1、【 ;百万教育资源文库 】 2013 年 普通 高等学校 招生 全国统一考试 （江西 卷 ） 理科数学答案 解析 第 卷 一 、 选择题 1.【答案】 C 【解析】 根据题意得 i4z? ，解得 4iz? ， 故选 C. 【提示】 根据两集合的交集中的元素为 4，得到 4iz? ，即可求出 z 的值 . 【考点】 交集及其运算 2.【答案】 B 【解析】 由题意，自变量满足 010x x?，解得 01x?，即函数 ln(1 )y x x?的定义域为 0,1) ， 故选 B. 【提示】 由函数的解析式可直接得到不等式组 010x x?，解出其解集即为所求的定义域，从而选出正确选项 . 【考点】
2、函数的定义域及其求法 3.【答案】 A 【解析】 由于 x， 33x? ， 66x? 是等比数列的前三项，故有 2(3 3) (6 6)x x x? ? ?，解 3x? ，故此等比数列的前三项分别为 3? ， 6? ， 12? ，故此等比数列的公比为 2，故第四项为 24? ，故选 A. 【提示】 由题意可得 2(3 3) (6 6)x x x? ? ?解 x 的值，可得此等比数列的前三项，从而求得此等比数列的公比，从而求得第四项 . 【考点】 等比数列的性质 4.【答案】 D 【解析】 从随机数表第 1 行的第 5 列和第 6 列数字开始由左到右一次选取两个数字开始向右读，第一个数为 65，
3、不符合条件，第二个数为 72，不符合条件，第三个数为 08，符合条件，以下符合条件依次为： 08，02， 14， 07， 01，故第 5 个数为 01， 故选 D. 【提示】 从随机数表第 1 行的第 5 列和第 6 列数字开始由左到右一次选取两个数字开始向右读，依次为 65，72， 08， 02， 63， 14， 07， 02， 43， 69， 97， 28， 01， 98， ，其中 08， 02， 14， 07， 01 符合条件，故可得结论 . 【考点】 简单随机抽样 【 ;百万教育资源文库 】 5.【答案】 C 【解析】 设 5232x x?展开式中的通项为 1rT ，则 2 5 3 1
4、0 515 () 522( ) ( )r r r r r r rrT C x x C x ，令 10 5 0r?得 2r? ， 5232x x?展开式中的常数项为 2 5( 2 ) 4 1 0 4 0rC? ? ? ? ?， 故选 C. 【提示】 利用 5232x x?展开式中的通项公式 25( 31 )5 )2(r r r rrT C x x ，令 x 的幂指数为 0，求得 r 的值，即可求得 5232x x?展开式中的常数项 . 【考点】 二项式定理 6.【答案】 B 【 解 析 】 由于 2 2231 11 17|33S x d x x? ? ?， 2 22 11 1 ln | ln 2
5、S d x xx? ? ?， 2 2 23 11 e e | e exxS d x? ? ? ?. 且27ln 2 e e3? ? ? ，则 1 2 3S S S?， 故选 B. 【提示】 先利用积分基本定理计算三个定积分，再比较它们的大小即可 . 【考点】 微积分基本定理 7.【答案】 C 【解析】 当 2i? 时， 2 2 1 5S ? ? ? ? ；当 3i? 时， 2 3 4 10S ? ? ? ? 不满足 10s? ，排除选项 D；当 4i? 时，2 4 1 9S ? ? ? ? ；当 5i? 时，选项 A， B 中的 S 满足 10s? ，继续循环，选项 C 中的 10S? 不满足
6、 10s? ，退出循环，输出 5i? ， 故选 C. 【提示】 题目给出了输出的结果 5i? ，让我们分析矩形框中应填的语句，根据判断框中内容，即 10s? ，我们模拟程序执行的过程，从而得到答案 . 【考点】 程序框图 【 ;百万教育资源文库 】 8.【答案】 A 【解析】 由题意可知直线 CE 与正方体的上底面平行在正方体的下底面上，与正方体的四个侧面不平行，所以 4m? ，直线 EF 与正方体的左右两个侧面平行，与正方体的上下底面相交，前后侧面相交，所以 4n? ，所以 8mn? ， 故选 A. 【提示】 判断 CE 与 EF 与正方体表面的关系，即可推出正方体的六个面所在的平面与直线
