1、11.4 空间中的垂直关系11.4.1直线与平面垂直 必备知识必备知识自主学习自主学习导思导思1.1.如何求两条直线所成的角如何求两条直线所成的角?2.2.两条垂直直线一定相交吗两条垂直直线一定相交吗?3.3.直线与平面垂直的定义是什么直线与平面垂直的定义是什么?怎样判断直线与平面怎样判断直线与平面垂直垂直?4.4.线面垂直的性质定理是什么线面垂直的性质定理是什么?5.5.如何求直线与平面所成的角如何求直线与平面所成的角?1.1.直线与直线所成角直线与直线所成角(1)(1)异面直线所成角的定义异面直线所成角的定义一般地一般地,如果如果a,ba,b是空间中的两条异面直线是空间中的两条异面直线,过
2、空间中任意一点过空间中任意一点,分别作与分别作与a,ba,b_的直线的直线a,b,a,b,则则aa与与bb所成角的大小所成角的大小,称为异面直线称为异面直线a a与与b b所成所成角的大小角的大小.(2)(2)两条直线的夹角两条直线的夹角两条直线所成的角也称为这两条直线的夹角两条直线所成的角也称为这两条直线的夹角.(3)(3)两条直线垂直两条直线垂直空间中两条直线空间中两条直线_时时,称这两条直线垂直称这两条直线垂直.平行或重合平行或重合所成角的大小为所成角的大小为9090【思考】【思考】(1)(1)在异面直线所成角的定义中在异面直线所成角的定义中,角的大小与点角的大小与点O O的位置有关系吗
3、的位置有关系吗?提示提示:根据等角定理可知根据等角定理可知,a,a与与bb所成角的大小与点所成角的大小与点O O的位置无关的位置无关.但是为了简但是为了简便便,点点O O常取在两条异面直线中的一条上常取在两条异面直线中的一条上,特别是这一直线上的某些特殊点特别是这一直线上的某些特殊点(如线如线段的端点、中点等段的端点、中点等).).(2)(2)研究范围推广到空间后研究范围推广到空间后,直线与直线垂直的含义有变化吗直线与直线垂直的含义有变化吗?有什么变化有什么变化?提示提示:有变化有变化.空间中两条直线垂直包括相交直线垂直和异面直线垂直两种情况空间中两条直线垂直包括相交直线垂直和异面直线垂直两种
4、情况.(3)(3)两条异面直线所成角两条异面直线所成角的范围是什么的范围是什么?两条直线夹角两条直线夹角的范围是什么的范围是什么?提示提示:两条异面直线所成角两条异面直线所成角的范围是的范围是0 09090;两条直线夹角两条直线夹角的范围是的范围是0 09090.2.2.直线与平面垂直及其判定定理直线与平面垂直及其判定定理(1)(1)直线直线l与平面与平面垂直的充要条件垂直的充要条件(2)(2)直线与平面垂直的判定定理直线与平面垂直的判定定理【思考】【思考】(1)(1)定义中的定义中的“任何一条直线任何一条直线”与与“所有直线所有直线”、“无数条直线无数条直线”是同义语吗是同义语吗?提示提示:
5、“:“任何一条直线任何一条直线”与与“所有直线所有直线”是同义语是同义语;“;“任何一条直线任何一条直线”与与“无数无数条直线条直线”不是同义语不是同义语.(2)(2)判定定理的条件中判定定理的条件中,把把“两条相交直线两条相交直线”改为改为“两条直线两条直线”或或“无数条直线无数条直线”可以吗可以吗?提示提示:不可以不可以.若两条直线不相交若两条直线不相交(即平行即平行),),即使直线垂直于平面内无数条直线即使直线垂直于平面内无数条直线也不能判定直线与平面垂直也不能判定直线与平面垂直.例如例如,正方体正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,AB,AB1
6、1与平面与平面ABCDABCD内无内无数条直线垂直数条直线垂直(与直线与直线ADAD平行或重合的所有直线平行或重合的所有直线),),但是但是ABAB1 1与平面与平面ABCDABCD不垂直不垂直.3.3.直线与平面垂直的性质直线与平面垂直的性质(1)(1)直线与平面垂直的性质定理直线与平面垂直的性质定理(2)(2)斜线段、斜足的定义斜线段、斜足的定义如果如果A A是平面是平面外一点外一点,C,C是平面是平面内一点内一点,且且ACAC与与不垂直不垂直,则称则称ACAC是平面是平面的的_(_(相应地相应地,直线直线ACAC称为平面称为平面的斜线的斜线),),称称C C为斜足为斜足.(3)(3)直线
