2020-2021学年江苏省常州市溧阳市高一（上）期末数学试卷.docx下载_163文库

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1、第 1 页（共 19 页） 2020-2021 学年江苏省常州市溧阳市高一（上）期末数学试卷学年江苏省常州市溧阳市高一（上）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的. 1 （5 分）已知集合0A，1，2， 1 1, B x ，若ABB，则实数x的值为( ) A 1 2 B0 C1 D2 2 （5 分）九章算术成书于公元一世纪，是中国古代乃至东方的第一部自成体系的数学专著书中记载这样一个问题 “今有宛田，

2、下周三十步，径十六步问为田几何？”（一步1.5 米）意思是现有扇形田，弧长为 45 米，直径为 24 米，那么扇形田的面积为( ) A135 平方米 B270 平方米 C540 平方米 D1080 平方米 3 （5 分）已知tan2，则sincos的值是( ) A 2 5 B 2 5 C 8 5 D 8 5 4 （5 分）已知m是函数( )22 x f xx的零点，则实数(m ) A(0,1) B(1,2) C(2,3) D(3,4) 5 （5 分）已知角的终边经过点 13 ( 3,4tan) 4 P，则sin的值为( ) A 3 5 B 3 5 C 4 5 D 4 5 6 （5 分）某

3、公司一年购买某种货物 600 吨，每次购买x吨，运费为 6 万元/次，一年的总存储费用为4x万元，则一年的总运费与总存储费用和最小为( ) A60 万元 B160 万元 C200 万元 D240 万元 7 （5 分）在平面直角坐标系中，AB是单位圆上的一段弧（如图），点P是圆弧AB上的动点，角以Ox为始边，OP为终边以下结论正确的是( ) Atancossin Bcostansin Csincostan D以上答案都不对第 2 页（共 19 页） 8（5 分）已知定义在R上的函数( )yf x对任意的x都满足(2)( )f xf x，当11x时， 2 ( ).f xx若函数( )(

4、 )|g xf xa x有 5 个不同零点，则a的取值范围是( ) A 1 (0, ) 3 B 1 (3，1) C 1 3，1 D 1 ( 2 ，1) 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，在每小题给出的四个选项中，有分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对得多项符合要求，全部选对得 5 分，部分选对得分，部分选对得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9 （5 分）下列命题中的真命题是( ) AxR ， 1 20 x B*xN ， 2 (1)0 x CxR ，2lgx DxR ，tan2x 10 （5

5、分）已知函数( )2sin(4) 4 f xx ，将( )f x的图象向右平移 16 个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标仲长为原来的 2 倍，得到函数( )g x的图象，则下列命题正确的是( ) A( )yg x是偶函数 B函数( )g x的单调递减区间为 3 ,() 44 Z kkk C直线() 4 xZ kk是函数( )g x的图象的对称轴 D函数( )g x在 5 0, 8 上的最小值为2 11 （5 分）设1a ，1b ，且()2abab，那么( ) Aab有最小值2( 31) Bab有最小值 2 ( 31) Cab有最小值42 3 Dab有最大值42 3 12 （5 分）函数

6、概念最早是在 17 世纪由德国数学家菜布尼茨提出的，后又经历了贝努利、欧拉等人的改译.1821年法国数学家柯西给出了这样的定义：在某些变数存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着确定时，则称最初的变数叫自变量，其他的变数叫做函数德国数学家康托尔创立的集合论使得函数的概念更严谨后人在此基础上构建了高中教材中的函数定义： “一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数” 下列对应法则f满足函数定义的有( ) A(|2|)fxx B 2 (sin

7、)2cos1fxx 第 3 页（共 19 页） C(sin )fxx D 2 (2 ) |1|f xxx 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.把答案填在答题卡指定位置上把答案填在答题卡指定位置上. 13 （5 分）函数 2 ( )log (21)f xx的定义域为 14 （5 分）已知正数x，y满足1xy，则 11 xy 的最小值是 15 （5 分）2019 年 7 月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，见证了中华五千年的文明史考古科学家在

8、测定遗址年龄的过程中利用了 “放射性物质因衰变而减少” 这一规律已知样本中碳 14 的质量N随时间t（单位：年）的衰变规律满足 5730 00 2( t NNN 表示碳 14 原有的质量），则经过 5730 年后，碳 14 的质量变为原来的 .；经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳 14 的质量是原来的 3 7 至 1 2 ，据此推测良渚古城存在的时期距今约在 5730 年到年之间（参考数据：20.3lg ，70.84lg ，30.48)lg 16 （5 分）如图，直线l是函数yx的图象，曲线C是函数 1 2 logyx图象， 1 P为曲线C上纵坐标为 1 的点过 1 P作y轴

