）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2,0)，点B的坐标为(5,0)，点P为线 段AB外一动点，且2PA，PMPB，90BPM，求线段AM长的最大值及此时点P 的坐标 【迁移拓展】 （4）如图，4 2BC ，点D是以BC为直径的半圆上不同于B、C的一个动点，以BD 为边作等边ABD，请直接写出AC的最值 第 8 页（共 29 页） 2020-2021 学年重庆市北碚区等四区联考八年级（上）期末数学学年重庆市北碚区等四区联考八年级（上）期末数学 试卷试卷 参考答案与试题解析参考
13、答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，共小题，共 36.0 分）分） 1 （3 分）给出下列 4 个说法： 只有正数才有平方根； 2 是 4 的平方根； 平方根等于它本身的数只有 0； 27 的立方根是3其中，正确的有( ) A B C D 【解答】解：只有正数才有平方根，错误，0 的平方根是 0； 2 是 4 的平方根，正确； 平方根等于它本身的数只有 0，正确； 27 的立方根是 3，故原说法错误 所以正确的有 故选：C 2 （3 分）下列式子从左到右的变形属于因式分解的是( ) A 2 11 (2 ) 22 abaa ba B 2 41(4) 1xxx x
14、 C 1 1(1)xx x D 22 ()()ab abab 【解答】解：A等式由左到右的变形属于分解因式，故本选项符合题意； B等式由左到右的变形不属于分解因式，故本选项不符合题意； C等式由左到右的变形不属于分解因式，故本选项不符合题意； D等式由左到右的变形属于整式乘法，不属于分解因式，故本选项不符合题意； 故选：A 3 （3 分）如图，点O在直线AB上，过O作射线OC，100BOC，一直角三角板的直 角顶点与点O重合，边OM与OB重合，边ON在直线AB的下方若三角板绕点O按每秒 10的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角 AOC，则t的值为( ) 第
15、 9 页（共 29 页） A5 B4 C5 或 23 D4 或 22 【解答】解：100BOC， 80AOC， 当直线ON恰好平分锐角AOC时，如下图： 1 40 2 BONAOC， 此时，三角板旋转的角度为904050 ， 50105t ； 当ON在AOC的内部时，如下图： 三角板旋转的角度为3609040230 ， 2301023t ； t的值为：5 或 23 故选：C 4 （3 分）已知实数a，b为ABC的两边，且满足 2 1440abb ，第三边5c ， 则第三边c上的高的值是( ) A 5 5 4 B 4 5 5 C 5 5 2 D 2 5 5 【解答】解：因为 2 1(2)0ab
16、， 所以10a ，20b， 解得1a ，2b ； 第 10 页（共 29 页） 因为 2222 125ab， 22 ( 5)5c ， 所以 222 abc， 所以ABC是直角三角形，90C， 设第三边c上的高的值是h， 则ABC的面积 11 51 2 22 h ， 所以 2 5 5 h 故选：D 5 （3 分）希望中学七年级四个班的学生去阳光公园义务植树，已知在每小时内，5 个女生 种 3 棵树，3 个男生种 5 棵树，各班学生人数如图所示，则植树最多的班级是( ) A七（1）班 B七（2）班 C七（3）班 D七（4）班 【解答】解：七（1）班共植树： 35 221843.2 53 （棵)，
17、七（2）班共植树： 35662 1820 5315 （棵)， 七（3）班共植树： 35667 1322 5315 （棵)， 七（4）班共植树： 35 152144 53 （棵)， 667662 4443.2 1515 ， 植树最多的班级是七（3）班， 故选：C 6 （3 分）下列计算正确的是( ) A 2 22 B 2 22 C 2 42 D 2 42 第 11 页（共 29 页） 【解答】解：A、 2 22，故原题计算正确； B、 2 22，故原题计算错误； C、 2 44，故原题计算错误； D、 2 44，故原题计算错误； 故选：A 7 （3 分）若 22 425(2)xxxak，则ak的
