1、【 ;百万教育资源文库 】 2014 年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷） 数学（理工类）答案解析 第 I卷 一、选择题 1.【答案】 A 【解析】由题意可知，集合 | 1 2A x x? ? ? ?，其中的整数有 1， 0， 1， 2，故 1,0 12AB? ,，故选A. 【提示】 计算集合 A 中 x 的取值范围，再由交集的概念，计算可得 . 【考点】交集及其运算 2.【答案】 C 【解析】 6(1 )xx? 的展开式中 3x 项的系数与 6(1 )x? 的展开式中 2x 项的系数相同，故其系数为 26C 15? .故选 C. 【提示】利用二项展开式的通项公式求解 【考点】二项式定理
2、3.【答案】 A 【解析】因为 1s in ( 2 1 ) s in 2 2y x x? ? ? ?，所以为得到函数 sin(2 1)yx?的图象，只需要将 sin 2yx? 的图像向左平行移动 12 个单位长度，故选 A. 【提示】根据 1s in ( 2 1 ) s in 2 2y x x? ? ? ?，利用函数 sin(2 1)yx?的图象变换规律，得出结论 . 【考点】函数图像的变换 4.【答案】 D 【解析】因为 0cd?，所以 110dc?，即 110dc? ? ? ，与 0ab? 对应相乘得， 0abdc? ? ? ，所以 abdc? .故选 D. 【提示】 利用特例法，判断选项
3、即可 . 【考点】分式不等式 5.【答案】 C 【 ;百万教育资源文库 】 【解析】题中程序输出的是在 100xyxy?的条件下 2S x y?的最大值与 1中较大的数 .结合图像可得，当 1x? ，0y? 时， 2S x y?取得最大值 2， 21? ，故选 C. 【提示】当输入值不确定时，求最大的输出值 . 【考点】程序框图 6.【答案】 B 【解析】当甲在最左端时，有 55 120A? （种）排法；当甲不在最左端时，乙必须在最左端，且甲也不在最右端，有 1 1 41 4 4 4 24 96A A A ? ? ?（种）排法，共计 120 96 216? （种）排法 .故选 B. 【提示】
4、分类讨论，最左端排甲；最左端只排乙，最右端不能排甲，根据加法原理可得结论 . 【考点】排列组合 7.【答案】 D 【解析】 ( 4 , 2 2 )c ma b mm? ? ? ?，由题意知| | | | | | | |a c b ca c b c， 即221 ( 4) 2(2 2)12mm? ? ?224 ( 4 ) 2 ( 2 2 )42mm? ? ? ? ，即 8 205 +8= 2mm ? ，解得 2m? ，故选 D. 【提示】通过中间参数夹角的公式将夹角联系在一起，解出未知数 . 【考点】向量的运算 8.【答案】 B 【解析】连接 1AO， OP 和 1PA ，不难知 1POA? 就是
5、直线 OP 与平面 1ABD 所成的角（或其补角） 设正方体棱长为 2，则 1 6AO? . （ 1）当 P 点与 C 点重合时， 2PO? ， 1 23AP? ，且 6 6 1 2 3c o s =32 6 2? ? ?，此时 1AOP? 为钝角 2 6sin = 1 c o s3?； （ 2）当 P 点与 1C 点重合时， 1 6PO AO?， 1 22AP? ，且 6 6 8 1cos 32 6 6? ?，此时 1AOP? 为锐角， 2 22s in = 1 c o s3?； （ 3）在 ? 从钝角到锐角逐渐变化的过程中， 1CC 上一定存在一点 P，使得 1 90A OP? ? ? ?
6、.又因为【 ;百万教育资源文库 】 6 2 233? ，故 sin? 的取值范围是 6,13?，故选 B. 【提示】由题意可得 ? ，再利用正方体的性质和直角三角形的边角关系即可得出 . 【考点】直线与平面的夹角 9.【答案】 A 【解析】 ( ) ln ( 1 ) ln ( 1 )f x x x? ? ? ? ?-1ln =1 xx? 1l n = l n (1 ) l n (1 ) ( )1 x x x f xx? ? ? ? ? ? ? ，故 正确； 当 ,1()1x? 时，221xx? 1()1,?， 且2 2 22 2 2l n 1 l n 11 1 1x x xf x x x? ?
