1、第十一章立体几何初步 11.2 平面的基本事实与推论 课后篇巩固提升 基础达标练 1.空间中,可以确定一个平面的条件是( ) A.两条直线 B.一点和一条直线 C.一个三角形 D.三个点 答案 C 2.(2020 黑龙江牡丹江一中高一月考)下列命题正确的是 ( ) A.三点确定一个平面 B.圆心和圆上两个点确定一个平面 C.如果两个平面相交有一个交点,则必有无数个公共点 D.如果两条直线没有交点,则这两条直线平行 答案 C 解析共线的三点不能确定一个平面,故 A 错误;当圆上的两个点恰为直径的端点时,不能确定一个平 面,故 B错误;如果两个平面相交有一个交点,则这两个平面相交于过该点的一条直线
2、,故 C 正确;如果 两条直线没有交点,则这两条直线平行或异面,故 D 错误. 3.若平面 和平面 有三个公共点 A,B,C,则平面 和平面 的位置关系为( ) A.平面 和平面 只能重合 B.平面 和平面 只能交于过 A,B,C三点的一条直线 C.若点 A,B,C不共线,则平面 和平面 重合;若点 A,B,C 共线,则平面 和平面 重合或相交于过 A,B,C的一条直线 D.以上都不对 答案 C 解析应分点 A,B,C 共线与不共线两种情况讨论. 4.(多选题)(2020 江苏响水中学高一月考)已知 A,B,C表示不同的点,l表示直线, 表示不同的平面,则 下列推理正确的是( ) A.如果 A
3、l,A,Bl,B,则 l B.如果 l,Al,则 A C.如果 A,Al,l,则 l=A D.如果 A,A,B,B,则 =AB 答案 ACD 解析对于 A,由 Al,A,Bl,B,根据平面的基本事实 2,可得 l,所以 A正确;对于 B,由 l,A l,根据直线与平面的位置关系,则 A或 A,所以 B不正确;对于 C,由 A,Al,l,根据直线与平 面位置关系,则 l=A,所以 C 正确;对于 D,由 A,A,B,B,根据平面的基本事实 3,可得 =AB,所以 D 正确. 5. 如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,O为 DB的中点,直线 A1C交平面 C1BD于点 M,则下列结论
4、错 误的是( ) A.C1,M,O 三点共线 B.C1,M,O,C 四点共面 C.C1,O,A,M四点共面 D.D1,D,O,M四点共面 答案 D 解析连接 A1C1,AC,由于平面 A1C平面 C1BD=OC1,故有 C1,M,O三点共线,C1,M,O,C四点共 面,C1,O,A,M四点共面,而 D1,D,O,M四点不共面.故选 D. 6.下图中正确表示两个相交平面的是( ) 答案 D 解析 A 中无交线;B 中不可见线没有画成虚线;C 中虚、实线没按画图规则画,也不正确.D的画法正确. 7. 如图所示,平面 =l,A,B,C 且 Cl,ABl=R,设过 A,B,C三点的平面为 ,则 等于(
5、 ) A.直线 AC B.直线 BC C.直线 CR D.以上都不对 答案 C 解析由 C,R是平面 和 的两个公共点,可知 =CR.故选 C. 8.设平面 与平面 交于直线 l,A,B.且 ABl=C,则 AB= . 答案 C 解析因为 A,B,ABl=C,所以 CAB,又因为 Cl,l,所以 C,所以 AB=C. 9.过同一点的 4 条直线中,任意 3 条都不在同一平面内,则这 4条直线确定的平面的个数 是 . 答案 6 解析如图,这 4条直线每 2条直线确定 1个平面,共确定的平面的个数是 6. 10.下列命题中,不正确的是 (填序号). 一直线与两平行直线都相交,那么这三条直线共面;
6、三条两两垂直的直线共面; 两两相交直线上的三个点确定一个平面; 每两条都相交但不共点的四线共面. 答案 解析三条两两垂直的直线最多可确定三个平面,故错误;两两相交直线上的三个点若共线就无法确 定平面,故错误;正确. 11. 如图,试用适当的符号表示下列点、直线和平面的关系: (1)点 C 与平面 : . (2)点 A 与平面 : . (3)直线 AB 与平面 : . (4)直线 CD 与平面 : . (5)平面 与平面 : . 答案(1)C (2)A (3)AB=B (4)CD (5)=BD 12.(2020 江苏南京师大附中高一期中)(1)用符号表示下列语句,并画出同时满足这四个语句的一个几
7、 何图形: 直线 l在平面 内;直线 m 不在平面 内;直线 m 与平面 交于点 A;直线 l 不经过点 A. (2)如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1中,E为棱 BB1的中点,F 为棱 CC1的三等分点,画出由 D1,E,F 三点 所确定的平面 与平面 ABCD 的交线.(保留作图痕迹) 解(1)l;m;m=A;Al;示意图如下: (2)如图,直线 IL 即为所求. 能力提升练 1.(多选题)给出下列四个说法,其中正确的是( ) A.若线段 AB在平面 内,则直线 AB不在平面 内 B.两条平行直线共面 C.两个不重合的平面有一个公共点,则一定有无数个公共点 D.空间三点确定一个平面