7、CE， EF 相交的平面个数分别记为 m， n，求出 mn? 的值 . 【考点】 平面的基本性质及推论 9.【答案】 B 【解析】 由 21yx?，得 221( 0)x y y? ? ? .所以曲线 21yx?表示单位圆在 x 轴上方的部分（含与 x轴的交点），设直线 l 的斜率为 k，要保证直线 l 与曲线有两个交点，且直线不与 x 轴重合，则 10k? ? ，直线 l 的方程为 0 ( 2)y k x? ? ? ，即 20kx y k? ? ? .则原点 O 到 l 的距离22 1kd k? ? ， l 被半圆截得的半弦长为 2 222211 11kkkk?.则 2 2 22 2 22 2
8、 1 2 (1 )1 ( 1 )1ABO k k k kS kkk? ? ?2 2 2222 ( + 1 ) 6 ( 1 ) 4( 1 )kkk? ? ? ? ?2 2 246 2( 1) 1kk? ? ? ?.令211 tk ?，则 24 6 2ABOS t t? ? ? ? ，当 34t? ，即21314k ?时， ABOS 有最大值为 12 .此时由21314k ?，解得 33k?， 故答案为 B. 【提示】 由题意可知曲线为单位圆在 x 轴上方部分（含与 x 轴的交点），由此可得到过 C 点的直线与曲线相交时 k 的范围，设出直线方程，由点到直线的距离公式求出原点到直线的距离，由勾股定
9、理求出直线被圆所截半弦长，写出面积后利用配方法转化为求二次函数的最值 . 【考点】 直线与圆的位置关系 ， 直线的斜率 10.【答案】 D 【解析】 当 0x? 时， 233y E B B C C D B C? ? ? ? ?；当 x? 时，此时 y AB BC CA? ? ? 23=3 =2 33?；当 3x? 时， 3FOG?，三角形 OFG 为正三角形，此时 32AM OH?，在正 AED 中，1AE ED DA? ? ? , 23( ) 3 2 1 2 3 23y E B B C C D A B B C C A A E A D? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2
10、33 2 1 2 3 23? ? ? ? ? ?， 如图 .又当 3x? 时，图中 0 2 3 1 2 3 1 0 32 3 2 3 23 3 3 9y ? ? ? ? ? ?.故当3x? 时，对应的点 (, )xy 在图中红色连线段的下方，对照选项， D 正确 ， 故选 D. 【 ;百万教育资源文库 】 【提示】 随着 l 从 l1平行移动到 l2， y EB BC CD? ? ? 越来越大，考察几个特殊的情况，计算出相应的函数值 y，结合考查选项可得答案 . 【考点】 函数的图象 第 卷 二 、 填空题 11.【答案】 【解析】 1 c o s 2 1 3s i n 2 2 3 s i n
11、 2 3 c o s 2 3 2 s i n 2 c o s 2 32 2 2xy x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ?2 sin 2 33x? ? ?， 2? ， T?， 故答案为 . 【提示】 函数解析式第二项利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出 ? 的值，代入周期公式即可求出函数的最小正周期 . 【考点】 三角函数的周期性及其求法 ， 两角和与差的正弦函数 ， 二倍角的余弦 12.【答案】 52 【解析】 1e 、 2e 为单位向量，且 1e 和 2e 的夹角 ? 等于 3 ，12 11 1 c o s 32ee? ?