7、 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?-= 222 212211 12ln = ln1 1 2xxxxxx? ? ? ? 211ln 2 lnxx? 2 ln (1 ) ln (1 ) 2 ( )x x f x? ? ? ? ?，故 正确； 由 知， ()fx为奇函数，所以 | ()|fx 为偶函数，则只需判断当 1)0,x? 时， ()fx与 2x 的大小关系即可 . 记 ( ) ( ) 2g x f x x?， 01x?， 即 ( ) ln (1 ) ln (1 ) 2g x x x x? ? ? ? ?， 01x?， 221 1 2( ) = + 21
8、+ 1 1 xgx x x x? ?， 01x?. 当 01x?时， ( ) 0gx? ? ，即 ()gx在 0,1) 上为增函数，且 (0) 0g ? ，所以 ( ) 0gx? ， 即 ( ) 2 0f x x?， 1)0,x? ，于是 | ( ) 2| |f x x? 正确 .综上可知， 都为真命题，故选 A. 【提示】根据已知中函数的解析式，结合对数的运算性质，分别判断三个结论的真假，最后综合判断结果，可得答案 . 【考点】函数的奇偶性，对数函数 10.【答案】 B 【解析】 设直线 AB 的方程为： x ty m? ，点 1 1(),Ax y ， 2 2(),Bx y ，直线 AB 与
9、 x 轴的交点为 ( ,0)Mm ， 由2x ty myx? ? 0ty m? ? ?，根据韦达定理有 12y my ? ， 2OAOB? ， 1 2 1 2 2x x y y?， 从而 21 2 1 2( ) 2 0y y y y? ? ?， 点 A， B 位于 x 轴的两侧， 122yy? ，故 2m? 不妨令点 A 在 x 轴上方，则 1 0y? ，又 014,F?， 1 2 1 1 1111 1 1 9 2 9 2( ) 2 32 2 4 8 8A B O A F OS S y y y y yyy? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? . 【 ;百万教育资源文库 】 当且仅当1 1
10、928y y?，即1 43y?时，取 “? ”号， ABO 与 AFO 面积之和的最小值是 3，故选 B. 【提示】 可先设直线方程和点的坐标，联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程，再利用韦达定理及 2OAOB? 消元，最后将面积之和表示出来，探求最值问题 . 【考点】 直线与圆锥曲线的关系 第 卷 二、填空题 11.【答案】 2i? 【解析】原式 = 2( 2 2 i ) (1 i ) (1 i ) 2 i(1 i ) (1 i )? ? ? ? ? 【提示】 利用两个复数代数形式的乘除法法则化简所给的复数，可得结果 . 【考点】含有分式的复数基本运算 12.【答案】 1 【解析】由已
11、知得， 23 1 1( ) ( ) 4 ( ) 2 12 2 2ff? ? ? ? ? ? ? 【提示】 由函数的周期性 ，求在某点的函数值 . 【考点】函数的值 13.【答案】 60 【解析】过 A 点向地面作垂线，记垂足为 D，则在 Rt ADB 中， 67ABD? ?， 46AD? m， 46 50sin 6 7 0 .9 2ADAB ? ? ?（ m），在 ABC 中， 30ACB? ? ? ， 6 7 30 3 7BAC? ? ? ? ?= ， 50AB? m， 由正弦定理得， sin 37 60sin 30ABBC ? （ m），故河流的宽度 BC 约为 60m. 【提示】利用对三
12、角函数和正弦定理的应用以及利用公共边求解未知数 . 【考点】三角函数，正弦定理 14.【答案】 5 【解析】由题意可知，定点 ()0,0A ， ()1,3B ，且两条直线互相垂直， 则其交点 ()Pxy, 落在以 AB 为直径的圆周上，所以 2 2 2| | | | | | 10P A P B A B ， 22| | | | | | 52P A P BP A P B ?，当且仅当 | | | |PA PB 时等号成立 . 【提示】先计算出两条动直线经过的定点，注意到两条动直线相互垂直的特点，再利用基本不等式放缩即可得出 . 【 ;百万教育资源文库 】 【考点】线段长度乘积的最值问题 15.【答