9、的平行线交l于 2 Q，过 2 Q作y轴的垂线交曲线C于 2 P；再过 2 P 作y轴的平行线交l于点 3 Q，过 3 Q作y轴的垂线交曲线C于 3 P；，设点 1 P， 2 P， 3 P， n P的横坐标分别为 1 x， 2 x， 3 x，. n x若 20181 2 logxa，则 2020 x （用a表示）四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （10 分）（1）已知 1 3a a ，求 1 aa的值；（2）计算： 25 5 24log 5 log

10、4 8 lglg 18 （12 分）已知集合 |1 216 x Ax剟， |2Bx m x m剟（1）若3m ，求AB；第 4 页（共 19 页）（2）若“xA”是“xB”的必要条件，求m的取值范围 19 （12 分）已知函数( )sin()(0,0) 6 f xAxA 只能满足下列三个条件中的两个：函数( )f x的最大值为 2；函数( )f x的图象可由3sin() 4 yx 的图象平移得到；函数 ( )f x图象的相邻两条对称轴之间的距离为 2 （1）请写出满足( )f x的这两个条件序号，并说明理由；（2）求出( )f x的解析式；（3）求方程( )10f x 在区间，上所

11、有解的和 20 （12 分）已知函数 2 ( ) 21 x x a f x 为奇函数（1）求a的值；（2）判断函数( )f x的单调性，并用单调性定义加以证明；（3）解关于m的不等式 2 (2)(3) 0fmf m 21 （12 分）随着私家车的逐渐增多，居民小区“停车难“问题日益突出本市某居民小区为缓解“停车难”问题，拟建造地下停车库，建筑设计师提供了该地下停车库的入口和进入后的直角转弯处的平面设计示意图（1）按规定，地下停车库坡道口上方要张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否安全驶入，为标明限高，请你根据该图 1 所示数据计：算限定高度CD的值（精确到0.1 )m （

12、下列数据提供参考：sin200.3420 ，cos200.9397 ，tan200.3640) （2）在车库内有一条直角拐弯车道，车道的平面图如图 2 所示，车道宽为 3 米，现有一辆转动灵活的小汽车，其水平截面图为矩形ABCD，它的宽AD为 1.8 米，直线CD与直角车道的外壁相交于E、F 第 5 页（共 19 页）若小汽车卡在直角车道内（即点A、B分别在PE、PF上，点O在CD上）()PABrad，求水平截面的长（即AB的长，用表示）若小汽车水平截面的长为 4.4 米，问此车是否能顺利通过此直角拐弯车道？备注：以下结论可能用到，此题可以直接运用结论 1 sincos2si

13、n() 4 ；结论 2 若函数( )f x和函数( )g x都在区间I上单调递增，则函数( )( )f xg x在区间I上单调递增 22 （12 分）已知函数 2 ( )2(0)g xaxaxb a在区间2，3上有最大值 4，最小值 1函数 ( ) ( ) g x f x x （1）求函数( )g x的解析式；（2）若存在xe， 2 e使得不等式()0f lnxlnxk?成立，求实数k的取值范围；（3）若函数 3 ( )(|31|)2 |31| x x F xf k k有三个零点，求实数k的范围第 6 页（共 19 页） 2020-2021 学年江苏省常州市溧阳市高一（上）期末数学

14、试卷学年江苏省常州市溧阳市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的. 1 （5 分）已知集合0A，1，2， 1 1, B x ，若ABB，则实数x的值为( ) A 1 2 B0 C1 D2 【解答】解：ABB，BA， 0A，1，2， 1 1, B x 1 2 x ，解得 1 2 x 故选：A 2 （5 分）九章算术成书于公元一世纪，是中国古代乃至东方的第一部自

15、成体系的数学专著书中记载这样一个问题 “今有宛田，下周三十步，径十六步问为田几何？”（一步1.5 米）意思是现有扇形田，弧长为 45 米，直径为 24 米，那么扇形田的面积为( ) A135 平方米 B270 平方米 C540 平方米 D1080 平方米【解答】解：根据扇形的面积公式，计算扇形田的面积为 1124 45270 222 Slr（平方米）故选：B 3 （5 分）已知tan2，则sincos的值是( ) A 2 5 B 2 5 C 8 5 D 8 5 【解答】解：tan2，则 222 sincostan2 sincos sincostan15 ，故选：B 4 （5 分