7、在平面内的射影、直线与平面所成的角直线在平面内的射影、直线与平面所成的角设设ABAB是平面是平面的垂线段的垂线段,B,B是垂足是垂足;AC;AC是平面是平面的斜线段的斜线段,C,C是斜足是斜足,则直线则直线BCBC称为称为直线直线ACAC在平面在平面内的射影内的射影.特别地特别地,ACB,ACB称为直线称为直线ACAC与平面与平面所成的角所成的角.斜线段斜线段【思考】【思考】(1)(1)线面垂直的性质定理提供了线面垂直的性质定理提供了“垂直垂直”与与“平行平行”关系转化的依据关系转化的依据,你能想到你能想到其他转化依据吗其他转化依据吗?提示提示:(2)(2)若图中的若图中的POAPOA是斜线是
8、斜线POPO与平面与平面所成的角所成的角,则需具备哪些条件则需具备哪些条件?提示提示:需要需要PA,APA,A为垂足为垂足,OA,OA为斜线为斜线POPO的射影的射影,这样这样POAPOA就是斜线就是斜线POPO与平面与平面所成的角所成的角.【基础小测】【基础小测】1.1.辨析记忆辨析记忆(对的打对的打“”,”,错的打错的打“”)”)(1)(1)三角形的两边可以垂直于同一个平面三角形的两边可以垂直于同一个平面.()(2)(2)垂直于同一个平面的两条直线一定共面垂直于同一个平面的两条直线一定共面.()(3)(3)过一点有且仅有一条直线与已知平面垂直过一点有且仅有一条直线与已知平面垂直.()(4)
9、(4)如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直,那么另一条直线也与这条直那么另一条直线也与这条直线垂直线垂直.()提示提示:(1):(1).若三角形的两边垂直于同一个平面若三角形的两边垂直于同一个平面,则这两条边平行则这两条边平行,不能构成三不能构成三角形角形.(2).(2).由线面垂直的性质定理可知这两条直线是平行的由线面垂直的性质定理可知这两条直线是平行的,故能确定一个平面故能确定一个平面.(3).(3).假设过一点有两条直线与已知平面垂直假设过一点有两条直线与已知平面垂直,由直线与平面垂直的性质定理由直线与平面垂直的性质定理可得这两条直线平行可得这
10、两条直线平行,应无公共点应无公共点,这与过同一点相矛盾这与过同一点相矛盾,故只有一条直线故只有一条直线.(4).(4).由异面直线所成角的定义或等角定理都可得出由异面直线所成角的定义或等角定理都可得出,该命题正确该命题正确.2.2.如图所示如图所示,若斜线段若斜线段ABAB是它在平面是它在平面上的射影上的射影BOBO的的2 2倍倍,则则ABAB与平面与平面所成的所成的角是角是()A.60A.60B.45B.45C.30C.30D.120D.120 【解析【解析】选选A.A.由题意知由题意知,在在RtRtABOABO中中,AOB=90,AOB=90,BO=AB,BO=AB,所以所以ABO=60A
11、BO=60.123.(3.(教材二次开发教材二次开发:例题改编例题改编)如图如图,设设O O为平行四边形为平行四边形ABCDABCD对角线的交点对角线的交点,P,P为平为平面面ABCDABCD外一点外一点,且有且有PA=PC,PB=PD,PA=PC,PB=PD,则则POPO与平面与平面ABCDABCD的关系是的关系是.【解析】【解析】因为因为PA=PC,PA=PC,所以所以POAC,POAC,又又PB=PD,PB=PD,所以所以POBD.POBD.所以所以POPO平面平面ABCD.ABCD.答案答案:垂直垂直 关键能力关键能力合作学习合作学习类型一线面垂直的定义及线线角、线面角的求解类型一线面
12、垂直的定义及线线角、线面角的求解(数学运算、直观想象数学运算、直观想象)【题组训练】【题组训练】1.1.下列说法中正确的个数是下列说法中正确的个数是()如果直线如果直线l与平面与平面内的两条相交直线都垂直内的两条相交直线都垂直,则则l;如果直线如果直线l与平面与平面内的任意一条直线垂直内的任意一条直线垂直,则则l;如果直线如果直线l不垂直于不垂直于,则则内没有与内没有与l垂直的直线垂直的直线;如果直线如果直线l不垂直于不垂直于,则则内也可以有无数条直线与内也可以有无数条直线与l垂直垂直.A.0A.0B.1B.1C.2C.2D.3D.32.2.若正方体若正方体ABCD-AABCD-A1 1B B
13、1 1C C1 1D D1 1的棱长为的棱长为1,1,则则B B1 1D D与与CCCC1 1所成角的正切值为所成角的正切值为.3.3.如图所示如图所示,在正方体在正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,直线直线BCBC1 1与平面与平面A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1所成的角为所成的角为()A.30A.30 B.45B.45 C.60C.60 D.135D.135 【解析【解析】1.1.选选D.D.由直线和平面垂直的判定定理知由直线和平面垂直的判定定理知正确正确;由直线与平面垂直的由直线与平面垂直的定义知定义知,正确正确;当当l与与不垂直