12、 ? ? ?. 123a e e? ， 12be? ，21 2 1 1 1 2( 3 ) ( 2 ) 2 6 2 3 5a b e e e e e e? ? ? ? ? ? ? ?. a? 在 b 上的射影为 52|abb ? ，故答案为 52 . 【提示】 根据题意求得 12ee的值，从而求得 ab的值，再根据 a 在 b 上的射影为|abb，运算求得结果 . 【 ;百万教育资源文库 】 【考点】 平面向量数量积的运算 13.【答案】 2 【解析】 函数 ()fx在 (0, )? 内可导，且 e(e )xxfx? ，令 ex t? ，则 lnxt? ，故有 ( ) lnf t t t?，即(
13、 ) lnf x x x?， 1( ) 1fx x? ? ? ，故 (1) 1 1 2f? ?， 故答案为 2. 【提示】 由题设知，可先用换元法求出 ()fx的解析式，再求出它的导数，从而求出 (1)f? . 【考点】 导数的运算 ， 函数的值 14.【答案】 6 【解析】 抛物线的焦点坐标为 0,2p?，准线方程为 2py? ，准线方程与双曲线联立可得： 22 2133px ?，解得 234px? ?，因为 ABF 为等边三角形，所以 222 | |p x x? ，即 222px? ，即 22 334pp ?，解得 6p? ， 故答案为 6. 【提示】 求出抛物线的焦点坐标，准线方程，然后
14、求出抛物线的准线与双曲线的交点坐标，利用三角形是等边三角形求出 p 即可 . 【考点】 抛物线的简单性质 ， 双曲线的简单性质 三 、 选做题 15.【答案】 (1) 2cos sin 0? ? ? (2)0,4 【解析】 (1)由2xtyt? ?（ t 为参数），得 2yx? ，令 cosx ? ， siny ? ，代入并整理得 2cos sin 0? ? ?.即曲线 C 的极坐标方程是 2cos sin 0? ? ?， 故答案为 2cos sin 0? ? ?. (2)不等式 2 1 1x? ? ? 的解集，就是 12|11x? ? ? ? ?的解集，也就是 0 | 2| 2x? ? ?
15、的解集， 0 | 2| 2x? ? ? 的几何意义是数轴上的点到 2的距离小于等于 2的值，所以不等式的解为 04x? ， 所以不等式的解集为 0,4 ，故答案为 0,4 . 【考点】 绝对值不等式的解法 ,抛物线的参数方程 ， 简单曲线的极坐标方程 四 、 解答题 16.【答案】 （ 1） 3 【 ;百万教育资源文库 】 （ 2） 1 12 b? 【解析】 （ 1）由已知得 c o s ( ) c o s c o s 3 s i n c o s 0A B A B A B? ? ? ? ?，即 s i n s i n 3 s i n c o s 0A A B?，sin 0A? ， sin 3
16、cos 0BB? ? ?，即 tan 3B? ，又 B 为三角形的内角，则 3B? ； （ 2） 1ac? ，即 1ca? ， 1cos 2B? ， ?由余弦定理得： 2 2 2 2 co sb a c a c B? ? ? ，即22 2 2 2 11( ) 3 1 3 ( 1 ) 324b a c a c a c a c a a a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 01a?， 21 14 b? ? ? ，则 1 12 b?. 【提示】 （ 1）已知等式第一项利用诱导公式化简，第二项利用单项式乘多项式法则计算，整理后根据 sinA 不为 0 求出 tanB 的值，由 B 为三角
17、形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出 B 的度数； （ 2）由余弦定理列出关系式，变形后将 ac? 及 cosB 的值代入表示出 2b ，根据 a 的范围，利用二次函数的性质求出 2b 的范围，即可求出 b 的范围 . 【考点】 余弦定理 ， 两角和与差的余弦函数 17.【答案】（ 1） 由 2 2 2( 1 ) ( ) 0nnS n n S n n? ? ? ? ? ?， 可得， 2 ( )( 1) 0nnS n n S? ? ? ?. 正项数列 na ， 0nS? ， 2nS n n? 于是 112aS? ? ， 2n? 时， 221 ( ) ( )1 1 2n n na S S n n n n n? ? ? ? ? ? ， 1n? 时也适合 2nan? （ 2） 证明：由2 2 2 2 2 21 1 1 1 1( 2 ) ( 2 ) 4 1 6 ( 2 )n nnnb n a n n n n? ? ? ? ? ?2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 1 111 6 3 2 4 1 1 2nT n n n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?221 1 1 1 1 1 5111 6 4 1 2 1 6 4 6 4nn? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?【提示