16、）已知m是函数( )22 x f xx的零点，则实数(m ) A(0,1) B(1,2) C(2,3) D(3,4) 【解答】解：由( )220 x f xx可得，22xx ，结合幂函数及指数函数的性质可知，当x无限增加时，指数函数爆炸式增加，当01x时，第 7 页（共 19 页） ( )0f x 恒成立，没有零点，因为f（1）10 ，f（2）220，故在(1,2)上有零点，结合图象可知，当2x 时，22xx 即2yx恒在2xy 的下方故(1,2)m 故选：B 5 （5 分）已知角的终边经过点 13 ( 3,4tan) 4 P，则sin的值为( ) A 3 5 B 3 5 C

17、4 5 D 4 5 【解答】解： 13 tan1 4 ， ( 3,4)P，根据三角函数定义可知， 22 44 sin 5 ( 3)4 ，故选：D 6 （5 分）某公司一年购买某种货物 600 吨，每次购买x吨，运费为 6 万元/次，一年的总存储费用为4x万元，则一年的总运费与总存储费用和最小为( ) A60 万元 B160 万元 C200 万元 D240 万元【解答】解：由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和： 6003600 6424240 xx xx （万元）当且仅当30 x 时取等号故选：D 7 （5 分）在平面直角坐标系

18、中，AB是单位圆上的一段弧（如图），点P是圆弧AB上的动第 8 页（共 19 页）点，角以Ox为始边，OP为终边以下结论正确的是( ) Atancossin Bcostansin Csincostan D以上答案都不对【解答】解：由题设可得AB上的动点P的坐标为(cos ,sin )， 1 (cosA， 1 sin)， 2 (cosB， 2 sin)，其中 12 2 ， 12 3 24 ，注意到当 1 (， 3 4 ，tan1，故按如下分类讨论：若 1 3 24 ，则sin0，cos1 ，tan1，故sincostan，若 2 3 4 ，则sin0，cos0，tan0，

19、且 2 2 0sinsin 2 ，所以 22 22 21 sinsin1 sinsin1 2 ，因为 2 3 4 ，故 2 2 0sin 2 ，故 2 22 21 1sinsin1 2 ，所以 2 22 sinsin1有正有负，所以 2 sinsin1有正有负，而 2 sin1 tancos cos sin ，cos0，故tancos有正有负，故tan，cos大小关系不确定故选：D 8（5 分）已知定义在R上的函数( )yf x对任意的x都满足(2)( )f xf x，当11x时， 2 ( ).f xx若函数( )( )|g xf xa x有 5 个不同零点，则a的取值范围是(

20、 ) A 1 (0, ) 3 B 1 (3，1) C 1 3，1 D 1 ( 2 ，1) 【解答】解：原问题等价于函数( )f x与函数|ya x有 5 个不同的交点，第 9 页（共 19 页）很明显，坐标原点为两函数的交点，且函数( )f x与函数|ya x均为偶函数，则原问题转化为当0 x时，函数( )f x与函数yax有两个交点，绘制函数图象如图所示，由临界条件可得关于实数a的不等式组： 1 1 31 a a ，解得： 1 1 3 a，即实数a的取值范围是 1 ( ,1) 3 故选：B 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分

21、，共 20 分，在每小题给出的四个选项中，有分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对得多项符合要求，全部选对得 5 分，部分选对得分，部分选对得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9 （5 分）下列命题中的真命题是( ) AxR ， 1 20 x B*xN ， 2 (1)0 x CxR ，2lgx DxR ，tan2x 【解答】解：对于A， 1 2xy 的定义域为R，值域为(0,)，xR ， 1 20 x 为真命题，则A对；对于B，当 * 1xN 时， 2 (1)0 x 不大于 0，*xN ， 2 (1)0 x为假命题，则B错；对于C，当1xR 时，02lgx