14、时不垂直时,l可能与可能与内的无数条直线垂直内的无数条直线垂直,故故不对不对;正确正确.2.2.如图如图,B,B1 1D D与与CCCC1 1所成的角为所成的角为BBBB1 1D.D.因为因为DBBDBB1 1为直角三角形为直角三角形,所以所以tanBBtanBB1 1D=D=答案答案:1BD2.BB23.3.选选B.B.在正方体在正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,BB,BB1 1平面平面A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1,BC,BC1 1在平面在平面A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中的射影中的射影为为B B1 1C C
15、1 1,所以所以BCBC1 1B B1 1即为直线即为直线BCBC1 1与平面与平面A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1所成的角所成的角,在等腰直角三角形在等腰直角三角形BBBB1 1C C1 1中中,BC,BC1 1B B1 1=45=45.【解题策略】【解题策略】1.1.理解线面垂直判定定理要注意的两个问题理解线面垂直判定定理要注意的两个问题(1)(1)要判断一条已知直线和一个平面是否垂直要判断一条已知直线和一个平面是否垂直,只需要在该平面内找出两条相交只需要在该平面内找出两条相交直线与已知直线垂直即可直线与已知直线垂直即可.(2)(2)空间直线与直线垂直包括相交垂直和异面垂直
16、两种情况空间直线与直线垂直包括相交垂直和异面垂直两种情况,所以在平面内的这所以在平面内的这两条直线是否与已知直线有交点两条直线是否与已知直线有交点,是无关紧要的是无关紧要的.2.2.求异面直线所成角的步骤求异面直线所成角的步骤(1)(1)找出找出(或作出或作出)适合题设的角适合题设的角用平移法用平移法,遇题设中有中点遇题设中有中点,常考虑中位线常考虑中位线;若异面直线依附于某几何体若异面直线依附于某几何体,且对异面直线平移有困难时且对异面直线平移有困难时,可利用该几何体的特可利用该几何体的特殊点殊点,使异面直线转化为相交直线使异面直线转化为相交直线.(2)(2)求求转化为求一个三角形的内角转化
17、为求一个三角形的内角,通过解三角形通过解三角形,求出所找的角求出所找的角.(3)(3)结论结论设由设由(2)(2)所求得的角的大小为所求得的角的大小为.若若0 09090,则则为所求为所求;若若9090180180,则则180180-为所求为所求.【补偿训练】【补偿训练】1.1.如图所示如图所示,正方体正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,E,F,E,F分别是棱分别是棱BC,CCBC,CC1 1的中点的中点,则异面直线则异面直线EFEF与与B B1 1D D1 1所成的角为所成的角为.【解析】【解析】连接连接BCBC1 1,AD,AD1 1,AB,AB1
18、 1,可知可知EFEF为为BCCBCC1 1的中位线的中位线,所以所以EFBCEFBC1 1.又因为又因为ABAB CD CD C C1 1D D1 1,所以四边形所以四边形ABCABC1 1D D1 1为平行四边形为平行四边形.所以所以BCBC1 1ADAD1 1.所以所以EFADEFAD1 1.所以所以ADAD1 1B B1 1为异面直线为异面直线EFEF和和B B1 1D D1 1所成的角或其补角所成的角或其补角.在在ABAB1 1D D1 1中中,易知易知ABAB1 1=B=B1 1D D1 1=AD=AD1 1,所以所以ABAB1 1D D1 1为正三角形为正三角形,所以所以ADAD
19、1 1B B1 1=60=60.所以所以EFEF与与B B1 1D D1 1所成的角为所成的角为6060.答案答案:60602.2.如图如图,在三棱锥在三棱锥P-ABCP-ABC中中,PA,PA平面平面ABC,PA=AB,ABC,PA=AB,则直线则直线PBPB与平面与平面ABCABC所成的角等所成的角等于于.【解析】【解析】因为因为PAPA平面平面ABC,ABC,所以所以PBAPBA为为PBPB与平面与平面ABCABC所成的角所成的角,又又PA=AB,PA=AB,所以所以PBA=45PBA=45.答案答案:4545 类型二直线与平面垂直的判断与性质类型二直线与平面垂直的判断与性质(逻辑推理、
