1、11.1空间几何体空间几何体11.1.3 多面体与棱柱多面体与棱柱11.1.4 棱锥与棱台棱锥与棱台第十一章 立体几何初步1学习目标1.认识多面体、认识多面体、棱柱棱柱、棱锥、棱台、棱锥、棱台的的结构特征结构特征.2.能运用结构特征描述现实生活中简单物体的结构能运用结构特征描述现实生活中简单物体的结构.3.了解多面体表面积的概念，知道了解多面体表面积的概念，知道棱柱棱柱、棱锥、棱台、棱锥、棱台表面积表面积的计的计算公式，能用公式解决简单的实际问题算公式，能用公式解决简单的实际问题.重点重点：概括多面体、概括多面体、棱柱棱柱、棱锥、棱台、棱锥、棱台的的结构特征结构特征.难点：难点：特殊棱柱特殊棱
2、柱、棱锥、棱台、棱锥、棱台的的结构特征的辨析及有关计算问题结构特征的辨析及有关计算问题.2知识梳理一般地，由若干个平面多边形所围成的封闭几何体称为多面体.围成多面体的各个多边形称为多面体的 ，相邻两个面的公共边称为多面体的 ，棱与棱的公共点称为多面体的 .一、多面体一、多面体一个多面体中，连接同一面上两个顶点的线段，如果不是多面体的棱，就称其为多面体的 ；连接不在同一面上两个顶点的线段称为多面体的 .面棱顶点面对角线体对角线3一个几何体和一个平面相交所得到的平面图形（包含它的内部），称为这个几何体的一个截面.多面体所有面的面积之和称为多面体的 （或全面积）.有两个面互相平行，且该多面体的顶点都
3、在这两个面上，其余各面都是平行四边形，这样的多面体称为棱柱.棱柱的两个互相平行的面称为棱柱的 （底面水平放置时，分别称为上底面、下底面），其他各面称为棱柱的 ，两个侧面的公共边称为棱柱的 .二、棱柱二、棱柱表面积底面侧面侧棱4过棱柱一个底面上的任意一个顶点，作另一个底面的垂线所得到的线段（或它的长度）称为棱柱的 .棱柱所有侧面的面积之和称为棱柱的 .如果棱柱的侧棱垂直于底面，则可知棱柱所有的侧面都是长方形，这样的棱柱称为直棱柱（不是直棱柱的棱柱称为斜棱柱）.特别地，底面是正多边形的直棱柱称为正棱柱.棱柱可以按底面的形状分类，例如底面是三角形、四边形、五边形的棱柱，可分别称为三棱柱、四棱柱、五棱
4、柱.高侧面积5底面是平行四边形的棱柱也称为 .侧棱与底面垂直的平行六面体称为直平行六面体.底面是矩形的直平行六面体就是以前我们学过的长方体，而棱长都相等的长方体就是正方体.在平行六面体中，相对的面都是 的.棱柱可以用底面上的顶点来表示.图（1）所示的棱柱可表示为棱柱ABC-ABC，图（2）所示的棱柱可表示为棱柱AC1.互相平行（1）（2）平行六面体6如果一个多面体有一个面是多边形，且其余各面都是有一个公共顶点的三角形，则称这个多面体为棱锥.棱锥中，是多边形的那个面称为棱锥的 ，有公共顶点的各三角形称为棱锥的 ，各侧面的公共顶点称为棱锥的 ，相邻两侧面的公共边称为棱锥的 .棱锥可以按底面的形状分
5、类，例如底面是三角形、四边形、五边形的棱锥，可分别称为三棱锥、四棱锥、五棱锥.三、棱锥三、棱锥底面侧面顶点侧棱7棱锥可以用顶点与底面各顶点的字母来表示.如图所示的是一个四棱锥，这个四棱锥可以记作棱锥P-ABCD或棱锥P-AC.过棱锥的顶点作棱锥底面的垂线，所得到的线段（或它的长度）称为棱锥的高.棱锥所有侧面的面积之和称为棱锥的侧面积.如果棱锥的底面是正多边形，且棱锥的顶点与底面中心的连线垂直于底面，则称这个棱锥为 .正棱锥的侧面都全等，而且都是等腰三角形，这些等腰三角形底边上的高也都相等，称为棱锥的 .正棱锥斜高8一般地，用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，所得截面与底面间的多面体称为棱台.原棱锥
6、的底面与截面分别称为棱台的 与 ，其余各面称为棱台的 ，相邻两侧面的公共边称为棱台的 .棱台可用上底面与下底面的顶点表示.如图所示的棱台ABCD-A1B1C1D1.四、棱台四、棱台下底面上底面侧面侧棱9同棱柱一样，过棱台一个底面上的任意一个顶点，作另一个底面的垂线所得到的线段（或它的长度）称为棱台的 .棱台所有侧面的面积之和称为棱台的侧面积.棱台可以按底面的形状分类：三棱台、四棱台.由正棱锥截得的棱台称为正棱台.正棱台上、下底面都是正多边形，两者中心的连线是棱台的高；而且，正棱台的侧面都全等，且都是等腰梯形，这些等腰梯形的高也都相等，称为棱台的 .高斜高10例1一棱柱、棱锥、棱台的概念常考题型
