1、11.1.3 多面体与棱柱 11.1.4 棱锥与棱台 课标阐释 思维脉络 1.通过观察实例,理解并掌握多面 体、棱柱、棱锥、棱台的定义和 结构特征. 2.理解棱柱、棱锥、棱台的结构 特征及其关系. 3.在描述和判断几何体结构特征 的过程中,培养学生的观察能力和 空间想象能力. 4.了解常见多面体、棱柱、棱锥 与棱台的表面积与侧面积公式. 激趣诱思 知识点拨 日常生活中常见到一些多面体,如棱柱,棱锥,棱台.它们可以是我们 日常用到的物品,也可以是建筑物的形状.你能说出各种几何体的 特征吗? 激趣诱思 知识点拨 知识点一:多面体与棱柱 1.多面体的概念 定义 一般地,由若干个平面多边形所围成的封闭
2、几何体称为多面 体,围成多面体的各个多边形称为多面体的面;相邻两个面的 公共边称为多面体的棱;棱与棱的公共点称为多面体的顶点 凸多 面体 把多面体的任意一个面延展为平面,如果其余的各面都在这 个平面的同一侧,则称这样的多面体为凸多面体.本书说到的 多面体如不特别声明,均指凸多面体 面对 角线、 体对 角线 一个多面体中,连接同一面上两个顶点的线段,如果不是多面 体的棱,就称其为多面体的面对角线;连接不在同一面上两个 顶点的线段称为多面体的体对角线 激趣诱思 知识点拨 截面 一个几何体和一个平面相交所得到的平面图形(包含它的内 部),称为这个几何体的一个截面 表面 积 多面体所有面的面积之和称为
3、多面体的表面积(或全面积) 激趣诱思 知识点拨 2.棱柱的概念 定义 多面体,有两个面互相平行,且该多面体的顶点都在这两个 面上,其余各面都是平行四边形,这样的多面体称为棱柱 底面、 侧面、 侧棱、 高、 侧面 积 棱柱的两个互相平行的面称为棱柱的底面(底面水平放置 时,分别称为上底面、下底面),其他各面称为棱柱的侧面,两 个侧面的公共边称为棱柱的侧棱,过棱柱一个底面上的任 意一个顶点,作另一个底面的垂线所得到的线段(或它的长 度)称为棱柱的高,棱柱所有侧面的面积之和称为棱柱的 侧面积 激趣诱思 知识点拨 直棱柱、 斜棱柱、 正棱柱 如果棱柱的侧棱垂直于底面,则可知棱柱所有的侧面都 是长方形,
4、这样的棱柱称为直棱柱(不是直棱柱的棱柱称 为斜棱柱),特别地,底面是正多边形的直棱柱称为正棱柱 三棱柱、 四棱柱、 五棱柱 棱柱可以按底面的形状分类,例如底面是三角形、四边 形、五边形的棱柱,可分别称为三棱柱、四棱柱、五棱 柱 平行六 面体、 直平行 六面体、 长方体、 正方体 底面是平行四边形的棱柱也称为平行六面体,侧棱与底 面垂直的平行六面体称为直平行六面体.底面是矩形的 直平行六面体就是以前我们学过的长方体,而棱长都相 等的长方体就是正方体.在平行六面体中,相对的面都是 互相平行的 激趣诱思 知识点拨 名师点析 1.如图,进一步了解多面体中的概念. 2.多面体至少有四个面、四个顶点、六条
5、棱,并不是所有的多面体 都有体对角线. 3.面对角线和体对角线是两个不同的概念. 激趣诱思 知识点拨 微思考1 观察下面物体,你能说出各组图形的共同点吗? 提示:几何体的表面由若干个平面多边形围成. 激趣诱思 知识点拨 微思考2 观察下列多面体,有什么共同特点? 提示:有两个面相互平行;其余各面都是平行四边形;每相邻两个四 边形的公共边都互相平行. 激趣诱思 知识点拨 微思考3 棱柱的侧面一定是平行四边形吗? 提示:根据棱柱的特点知侧棱平行、底面平行,所以棱柱的侧面一 定是平行四边形. 微思考4 多面体最少有几个面?多面体如何命名? 提示:至少有4个面.多面体可以按照围成它的面的个数来命名.