20、直观想象逻辑推理、直观想象)角度角度1 1直线与平面垂直的判定直线与平面垂直的判定【典例】【典例】1.1.若三条直线若三条直线OA,OB,OCOA,OB,OC两两垂直两两垂直,则直线则直线OAOA垂直于垂直于()A.A.平面平面OABOABB.B.平面平面OACOACC.C.平面平面OBCOBCD.D.平面平面ABCABC2.2.如图如图,PA,PA平面平面ABCD,ABCD,底面底面ABCDABCD为矩形为矩形,AEPB,AEPB于于E,AFPCE,AFPC于于F.F.(1)(1)求证求证:PC:PC平面平面AEF;AEF;(2)(2)设平面设平面AEFAEF交交PDPD于于G,G,求证求证
21、:AGPD.:AGPD.【思路导引】【思路导引】1.1.利用线面垂直的判定定理利用线面垂直的判定定理,由线线垂直由线线垂直,证明线面垂直证明线面垂直.2.PA2.PA平面平面ABCD,ABCD,四边形四边形ABCDABCD为矩形为矩形,AEPB,AFPC,AEPB,AFPCAEAE面面PBC;PBC;若一条直线若一条直线垂直于一个平面垂直于一个平面,则垂直于这个平面内的所有直线则垂直于这个平面内的所有直线.【解析【解析】1.1.选选C.C.由线面垂直的判定定理知由线面垂直的判定定理知OAOA垂直于平面垂直于平面OBC.OBC.2.(1)2.(1)因为因为PAPA平面平面ABCD,BCABCD,
22、BC平面平面ABCD,ABCD,所以所以PABC.PABC.又又ABBC,PAAB=A,ABBC,PAAB=A,所以所以BCBC平面平面PAB,PAB,又又AEAE平面平面PAB,PAB,所以所以AEBC.AEBC.又又AEPB,PBBC=B,AEPB,PBBC=B,所以所以AEAE平面平面PBC,PBC,又又PCPC平面平面PBC,PBC,所以所以AEPC.AEPC.又因为又因为PCAF,AEAF=A,PCAF,AEAF=A,所以所以PCPC平面平面AEF.AEF.(2)(2)由由(1)(1)知知PCPC平面平面AEF,AEF,所以所以PCAG,PCAG,同理同理CDCD平面平面PAD,AG
23、PAD,AG平面平面PAD,PAD,所以所以CDAG,PCCD=C,CDAG,PCCD=C,所以所以AGAG平面平面PCD,PCD,又又PDPD平面平面PCD,PCD,所以所以AGPD.AGPD.【变式探究】【变式探究】若本例若本例2 2中中,底面底面ABCDABCD是菱形是菱形,H,H是线段是线段ACAC上任意一点上任意一点,AFPC,AFPC于点于点C,C,求证求证:BDFH.:BDFH.【证明【证明】因为四边形因为四边形ABCDABCD是菱形是菱形,所以所以BDAC,BDAC,又又PAPA平面平面ABCD,BDABCD,BD平面平面ABCD,ABCD,所以所以BDPA,BDPA,因为因为
24、PAPA平面平面PAC,ACPAC,AC平面平面PAC,PAC,且且PAAC=A,PAAC=A,所以所以BDBD平面平面PAC,PAC,又又FHFH平面平面PAC,PAC,所以所以BDFH.BDFH.角度角度2 2直线与平面垂直的性质直线与平面垂直的性质【典例】【典例】如图所示如图所示,正方体正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,EF,EF与异面直线与异面直线AC,AAC,A1 1D D都垂直相交都垂直相交.求求证证:EFBD:EFBD1 1.【思路导引】【思路导引】证明证明EFEF与与BDBD1 1都与平面都与平面ABAB1 1C C垂直垂直.【证明】
25、【证明】连接连接ABAB1 1,B,B1 1C,BD,BC,BD,B1 1D D1 1,如图所示如图所示.因为因为DDDD1 1平面平面ABCD,ACABCD,AC平面平面ABCD,ABCD,所以所以DDDD1 1AC.AC.又因为又因为ACBD,BDDDACBD,BDDD1 1=D,=D,所以所以ACAC平面平面BDDBDD1 1B B1 1,所以所以ACBDACBD1 1.同理同理BDBD1 1BB1 1C,C,又又ACBACB1 1C=C,C=C,所以所以BDBD1 1平面平面ABAB1 1C.C.因为因为EFAEFA1 1D,D,且且A A1 1DBDB1 1C,C,所以所以EFBEF
