1、9.1.2 余弦定理 课标阐释 思维脉络 1.掌握余弦定理的两种表 示形式及证明余弦定理 的向量方法. 2.会运用余弦定理解决两 类基本的解三角形问题. 3.熟练掌握余弦定理及变 形形式,能用余弦定理解 三角形. 4.能应用余弦定理判断三 角形形状. 5.能利用正弦定理、余弦 定理解决解三角形的有 关问题. 激趣诱思 知识点拨 千岛湖水为国家一级水体,不经任何处理即达饮用水标准,被誉为 “天下第一秀水”.如图,小王同学打算测量千岛湖中的岛屿A与岛屿 C之间的距离,他在岛屿B处测得与岛屿A的距离为6 km,与岛屿C的 距离为3.4 km,且它们之间的夹角为120度,请问小王的目的能实现 吗? 激
2、趣诱思 知识点拨 知识点一:余弦定理 余弦定理的表示及其推论 文字 语言 三角形任何一边的平方,等于其他两边的平方和减去这两 边与它们夹角余弦的积的2倍 符号 语言 a2=b2+c2-2bccos A, b2=a2+c2-2accos B, c2=a2+b2-2abcos C 推论 激趣诱思 知识点拨 名师点析 1.余弦定理表述了任意一个三角形中的三边长与三个内 角的余弦之间的数量关系. 2.余弦定理是勾股定理的推广,勾股定理是余弦定理的特例. 3.在余弦定理中,每一个等式均含有四个量,利用方程的观点,都可 以知三求一. 4.运用余弦定理时注意边角关系的对应. 5.利用余弦定理求三角形的边长时
3、容易出现增解,原因是余弦定理 涉及的是边长的平方,求得的结果常有两个,因此,解题时需特别注 意三角形的三边长所满足的条件. 6.在已知三角形内角的余弦值求角时,由于余弦函数y=cos x在区间 (0,)上单调递减,所以角的余弦值与角一一对应,故不存在多解的情 况. 激趣诱思 知识点拨 微判断 (1)余弦定理只适用于锐角三角形.( ) (2)余弦定理不适用于钝角三角形.( ) (3)已知两边和这两边的夹角,则这个三角形确定了.( ) (4)已知三边,则这个三角形就确定了.( ) 答案:(1) (2) (3) (4) 解析:余弦定理适用于任意三角形,故(1)(2)均不正确;根据余弦定理, 已知两边
4、和这两边的夹角,或已知三边则这个三角形就确定了,故 (3)(4)正确. 激趣诱思 知识点拨 微练习1 在ABC中,已知AB=2,AC=3,A=60,则BC=( ) A.9 B.19 C.7 D.19 答案:C 解析:由余弦定理,可得 BC2=AB2+AC2-2ABACcos A=4+9-223 1 2=7,所以 BC=7.故选 C. 激趣诱思 知识点拨 微练习2 (2020安徽定远县民族学校高一月考)在ABC中,AB=5, AC=3,BC=7,则角A的大小为( ) A.2 3 B.5 6 C.3 4 D. 3 答案:A 解析:因为 cos A=9+25-49 235 =-1 2,所以 A= 2
5、 3,故选 A. 激趣诱思 知识点拨 知识点二:用余弦定理解三角形的问题 1.已知两边及夹角解三角形; 2.已知三边解三角形. 激趣诱思 知识点拨 名师点析 1.已知三边求三角的基本方法 方法一:直接根据余弦定理的三个变式求出三角. 方法二:首先由余弦定理的变式求出最大边所对的角,再由正弦定 理或余弦定理求出另一个锐角,最后由三角形的内角和定理求出第 三个角. 2.已知两边一角,此种情况的基本步骤是:首先根据余弦定理求出第 三边,再根据余弦定理的推论求出第二个角,最后由三角形的内角 和定理求出第三个角. 特别注意:准确记忆特殊角的三角函数值,防止出现不对应情况,同 时对于两边一角问题,若角不为
6、夹角,则常用正弦定理解决,余弦定 理虽也可解决,但运算一般较为繁琐. 激趣诱思 知识点拨 微思考 已知三角形的两边a,b及一边a的对角A解三角形,有几种方法? 提示:不妨设已知a,b,A, 方法一:由正弦定理 可求得sin B,进而求得B,再利用三 角形内角和定理求得C,最后求得边c. 方法二:由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A得边c,而后由余弦或正弦定 理求得B,C. a A = b B 激趣诱思 知识点拨 微练习1 在ABC中,已知A=30,3a= b=12,则c的值为( ) A.4 B.8 C.4或8 D.无解 3 答案:C 解析:由 3a=3b=12,得 a=4,b=43,利
7、用余弦定理可得 a2=b2+c2-2bccos A,即 16=48+c2-12c,解得 c=4 或 c=8. 激趣诱思 知识点拨 微练习2 在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若(a2+c2-b2)tan B=3ac,则 角 B 的值为( ) A. 6 B. 3 C. 6 或 5 6 D. 3 或 2 3 答案:D 解析:因为(a2+c2-b2)tan B=3ac,所以a 2+c2-b2 2ac tan B= 3 2 , 即 cos Btan B= 3 2 ,sin B= 3 2 ,所以 B= 3 或 2 3 . 激趣诱思 知识点拨 微练习3 在边长为5,7,8的三角形中,
8、最大角与最小角的和是 . 答案:120 解析:设第三个角为,由于875,故的对边长为7,由余弦定理,得 cos = .所以=60,故另外两角和为180-60 =120. 52+ 82-72 2 5 8 = 1 2 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 素养形成 当堂检测 已知两边和一角解三角形已知两边和一角解三角形 例 1 在ABC 中,已知 a=3,b=2,B=45,解三角形. 解:由余弦定理,得 b2=a2+c2-2accos B, 则 2=3+c2-23 2 2 c,即 c2-6c+1=0, 解得 c=6+2 2 ,或 c=6-2 2 . 当 c=6+2 2 时,由余弦定理得
