1、17.1 一元二次方程一元二次方程 第十七章第十七章 一元二次方程一元二次方程 一、新课导入一、新课导入 1. 你你还记得什么叫方程？什么叫方程的解吗？还记得什么叫方程？什么叫方程的解吗？ 2. 什么什么是一元一次方程？它的一般形式是怎样的？是一元一次方程？它的一般形式是怎样的？ 一般形式：一般形式：ax+b=0 (a0) 复习引入复习引入 二、新知讲解二、新知讲解 问题问题1：某地为增加农民收入，调整农作物种植结构，从而：某地为增加农民收入，调整农作物种植结构，从而2007 年无公害蔬菜的产量比年无公害蔬菜的产量比2005年翻一翻，那么年翻一翻，那么2006年和年和2007年无年无 公害蔬菜
2、产量的年平均增长率应是多少公害蔬菜产量的年平均增长率应是多少？ 思考：思考： 1. 根据根据以往的经验，你想用什么知识来解决这个实际问题？以往的经验，你想用什么知识来解决这个实际问题？ 方程方程 合作探究合作探究 活动活动1：探究列一元二次方程及其一般形式：探究列一元二次方程及其一般形式 二、新知讲解二、新知讲解 2. 如如图：如果假设无公害蔬菜产量的年平均增长率是图：如果假设无公害蔬菜产量的年平均增长率是x，2005年年的产的产 量为量为a，那么，那么2006年无公害蔬菜产量为年无公害蔬菜产量为 ，2007年年无公无公 害蔬菜产量为害蔬菜产量为 . a+ax=a(1+x) a(1+x)+a(
3、1+x)x=a(1+x)2 3. 你你能根据题意，列出方程吗？能根据题意，列出方程吗？ a(1+x)2=2a 把以上方程整理得：把以上方程整理得： . x2+2x- -1=0 （1） 二、新知讲解二、新知讲解 问题问题2： 在一块宽在一块宽20 m、长、长32 m的矩形空地上，修筑宽相等的的矩形空地上，修筑宽相等的 三条小路（两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直），把矩形三条小路（两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直），把矩形 空地分成大小一样的六块，建成小花坛空地分成大小一样的六块，建成小花坛. 如如图要使花坛的总面积图要使花坛的总面积 为为570 m2，问小路的宽应为多少，问小路的宽应为多少？
4、 32 20 x 二、新知讲解二、新知讲解 1. 若若设小路的宽是设小路的宽是x m，那么横向小路的，那么横向小路的面面 积是积是_m2，纵向小路的面积，纵向小路的面积是是_ m2 ，两者，两者重叠的面积是重叠的面积是 m2. 32x 2. 由于由于花坛的总面积是花坛的总面积是570 m2.你能根据题意，列出方程吗？你能根据题意，列出方程吗？ 整理以上方程可得：整理以上方程可得： 思考：思考： 220 x 3220(32x220 x)2x2=570 2x2 x2- -36x35=0 （2） 32 20 x 二、新知讲解二、新知讲解 想一想：想一想： 还有其它的列法吗？试说明原因还有其它的列法吗
5、？试说明原因. (20- -x)(32- -2x)=570 32-2x 20-x 32 20 二、新知讲解二、新知讲解 类比发现，探索新知类比发现，探索新知 1. 请请观察下面两个方程并回答问题：观察下面两个方程并回答问题： x2+2x- -1=0 x2- -36x+35=0 （1）它们是一元一次方程吗？）它们是一元一次方程吗？ （2）与一元一次方程有何异同？）与一元一次方程有何异同？ （3）通过比较你能归纳出这类方程的特点吗？）通过比较你能归纳出这类方程的特点吗？ 1.等号两边都是整式等号两边都是整式 2.只含有一个未知数只含有一个未知数 3.未知数的最高次数是未知数的最高次数是2 特点：特
6、点： 像这样的方程两边都像这样的方程两边都 是整式，只含有一个是整式，只含有一个 未知数（一元），并未知数（一元），并 且未知数的最高次数且未知数的最高次数 是是2（二次）的整式（二次）的整式 方程，叫做方程，叫做一元二次一元二次 方程方程 二、新知讲解二、新知讲解 一般地，任何一般地，任何一个关于一个关于x 的一元二次方程都的一元二次方程都可以化为可以化为ax2+bx+c=0 的形式，我们把的形式，我们把ax2+bx+c=0(a,b,c为常数，为常数，a0）称为）称为一元二次方一元二次方 程的一般形式程的一般形式. 为什么要限制为什么要限制a0，b,c可以为零吗？可以为零吗？ 想一想想一想