6、激趣诱思 知识点拨 微判断 (1)棱柱的侧面可以不是平行四边形.( ) (2)多面体的一个面可以是曲面.( ) (3)棱柱的棱都相等.( ) 答案:(1) (2) (3) 激趣诱思 知识点拨 微练习1 下面属于多面体的是 (填序号). 建筑用的方砖;埃及的金字塔;球. 答案: 微练习2 一个棱柱的侧面展开图是三个全等的矩形,每个矩形的长和宽分别 为6 cm,4 cm,则该棱柱的侧面积为 . 答案:72 cm2 解析:棱柱的侧面积S侧=364=72(cm2). 激趣诱思 知识点拨 知识点二:棱锥与棱台 1.棱锥的概念 定义 如果一个多面体有一个面是多边形,且其余各面都是有 一个公共顶点的三角形,
7、则称这个多面体为棱锥 底面、 侧面、 顶点、 侧棱 底面:是多边形的那个面称为棱锥的底面, 侧面:有公共顶点的各三角形称为棱锥的侧面, 顶点:各侧面的公共顶点称为棱锥的顶点, 侧棱:相邻两侧面的公共边称为棱锥的侧棱 三棱锥、 四棱锥、 五棱锥 棱锥可以按底面的形状分类,例如底面是三角形、四边 形、五边形的棱锥,可分别称为三棱锥、四棱锥、五棱 锥 激趣诱思 知识点拨 高、侧 面积 过棱锥的顶点作棱锥底面的垂线,所得到的线段(或它的 长度)称为棱锥的高,棱锥所有侧面的面积之和称为棱锥 的侧面积 正棱锥、 斜高 如果棱锥的底面是正多边形,且棱锥的顶点与底面中心 的连线垂直于底面,则称这个棱锥为正棱锥
8、.可以看出,正 棱锥的侧面都全等,而且都是等腰三角形,这些等腰三角 形底边上的高也都相等,称为棱锥的斜高 激趣诱思 知识点拨 2.棱台的概念 定义 一般地,用平行于棱锥底面的平面去截棱锥,所得截面与 底面间的多面体称为棱台 上底面、 下底面、 侧面、 侧棱、 顶点 上底面:原棱锥的截面 下底面:原棱锥的底面 侧面:其余各面 侧棱:相邻两侧面的公共边 顶点:侧面与上(下)底面的公共顶点 高、 侧面积 过棱台一个底面上的任意一个顶点,作另一个底面的垂 线所得到的线段(或它的长度)称为棱台的高,棱台所有侧 面的面积之和称为棱台的侧面积 激趣诱思 知识点拨 三棱台、 四棱台、 五棱台 棱台可以按底面的
9、形状分类,例如底面是三角形、四边 形、五边形的棱台,可分别称为三棱台、四棱台、五棱 台 正棱台、 高、斜 高 由正棱锥截得的棱台称为正棱台.不难看出,正棱台上、 下底面都是正多边形,两者中心的连线是棱台的高,而且, 正棱台的侧面都全等,且都是等腰梯形,这些等腰梯形的 高也都相等,称为棱台的斜高 激趣诱思 知识点拨 微思考1 观察下列多面体,有什么共同特点? 提示:有一个面是多边形;其余各面都是有一个公共顶点的三角形. 激趣诱思 知识点拨 微思考2 观察下列多面体,分析其与棱锥有何区别与联系? 提示:区别:有两个面相互平行. 联系:用平行于棱锥底面的平面去截棱锥,其底面和截面之间的 部分即为该几
10、何体. 激趣诱思 知识点拨 微思考3 棱台的上、下底面互相平行,各侧棱延长线一定相交于一点吗? 提示:根据棱台的定义可知其侧棱延长线一定交于一点. 激趣诱思 知识点拨 微练习1 在三棱锥A-BCD中,可以当作棱锥底面的三角形的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案:D 解析:每个面都可作为底面,有4个. 微练习2 (多选题)棱台具备的特点是( ) A.两底面相似 B.侧面都是梯形 C.侧棱都平行 D.侧棱延长后都交于一点 答案:ABD 解析:由棱台的定义和结构特征知C为棱台不具备的特点. 激趣诱思 知识点拨 微练习3 下面各图形所表示的几何体中,不是棱锥的为( ) 答案:A 解析:
11、A不符合棱锥定义,不是棱锥,B为四棱锥,C,D均为五棱锥. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 多面体的识别与判断多面体的识别与判断 例1如图所示为长方体ABCD-ABCD,当用平面BCFE把这个长方 体分成两部分后,各部分形成的多面体还是棱柱吗?如果不是,请说 明理由;如果是,指出底面及侧棱. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 解:条件为一个长方体被一个平面所截,观察所得几何体上、下底 面的关系与侧棱间的位置关系,抓住图中线段EF和BC的位置关系, 根据定义得出结论. 截面BCFE右侧部分是棱柱,因为它满足棱柱的定义. 它是三棱柱BEB-CF
12、C,其中BEB和CFC是底面,EF,BC,BC是 侧棱. 截面BCFE左侧部分也是棱柱. 它是四棱柱ABEA-DCFD,其中四边形ABEA和四边形DCFD是底 面.AD,EF,BC,AD为侧棱. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 变式训练 1如图,已知长方体ABCD-A1B1C1D1,过BC和AD分别作一 个平面交底面A1B1C1D1于EF,PQ,则长方体被分成的三个几何体中, 棱柱的个数是 . 答案:3 解析:由棱柱的定义可得有3个. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 棱柱的结构特征棱柱的结构特征 例2(多选题)下列四个命题中,真命题为(