9、cos A= 2+2-2 2 = 2+ 6+ 2 2 2 -3 22 6+ 2 2 = 1 2. 因为 0A180,所以 A=60, 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 素养形成 当堂检测 所以 C=180-(A+B)=180-(60+45)=75. 当 c=6-2 2 时,由余弦定理得 cos A= 2+2-2 2 = 2+ 6- 2 2 2 -3 22 6- 2 2 =-1 2. 因为 0A180,所以 A=120, 所以 C=180-(A+B)=180-(120+45)=15. 故 c=6+2 2 时,A=60,C=75; c=6-2 2 时,A=120,C=15. 探究一
10、探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 素养形成 当堂检测 反思感悟 已知两边及一角解三角形的方法 (1)当已知两边及它们的夹角时,用余弦定理求解出第三边,再用正 弦定理和三角形内角和定理求解另外两角,只有一解. (2)当已知两边及其一边的对角时,可用余弦定理建立一元二次方程, 解方程求出第三边,也可用正弦定理求解,但都要注意解的情况的 讨论.利用余弦定理求解相对简便. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 素养形成 当堂检测 变式训练 1(1)已知ABC中,a=1,b=1,C=120,则边 c= . (2)在ABC 中,若 AB=5,AC=5,且 cos C= 9 10,则 BC=
11、 . 答案:(1)3 (2)4 或 5 解析:(1)由余弦定理,得 c2=a2+b2-2abcos C=1+1-211 - 1 2 =3,所 以 c=3. (2)由余弦定理得(5)2=52+BC2-25BC 9 10,所以 BC 2-9BC+20=0, 所以 BC=4 或 BC=5. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 素养形成 当堂检测 已知三边解三角形已知三边解三角形 例 2 在ABC 中,已知 a=26,b=6+23,c=43,求角 A,B,C. 解:在ABC 中,由余弦定理的推论得, cos C= 2+2-2 2 = (26)2+(6+23)2-(43)2 226(6+23
12、) = 24(3+1) 242(3+1) = 2 2 . 所以 C=45,sin C=2 2 . 由正弦定理得,sin A=sin = 26 2 2 43 = 1 2. 因为 ac,所以 A0). 由余弦定理,得 cos A= 2+2-2 2 =6 2+(3+1)22-42 26(3+1) = 2 2 , 所以 A=45. cos B= 2+2-2 2 = 42+(3+1)22-62 22(3+1) = 1 2, 所以 B=60. 所以 C=180-A-B=180-45-60=75. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 素养形成 当堂检测 (方法二)由方法一可得 A=45. 由 s
13、in = sin,得 sin B= sin = 6 2 2 2 = 3 2 , 所以 B=60或 120. 又因为 b43,边 c 最大,则角 C 最大,又 cos C= 2+2-2 2 = 32+42-37 234 =-1 2. 所以最大角 C=120. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 素养形成 当堂检测 判定三角形的形状判定三角形的形状 例3在ABC中,若b2sin2C+c2sin2B=2bccos Bcos C,试判断ABC的 形状. 解:(方法一)因为b2sin2C+c2sin2B=2bccos Bcos C, 所以利用正弦定理可得 sin2Bsin2C+sin2Csi
14、n2B=2sin Bsin Ccos Bcos C, 因为sin Bsin C0,所以sin Bsin C=cos Bcos C, 所以cos(B+C)=0,所以cos A=0,因为0A,所以A= ,所以ABC 为直角三角形. 2 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 素养形成 当堂检测 (方法二)已知等式可化为 b2-b2cos2C+c2-c2cos2B=2bccos Bcos C, 由余弦定理可得 b2+c2-b2 2+2-2 2 2 -c2 2+2-2 2 2 =2bc 2+2-2 2 2+2-2 2 所以b2+c2=a2,所以ABC为直角三角形. (方法三)已知等式变形为 b
15、2(1-cos2C)+c2(1-cos2B)=2bccos Bcos C, 所以b2+c2=b2cos2C+c2cos2B+2bccos Bcos C, 因为b2cos2C+c2cos2B+2bccos Bcos C=(bcos C+ccos B)2=a2, 所以b2+c2=a2, 所以ABC为直角三角形. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 素养形成 当堂检测 反思感悟 判断三角形形状的方法 已知三角形的边或角的关系式解三角形或判断三角形的形状,可先 观察条件式的特点,再依据此特点选取变形方法,当等式两端各项 都含有边时常用正弦定理变形,当等式两边含有角的正弦的同次幂 时,常用正
