1、第十一章立体几何初步 11.4 空间中的垂直关系 11.4.2 平面与平面垂直平面与平面垂直 课后篇巩固提升 基础达标练 1.设平面 平面 ,且 =l,直线 a,直线 b,且 a不与 l垂直,b 不与 l垂直,那么 a与 b( ) A.可能垂直,不可能平行 B.可能平行,不可能垂直 C.可能垂直,也可能平行 D.不可能垂直,也不可能平行 答案 B 解析若 al,bl,则 ab.假设 ab,在平面 内,过 a上一点 P 作 PMl于点 M,则 PM, 所以 PMb. 又 ba,所以 b,得 bl,与 b与 l不垂直矛盾,所以 a 与 b 不可能垂直. 2.如果直线 l,m与平面 , 满足 l=,
2、l,m,m,那么必有( ) A.和 lm B.和 m C.m和 lm D.和 答案 A 解析由 m,l,可得 ml.由 m,m,可得 . 3.下列说法正确的是( ) 过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直; 如果一条直线和两个垂直平面中的一个垂直,它必和另一个平面平行; 过不在平面内的一条直线可作无数个平面与已知平面垂直; 如果两个平面互相垂直,经过一个平面内一点与另一平面垂直的直线在第一个平面内. A. B. C. D. 答案 D 解析过平面外一点可作一条直线与平面垂直,过该直线的任何一个平面都与已知平面垂直,所以不 对;若 ,a,则 a或 a,所以不对;当平面外的直线是平面的垂线时,能
3、作无数个平面与已 知平面垂直,否则只能作一个,所以也不对.正确. 4.(2020 山西高二月考)已知 AB是圆柱上底面的一条直径,C是上底面圆周上异于 A,B的一点,D为圆 柱下底面圆周上一点,且 AD圆柱的底面,则必有( ) A.平面 ABC平面 BCD B.平面 BCD平面 ACD C.平面 ABD平面 ACD D.平面 BCD平面 ABD 答案 B 解析因为 AB 是圆柱上底面的一条直径,所以 ACBC.又 AD圆柱的底面,所以 ADBC.因为 ACAD=A,所以 BC平面 ACD.又 BC平面 BCD,所以平面 BCD平面 ACD. 5.三个平面两两垂直,它们的交线交于一点 O,点 P
4、到三个面的距离分别是 3,4,5,则 OP的长为( ) A.5 B.5 C.3 D.2 答案 B 解析三个平面两两垂直, 可以将 P与各面的垂足连接并补成一个长方体, OP即为该长方体的体对角线, OP= =5 . 6.(2020 重庆巴蜀中学高三月考)已知在矩形 ABCD中,AB=2BC=4,E 为 AB 的中点,沿着 DE 将ADE 翻折到PDE,使平面 PDE平面 EBCD,则 PC的长为( ) A.2 B.2 C.4 D.6 答案 A 解析如图,画出矩形 ABCD 沿着 DE 折叠后的几何图形, 因为四边形 ABCD是矩形,AB=2BC=4,E 为 AB 的中点, 所以 DE= =2
5、, EC= =2 . 因为 DE2+CE2=DC2,所以 CEDE. 因为平面 PDE平面 EBCD,平面 PDE平面 EBCD=DE, 所以 CE平面 PDE,所以 CEPE. 因为 PE 就是 AE,AE= AB=2, 所以 PE=2,PC= =2 . 7.下列说法:两个相交平面组成的图形叫做二面角;异面直线 a,b 分别和一个二面角的两个面垂 直,则 a,b所成的角与这个二面角相等或互补;二面角的平面角是从棱上一点出发,分别在两个面内 作射线所成角的最小角;二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系.其中正确的是 ( ) A. B. C. D. 答案 B 解析对,显然混淆了平面与半
6、平面的概念,是错误的;对,由于 a,b分别垂直于两个面,所以也垂直 于二面角的棱,但由于异面直线所成的角为锐角(或直角),所以应是相等或互补,是正确的;对,因为所 作射线不垂直于棱,所以是错误的;是正确的.故选 B. 8.已知平面 ,和直线 m,给出条件: m;m;m;. (1)当满足条件 时,有 m; (2)当满足条件 时,有 m.(填序号). 答案 9.设 和 为不重合的两个平面,给出下列命题: 若 内的两条相交直线分别平行于 内的两条直线,则 平行于 ; 若 外一条直线 l与 内的一条直线平行,则 l和 平行; 设 和 相交于直线 l,若 内有一条直线垂直于 l,则 和 垂直. 上面命题