18、值可以是( ) A25 B15 C15 D20 【解答】解： 22 425(2)xxxak， 当5a 时，20k， 当5a 时，20 k， 故ak的值可以是：25 故选：A 8 （3 分）如图，长方形ABCD中，6ADBC，10ABCD点E为射线DC上的一 个动点，ADE与AD E关于直线AE对称，当AD B为直角三角形时，DE的长为( ) A2 或 8 B 8 3 或 18 C 8 3 或 2 D2 或 18 【解答】解：分两种情况讨论： 当E点在线段DC上时， ADEADE ， 90AD ED ， 第 12 页（共 29 页） 90AD B， 180AD BAD E， B、 D 、E三点共
19、线， 11 22 ABE SBE ADAB AD ，ADAD ， 10BEAB， 2222 1068BDABAD， 1082DED E； 当E点在线段DC的延长线上时，如下图， 90ABDCBEABDBAD ， CBEBAD ， 在ABD和BEC中， DBCE ADBC BADCBE ， ()ABDBEC ASA ， 10BEAB， 22 1068BD， 81018DED EBDBE 第 13 页（共 29 页） 综上所知，2DE 或 18 故选：D 9 （3 分）已知，如图，ABC是等边三角形，AECD，BQAD于Q，BE交AD于点 P，下列说法：APEC ，AQBQ，2BPPQ，AEBDA
20、B，其正确的 个数有( )个 A1 B2 C3 D4 【解答】证明：ABC是等边三角形， ABAC，60BAEC ， 在ABE和CAD中， 60 ABAC BAEC AECD ， ()ABECAD SAS ， 12 ， 231360BPQBAC ， 60APEC ，故正确 BQAD， 90906030PBQBPQ， 2BPPQ故正确， ACBCAEDC， BDCE， AEBDAEECACAB，故正确， 无法判断BQAQ，故错误， 故选：C 第 14 页（共 29 页） 10 （3 分）如图，ABC是等边三角形，AQPQ，PRAB于点R，PSAC于点S， PRPS，则下列结论：点P在A的角平分线
21、上； ASAR； / /QPAR； BRPQSP 正确的有( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【解答】解：ABC是等边三角形，PRAB，PSAC，且PRPS， P在A的平分线上，故正确； 由可知，PBPC，BC ，PSPR， BPRCPS ， ASAR，故正确； AQPQ， 260PQCPACBAC ， / /PQAR，故正确； 由得，PQC是等边三角形， PQSPCS ， 又由可知，BRPQSP ，故也正确， 都正确， 故选：D 11 （3 分）已知35 a ，310 b ，则 2 3a b 的值为( ) A50 B50 C500 D500 【解答】解：35 a ，310 b ，
22、 第 15 页（共 29 页） 22 33(3 )5 100500 abab 故选：C 12（3 分） 如图， 在Rt ABC中，ABAC，90BAC，D、E为BC上两点，45DAE， F为ABC外一点， 且FBBC，FAAE， 则下列结论： CEBF； 222 BDCEDE； 1 4 ADE SAD EF ； 222 2CEBEAE，其中正确的是( ) A B C D 【解答】解：90BAC，FAAE，45DAE， 9045CAEDAEBADBAD， 9045FABDAEBADBAD， FABEAC ， ABAC，90BAC， 45ABCACB ， FBBC， 45FBA， AFBAEC ，
23、 CEBF，故正确， ：由中证明AFBAEC ， AFAE， 45DAE，FAAE， 45FADDAE ， AFDAED ， 连接FD， FBCE， 2222 FBBDFDDE，故正确， ：如图，设AD与EF的交点为G， 45FADEAD ，AFAE， 第 16 页（共 29 页） ADEF，2EFEG， 1111 2224 ADE SAD EGADEFAD EF ， 故正确， ： 222 FBBEEF，CEBF， 222 CEBEEF， 在RT AEF中，AFAE， 222 AFAEEF， 22 2EFAE， 222 2CEBEAE，故正确 故选：A 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共