26、B1 1C.C.又因为又因为EFAC,ACBEFAC,ACB1 1C=C,C=C,所以所以EFEF平面平面ABAB1 1C,C,所以所以EFBDEFBD1 1.【解题策略】【解题策略】1.1.线面垂直的判定方法线面垂直的判定方法(1)(1)证明线面垂直的方法证明线面垂直的方法线面垂直的定义线面垂直的定义.线面垂直的判定定理线面垂直的判定定理.如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面,那么另一条直线也垂直于这个那么另一条直线也垂直于这个平面平面.如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,那么它也垂直于另一个平面那
27、么它也垂直于另一个平面.(2)(2)利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的步骤利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的步骤:在这个平面内找两条直线在这个平面内找两条直线,使它和这条直线垂直使它和这条直线垂直;确定这个平面内的两条直线是相交的直线确定这个平面内的两条直线是相交的直线;根据判定定理得出结论根据判定定理得出结论.2.2.利用线面垂直的性质定理利用线面垂直的性质定理,把证线线平行转化为证线面垂直把证线线平行转化为证线面垂直.【拓展延伸】【拓展延伸】1.1.空间几何体中空间几何体中,确定线面角的关键是什么确定线面角的关键是什么?提示提示:在空间几何体中确定线面角时在空间
28、几何体中确定线面角时,过斜线上一点向平面作垂线过斜线上一点向平面作垂线,确定垂足位确定垂足位置是关键置是关键,垂足确定垂足确定,则射影确定则射影确定,线面角确定线面角确定.2.2.求斜线与平面所成角的步骤求斜线与平面所成角的步骤(1)(1)作图作图:作作(或找或找)出斜线在平面内的射影出斜线在平面内的射影,作射影要过斜线上一点作平面的垂作射影要过斜线上一点作平面的垂线线,再过垂足和斜足作直线再过垂足和斜足作直线,注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关知量有关,才能便于计算才能便于计算.(2)(2)证明证明:证明某平面角就是斜线与平面所成
29、的角证明某平面角就是斜线与平面所成的角.(3)(3)计算计算:通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算.【拓展训练】【拓展训练】在正方体在正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,(1)(1)求直线求直线A A1 1C C与平面与平面ABCDABCD所成的角的正切值所成的角的正切值.(2)(2)求直线求直线A A1 1B B与平面与平面BDDBDD1 1B B1 1所成的角所成的角.【解析【解析】(1)(1)因为直线因为直线A A1 1AA平面平面ABCD,ABCD,所以所以A A1 1CACA为直线为
30、直线A A1 1C C与平面与平面ABCDABCD所成的角所成的角,设设A A1 1A=1,A=1,则则AC=,AC=,所以所以tanAtanA1 1CA=.CA=.(2)(2)在正方形在正方形A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,A,A1 1C C1 1BB1 1D D1 1,因为因为BBBB1 1平面平面A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1,A A1 1C C1 1平面平面A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1,所以所以BBBB1 1AA1 1C C1 1,又又BBBB1 1BB1 1D D1 1=B=B1 1,222所以所以A A1 1C C1 1平
31、面平面BDDBDD1 1B B1 1,垂足为垂足为O.O.所以所以AA1 1BOBO为直线为直线A A1 1B B与平面与平面BDDBDD1 1B B1 1所成的角所成的角,在在RtRtA A1 1BOBO中中,A,A1 1O=AO=A1 1C C1 1=A=A1 1B,B,所以所以A A1 1BO=30BO=30,即即A A1 1B B与平面与平面BDDBDD1 1B B1 1所成的角为所成的角为3030.1212【题组训练】【题组训练】1.1.如图如图,BC,BC是是RtRtABCABC的斜边的斜边,PA,PA平面平面ABC,PDBC,ABC,PDBC,则图中直角三角形的个数是则图中直角三