13、) A.棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 B.棱柱的各个侧面都是平行四边形 C.棱柱的两底面是全等的多边形 D.棱柱的面中,至少有两个面互相平行 答案:BCD 解析:A错,正六棱柱的两个相对的侧面互相平行,但不是棱柱的底 面,B,C,D是正确的. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 反思感悟 棱柱的性质 (1)棱柱的各个侧面都是平行四边形,所有的侧棱都平行且相等;直 棱柱的各个侧面都是矩形;正棱柱的各个侧面都是全等的矩形. (2)棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等 多边形. (3)过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形. (4)直棱柱的侧
14、棱长与高相等;直棱柱的侧面及经过不相邻的两条 侧棱的截面都是矩形. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 变式训练 2下列关于棱柱的性质正确的是( ) A.只有两个面相互平行 B.所有棱都相等 C.所有面都是四边形 D.各侧面都是平行四边形 答案:D 解析:棱柱的两个底面一定是平行的,但在棱柱中并不一定只有两 个面相互平行,故A错;棱柱所有的侧棱长都相等,但它们不一定等 于底面多边形的边长,故B错;棱柱的侧面都是四边形,但底面可以 不是四边形,故C错;棱柱的所有侧面都是平行四边形,故D正确,选D. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 棱锥、棱台的结
15、构特征棱锥、棱台的结构特征 例3下列几种说法中,正确的有( ) 用一个平面去截棱锥,棱锥底面和截面之间的部分是棱台; 棱台的侧面一定不会是平行四边形; 有两个面互相平行,其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 答案:B 解析:必须用一个平行于底面的平面去截棱锥,棱锥底面和截面之 间的部分才是棱台,故不正确;棱台的侧面一定是梯形,故正确; 不一定是棱台,因为各条侧棱延长后不一定相交于一点,故不 正确. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 反思感悟 关于棱锥、棱台结构特征题目的判断方法 (1)举反例法. 结合棱锥、棱台的定义举反例判断
16、关于棱锥、棱台结构特征的某 些说法不正确. (2)直接法. 棱锥 棱台 定底面 只有一个面是多边形,此面即底 面 两个互相平行的面, 即底面 看侧棱 相交于一点 延长后相交于一点 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 变式训练 3下列关于棱锥、棱台的说法: 棱台的底面一定不会是平行四边形; 棱锥的侧面只能是三角形; 由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥; 棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥. 其中所有正确说法的序号是 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 答案: 解析:不正确,棱台的底面可以是平行四边形还可以是其他多边 形; 正确,由棱锥的定义知
17、棱锥的侧面只能是三角形; 正确; 错误,如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 多面体的侧面积或表面积多面体的侧面积或表面积 例4(1)在三棱柱ABC-A1B1C1中,BAC=90,AB=AC=a, AA1B1=AA1C1=60,BB1C1=90,侧棱长为b,则其侧面积为 ( ) A.3 3 4 B. 3+2 2 ab C.( 3 + 2)ab D.2 3+2 2 ab (2)已知四棱锥S-ABCD的棱长均为5,底面为正方形,求它的侧面积 和表面积. (3)已知正四棱台(上、下底是正方形,上底面的中心在下底面的投 影是下底面的中心