24、 6 小题，共小题，共 18.0 分）分） 13 （3 分）如图，等边ABC的边长为 2，BD是高，延长BC到点E，使CECD，则DE 的长为 3 【解答】解：ABC是边长为 2 的等边三角形，BD是AC边上的高， 60ACB，BDAC，BD平分ABC， 1 30 2 DBEABC， 3 sin6023 2 BDBC ， CDCE， CDEE 60ACB，且ACB为CDE的外角， 60CDEE ， 30CDEE ， 30DBEDEB ， 第 17 页（共 29 页） 3BDDE 故答案为：3 14（3 分） 甲乙两人完成因式分解 2 xaxb时， 甲看错了a的值， 分解的结果是(6)(2)xx
25、， 乙看错了b的值，分解的结果为(8)(4)xx，那么 2 xaxb分解因式正确的结果为 (6)(2)xx 【解答】解：因式分解 2 xaxb时， 甲看错了a的值，分解的结果是(6)(2)xx， 6 ( 2)12b ， 又乙看错了b的值，分解的结果为(8)(4)xx， 844a ， 原二次三项式为 2 412xx， 因此， 2 412(6)(2)xxxx， 故答案为：(6)(2)xx 15 （3 分）对于任意实数a，b，定义关于“”的一种运算如下：2abab例如 342342若2xy ，且4yx ，则xy的值为 6 【解答】解：根据题中的新定义得： 22 24 xy yx ， 得：6xy 故答
26、案为：6 16 （3 分）课本第 78 页阅读材料从勾股定理到图形面积关系的拓展中有如下问题：如 图分别以直角三角形的三条边为边，向形外分别作正三角形，则图中的 1 S， 2 S， 3 S满足 的数量关系是 123 SSS 现将ABF向上翻折， 如图， 已知6S 甲 ，5S 乙 ，4S 丙 ， 则ABC的面积是 第 18 页（共 29 页） 【解答】解：90ACB， 222 ACBCAB， ACE、BCD、ABF是等边三角形， 2 1 3 4 SAC， 2 2 3 4 SBC， 2 3 3 4 SAB， 222 123 33 () 44 SSACBCABS， 即 123 SSS； 设ABC的面
27、积为S，图中 2 个白色图形的面积分别为a、b，如图所示： 123 SSS， SaSbSabS 乙甲丙 ， SSSS 乙甲丙 ， 6547SSSS 乙甲丙 ； 故答案为： 123 SSS；7 17 （3 分）某校为了举办“庆祝建军 90 周年”活动，调查了本校所有学生，调查的结果如 图，根据图中给出的信息，这所学校赞成举办演讲比赛的学生有 90 人 第 19 页（共 29 页） 【解答】解：由题意可得， 本次调查的人数为：16040%400， 则这所学校赞成举办演讲比赛的学生有：400 (140%37.5%)400 22.5%90（人)， 故答案为：90 18 （3 分）如图，在Rt ABC中
28、，90ACB，6AC ，8BC ，AD平分CAB交BC 于D点，E，F分别是AD，AC上的动点，则CEEF的最小值为 24 5 【解答】解：如图所示：在AB上取点F，使AFAF，过点C作CHAB，垂足为H 在Rt ABC中，依据勾股定理可知10BA 24 5 AC BC CH AB ， EFCEEFEC， 当C、E、F共线，且点F与H重合时，FEEC的值最小，最小值为 24 5 ， 故答案为： 24 5 三、计算题（本大题共三、计算题（本大题共 1 小题，共小题，共 6.0 分）分） 19 （6 分）计算： 第 20 页（共 29 页） （1） 1511 ( 2 )()()() 4848 ；
29、（2） 2 9( 4)( 2) ； （3） 23 5 ( 4 )0.25( 5)( 4) 8 ； （4）42 (35)35 【解答】解： （1）原式 1151 ( 2)() 4488 11 2 22 3 ； （2）原式3 16( 2) 38 11； （3）原式 5 ( 16)0.25( 5)( 64) 8 1080 90 ； （4）原式462 53 5 25 5 四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 7 小题，共小题，共 56.0 分）分） 20已知多项式 22 2Axxn，多项式 22 2433Bxxn （1）若多项式 22 2xxn是完全平方式，则n 1 或1 ； （2）已知xm时，多