32、角形的个数是 ()A.8A.8B.7B.7C.6C.6D.5D.5 【解析解析】选选A.A.易知易知PAAC,PAAD,PAAB,BCAD,BCPD,ACAB.PAAC,PAAD,PAAB,BCAD,BCPD,ACAB.图中的直角图中的直角三角形分别为三角形分别为PAC,PAC,PAD,PAD,PAB,PAB,ADC,ADC,ADB,ADB,PCD,PCD,PDB,PDB,ABC,ABC,共共8 8个个.2.2.四棱锥四棱锥P-ABCDP-ABCD中中,PA,PA平面平面ABCD,ABCD,底面底面ABCDABCD是边长为是边长为2 2的正方形的正方形,PA=2,PA=2,则四棱则四棱锥的侧面
33、积是锥的侧面积是.【解析】【解析】如图如图,由已知由已知PAPA平面平面ABCD,ABCD,又又CDCD平面平面ABCD,ABCD,则则CDPA,CDPA,又又CDAD,CDAD,且且PAAD=A,PAAD=A,所以所以CDCD平面平面PAD,PAD,又又PDPD平面平面PAD,PAD,所以所以CDPD,CDPD,即即PCDPCD是直角三角形是直角三角形,同理同理PBCPBC也是直角三角形也是直角三角形,且且PBCPBC和和PCDPCD的面积相同的面积相同,四棱锥的侧面积四棱锥的侧面积S=2SS=2SPADPAD+2S+2SPCDPCD=2=2 2 22+22+2 2 2 =4+4 .=4+4
34、 .答案答案:4+44+4 12122222223.3.如图如图,在三棱锥在三棱锥S-ABCS-ABC中中,ABC=90,ABC=90,D,D是是ACAC的中点的中点,且且SA=SB=SC.SA=SB=SC.(1)(1)求证求证:SD:SD平面平面ABC.ABC.(2)(2)若若AB=BC,AB=BC,求证求证:BD:BD平面平面SAC.SAC.【证明【证明】(1)(1)因为因为SA=SC,DSA=SC,D是是ACAC的中点的中点,所以所以SDAC.SDAC.在在RtRtABCABC中中,AD=BD,AD=BD,由已知由已知SA=SB,SA=SB,所以所以ADSADSBDS,BDS,所以所以S
35、DBD.SDBD.又又ACBD=D,AC,BDACBD=D,AC,BD平面平面ABC,ABC,所以所以SDSD平面平面ABC.ABC.(2)(2)因为因为AB=BC,DAB=BC,D为为ACAC的中点的中点,所以所以BDAC.BDAC.由由(1)(1)知知SDBD.SDBD.又因为又因为SDAC=D,SD,ACSDAC=D,SD,AC平面平面SAC,SAC,所以所以BDBD平面平面SAC.SAC.【补偿训练】【补偿训练】如图如图,AB,AB是是O O的直径的直径,PA,PA垂直于垂直于O O所在的平面所在的平面,M,M是圆周上任意一点是圆周上任意一点,ANPM,ANPM,垂垂足为足为N.N.求
36、证求证:AN:AN平面平面PBM.PBM.【证明【证明】设设O O所在的平面为所在的平面为,因为因为PAPA,且且BMBM,所以所以PABM.PABM.又因为又因为ABAB为为O O的直径的直径,点点M M为圆周上一点为圆周上一点,所以所以AMBM.AMBM.由于直线由于直线PAAM=A,PAAM=A,所以所以BMBM平面平面PAM,PAM,而而ANAN平面平面PAM,PAM,所以所以BMAN.BMAN.所以所以ANAN与平面与平面PBMPBM内的两条相交直线内的两条相交直线PM,BMPM,BM都垂直都垂直.所以所以ANAN平面平面PBM.PBM.类型三直线与平面垂直的判定与性质的综合应用类型
37、三直线与平面垂直的判定与性质的综合应用(逻辑推理、直观想象逻辑推理、直观想象)【典例】【典例】如图如图,直三棱柱直三棱柱ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1中中,AC=BC=1,ACB=90,AC=BC=1,ACB=90,AA,AA1 1=,D,F,D,F分别是分别是A A1 1B B1 1,BB,BB1 1的中点的中点.(1)(1)求证求证:C:C1 1DABDAB1 1.(2)(2)求证求证:AB:AB1 1平面平面C C1 1DF.DF.2【思路导引】【思路导引】(1)(1)要证要证C C1 1DABDAB1 1,需证需证C C1 1DD平面平面AAAA1 1B B1 1B