22、，xR ，2lgx 为真命题，则C对；第 10 页（共 19 页）对于D，当arctan2xR 时，tantan(tan2)2xarc，xR ，tan2x 为真命题，则D 对；故选：ACD 10 （5 分）已知函数( )2sin(4) 4 f xx ，将( )f x的图象向右平移 16 个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标仲长为原来的 2 倍，得到函数( )g x的图象，则下列命题正确的是( ) A( )yg x是偶函数 B函数( )g x的单调递减区间为 3 ,() 44 Z kkk C直线() 4 xZ kk是函数( )g x的图象的对称轴 D函数( )g x在 5 0, 8

23、上的最小值为2 【解答】解：将( )f x的图象向右平移 16 个单位长度，得到2sin4()2sin(4 ) 164 yxx ，再把得到的曲线上各点的横坐标仲长为原来的 2 倍，得到函数( )g x的图象，即 1 ( )2sin(4 )2sin(2 ) 2 g xxx，则函数( )g x是奇函数，故A错误，由 3 222 22 x k剟k，Zk，得 3 44 x k剟k，Zk，即函数的单调递减区间为 3 ,() 44 Z kkk，故B正确，由2 2 x k，得 24 x k ，即函数的对称轴为 24 x k ，则 4 x k也是对称轴，故C正确，当 5 0 8 x

24、剟时， 5 0 2 4 x 剟，则当 5 2 4 x 时，函数( )g x取得最小值，最小值 52 2sin22 42 ，故D正确，故选：BCD 11 （5 分）设1a ，1b ，且()2abab，那么( ) Aab有最小值2( 31) Bab有最小值 2 ( 31) Cab有最小值42 3 Dab有最大值42 3 【解答】解：因为1a ，1b ，且()2abab，第 11 页（共 19 页）所以 2 2() () 2 ab abab ，当且仅当ab时取等号，解得，2 32ab，或22 3ab（舍)，故ab有最小值22 3，A正确，B错误；由22aba

25、bab ，当且仅当ab时取等号，解得，42 3ab，即ab有最小值42 3，C正确，D错误故选：AC 12 （5 分）函数概念最早是在 17 世纪由德国数学家菜布尼茨提出的，后又经历了贝努利、欧拉等人的改译.1821年法国数学家柯西给出了这样的定义：在某些变数存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着确定时，则称最初的变数叫自变量，其他的变数叫做函数德国数学家康托尔创立的集合论使得函数的概念更严谨后人在此基础上构建了高中教材中的函数定义： “一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和

26、它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数” 下列对应法则f满足函数定义的有( ) A(|2|)fxx B 2 (sin )2cos1fxx C(sin )fxx D 2 (2 ) |1|f xxx 【解答】解：根据函数的定义，对于定义域内的任意自变量，函数的值唯一确定的对于一个自变量|2|x，x的值不一定唯一，如|2| 1x时，1x 或 3，故(|2|)fxx不满足函数的定义，故排除A；对于一个任意一个sin x，存在唯一确定的 22 12sin2cos1xx，故 2 (sin )2cos1fxx满足函数的定义，故B可以对于一个任意一个sin x，存在多个x的值，故(sin )

27、 xx不满足函数的定义，故排除C；对于一个 22 2(1)1xxx，则|1|x 的值唯一，故 2 (2 ) |1|f xxx满足函数的定义，故D 可以，故选：BD 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.把答案填在答题卡指定位置上把答案填在答题卡指定位置上. 13 （5 分）函数 2 ( )log (21)f xx的定义域为 1 ( 2 ，) 第 12 页（共 19 页）【解答】解：由函数 2 ( )log (21)f xx，得210 x ，解得 1 2 x ，所以( )f x的定义域为 1 ( 2 ，) 故答案为： 1

28、( 2 ，) 14 （5 分）已知正数x，y满足1xy，则 11 xy 的最小值是 4 【解答】解：正数x，y满足1xy，则 11111 ()() 224xyxy xyxyxy ，当且仅当 1 2 xy，取得最小值 4，故答案为：4 15 （5 分）2019 年 7 月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，见证了中华五千年的文明史考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了 “放射性物质因衰变而减少” 这一规律已知样本中碳 14 的质量N随时间t（单位：年）的衰变规律满足 5730 00 2( t NN

29、N 表示碳 14 原有的质量），则经过 5730 年后，碳 14 的质量变为原来的 1 2 .；经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳 14 的质量是原来的 3 7 至 1 2 ，据此推测良渚古城存在的时期距今约在 5730 年到年之间（参考数据：20.3lg ，70.84lg ，30.48)lg 【解答】解： 5730 0 2 t NN ，当5730t 时， 1 00 1 2 2 NNN ，经过 5730 年后，碳 14 的质量变为原来的 1 2 由题意可知： 5730 3 2 7 t ，两边同时取以 2 为底的对数得： 5730 22 3 2 7 t loglog ， 3 37