16、弦定理变形,当含有边的积式及边的平方和与差的形式 时,常考虑用余弦定理变形,可以化边为角,通过三角变换求解,也可 以化角为边,通过因式分解、配方等方法得出边的关系等. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 素养形成 当堂检测 变式训练 3(2020天津高一检测)在ABC中,角A,B,C的对边分别为 a,b,c,且2asin A=(2b+c)sin B+(2c+b)sin C. (1)求A的大小; (2)若sin B+sin C=1,试判断ABC的形状. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 素养形成 当堂检测 (2)由(1),得 sin B+sin C=sin B+sin
17、3-B = 3 2 cos B+1 2sin B =sin 3+B =1, 因为 0B 3,所以 3 3+B 2 3 ,所以 3+B= 2,即 B= 6,C=-A-B=- 2 3 6 = 6,所以ABC 为等腰三角形. 解:(1)由已知,根据正弦定理,得2a2=(2b+c)b+(2c+b)c,整理得 a2=b2+c2+bc. 由余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A 得 cos A= 2+2-2 2 = - 2=- 1 2.又因为 A (0,),所以 A=2 3 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 素养形成 当堂检测 用余弦定理证明问题用余弦定理证明问题 例 4 在ABC
18、 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,求证: 2-2 2 = sin(-) sin . 证明:在ABC中,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A, b2=a2+c2-2accos B,所以a2-b2=b2-a2-2bccos A+2accos B, 所以2(a2-b2)=2accos B-2bccos A,即a2-b2=accos B-bccos A, 所以 2-2 2 = cos-cos . 由正弦定理得 = sin sin , = sin sin, 所以 2-2 2 = sincos-cossin sin = sin(-) sin , 故等式成立. 探究一 探究二 探究三
19、 探究四 探究五 探究六 素养形成 当堂检测 反思感悟 证明三角恒等式的方法 (1)证明三角恒等式,关键是消除等号两端三角函数式的差异.形式 上一般有:左右,右左或左中右三种. (2)利用正弦定理、余弦定理证明三角形中的恒等式的途径有两种: 一是把角的关系通过正弦定理、余弦定理转化为边的关系;二是把 边的关系转化为角的关系,一般是通过正弦定理转化. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 素养形成 当堂检测 变式训练 4在ABC 中,若 acos2 2+ccos 2 2= 3 2 ,求证:a+c=2b. 证明:由已知得a(1+cos C)+c(1+cos A)=3b,即 a+a 2+2
20、-2 2 +c+c 2+2-2 2 =3b,整理得 a+c=2b,故等式成立. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 素养形成 当堂检测 求三角形求三角形(或四边形或四边形)的面积的面积 例5ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=bcos C+csin B. (1)求B; (2)若b=2,求ABC面积的最大值. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 素养形成 当堂检测 解:(1)由已知及正弦定理得 sin A=sin Bcos C+sin Csin B. 又A=-(B+C),故 sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C. 由得
21、sin Csin B=cos Bsin C. 又0C,sin C0,得sin B=cos B. 又 0Bc,已知 =2,cos B=1 3,b=3.求: (1)a和c的值; (2)cos(B-C)的值. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 素养形成 当堂检测 解:(1)由 =2,得 cacos B=2, 又 cos B=1 3,所以 ca=6. 由余弦定理得 a2+c2=b2+2accos B. 又 b=3,所以 a2+c2=9+26 1 3=13. 解 = 6, 2+ 2= 13得,a=2,c=3 或 a=3,c=2. 因为 ac,所以 a=3,c=2. 探究一 探究二 探究三