30、项式 22 2xxn的值为1，则xm 时，该多项式的值为多少？ （3）判断多项式A与B的大小关系并说明理由 【解答】解： （1） 22 2xxn是一个完全平方式， 2 1n， 1n 故答案为：1 或1； （2）当nm时 22 21mmn ， 第 21 页（共 29 页） 22 210mmn ， 22 (1)0mn， 2 (1)0m， 2 0n ， 1xm ，0n ， xm 时，多项式 22 2xxn的值为 22 23mmn； （3）BA 理由如下： 22222222 2433(2)223(1)22BAxxnxxnxxnxn ， 2 (1)0 x， 2 20n ， 22 (1)220 xn， B
31、A 21如图，AD是ABC的高，AD垂直平分线分别交AB，AC于点E，F （1）求证： 1 2 BAED （2）若1DE ，求AB的长 【解答】 （1）证明：EF是AD的垂直平分线， EAED， EHAD， AEHDEH， EFAD，BCAD， / /EFBC， AEHB， 1 2 BAED； （2）解：由（1）得：/ /EFBC， 第 22 页（共 29 页） HEDEDB， AEHHED，AEHB， BEDB ， BEDE， 222 12ABBEDE 22如图，在ABC中，ABAC，点D是BC的中点，连接AD，45CBE，BE分别 交AC，AD于点E、F若13AB ，10BC ，求AF的长
32、度 【解答】解：ABAC，ADBC， BDCD， 10BC ， 5BD， 在Rt ABD中，13AB ， 2222 13512ADABBD， 在Rt BDF中，45CBE， BDF是等腰直角三角形， 5DFBD， 1257AFADDF 23随着互联网的发展，同学们的学习习惯也有了改变，一些同学在做题遇到困难时，喜欢 上网查找答案针对这个问题，某校调查了部分学生对这种做法的意见（分为：赞成、无所 谓、反对） ，并将调查结果绘制成图 1 和图 2 两个不完整的统计图 第 23 页（共 29 页） 请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）此次抽样调查中，共调查了多少名学生？ （2）将图 1 补充
33、完整； （3）求出扇形统计图中持“反对”意见的学生所在扇形的圆心角的度数； （4）根据抽样调查结果，请你估计该校 1500 名学生中有多少名学生持“无所谓”意见 【解答】解： （1）13065%200， 答：此次抽样调查中，共调查了 200 名学生； （2）反对的人数为：2001305020， 补全的条形统计图如右图所示； （3）扇形统计图中持“反对”意见的学生所在扇形的圆心角的度数是： 20 36036 200 ； （4） 50 1500375 200 ， 答：该校 1500 名学生中有 375 名学生持“无所谓”意见 24勾股定理是数学史上非常重要的一个定理早在 2000 多年以前，人们就
34、开始对它进行 研究，至今已有几百种证明方法在欧几里得编的原本中证明勾股定理的方法如下，请 同学们仔细阅读并解答相关问题： 如图，分别以Rt ABC的三边为边长，向外作正方形ABDE、BCFG、ACHI （1）连接BI、CE，求证：ABIAEC ； （2）过点B作AC的垂线，交AC于点M，交IH于点N 第 24 页（共 29 页） 试说明四边形AMNI与正方形ABDE的面积相等； 请直接写出图中与正方形BCFG的面积相等的四边形 （3）由第（2）题可得： 正方形ABDE的面积正方形BCFG的面积 正方形ACHI 的面积，即在Rt ABC中， 22 ABBC 【解答】 （1）证明：四边形ABDE、
35、四边形ACHI是正方形， ABAE，ACAI，90BAECAI ， EACBAI ， 在ABI和AEC中， ABAE BAIEAC AIAC ， ()ABIAEC SAS ； （2）证明：BMAC，AIAC， / /BMAI， 四边形AMNI的面积2 ABI 的面积， 同理：正方形ABDE的面积2 AEC 的面积， 又ABIAEC ， 四边形AMNI与正方形ABDE的面积相等 解：四边形CMNH与正方形BCFG的面积相等，理由如下： 连接BH，过H作HPBC于P，如图所示： 易证()CPHABC AAS ，四边形CMNH是矩形， PHBC， BCH的面积 11 22 CHNHBCPH， 第 2