7、a x 2 + b x + c = 0 (a 0) 二次项系数二次项系数 一次项系数一次项系数 （4）通过与一元一次方程的对比，你）通过与一元一次方程的对比，你能写出这类方程的一般形能写出这类方程的一般形 式吗？式吗？ 二、新知讲解二、新知讲解 （1）列表填空：）列表填空： 方程方程 一般形式一般形式 二次项系数二次项系数 一次项系数一次项系数 常数项常数项 4x2=3x (x- -1)2- -9=0 x(x+2)=3(x+2) 4x2- -3x=0 x2- -2x- -8=0 x2- -x- -6=0 4 - -3 0 1 - -2 - -8 1 - -1 - -6 2. 做一做做一做： 二
8、、新知讲解二、新知讲解 （2）下列方程中哪些是一元二次方程，并说明理由？）下列方程中哪些是一元二次方程，并说明理由？ x+2=5x- -3 x2=4 2x2- -4=(x+2)2 （3）方程）方程(2a- -4)x2- -2bx+a=0在什么条件下为一元二次方程？在什么条件下为一元二次方程？ 090010 1 2 x x 不是 不是 是 是 2a- -40即即a 2 二、新知讲解二、新知讲解 3. 议一议议一议： 通过以上的练习，通过以上的练习，你认为在确定一元二次方程的各项系数及常你认为在确定一元二次方程的各项系数及常 数项的时候，需要注意哪些？数项的时候，需要注意哪些？ （1）在确定一元二
9、次方程的二次项系数、一次项系数和常数项）在确定一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项 时必须把方程化为时必须把方程化为一般形式一般形式才能进行才能进行. （2）二次项系数、一次项系数以及常数项都要）二次项系数、一次项系数以及常数项都要连同连同它前面的它前面的符号符号. （3）二次项系数）二次项系数a0. 二、新知讲解二、新知讲解 能能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方程使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方程的解的解 (或根或根). 判断判断未知数的值未知数的值x= - -1，x=0，x=2是不是方程是不是方程x2- -2=x的根的根. 活动活动2：探究一元二次方程的
10、根：探究一元二次方程的根 二、新知讲解二、新知讲解 1. 判断判断下列各题括号内未知数的值是不是方程的根：下列各题括号内未知数的值是不是方程的根： x2- -3x+2=0 (x1=1， x2=2 ，x3=3) 2. 构造构造一个一元二次方程，要求：一个一元二次方程，要求： （1）常数项为零；（）常数项为零；（2）有一根为）有一根为2. x2- -2x=0 二、新知讲解二、新知讲解 3. 已知已知关于关于x的一元二次方程的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根是的一个根是3，求，求a的值的值. 解：由题意得解：由题意得 把把x=3代入方程代入方程x2+ax+a=0得，得， 32+3a+a=0 9
11、+4a=0 4a= - -9 4 9 a 二、新知讲解二、新知讲解 4. 已知关于已知关于x的一元二次方程的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a0)一个根为一个根为1,求求 a+b+c的值的值. 解：由题意得解：由题意得 思考：思考：若若 a+b+c=0，你，你能通过观察能通过观察,求出方程求出方程ax2+bx+c=0 (a0)一一 个根吗个根吗? 解：由题意得解：由题意得 方程方程ax2+bx+c=0 (a0)一个根是一个根是1. 拓展：拓展：若若 a- -b +c=0，4a+2b +c=0你你能通过能通过观察，求观察，求出方程出方程 ax2+bx+c=0 (a0)一个根吗一个根吗? 0112 cba 0 cba即即 0 cba0112 cba即即 三、课堂小结三、课堂小结 2.一元二次方程的一般形式：一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a，b，c为常数，为常数，a0). 3.一元二次方程一元二次方程的的解解(或根或根)：能：能使一元二次方程两边相等的未使一元二次方程两边相等的未 知数的知数的值值. 1.一元二次方程：一元二次方程：方程方程两边都是整式，只含有一个未知数（一两边都是整式，只含有一个未知数（一 元），并且未知数的最高次数是元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式（二次）的整式方程方程 谢谢谢谢观看观看