22、探究四 探究五 探究六 素养形成 当堂检测 (2)在ABC 中,B(0,), sin B= 1-cos2 = 1- 1 3 2 = 22 3 . 由正弦定理得,sin C= sin B= 2 3 22 3 = 42 9 . 因为 a=bc,所以 C 为锐角, 因此 cos C= 1-sin2 = 1- 42 9 2 = 7 9. 于是 cos(B-C)=cos Bcos C+sin Bsin C=1 3 7 9 + 22 3 42 9 = 23 27. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 素养形成 当堂检测 变式训练 6已知ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,若
23、 C= 4,AB 边上的高为 2,则 2+2 = . 答案:22 解析:由已知,得 SABC=1 2 c 2 = 1 2absin C= 1 2absin 4,得 c 2=2ab,又由 余弦定理,得 cos C= 2+2-2 2 = 2+2-2 2 = 2+2 2 2 2 = 2 2 , 所以 2+2 =22. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 素养形成 当堂检测 利用正弦定理、余弦定理求解平面图形中的线段长利用正弦定理、余弦定理求解平面图形中的线段长 典例如图所示,在四边形ABCD 中,ADCD,AD=10,AB=14,BDA=60,BCD=135,求出BC的 长. 探究一 探
24、究二 探究三 探究四 探究五 探究六 素养形成 当堂检测 解:设BD=x.在ABD中,根据余弦定理,AB2=AD2+BD2- 2AD BDcosBDA,所以142=102+x2-210 xcos 60,即x2-10 x- 96=0.(将四边形ABCD分解为ABD和BCD,利用余弦定理列出 关于x的一元二次方程,化简方程时易出错,应注意步骤及计算的准 确性.) 解得x1=16,x2=-6(舍去),所以BD=16. 因为ADCD,BDA=60,所以CDB=30. 在BCD 中,由正弦定理,得 sin = sin, 所以 BC=16sin30 sin135 =82. 探究一 探究二 探究三 探究四
25、探究五 探究六 素养形成 当堂检测 1.在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 A= 3,a=3,b=1,则 c=( ) A.1 B.2 C.3-1 D.3 答案:B 解析:由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,即3=1+c2-21c , 整理 得c2-c-2=0.因为c0,解得c=2.故选B. 1 2 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 素养形成 当堂检测 2.(多选题)(2020辽宁大连普兰店区第一中学高一月考)下列关于 ABC的结论中,正确的是( ) A.若a2+b2c2,则ABC为锐角三角形 B.若a2b2+c2,则ABC为钝角三角形 C.若AB
26、C=123,则abc=123 D.若AB,则sin Asin B 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 素养形成 当堂检测 答案:BD 解析:对于 A,由 a2+b2c2,根据余弦定理可得 cos C= 2+2-2 2 0,所以 C为锐角,但内角 A,B 大小不确定,所以ABC不一定为锐角三角形, 所以不正确;对于 B,由 a2b2+c2,根据余弦定理可得 cos A= 2+2-2 2 B,可得 ab,由正弦定理可得 a=2Rsin A,b=2Rsin B, 所以 sin Asin B,故正确.故选 BD. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 素养形成 当堂检测 3.(2
27、020 吉林辽源高一检测)若ABC 的面积为 2+2-2 4 ,则内角 C 等 于 . 答案:45 解析:由余弦定理,得 a2+b2-c2=2abcos C,因为ABC 的面积为 2+2-2 4 ,所以 2+2-2 4 = 2cos 4 = 1 2absin C,可得 tan C=1.因为 0C180,所以 C=45. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 素养形成 当堂检测 4.在ABC中,已知A=60,最大边长和最小边长恰好是方程 x2-7x+11=0的两根,则第三边的长为 . 答案:4 解析:由 A=60,得第三边为角 A 对应的边,设最大边为 x1,最小边为 x2,则 x1+x2=7,x1x2=11,所以第三边的长为 1 2 + 2 2-212cos = (1+ 2)2-312=4. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 素养形成 当堂检测 5.在ABC中,角A,B,C所对的边为a,b,c,已知a=4,c=5,且SABC=6,求 b. 解:由 SABC=1 2acsin B= 1 245sin B=6,得 sin B= 3 5,所以 cos B= 4 5或 cos B=-4 5. 由余弦定理得 b2=a2+c2-2accos B=16+25-40cos B=41-40cos B, 故 b2=9或 b2=73,解得 b=3或 b=73.
