1、第十章复数 10.2 复数的运算 10.2.1 复数的加法与减法复数的加法与减法 课后篇巩固提升 基础达标练 1.若复数 z满足 z+i-3=3-i,则 z 等于( ) A.0 B.2i C.6 D.6-2i 答案 D 解析 z=3-i-(i-3)=6-2i. 2.(2020 湖南模拟)若复数 z=|4+3i|+a-2ai(aR)为纯虚数,则实数 a=( ) A.-5 B.0 C.5 D.-10 答案 A 解析由题可得 z=a+5-2ai,又 z 为纯虚数,所以 a=-5.故选 A. 3.(2020 上海高二课时练习)设 z1=x2-i,z2=-1+xi,xR,若 z1+z2为纯虚数,则实数
2、x的值为( ) A.-1 B.0 C.1 D.1 或-1 答案 A 解析由 z1=x2-i,z2=-1+xi,则 z1+z2=x2-i+(-1+xi)=x2-1+(x-1)i,若 z1+z2为纯虚数,则 - - 解得 x=-1. 故选 A. 4.复平面上三点 A,B,C 分别对应复数 1,2i,5+2i,则由 A,B,C 所构成的三角形是( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形 答案 A 解析|AB|=|2i-1|= ,|AC|=|4+2i|= ,|BC|=5,|BC|2=|AB|2+|AC|2.故选 A. 5.(2020 徐州铜山大许中学高二期中)已知 z1,z
3、2C,|z1|=|z2|=1,|z1+z2|= ,则|z1-z2|=( ) A.0 B.1 C. D.2 答案 B 解析设 z1=a+bi,z2=c+di(其中 a,b,c,dR),则 z1+z2=(a+c)+(b+d)i,z1-z2=(a-c)+(b-d)i.依题意得 a2+b2=1,c2+d2=1,由|z1+z2|= 得(a+c)2+(b+d)2=3,所以得 2(ac+bd)=1.所以|z1-z2|= - - - - =1. 6.复数 z 满足|z-2+i|=1,则|z|的最大值是( ) A. B. C. +1 D. -1 答案 C 解析|z-2+i|=1得|z-(2-i)|=1,则 z
4、对应的点构成以 C(2,-1)为圆心,1为半径的圆,|z|的几何意义是圆上的 点到原点的距离,则最大值为|OC|+1= - +1= +1.故选 C. 7.计算|(3-i)+(-1+2i)-(-1-3i)|= . 答案 5 解析|(3-i)+(-1+2i)-(-1-3i)|=|(2+i)-(-1-3i)|=|3+4i|= =5. 8.已知 z1= a+(a+1)i,z2=-3 b+(b+2)i(a,bR),若 z1-z2=4 ,则 a+b= . 答案 3 解析z1-z2= a+(a+1)i-3 b+(b+2)i=( )+(a-b-1)i=4 , 由复数相等的条件知 - - 解得 a+b=3. 9
5、.已知 z1=cos +isin ,z2=cos -isin ,且 z1-z2= i,则 cos(+)的值为 . 答案 解析z1=cos +isin ,z2=cos -isin , z1-z2=(cos -cos )+i(sin +sin )= i, - 由2+2得 2-2cos(+)=1,即 cos(+)= . 10.在复平面内,O是原点, 对应的复数分别为-2+i,3+2i,1+5i,那么 对应的复数 为 , 对应的复数为 . 答案-1+6i 4-4i 解析 =(-2+i)+(1+5i)=-1+6i, =(3+2i)-(-1+6i)=4-4i. 11.(2020 安徽定远民族学校高二月考)
6、已知 A(1,2),B(a,1),C(2,3),D(-1,b)(a,bR)是复平面内的四个点, 且向量 对应的复数分别为 z1,z2. (1)若 z1+z2=1+i,求 z1,z2; (2)若|z1+z2|=2,z1-z2为实数,求 a,b 的值. 解(1) =(a-1,-1), =(-3,b-3), z1=(a-1)-i,z2=-3+(b-3)i, 所以 z1+z2=(a-4)+(b-4)i. 又 z1+z2=1+i, - - z1=4-i,z2=-3+2i. (2)由(1)得 z1+z2=(a-4)+(b-4)i,z1-z2=(a+2)+(2-b)i. |z1+z2|=2,z1-z2为实数
7、, - - - 能力提升练 1.设向量 对应的复数分别为 z1,z2,z3,那么 ( ) A.z1+z2+z3=0 B.z1-z2-z3=0 C.z1-z2+z3=0 D.z1+z2-z3=0 答案 D 解析 ,z1+z2=z3, 即 z1+z2-z3=0. 2.(2020 四川泸县第一中学三模)zC,若|z|- =1+2i,则 z=( ) A. -2i B. +2i C.2+2i D.2-2i 答案 B 解析设 z=a+bi(a,bR),则|z|- -a+bi=1+2i, 故 - 解得 故 z= +2i. 3.在ABCD中,点 A,B,C 分别对应复数 4+i,3+4i,3-5i,则点 D对
