1、一元二次方程根的判别式 2 2 2 1 5320 2 25420 3 2310 xx yy xx 利用公式法解下列方程利用公式法解下列方程 对于一元二次方程对于一元二次方程 你能谈论一下它的根的情况吗？你能谈论一下它的根的情况吗？ 在什么情况下，一元二次方程有解？有什么样在什么情况下，一元二次方程有解？有什么样 的解？什么情况下一元二次方程无解？的解？什么情况下一元二次方程无解？ 2 0(0)axbxca 想一想想一想 前面前面，通过配方，得到一元二次方程，通过配方，得到一元二次方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0 (a0)(a0)的求根公式：的求根公式： 2 4 2 bbac x
2、a acb4 2 2 2 12 44 , 22 bbacbbac xx aa 因为因为a 0,a 0,所以所以 （1 1）当）当b b2 2- -4ac04ac0时，时， 是是正实数，因此，正实数，因此， 方程有两个不相等的实数根：方程有两个不相等的实数根： （2 2）当）当b b2 2- -4ac=04ac=0时，时， ，因此，方程因此，方程 有两个相等的实数根：有两个相等的实数根： 04 2 acb 12 ; 2 b xx a acb4 2 （3 3）b b2 2- -4ac4ac0 0时，时， 在在实数范围实数范围 内无意义。因此方程没有实数根。内无意义。因此方程没有实数根。 可见可见，
3、一元二次方程，一元二次方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0（a0)a0)的根的的根的 情况由情况由b b2 2- -4ac4ac来确定。我们把来确定。我们把b b2 2- -4ac4ac叫做一元二次方叫做一元二次方 程程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0（a0)a0)的根的判别式，通常用符号的根的判别式，通常用符号 “”来表示，即”来表示，即 = =b b2 2- -4ac4ac。 一般地，一般地，一元二次方程一元二次方程axax2 2+bx+c=0 +bx+c=0 （a0),a0), 当当0 0时，有两个不相等的实数根；时，有两个不相等的实数根； 当当=0=0时，有两个相等
4、的实数根；时，有两个相等的实数根； 当当0 0时，没有实数根。时，没有实数根。 反过来，有反过来，有 当当方程有两个不相等的实数根时，方程有两个不相等的实数根时，0 0； 当当方程有两个相等的实数根时，方程有两个相等的实数根时，=0=0； 当当方程没有实数根方程没有实数根时，时，0 0。 2 2 2 1 5320 2 25420 3 2310 xx yy xx 不解不解方程，判别下列方程的根的情况。方程，判别下列方程的根的情况。 2 1 5320 xx解： 原方程有两个不相等的实数根。原方程有两个不相等的实数根。 2 2 25420yy 2 252040yy原方程可变形为原方程可变形为 原方程
5、有两个相等的实数根。原方程有两个相等的实数根。 2 3 2310 xx 原方程没有实数根。原方程没有实数根。 1.1.不解方程，判别下列方程的根的情况。不解方程，判别下列方程的根的情况。 2 2 2 1 2540 2 7520 3(1)3 4 32510 3 xx tt x x yy 2.2.在一元二次方程在一元二次方程 则方程异号与若,ca 中)0(0 2 acbxax （ ） A.A.有两个不相等的实数根有两个不相等的实数根 B.B.有两个相等的实数根有两个相等的实数根 C.C.没有实数根没有实数根 D.D.根的情况无法确定根的情况无法确定 acb4 2 0 A A 3.3.已知已知关于关
6、于x x的的方程方程 ， 问问k k取何值时，这个方程：取何值时，这个方程： 2 30 xxk 有两个不相等的实数根？有两个不相等的实数根？ 有两个相等的实数根？有两个相等的实数根？ 没有实数根？没有实数根？ 2 34 194kk 解：（） 940k （1 1）方程）方程有两个不相等的实数根有两个不相等的实数根 9 4 k 解得 9 4 k当时， 原方程有两个不相等的实数原方程有两个不相等的实数根。根。 940k （2 2）方程）方程有两个相等的实数根有两个相等的实数根 9 4 k 解得： 9 4 k当时， 原方程有两个相等的实数原方程有两个相等的实数根。根。 3940,k 9 4 k 解得：
7、 9 4 k当时，原方程没有实数 原方程没有实数根。根。 设设ABCABC的三边为的三边为a,b,ca,b,c, ,方程方程 有两个相等有两个相等 的实数根，且的实数根，且a,b,ca,b,c满足满足b=3ab=3a- -2c2c。试判。试判 断断ABCABC的形状。的形状。 2 1 (2)0 4 xaxbc 议一议议一议 ABC是等边三角形。 解： 设关于设关于x x的方程的方程 ， 0422 2 mmxx 证明证明: :不论不论m m为何值为何值, ,这个方程总有两个不相这个方程总有两个不相 等的实数根。等的实数根。 2 42112mm 2 41120m 所以，不论所以，不论m m为何值，
8、这个方程总有两个不相为何值，这个方程总有两个不相 等的实数根。等的实数根。 2 4816mm 解：解： 1.1.求判别式时，应该先将方程化为求判别式时，应该先将方程化为一般形式。一般形式。 2.2.应用判别式解决有关问题时，前提条件为应用判别式解决有关问题时，前提条件为 “方程是一元二次方程方程是一元二次方程”，即二次项系数不”，即二次项系数不 为为0 0。 要点、考点聚焦要点、考点聚焦 1 1. .一元二次方程一元二次方程axax2 2+bx+c=0(a0)+bx+c=0(a0)根的情况：根的情况： ( (1)1)当当0 0时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个不相等的实数根； ( (2)2)当当=0=0时，方程有两个相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根； ( (3)3)当当0 0时，方程无实数时，方程无实数根。根。 2 2. .根据根的情况，也可以逆推出根据根的情况，也可以逆推出的情况，这方面的的情况，这方面的 知识主要用来求取值范围等知识主要用来求取值范围等问题。问题。 作业作业 做课后练习。做课后练习。 谢 谢