30、7 1.2 573022 lg tlglg lglg ， 6876t ，推测良渚古城存在的时期距今约在 5730 年到 6876 年之间第 13 页（共 19 页）故答案为： 1 2 ，6876 16 （5 分）如图，直线l是函数yx的图象，曲线C是函数 1 2 logyx图象， 1 P为曲线C上纵坐标为 1 的点过 1 P作y轴的平行线交l于 2 Q，过 2 Q作y轴的垂线交曲线C于 2 P；再过 2 P 作y轴的平行线交l于点 3 Q，过 3 Q作y轴的垂线交曲线C于 3 P；，设点 1 P， 2 P， 3 P， n P的横坐标分别为 1 x， 2 x， 3 x，. n

31、x若 20181 2 logxa，则 2020 x 11 22 1 2 (log) )a （用a表示）【解答】解：由题意可求出 1 P， 2 P， 3 P， 1 Q， 2 Q， 3 Q点的坐标 1 1 ( 2 P，1)， 2 1 ( 2 Q， 1 ) 2 ， 2 2 ( 2 P， 1 ) 2 ， 3 2 ( 2 Q， 2 ) 2 ， 11 22 3 1 ( ) ) 2 P， 1 2 1 ( ) ) 2 ，故 1 P的横坐标为 1 1 2 x ，由 12 2 1 log 2 x ，可得 1 2 2 1 ( ) 2 x ，由 1 2 13 2 1 log( ) 2 x ，可得 11 22

32、 3 1 ( ) ) 2 x ，所以若 20181 2 logxa，则 1 2 20191 2 (log)xa， 11 22 20201 2 (log) )xa 故答案为： 11 22 1 2 (log) )a 第 14 页（共 19 页）四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （10 分）（1）已知 1 3a a ，求 1 aa的值；（2）计算： 25 5 24log 5 log 4 8 lglg 【解答】解：（1）由题意知 1 3a a ，平方可得 2

34、解得：02x剟，所以m的取值范围为0，2 19 （12 分）已知函数( )sin()(0,0) 6 f xAxA 只能满足下列三个条件中的两个：函数( )f x的最大值为 2；函数( )f x的图象可由3sin() 4 yx 的图象平移得到；函数 ( )f x图象的相邻两条对称轴之间的距离为 2 （1）请写出满足( )f x的这两个条件序号，并说明理由；第 15 页（共 19 页）（2）求出( )f x的解析式；（3）求方程( )10f x 在区间，上所有解的和【解答】解：（1）若成立，则2A若成立，则3A ，1，若成立，则 22 T ，即T，即 2 ，则2 则满足条件的只能是

35、，（2）由（1）知2A，2，则( )2sin(2) 6 f xx （3）由( )10f x 得( )1f x ，即2sin(2)1 6 x ，得 1 sin(2) 62 x ，则 7 22 66 x k或 11 22 66 x k，得 2 x k或 5 6 x k，Zk， x ，当1k时， 2 x 或 6 x ，当0k时， 2 x 或 5 6 x ，则所有零点之和为 52 26263 20 （12 分）已知函数 2 ( ) 21 x x a f x 为奇函数（1）求a的值；（2）判断函数( )f x的单调性，并用单调性定义加以证明；（3）解关于m的不等式 2 (2)(3)

36、 0fmf m 【解答】解：（1）函数 2 ( ) 21 x x a f x 的定义域为R，且为奇函数， (0)0f，即 1 (0)0 2 a f ，解得1a ，经检验，此时对任意的x都有()()fxfx ，故1a （2）由（1）可知 212 ( )1 2121 x xx f x ， ( )f x在(,) 上为增函数，第 16 页（共 19 页）证明：任取 1 x， 2 xR，且 12 xx，则 12 1212 12 222(22 ) ( )() 2121(21)(21) xx xxxx f xf x ， 12 xx， 12 22 xx ，即 12 220 xx ，即 12 12