8、应的复数是( ) A.2-3i B.4+8i C.4-8i D.1+4i 答案 C 解析 对应的复数为(3+4i)-(4+i)=(3-4)+(4-1)i=-1+3i,设点 D 对应的复数为 z,则 对应的复数为(3- 5i)-z. 由平行四边形法则,知 , -1+3i=(3-5i)-z, z=(3-5i)-(-1+3i)=(3+1)+(-5-3)i=4-8i.故选 C. 4.(2020 上海高二课时练习)z1=3+4i,z2=-2-i,则 z1- 的共轭复数为( ) A.1-3i B.5-3i C.5+3i D.1+3i 答案 B 解析因为 z1=3+4i,z2=-2-i, 所以 z1- =(
9、3+4i)-(-2+i)=5+3i. 所以 z1- 的共轭复数为 5-3i,故选 B. 5.复数 z 满足|z-i|=|z+3i|,则|z|( ) A.最小值为 1,无最大值 B.最大值为 1,无最小值 C.恒等于 1 D.无最大值,也无最小值 答案 A 解析设复数 z=x+yi,其中 x,yR, 由|z-i|=|z+3i|,得 |x+(y-1)i|=|x+(y+3)i|, x2+(y-1)2=x2+(y+3)2, 解得 y=-1. |z|= 1, 即|z|有最小值为 1,没有最大值.故选 A. 6.(多选题)(2020 苏州相城陆慕高级中学高二月考)已知 i为虚数单位,下列说法正确的是( )
10、 A.若复数 z 满足|z-i|= ,则复数 z 对应的点在以(1,0)为圆心, 为半径的圆上 B.若复数 z 满足 z+|z|=2+8i,则复数 z=15+8i C.复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离,也就是复数对应的向量的模 D.复数 z1对应的向量为 ,复数 z2对应的向量为 ,若|z1+z2|=|z1-z2|,则 答案 CD 解析满足|z-i|= 的复数 z对应的点在以(0,1)为圆心、 为半径的圆上,A错误;设 z=a+bi(a,bR), 则|z|= . 由 z+|z|=2+8i,得 a+bi+ =2+8i, 解得 - z=-15+8i,B 错误;由复数的模的定义知
11、C正确;由|z1+z2|=|z1-z2|的几何意义知,以 所在 线段为邻边的平行四边形为矩形,从而两邻边垂直,D正确.故选 CD. 7.(2020 上海高二课时练习)设复数 z1=m+5i,z2=3+ni,m,n 均为实数.若 z1+z2=4+3i,z=m+ni,则 = . 答案 1+2i 解析z1=m+5i,z2=3+ni, z1+z2=m+5i+3+ni=(m+3)+(5+n)i. 又 z1+z2=4+3i, (m+3)+(5+n)i=4+3i. 解得 - m+ni=1-2i, =1+2i. 8.复数 z1=cos +i,z2=sin -i,则|z1-z2|的最大值为 ,最小值为 . 答案
12、 2 解析|z1-z2|=|(cos -sin )+2i| = - = - = - , 当 sin 2=-1时,得最大值 , 当 sin 2=1 时,得最小值 2. 9.设 z=a+bi(a,bR),且(4a+4bi)+(2a-2bi)=3 +i,又 =sin -icos ,求|z-|的取值范围. 解(4a+4bi)+(2a-2bi)=3 +i, 6a+2bi=3 +i, z= i, z-=( )-(sin -icos ) =( - ) ( )i, |z-|=( - ) ( ) = - = - ( - ) - ( - ), -1sin( - )1,02-2sin( - )4, 0|z-|2,
13、故|z-|的取值范围是0,2. 素养培优练 已知|z1|=|z2|=1,z1+z2= i,求复数 z1,z2及|z1-z2|. 解由于|z1+z2|=| |=1. 设 z1,z2,z1+z2对应的向量分别为 , 则| |=| |=| |=1, 故 A,B,C三点均在以原点为圆心,半径为 1 的圆上,如图. 易得:cosAOC= ,故AOC=60, 又由平行四边形法则知四边形 OBCA为平行四边形, OACB 为菱形,且BOC,COA都是等边三角形,即AOB=120. 又 与 x 轴正半轴的夹角为 60,点 A在 x轴上,即 A(1,0). 而 xB=| |cos 120=- , yB=| |sin 120= , 点 B的坐标为(- ). - 或 - |z1-z2|=| ( - )| .