38、,B,需证需证C C1 1DADA1 1B B1 1,C,C1 1DAADAA1 1,由已知可证由已知可证.(2)(2)要证要证ABAB1 1平面平面C C1 1DF,DF,需证需证ABAB1 1DF,DF,需证需证A A1 1BABBAB1 1,需证四边形需证四边形AAAA1 1B B1 1B B为正方形为正方形,由已知可证由已知可证.【证明【证明】(1)(1)因为因为ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1是直三棱柱是直三棱柱,所以所以A A1 1C C1 1=B=B1 1C C1 1=1,=1,且且A A1 1C C1 1B B1 1=90=90.又又 D D是是A A1 1B
39、 B1 1的中点的中点,所以所以C C1 1DADA1 1B B1 1,因为因为AAAA1 1平面平面A A1 1B B1 1C C1 1,C,C1 1D D平面平面A A1 1B B1 1C C1 1,所以所以AAAA1 1CC1 1D,D,又因为又因为AAAA1 1AA1 1B B1 1=A=A1 1,所以所以C C1 1DD平面平面AAAA1 1B B1 1B,B,又因为又因为ABAB1 1平面平面AAAA1 1B B1 1B,B,所以所以C C1 1DABDAB1 1.(2)(2)连接连接A A1 1B,B,因为因为D,FD,F分别是分别是A A1 1B B1 1,BB,BB1 1的中
40、点的中点,所以所以DFADFA1 1B.B.又直角三角形又直角三角形A A1 1B B1 1C C1 1中中,所以所以A A1 1B B1 1=,=,所以所以A A1 1B B1 1=AA=AA1 1,即四边形即四边形AAAA1 1B B1 1B B为正方形为正方形,所以所以ABAB1 1AA1 1B,B,即即ABAB1 1DF,DF,又又(1)(1)已证已证C C1 1DABDAB1 1,又又DFCDFC1 1D=D,D=D,所以所以ABAB1 1平面平面C C1 1DF.DF.2222111111A BA CB C，【解题策略】【解题策略】线线、线面垂直问题的解题策略线线、线面垂直问题的解
41、题策略(1)(1)证明线线垂直证明线线垂直,一般通过证明一条直线垂直于经过另一条直线的平面一般通过证明一条直线垂直于经过另一条直线的平面,为此分为此分析题设析题设,观察图形找到是哪条直线垂直于经过哪条直线的平面观察图形找到是哪条直线垂直于经过哪条直线的平面.(2)(2)证明直线和平面垂直证明直线和平面垂直,就是要证明这条直线垂直于平面内的两条相交直线就是要证明这条直线垂直于平面内的两条相交直线,这这一点在解题时一定要体现出来一点在解题时一定要体现出来.【跟踪训练】【跟踪训练】如图所示如图所示,在正方体在正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,M,M是是AB
42、AB上一点上一点,N,N是是A A1 1C C的中点的中点,MN,MN平面平面A A1 1DC.DC.求证求证:MNAD:MNAD1 1.【证明【证明】因为四边形因为四边形ADDADD1 1A A1 1为正方形为正方形,所以所以ADAD1 1AA1 1D.D.又因为又因为CDCD平面平面ADDADD1 1A A1 1,所以所以CDADCDAD1 1.因为因为A A1 1DCD=D,DCD=D,所以所以ADAD1 1平面平面A A1 1DC.DC.又因为又因为MNMN平面平面A A1 1DC,DC,所以所以MNADMNAD1 1.备选类型距离问题备选类型距离问题(数学运算、直观想象数学运算、直观
43、想象)【典例】【典例】如图所示如图所示,直角直角ABCABC所在平面所在平面外有一点外有一点P,ACB=90P,ACB=90,PC=24,PD,PC=24,PD垂直垂直ACAC于于D,PEBCD,PEBC于于E,E,且且PD=PE=6PD=PE=6 ,求求P P点到平面点到平面的距离的距离.10【思路导引】【思路导引】作作POPO于于O,O,则则POPO的长为的长为P P点到平面点到平面的距离的距离,构造直角三角形列构造直角三角形列方程组求解方程组求解.【解析【解析】作作POPO于于O,O,则则POPO的长为的长为P P点到平面点到平面的距离的距离,连接连接OC,PCOOC,PCO为为PCPC
44、和平和平面面所成的角所成的角,连接连接OE,OD.OE,OD.因为因为PD=PE,PEBCPD=PE,PEBC于于E,PDACE,PDAC于于D,D,所以所以PD,PEPD,PE在平面在平面上的射影上的射影OE=OD,OE=OD,且且OEBC,ODAC,OEBC,ODAC,即在四边形即在四边形ODCEODCE中中,OE=OD,OE=OD,且且OEC=ODC=ACB=90OEC=ODC=ACB=90,所以四边形所以四边形ODCEODCE为正方形为正方形,OC=OE.,OC=OE.设设OP=x,OCOP=x,OC2 2=PC=PC2 2-OP-OP2 2=24=242 2-x-x2 2,OEOE2