18、)上底面边长为6,高和下底面边长都是12,求它的 侧面积. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 (1)答案:C 解析:如图,由已知条件可知,侧面AA1B1B和侧面AA1C1C为一般的平 行四边形,侧面BB1C1C为矩形. 在ABC 中,BAC=90,AB=AC=a, BC= 2a.矩形11= 2a b= 2ab. AA1B1=AA1C1=60,AB=AC=a, 点 B 到直线 AA1的距离为 asin 60= 3 2 a. 11= 11=b 3 2 a= 3 2 ab. S侧=2 3 2 ab+ 2ab=( 3 + 2)ab. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素
19、养形成 当堂检测 (2)解:因为四棱锥S-ABCD的各棱长均为5,所以各侧面都是全等的 正三角形. 设E为AB的中点,连接SE, 则 SEAB,S侧=4SABS=4 1 2ABSE=25 52- 5 2 2 =25 3,S底 =52=25, 所以 S表面积=25+25 3. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 (3)解:如图,E,E1分别是BC,B1C1的中点, O,O1分别是下、上底面正方形的中心, 则O1O为正四棱台的高,则O1O=12. 连接OE,O1E1, 则 OE=1 2AB= 1 212=6,O1E1= 1 2A1B1=3. 过 E1作 E1HOE,垂足为
20、H, 则 E1H=O1O=12,OH=O1E1=3,HE=OE-OH=6-3=3. 在 RtE1HE 中,E1E2=E1H2+HE2=122+32=153,所以 E1E=3 17. 所以 S侧=4 1 2(B1C1+BC)E1E=2(6+12)3 17=108 17. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 变式训练 4(1)一个四棱台的上、下底面都为正方形,且上底面的中 心在下底面的投影为下底面中心(即为正四棱台),两底面边长分别 为1,2,侧面积等于两个底面积之和,则这个棱台的高为( ) A.2 3 B.2 C.3 2 D.1 2 (2)已知一个四棱锥底面为正方形,且顶
21、点在底面正方形的投影为底 面正方形的中心(即为正四棱锥),底面正方形的边长为4 cm,高与斜 高的夹角为30,如图所示,求正四棱锥的侧面积和表面积(单 位:cm2). 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 提示:利用正棱锥的高、斜高、底面边心距组成的直角三角形求解, 然后代入公式. (1)答案:A 解析:如图所示,设O1,O分别为棱台的上、下底面中心,M1,M分别为 B1C1,BC的中点,连接O1O,O1M1,OM,MM1,则M1M为斜高.过M1作 M1HOM于H点,则M1H=OO1, S侧=4 1 2(1+2) M1M,S 上底+S下底=5. 由已知得 2(1+2) M
22、1M=5, M1M=5 6. 在 RtM1HM中,MH=OM-O1M1=1 2. M1H=O1O= 12-2= 5 6 2 - 1 2 2 = 2 3. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 (2)解:正棱锥的高PO、斜高PE、底面边心距OE组成RtPOE. OE=2,OPE=30, PE= sin30=4(cm). 因此 S侧=1 2444=32(cm 2), S表面积=S侧+S底=32+16=48(cm2). 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 多面体的表面展开图多面体的表面展开图 例5如图是三个几何体的表面展开图,请问各是什么几何体? 探究一
23、 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 解:(1)五棱柱;(2)五棱锥;(3)三棱台.如图所示. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 变式训练 5纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、 东、南、西、北,如下图,现在沿该正方体的一些棱将正方体剪 开,外面朝上展平,得到右侧的平面图形,如图.则标“”的面的方 位是( ) A.南 B.北 C.西 D.下 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 答案:A 解析:将所给图形还原为正方体,如图所示,最上面为,最左面为西, 最里面为上,将正方体旋转后让左面向西,让“上”面向上可知标“” 的方