37、12 2(22 ) ( )()0 (21)(21) xx xx f xf x ， 12 ()()f xf x，即( )f x在(,) 上为增函数（3）( )f x是奇函数， 2 (2)(3) 0fmf m等价为 2 (2)(3)(3)fmf mfm， ( )f x在(,) 上为增函数 2 23mm，即 2 23 0mm ，解得 3 2 m或1m，即不等式的解集为(， 3 1 2 ，) 21 （12 分）随着私家车的逐渐增多，居民小区“停车难“问题日益突出本市某居民小区为缓解“停车难”问题，拟建造地下停车库，建筑设计师提供了该地下停车库的入口和进入后的直角转弯处的平面设计示意图（

38、1）按规定，地下停车库坡道口上方要张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否安全驶入，为标明限高，请你根据该图 1 所示数据计：算限定高度CD的值（精确到0.1 )m （下列数据提供参考：sin200.3420 ，cos200.9397 ，tan200.3640) 第 17 页（共 19 页）（2）在车库内有一条直角拐弯车道，车道的平面图如图 2 所示，车道宽为 3 米，现有一辆转动灵活的小汽车，其水平截面图为矩形ABCD，它的宽AD为 1.8 米，直线CD与直角车道的外壁相交于E、F 若小汽车卡在直角车道内（即点A、B分别在PE、PF上，点O在CD上）()PABrad，求水平

39、截面的长（即AB的长，用表示）若小汽车水平截面的长为 4.4 米，问此车是否能顺利通过此直角拐弯车道？备注：以下结论可能用到，此题可以直接运用结论 1 sincos2sin() 4 ；结论 2 若函数( )f x和函数( )g x都在区间I上单调递增，则函数( )( )f xg x在区间I上单调递增【解答】解：（1）在ABE中，90ABE，20BAE，则tan BE BAE AB ，又10AB ， tan10tan203.6BEABBAEm ， 0.6BCm，3CEBEBCm，在CED中，CDAE，20ECDBAE ， cos CD ECD CE ， cos3cos203 0

40、.942.8CDCEECDm ；（2）延长CD与直角走廊的边相交于E，F，则 33 cossin EFOEOF ，其中0 2 ， 1.8 tan DE ，tan1.8tanCFBC，又()ABDCEFDECF， AB的长 3313(sincos )1.8 ( )1.8(tan) cossintansincos f ，其中0 2 ；由知 3(sincos )1.8 ( ) sincos f ，其中0 2 ，令sincost，则2sin() 4 t ，12t ，则 2 1 sin cos 2 t 故 2 63.6 ( )( ) 1 t fg t t ，12t ，第 18 页（共 19

41、页） 2 22 6(0.6)3.84 ( ) (1) t g t t ，当(1t，2时，( )0g t恒成立，则( )g t在(1，2上为减函数， ( )( 2)6 23.64.4 min g tg 此车能顺利通过此直角拐弯车道 22 （12 分）已知函数 2 ( )2(0)g xaxaxb a在区间2，3上有最大值 4，最小值 1函数 ( ) ( ) g x f x x （1）求函数( )g x的解析式；（2）若存在xe， 2 e使得不等式()0f lnxlnxk?成立，求实数k的取值范围；（3）若函数 3 ( )(|31|)2 |31| x x F xf k k有三个零点，求实数

42、k的范围【解答】解：（1）函数 2 ( )2(0)g xaxaxb a对称轴为1x ，所以函数( )g x在2，3上单调递增，所以( )maxg xg（3）34ab， ( )ming xg（2）1b，解得1a ，所以 22 ( )21(1)g xxxm （2） 1 ( )2f xx x ，xe， 2 e 所以不等式()0f lnxlnxk?，变为 ()f lnx lnx 刱，令tlnx，1t，2 所以不等式化为 ( )f t t 刱，即 2 21 1 tt 刱，所以 2 1 (1) t 刱，所以 1 0 4 刱 ?，所以实数k的取值范围0， 1 4 （3） 3(|31|)3 ( )(|31|)22 |31|31|31| x x xxx g F xf kk kk有三个零点，则(|31|)32|31| 0 xx g kk有三个根，第 19 页（共 19 页）令|31| x m，作出函数图象：则 2 (1)320mmkk，即 2 (22)310mm kk有两个根 1 m， 2 m，其中 1 01m， 2 1m 或 1 01m， 2 0m ，记 2 ( )(22)31h mmmkk，所以 (0)310 (1)0 h h k k 或 (0)310 (1)0 011 h h k k k 解得 1 0 3 k，所以实数k的取值范围为 1 ( 3 ，0)

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