45、 2=PE=PE2 2-OP-OP2 2=OC=OE,OC=OE,解解组成的方程组得组成的方程组得x=12(x=12(舍去负值舍去负值),),即即P P点到平面点到平面的距离为的距离为12.12.2226 10 x，2【解题策略】【解题策略】距离问题一直是高考的重点与热点问题距离问题一直是高考的重点与热点问题,本题考查了各种距离本题考查了各种距离,其中求点到平面其中求点到平面的距离关键是作出点到平面的垂线的距离关键是作出点到平面的垂线,线到面的距离关键是转化为点到面的距离线到面的距离关键是转化为点到面的距离,各种距离的基础是点与点的距离各种距离的基础是点与点的距离.【跟踪训练】【跟踪训练】已知
46、四棱锥已知四棱锥P-ABCDP-ABCD的底面为正方形的底面为正方形,PD,PD平面平面ABCD,PD=AD=1,ABCD,PD=AD=1,设点设点C C到平面到平面PABPAB的距离为的距离为d d1 1,点点D D到平面到平面PACPAC的距离为的距离为d d2 2,BC,BC到平面到平面PADPAD的距离为的距离为d d3 3,则则d d1 1,d,d2 2,d,d3 3三者三者之间的大小关系是之间的大小关系是.【解析【解析】如图如图,点点C C到平面到平面PABPAB的距离就是点的距离就是点D D到平面到平面PABPAB的距离的距离,过点过点D D作作DEPA,DEPA,则则DEDE平
47、面平面PAB,PAB,所以所以DEDE的长就是点的长就是点D D到平面到平面PABPAB的距离的距离,故故d d1 1=DE=;=DE=;令令ACBD=M,ACBD=M,在平面在平面PDBPDB内作内作DFPM,DFPM,则则DFDF平面平面PAC,PAC,所以点所以点D D到平面到平面PACPAC的距离的距离d d2 2=DF=;BC=DF=;BC到平面到平面PADPAD的距离的距离,即即C C到平面到平面PADPAD的距离的距离,所以所以d d3 3=1,=1,故有故有d d2 2dd1 1dd3 3.答案答案:d d2 2dd1 1dACBC,PCACBC,故故CB=CPCB=CP不成立
48、不成立,故故错误错误.【补偿训练】【补偿训练】在正四棱锥在正四棱锥S-ABCDS-ABCD中中,E,M,N,E,M,N分别是分别是BC,CD,SCBC,CD,SC的中点的中点.动点动点P P在线段在线段MNMN上运动时上运动时,下列四个结论下列四个结论,不一定成立的为不一定成立的为()EPAC;EPAC;EPBD;EPBD;EPEP平面平面SBD;SBD;EPEP平面平面SAC.SAC.A.A.B.B.C.C.D.D.【解析【解析】选选D.D.作出如图所示的辅助线作出如图所示的辅助线.对对,在正四棱锥在正四棱锥S-ABCDS-ABCD中中,因为因为ACBD,ACSO,BDACBD,ACSO,B
49、D平面平面SBD,SBD,SOSO平面平面SBD,SBD,且且SOBD=O,SOBD=O,故故ACAC平面平面SBD.SBD.又因为又因为E,M,NE,M,N分别是分别是BC,CD,SCBC,CD,SC的中点的中点,故平面故平面EMNEMN平面平面SBD,SBD,故故ACAC平面平面EMN,EMN,因为因为EPEP平面平面EMN,EMN,故故EPACEPAC成立成立.故故成立成立.对对,当且仅当当且仅当P P与与M M重合时重合时,EPBD.,EPBD.故故不一定成立不一定成立.对对,由由有平面有平面EMNEMN平面平面SBD,SBD,又又EPEP平面平面EMN,EMN,故故EPEP平面平面S
50、BD.SBD.故故成立成立.对对,当且仅当当且仅当P P与与M M重合时重合时,才有才有EPEP平面平面SAC.SAC.故故不一定成立不一定成立.4.4.如图所示如图所示,平面平面=CD,EA,=CD,EA,垂足为垂足为A,EB,A,EB,垂足为垂足为B,B,则则CDCD与与ABAB的位的位置关系是置关系是.【解析】【解析】因为因为EA,CDEA,CD,根据直线和平面垂直的定义根据直线和平面垂直的定义,则有则有CDEA.CDEA.同理同理,因为因为EB,CDEB,CD,则有则有EBCD.EBCD.又又EAEB=E,EAEB=E,所以所以CDCD平面平面AEB.AEB.又因为又因为ABAB平面平
