1、10.1.1 复数的概念 课标阐释 思维脉络 1.通过方程在实数系中无解的情 况,了解复数概念的引入过程; 2.掌握复数的概念、复数的代数 形式表示; 3.能利用复数的概念、复数相等 解决有关问题. 激趣诱思 知识点拨 远古时期,人类常用“结绳计数”或“堆石”计数或刻痕计数,从中逐步 产生了自然数的概念,在分配劳动成果的过程中,产生了“正分数”的 概念,随着人类商品交换时代的来临,为了表示相反意义的量,又引 入了“负数”的概念,至此人们认为所有的数都可以用两个互质的整 数的比值来表示.然而,随着人类种植活动的兴盛,在丈量土地、计 算长度、计算产量过程中产生了经验几何学,其中在勾股定理使用 中发
2、现:在求两直角边长度都是“1”的直角三角形斜边的时候,其斜 边长度不能用任何有理数来表示,于是引入了无理数,把数集扩充 为实数集.数集发展的动力和原因是什么?还有没有比实数集范围 更大的数集呢? 激趣诱思 知识点拨 知识点一:复数的引入 一般地,为了使得方程x2=-1有解,人们规定i的平方等于-1,即i2=-1, 并称i为虚数单位. 名师点析 虚数单位i的性质 (1)i的平方等于-1,即i2=-1. (2)实数与i可进行四则运算,并且原有的加法、乘法运算律仍然成 立. 激趣诱思 知识点拨 微思考 如何在有理数集、实数集、复数集中分解因式x4-25? 提示:在有理数集中:x4-25=(x2+5)
3、(x2-5).在实数集 中:x4-25=(x2+5)(x2-5)=(x2+5)(x+ 5) (x- 5). 在复数集中: x4-25=(x2+5)(x2-5) =(x2+5)(x+ 5)(x- 5) =(x+ 5i)(x- 5i)(x+ 5)(x- 5). 激趣诱思 知识点拨 微练习 i4= . 答案:1 解析:i4=(i2)2=(-1)2=1. 激趣诱思 知识点拨 知识点二:复数的概念 1.复数的概念:一般地,当a与b都是实数时,称a+bi为复数,复数一般 用小写字母z表示,即z=a+bi(a,bR),其中a称为z的实部,b称为z的 虚部,分别记作Re(z)=a,Im(z)=b. 2.复数集
4、定义:所有复数组成的集合称为复数集,复数集通常用大写 字母C表示.因此C=z|z=a+bi,a,bR. 激趣诱思 知识点拨 微思考1 两个复数一定能比较大小吗? 提示:不一定,只有当这两个复数是实数时,才能比较大小. 微思考2 复数a+bi的实部是a,虚部是b吗? 提示:不一定,对于复数z=a+bi(a,bR),实部才是a,虚部才是b. 激趣诱思 知识点拨 微练习1 (1+ 3)i 的实部与虚部分别是( ) A.1, 3 B.1+ 3,0 C.0,1+ 3 D.0,(1+ 3)i 答案:C 解析:(1+ 3)i 可看作 0+(1+ 3)i=a+bi,a,bR,所以实部 a=0,虚部 b=1+
5、3. 激趣诱思 知识点拨 微练习2 若复数z=a2-3+2ai的实部与虚部互为相反数,则实数a的值 为 . 答案:1或-3 解析:由条件知a2-3+2a=0,a=1或a=-3. 激趣诱思 知识点拨 知识点三:复数相等 两个复数z1与z2,如果实部与虚部都对应相等,我们就说这两个复数 相等,记作z1=z2. 这就是说,如果a,b,c,d都是实数,那么a+bi=c+dia=c且b=d. 特别地,当a,b都是实数时,a+bi=0的充要条件是a=0且b=0. 激趣诱思 知识点拨 名师点析 两个复数不一定能比较大小 1.根据复数相等的定义,知在a=c,b=d两式中,只要有一个不成立,那 么a+bic+d
6、i. 2.若两个复数全是实数,则可以比较大小,反之,若两个复数能比较 大小,则它们必须都是实数(即虚部均为0). 3.若两个复数不全是实数,则不能比较大小. 激趣诱思 知识点拨 微练习1 若(x+y)i=x-1,则实数x,y的值分别是( ) A.1,1 B.-1,1 C.1,0 D.1,-1 答案:D 解析:(x+y)i=x-1, + = 0, -1 = 0, 解得 = 1, = -1. 激趣诱思 知识点拨 微练习2 若复数z=(m+1)+(m2-9)i0,则实数m的值等于 . 答案:-3 解析:z0, 2-9 = 0, + 1 -5+(a+2b-6)i的实数a,b的取值情况. 正解:由-2+
7、a-(b-a)i-5+(a+2b-6)i,可得 -(-) = 0, + 2-6 = 0, -2 + -5, 即 a=b=2. 方法点睛不要想当然地认为大的复数所对应的实部和虚部都大,而 忽视了只有实数才能比较大小的前提,因此本题中的复数应为实数. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 1.设i是虚数单位,m,n为实数,复数z=m+ni为虚数,则( ) A.m=0 B.n0 C.m=0且n0 D.mn0 答案:B 解析:若复数是虚数,则n0,故选B. 2.复数z=1-i(i为虚数单位)的虚部是( ) A.1 B.i C.-1 D.-i 答案:C 解析:复数z=1-i(i为虚数单位)的虚部是
8、-1.故选C. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 3.已知mR,设复数z=(m2-2m-3)+(m2-1)i.若复数z为纯虚数,实数 m= . 答案:3 解析:依题意,复数z为纯虚数, 所以 2-2-3 = 0, 2-1 0, 解得 m=3. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 4.若复数 z=(+4) -1 +(m+2)i 的实部与虚部相等,则实数 m 的值 为 . 答案:-2 3 解析:由条件知(+4) -1 =m+2, 2 + 4 = 2+ -2, -1 0, m=-2 3. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 5.设 z=log1 2(m-1)+ilog 2(5-m)(mR). (1)若z是虚数,求m的取值范围; (2)若z是纯虚数,求m的值. 解:(1)因为 z 是虚数,m 应满足的条件是 -1 0, 5- 0, 5- 1, 解得 1m 0, 5- 1, 解得 m=2.