36、5 页（共 29 页） 2 CHNHBC， 四边形CMNH与正方形BCFG的面积相等； （3）解：由（2）得：正方形ABDE的面积正方形BCFG的面积正方形ACHI的面积； 即在Rt ABC中， 222 ABBCAC； 故答案为：正方形ACHI， 2 AC 25请阅读下列材料： 我们可以通过以下方法求代数式 2 65xx的最小值 22222 6523335(3)4xxxxx ， 2 (3)0 x 当3x 时， 2 65xx有最小值4 请根据上述方法，解答下列问题： （） 22222 4122221()xxxxxab ，则ab的值是 10 ； （）求证：无论x取何值，代数式 2 2 67xx的值
37、都是正数； （）若代数式 2 27xxk的最小值为 2，求k的值 【解答】解： （） 222222 4122221(2)5()xxxxxxab ， 2a，5b ， 2 ( 5)10ab 故答案是：10； （）证明： 22222 2 672 6( 6)( 6)7(6)1xxxxx 2 (6)0 x ， 2 2 67xx的最小值是 1， 第 26 页（共 29 页） 无论x取何值，代数式 2 2 67xx的值都是正数； （） 222222 22221 27( 2 )22()()7( 2)7 44448 xxxxxkkkkkk 2 2 ( 2)0 4 x k ?， 22 21 ( 2)7 48 xk
38、k的最小值是 2 1 7 8 k， 2 1 72 8 k， 解得2 10 k 26 【发现问题】爱好数学的小明在做作业时碰到这样的一道题目： 如图，点O为坐标原点，O的半径为 1，点(2,0)A动点B在O上，连结AB，作等 边(ABC A，B，C为顺时针顺序） ，求OC的最大值 【解决问题】小明经过多次的尝试与探索，终于得到解题思路：在图中，连接OB，以OB 为边在OB的左侧作等边三角形BOE，连接AE （1）请你找出图中与OC相等的线段，并说明理由； （2）线段OC的最大值为 3 【灵活运用】 （3）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2,0)，点B的坐标为(5,0)，点P为线 段AB外
39、一动点，且2PA，PMPB，90BPM，求线段AM长的最大值及此时点P 的坐标 【迁移拓展】 （4）如图，4 2BC ，点D是以BC为直径的半圆上不同于B、C的一个动点，以BD 为边作等边ABD，请直接写出AC的最值 【解答】解： （1）如图中，结论：OCAE， 第 27 页（共 29 页） 理由：ABC，BOE都是等边三角形， BCBA，BOBE，60CBAOBE ， CBOABE ， CBOABE ， OCAE （2）在AOE中，AE OEOA， 当E、O、A共线， AE的最大值为 3， OC的最大值为 3 故答案为 3 （3）如图 1，连接BM， 将APM绕着点P顺时针旋转90得到PBN
40、，连接AN，则APN是等腰直角三角形， 2PNPA，BNAM， A的坐标为(2,0)，点B的坐标为(5,0)， 2OA，5OB ， 3AB， 线段AM长的最大值线段BN长的最大值， 当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值（如图 2 中） 最大值ABAN， 第 28 页（共 29 页） 22 2ANAP， 最大值为2 23； 如图 2，过P作PEx轴于E， APN是等腰直角三角形， 2PEAE， 53222OEBOABAE， (22P，2) （4）如图 4 中，以BC为边作等边三角形BCM， 60ABDCBM ， ABCDBM ，ABDB，BCBM， ABCDBM ， ACMD， 欲求AC的最大值，只要求出DM的最大值即可， 4 2BC 定值，90BDC， 点D在以BC为直径的O上运动， 第 29 页（共 29 页） 由图象可知，当点D在BC上方，DMBC时，DM的值最大，最大值2 226， AC的最大值为2 22 6 当点A在线段BD的右侧时，同法可得AC的最小值为2 62 2
