1、17.4 17.4 一元二次方程一元二次方程 根与系数的关系根与系数的关系 复习复习: : 1.1.关于关于x x的一元二次方程的一般形式为的一元二次方程的一般形式为 . . 2.2.一元二次方程的求根公式为一元二次方程的求根公式为 . . axax2 2+bx+c=0+bx+c=0 (a0)(a0) 2 2 4 (40) 2 bbac xbac a (b(b2 2- -4ac0)4ac0) 1 x 2 x 12 xx 2 20 xx 2 340 xx 2 560 xx 2 x 1 x+ + 一元二次方程一元二次方程 自学指导自学指导: : 1.1.解下列方程解下列方程, ,并填写表格并填写表
2、格: : 0 0 2 2 2 2 0 0 1 1 - -4 4 - -3 3 - -4 4 2 2 3 3 5 5 6 6 (1)(1)关于关于x x的方程的方程 的两根的两根x x1 1，x x2 2与系数与系数p p，q q之间有什么关系之间有什么关系? ? 22 0(40)xpxqpqq、 为常数，p x x1 1+x+x2 2= = , x, x1 1 x x2 2= = , , (2)(2)思考思考: :一元二次方程一元二次方程axax2 2+bx+c=0(a0)+bx+c=0(a0)的的 根与系数之间又有怎样的关系呢根与系数之间又有怎样的关系呢? ? x x1 1+x+x2 2=
3、= , x, x1 1 x x2 2= = , , - -p p q q 点拨点拨: : 形如形如axax2 2+bx+c=0(a0)+bx+c=0(a0) 转转 化化 x x2 2+px+q=0+px+q=0 x x1 1+x+x2 2= =- -p p, x, x1 1 x x2 2= =q q, , x x1 1+x+x2 2= = ,x,x1 1 x x2 2= = , , a b a c x x2 2+ x+ =0+ x+ =0 a b a c 2.2.已知已知: :一元二次方程一元二次方程axax2 2+bx+c=0(a0)+bx+c=0(a0)的两的两 个根分别是个根分别是x x
4、1 1、x x2 2. . a b xx 21 a c xx 21 求证求证: , .: , . 证明证明: :axax2 2+bx+c=0(a0)+bx+c=0(a0), ,当当b b2 2- -4ac04ac0时根为时根为: : 2 4 2 bbac x a 22 12 442 222 bbacbbacbb xx aaaa 2222 12 22 44(4)4 2244 bbacbbacbbacacc xx aaaaa 2 1 4 2 bbac x a 2 2 4 2 bbac x a , , , 认真阅读认真阅读P P49 49的内容 的内容 如果如果axax2 2+bx+c=0(a0)+
5、bx+c=0(a0)的两个实数根分别是的两个实数根分别是 x x1 1、x x2 2, ,那么那么: : x x1 1+x+x2 2= = , x, x1 1 x x2 2= = , , a b a c 这就是一元二次方程这就是一元二次方程根与系数的关系根与系数的关系, ,也叫也叫韦达定理韦达定理. . 1.1.一元二次方程为一元二次方程为一般形式一般形式; ; 2.2.方程必须要有实数根方程必须要有实数根, ,即即00. . 前提条件前提条件: : 韦达（Francois Viete,15401603）,法国数学家。 年轻时当过律师，后来致力于数 学研究，第一个有意识地和系统 地使用字母来表
6、示已知数、未知 数及其乘幂，带来了代数理论研 究的重大进步。他讨论了方程根 的多种有理变换，发现了方程根 与分数的关系(所以人们把叙述一 元二次方程根与系数关系的结论 称为韦达定理)，在欧洲被尊 称为代数 学之父。 自学检测自学检测: : 应用应用1:1:求两根之和与两根之积求两根之和与两根之积 1.1.不解方程不解方程, ,求两根之和与两根之积求两根之和与两根之积( (抢答抢答). ). 2 310 xx (1) 2 25x (4) 2 370 xx(3) 2 250 xx (2)3 x x1 1+x+x2 2=3=3 x x1 1x x2 2= =- -1 1 x x1 1+x+x2 2=
7、 = 2 3 x x1 1x x2 2= = 5 3 x x1 1+x+x2 2= = 7 3 x x1 1x x2 2=0=0 x x1 1+x+x2 2=0=0 x x1 1x x2 2= = 5 2 2 10 xx (5) 1 430 052 2 x 应用应用2:2:求方程中的待定系数求方程中的待定系数 2.2.已知方程已知方程5x5x2 2+kx+kx- -6=06=0的一个根是的一个根是2,2,求它的另求它的另 一根及一根及k k的值的值. . 2 2 2 12 602 5 (2)260 77 5760 3 2 5 3 7 5 xkx k kk xx xx k 解法一： 方程5的一个
8、根为 ，把代入原方程得： 解之得： ， - ，方程的另一个根为- 1 11 1 , 6 22 55 3 5 x k xx xk 解法二： 设方程的另一个根为由根与系数的关系可知： ， - ， -7 变式变式: :已知方程已知方程5x5x2 2+ +6 6x x- -k k=0=0的一个根是的一个根是2,2,则它则它 的另一根为的另一根为 ,k,k的值的值 . . 16 5 3232 应用应用3:3:求含有两根的代数式的值求含有两根的代数式的值 3.3.一元二次方程一元二次方程x x2 2- -3x+2=03x+2=0的两根为的两根为x x1 1，x x2 2, ,则则 x x1 1 x x2
9、2的值是的值是 . . x x1 1+x+x2 2= = . . 2 2 3 3 变式变式: : = = ; ; ( (x x1 1+1)(x+1)(x2 2+1)=+1)= ; ; x x1 1 +x +x2 2 = = ; ; 12 11 xx 3 2 6 6 5 5 变式变式1:1:已知已知 、 是方程是方程x x2 2- -3x+2=03x+2=0的两根的两根, , 则则 的值为的值为 . . 21 023 :1 21 2 、xxxx的根是的根是解解 21 21 、或或 时时当当 21 、 0132113 22 时时当当 12 、 0231223 22 03 2 231 023 :2
10、2 、c、baxx中中解解 0 )33( )3(3 2 3 2 3 2, 3, 10233 2 cbaxx中：解 2 23 21 2 xx，xx 0 22 )3(3 22 是方程的根是方程的根 23 2 变式变式2:2:已知已知 、 是方程是方程x x2 2+3+3x x- -2=02=0的两根的两根, , 则则 的值为的值为 . . 3 1132 1 1 已知x1,x2是方程3x2+px+q=0的两个根， 分别根据下列条件求出p和q的值: (1) x1 = 1, x2 =2 (2) x1 = 3, x2 = -6 (3) x1 = - , x2 = (4) x1 = -2+ , x2 = -2- 77 55 小结小结: : 本节课我们学习了本节课我们学习了: : 1.1.一元二次方程根与系数的关系一元二次方程根与系数的关系: : 如果如果axax2 2+bx+c=0(a0)+bx+c=0(a0)的两个实数根分别是的两个实数根分别是 x x1 1、x x2 2, ,那么那么: : x x1 1+x+x2 2= = , x, x1 1 x x2 2= = , , a b c a 2.2.根与系数关系的常见应用及解题方法根与系数关系的常见应用及解题方法; ; 3.3.注意注意: :特殊到一般特殊到一般及及转化转化的数学思想的数学思想; ; 注意注意:0:0