24、位为南. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 截面周长最小问题截面周长最小问题 典例如图所示,在侧棱长为2 的正三棱锥V-ABC中, AVB=BVC=CVA=40,过点A作截面AEF分别交VB,VC于点 E,F,求截面AEF周长的最小值. 3 分析将正三棱锥沿侧棱VA展开求截面周长转化为求线段长 利用正三棱锥的性质求解 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 解:将三棱锥V-ABC沿侧棱VA剪开,将其侧面展开图平铺在一个平 面上,如图所示, 则AEF的周长=AE+EF+FA1. 因为AE+EF+FA1AA1, 所以线段AA1(即A,E,F,A1四点共
25、线时)的长即 所求AEF周长的最小值.作VDAA1,垂足为点D. 由VA=VA1,知D为AA1的中点. 由已知AVB=BVC=CVA1=40,得AVD=60. 在 RtAVD 中,AD=VA sin 60=2 3 3 2 =3, 即AA1=2AD=6. 所以截面AEF周长的最小值是6. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 方法点睛空间图形求表面上曲线段(或折线段)最小值的方法 空间图形求表面上曲线段(或折线段)最小值时,关键是弄清几何体 中的有关点、线在展开图中的相应位置关系.解决的方法就是把各 侧面展开铺在平面上,根据“平面内连接两点的线段最短”来解决.借 助平面几何
26、的知识来解决立体几何中的问题,是处理立体几何问题 的最佳方法. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 1.给出下列命题: 有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱; 侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥; 侧面都是矩形的直四棱柱是长方体; 若有两个侧面垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱; 各个面都是三角形的几何体是三棱锥. 其中所有错误命题的序号是( ) A. B. C. D. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 答案:D 解析:认识棱柱一般要从侧棱与底面的垂直与否和底面多边形的形 状两方面去分析,故错误,对等腰三角形的腰是不是侧棱未作 说明,故错误,平行六面体的
27、两个相对侧面也可能与底面垂直且 互相平行,故错误.由两个相同的三棱锥叠放在一起构成的几何 体,它的各个面都是三角形,但它不是三棱锥,故错误. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 2.(多选题)如图所示,不是正四面体(正四面体是各棱长都相等的三 棱锥)的展开图的是( ) 答案:CD 解析:可选择阴影三角形作为底面进行折叠,发现选项A,B可折成正 四面体,选项C,D不论选哪一个三角形作底面折叠都不能折成正四 面体.故选CD. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 3.下列几何体中, 是棱柱, 是棱锥, 是棱台(填序号). 探究一 探究二 探究三 探究四
28、 探究五 素养形成 当堂检测 答案: 解析:结合棱柱、棱锥和棱台的定义可知是棱柱,是棱锥, 是棱台. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 4.如图,将封闭的装有水的长方体水槽固定底面一边后将水槽倾斜 一个角度,则倾斜后水槽中的水形成的几何体的形状 是 . 答案:四棱柱(或三棱柱) 解析:倾斜后水槽中水形成的几何体的形状应为四棱柱(或三棱柱). 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 5.(2020黑龙江牡丹江一中高一月考)如图,在正三棱柱A1B1C1-ABC 中,AB=3,AA1=4,M为AA1的中点,P是BC上一点,且从点P沿棱柱侧面 经过棱CC1到点M的最短路线长为 ,设这条最短路线与CC1的交 点为N,求PC的长. 29 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 解:将三棱柱A1B1C1-ABC中侧面ACC1A1与侧面BCC1B1沿CC1展开 成一个平面,如图所示,则从点P沿棱柱侧面经过棱CC1到点M的最 短路线长为PM. 设PC=x,则PA=3+x,在RtMAP中,PM2=AM2+AP2, 即( )2=22+(3+x)2,解得x=2,所以PC=2. 29