13、案】 【解析】若 ()f x A? ，则 ()fx的值域为 R ，于是，对任意的 b?R ，一定存在 aD? ， 使得 ()f A b? ，故 正确 . 取函数 ( 1)1xf xx ? ? ?，其值域为 ()1,1? ，于是，存在 1M? ， 使得 ()fx的值域包含于 , 1 1 MM ? , ，但此时 ()fx没有最大值和最小值，故 错误 . 当 ()fxA? 时，由 可知，对任意的 b?R ，存在 aD? ，使得 ()f A b? ， 所以，当 ()gx B? 时，对于函数 ( ) ( )f x g x? ，如果存在一个正数 M， 使得 ( ) ( )f x g x? 的值域包含于 M
14、M? , ，那么对于该区间外的某一个 0b?R ，一定存在一个 0aD? ， 使得 00( ) ( )f b gaa? ，即 00( ) ( ) ,aaf b g M M? ? ? ?，故 正确 . 对于2( ) ln ( 2 ) 1xf x a x x? ? ? ?()2x?，当 0a? 或 0a? 时，函数 ()fx都没有最大值 . 要使得函数 ()fx有最大值，只有 0a? ，此时2() 1xfx x? ? ()2x?.易知 11( ) ,22fx ?，所以存在正数 12M? ，使得 ( ) , x Mf M? ? ，故 正确 . 【提示】根据题中的新定义，结合函数值域的概念，可判断出命
15、题 是否正确，再利用导数研究命题 中函数的值域，可得到其真假情况，从而得到本题的结论 . 【考点】充要条件，最值，定义域，复合函数，真假命题 三、解答题 16.【答案】（ 1） 2 2 , ( )3 4 3 1 2kk k? ? ? Z（ 2） 2? 或 52?【解析】（ 1）由 2 32 2 4 2k x k? ? ? ? ? 2 2 3 4 3 1 2kkx? ? ? ?， 所以 ()fx的单调递增区间为 2 2 , ( )3 4 3 1 2kk k? ? ? Z. （ 2）由 4 c o s c o s 23 5 4f ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4 s i n c o
16、s c o s 24 5 4? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 因为 c o s 2 s i n 2 s i n 224? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 s in c o s44? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 【 ;百万教育资源文库 】 所以 2 8 s i n c o s s i n4 5 4 4? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，又 ? 是第二象限角，所以 sin 04?或 2 5cos 48?. 由 sin 04? ? ? 3 2 2 44kk? ? ? ? ? ?（ k
17、?Z ），所以 3 3 c o s s i n c o s s i n 244? ? ? ? ?； 由 2 5 5c o s c o s4 8 4 22? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?15( c o s s in )2 2 2? ? ? ?，所以 5cos sin2? ? ?； 综上， cos sin 2? ? ?或 5cos sin2? ? ?. 【提示】利用正弦型函数的性质，简单的三角恒等变换等基础知识，运算求解，利用分类与整合，化归与转化等数学思想 . 【 考点】正弦函数的性质，三角恒等变换 17.【答案】（ 1） X 可能取值有 200? ， 10， 20，
18、100， 0303 1 1 1( 2 0 0 ) 12 2 8P X C ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 1213 1 1 3( 1 0 ) 12 2 8P X C ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 2123 1 1 3( 2 0 ) 12 2 8P X C ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，3033 1 1 1( 1 0 0 ) 12 2 8P X C ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，故分布列为： X 200? 10 20 100 P 18 38 38 18 （ 2）由（ 1）知：每盘游戏出现音乐的概率是 3 3 1 78 8 8 8p ? ? ? ? ，则玩三盘游戏，至少有一