8、 答案 BC 解析对 A,如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内,故 A不正确;对 B,两条平 行直线共面,故 B正确;对 C,如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的 公共直线,则一定有无数个公共点,故 C正确;对 D,过不在同一直线上的三个点,有且只有一个平面,但 若三个点共线,不能确定一个平面,故 D不正确.综上所述,只有 C 正确. 2.下列四个命题: 如果两个平面有三个公共点,那么这两个平面重合; 两条直线可以确定一个平面; 若 M,M,=l,则 Ml; 空间中,相交于同一点的三条直线在同一平面内. 真命题的个数为( ) A.1 B.2 C.3
9、 D.4 答案 A 解析错,如果两个平面有三个公共点,那么这三个公共点共线,或这两个平面重合; 错,两条异面直线不能确定一个平面; 对; 错,空间中,相交于同一点的三条直线不一定在同一平面内. 3.(多选题)设 ,表示两个平面,l表示直线,A,B,C 表示三个不同的点,给出下列命题,正确的是( ) A.若 Al,A,Bl,B,则 l B., 不重合,若 A,A,B,B,则 =AB C.若 l,Al,则 A D.若 A,B,C,A,B,C,且 A,B,C不共线,则 与 重合 答案 ABD 解析若 Al,A,Bl,B,则 l,由平面的基本事实 2,可得 A正确; 由平面的基本事实 2,知 AB,A
10、B,即 =AB,可得 B正确; 若 l,Al,则 A或 A,可得 C不正确; 若 A,B,C,A,B,C,且 A,B,C 不共线,则 与 重合,由平面的基本事实 1 和过 A,B,C确定一平 面且与 , 重合,可得 D正确.故选 ABD. 4.设 P 表示一个点,a,b 表示两条直线,表示两个平面,给出下列四个命题,其中正确的命题是( ) Pa,Pa ab=P,ba ab,a,Pb,Pb =b,P,PPb A. B. C. D. 答案 D 解析当 a=P 时,Pa,P,但 a,错; a=P时,错;如图, ab,Pb,Pa, 由直线 a 与点 P 确定唯一平面 , 又 ab,由 a与 b确定唯一
11、平面 ,但 经过直线 a 与点 P, 与 重合,b,故正确; 两个平面的公共点必在其交线上,故正确.故选 D. 5. 如图所示,A,B,C,D为不共面的四点,E,F,G,H分别在线段 AB,BC,CD,DA 上.如果 EFGH=Q,那么点 Q 在直线 上. 答案 AC 解析若 EFGH=Q,则点 Q平面 ABC,Q平面 ACD.而平面 ABC平面 ACD=AC,所以 QAC. 6.如图所示的正方体中,P,Q,M,N分别是所在棱的中点,则这四个点共面的图形是 (填序 号). 答案 解析图形中,连接 MN,PQ(图略),则由正方体的性质得 MNPQ,可知两条平行直线可以确定一个平 面,故图形正确.
12、分析可知中四点与另外两棱中点构成正六边形,所以四点共面,中四点均不 共面. 7.如图,D,E分别是ABC 的边 AC,BC上的点,平面 经过 D,E 两点. (1)求作直线 AB 与平面 的交点 P; (2)求证:D,E,P三点共线. (1)解延长 AB交平面 于点 P,如图所示. (2)证明平面 ABC平面 =DE,PAB,AB平面 ABC,所以 P平面 ABC. 又 P,所以点 P在平面 与平面 ABC 的交线 DE上,即 PDE.故 D,E,P三点共线. 8. 如图所示,在三棱锥 A-BCD中,作截面 PQR,若 PQ,CB的延长线交于点 M,RQ,DB的延长线交于 点 N,RP,DC的
13、延长线交于点 K.求证:M,N,K三点共线. 证明因为 PQCB=M,所以 M直线 PQ. 因为 PQ平面 PQR,所以 M平面 PQR. 又因为 M直线 CB,CB平面 BCD, 所以 M平面 BCD,从而 M 是平面 PQR与平面 BCD 的一个公共点,即 M在平面 PQR 与平面 BCD的交线(设为 l)上. 同理可证,K,N 也在 l上,所以 M,N,K 三点共线. 素养培优练 如图,不共面的四边形 ABBA,BCCB,CAAC都是梯形. 求证:三条直线 AA,BB,CC相交于一点. 证明因为在梯形 ABBA中,ABAB, 所以 AA,BB在同一平面 AB 内. 设直线 AA,BB相交于点 P,如图所示. 同理 BB,CC同在平面 BBCC 内,CC,AA同在平面 AACC 内. 因为 PAA,AACC平面 AACC,所以 P平面 AACC.同理点 P平面 BBCC,所以点 P 在平 面 AACC 与平面 BBCC的交线上,而平面 AACC平面 BBCC=CC,故点 P直线 CC,即三条直线 AA,BB,CC相交于一点.