7、下列关于棱锥、棱台的说法正确的是.（1）用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台；（2）棱台的侧面一定不会是平行四边形；（3）棱锥的侧面只能是三角形；（4）棱台的各侧棱延长后必交于一点；（5）棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.11【解【解析析】（1）错误，若平面不与棱锥底面平行，用这个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台；（2）正确，棱台的侧面一定是梯形，而不会是平行四边形；（3）正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形；（4）正确，棱台是由平行于棱锥底面的平面截得的，故棱台的各侧棱延长后必交于一点；（5）错误，如图所示的四棱锥被平面PBD截成的两部分都是棱锥
8、.【答案】【答案】（2）（3）（4）12解题归纳棱柱、棱锥、棱台的判断方法棱柱、棱锥、棱台的判断方法判断一个几何体是何种几何体，一定要紧扣棱柱、棱锥、棱台的结构特征，注意概念中的特殊字眼，切不可马虎大意，如棱柱的概念中的“相邻”，棱锥的概念中的“公共顶点”，棱台的概念中的“棱锥”“平行”等.131.变式训练下列关于棱柱的说法中，正确说法的个数是（）四棱柱是平行六面体；有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱；有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱；底面是正多边形的棱柱是正棱柱.A.1B.2C.3D.4A142.关于有两个面互相平行，其余
9、各面都是梯形的多面体，下面说法正确的是（）A.该多面体是棱柱B.该多面体是棱锥C.该多面体是棱台D.该多面体一定不是棱柱、棱锥D15例2二几种常见四棱柱的关系几种常见四棱柱的关系【解析】【解析】直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故A错；直平行六面体的底面不一定是矩形，故B错；C正确；底面是正方形的四棱柱不一定是直四棱柱，故D错.【答案】【答案】C下列说法正确的是（）A.直四棱柱是直平行六面体B.直平行六面体是长方体C.六个面都是矩形的四棱柱是长方体D.底面是正方形的四棱柱是正四棱柱16解题归纳几种常见的四棱柱之间的几种常见的四棱柱之间的关系关系17变式训练一个棱柱是正四棱柱的条件是（）A.底面
10、是正方形，有两个面是矩形的四棱柱B.底面是正方形，两个侧面垂直于底面的四棱柱C.底面是菱形，且有个顶点处的两条棱互相垂直的四棱柱D.底面是正方形，每个侧面都是全等的矩形的四棱柱D18三三几何体的计算问题几何体的计算问题例3【解题提示】【解题提示】（思路1）用“补形法”，将棱台还原为棱锥，结合平面几何知识求解.（思路2）依题意，作出棱台的对角面，化为平面几何中的计算问题求解.192021解题归纳“补形法补形法”解台体中的计算问题解台体中的计算问题与台体有关的计算问题，常利用“补形法”将台体还原为锥体，并结合相似三角形的性质求解.利用了化归与转化的思想.正棱台中的直角梯形的应用正棱台中的直角梯形的
11、应用已知正棱台如图（以正四棱台为例），O1，O分别为上、下底面中心，作O1E1B1C1于E1，OEBC于E，则E1E为斜高.（1）斜高、侧棱构成直角梯形，如图中梯形E1ECC1.（2）斜高、高构成直角梯形，如图中梯形O1E1EO.（3）高、侧棱构成直角梯形，如图中梯形O1OCC1.22变式训练23解题归纳正棱锥中的直角三角形的应用正棱锥中的直角三角形的应用已知正棱锥如图（以正四棱锥为例），其高为PO，底面为正方形，作PECD于E，则PE为斜高.（1）斜高、侧棱构成直角三角形，如图中RtPEC.（2）斜高、高构成直角三角形，如图中RtPOE.（3）侧棱、高构成直角三角形，如图中RtPOC.24四
12、四柱、锥、台体的表面积的计算柱、锥、台体的表面积的计算例4如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的表面积为.【解题提示】【解题提示】判断几何体的形状，利用棱锥的侧面积转化求解即可.2526解题归纳棱柱、棱锥、棱台的表面积的求解方法棱柱、棱锥、棱台的表面积的求解方法棱锥及棱台的表面积计算常借助斜高、侧棱及其在底面的射影与高、底面边长等构成的直角三角形（或梯形）求解.27变式训练2.2019上海市大同中学高二期末上海市大同中学高二期末一个高为1的正三棱锥的底面正三角形的边长为6，则此三棱锥的侧面积为.28小结一、多面体由若干个平面多边形所围成的封闭几何体称为多面体.二、棱柱有两个面互相平行，且该多面体的顶点都在这两个面上，其余各面都是平行四边形，这样的多面体称为棱柱.29棱柱的分类：30三、棱锥如果一个多面体有一个面是多边形，且其余各面都是有一个公共顶点的三角形，则称这个多面体为棱锥.31四、棱台一般地，用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，所得截面与底面间的多面体称为棱台.32五、棱柱、棱锥、棱台的结构特征比较33