7、中,真命题的序号是 (填序号). 答案 解析由面面平行的判定定理可得,该命题正确. 由线面平行的判定定理可得,该命题正确. 如图(举反例),a,=l,al,但 与 不垂直. 10.在长方体 ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=2 ,CC1= ,则二面角 C1-BD-C 的大小为 . 答案 30 解析连接 AC 交 BD于点 O,连接 C1O, C1D=C1B,O为 BD中点, C1OBD,ACBD, C1OC是二面角 C1-BD-C 的平面角, 在 RtC1CO 中,C1C= ,可以计算 C1O=2 , sinC1OC= ,C1OC=30. 11.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D
8、1中,E,F分别为棱 AD,AB 的中点. (1)求证:EF平面 CB1D1; (2)求证:平面 CAA1C1平面 CB1D1. 证明(1)连接 BD. 在正方体 AC1中,对角线 BDB1D1. 又E,F 为棱 AD,AB 的中点, EFBD.EFB1D1. 又 B1D1平面 CB1D1,EF平面 CB1D1, EF平面 CB1D1. (2)在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,AA1平面 A1B1C1D1,而 B1D1平面 A1B1C1D1,AA1B1D1. 又在正方形 A1B1C1D1中,A1C1B1D1,AA1A1C1=A1,B1D1平面 CAA1C1. 又B1D1平面 CB1D1,
9、 平面 CAA1C1平面 CB1D1. 能力提升练 1.正方形 ABCD 的边长为 12,PA平面 ABCD,PA=12,则点 P到对角线 BD 的距离为( ) A.12 B.12 C.6 D.6 答案 D 解析如图,连接 AC 交 BD于点 O.则 PABD,AOBD. 所以 BD平面 PAO. 所以 POBD,故 PO 为 P到 BD的距离. 在 RtAOP 中,PA=12,AO=6 . 所以 PO=6 . 2.如图所示,在四边形 ABCD 中,ADBC,AD=AB,BCD=45,BAD=90,将ABD 沿 BD折起,使 平面 ABD平面 BCD,构成四面体 ABCD,则在四面体 ABCD
10、 中,下列说法正确的是( ) A.平面 ABD平面 ABC B.平面 ADC平面 BDC C.平面 ABC平面 BDC D.平面 ADC平面 ABC 答案 D 解析在题图中,因为BAD=90,AD=AB, 所以ADB=ABD=45. 因为 ADBC,所以DBC=45. 又因为BCD=45, 所以BDC=90,即 BDCD. 在题图中,此关系仍成立. 因为平面 ABD平面 BCD,所以 CD平面 ABD. 因为 BA平面 ADB,所以 CDAB. 因为 BAAD,所以 BA平面 ACD. 因为 BA平面 ABC,所以平面 ABC平面 ACD. 3.如图,A,B,C,D 为空间四点,在 RtABC
11、 中,AB=2,AC=BC= ,等边三角形 ADB以 AB 为轴旋转,当平 面 ADB平面 ABC时,CD=( ) A. B.2 C. D.1 答案 B 解析取 AB的中点 E,连接 DE,CE(图略).因为ADB是等边三角形,所以 DEAB.当平面 ADB平面 ABC时,因为平面 ADB平面 ABC=AB,所以 DE平面 ABC,又 CE平面 ABC,所以 DECE.由已知 可求得 DE= ,CE=1,故在 RtDEC中,CD= =2. 4.(多选题)在正四面体 ABCD 中,E,F,G分别是 BC,CD,DB 的中点,下列四个结论正确的是( ) A.BC平面 AGF B.EG平面 ABF
12、C.平面 AEF平面 BCD D.平面 ABF平面 BCD 答案 ABD 解析F,G分别是 CD,DB的中点,GFBC, 则 BC平面 AGF,故 A正确; E,F,G分别是 BC,CD,DB的中点,CDAF,CDBF,即 CD平面 ABF,EGCD, EG平面 ABF,故 B 正确; E,F,G分别是 BC,CD,DB的中点,CDAF,CDBF,即 CD平面 ABF, CD面 BCD, 平面 ABF平面 BCD,故 D 正确;对于选项 C,假设平面 AEF平面 BCD, 由平面 AEF平面 BCD=EF,CD平面 BCD,CDAF,CD平面 AEF,CDEF,与 CD,EF 夹角 为 60矛
13、盾,故 C错误.故选 ABD. 5.(多选题)(2020 辽宁沈阳铁路实验中学高一月考)如图所示,等边三角形 ABC的中线 AF 与中位线 DE 相交于点 G,已知AED 是AED绕 DE旋转过程中的一个图形,则下列四个结论正确的是( ) A.动点 A在平面 ABC 内的射影在 AF上 B.恒有平面 AGF平面 BCED C.三棱锥 A-FED的体积有最大值 D.直线 AE 与 BD不可能垂直 答案 ABC 解析对于 A选项,在等边三角形 ABC中,F 为 BC的中点,则 AFBC.D,E 分别为 AB,AC的中点, DEBC,则 DEAF,翻折后,对应地有 DEAF,DEAG,AFAG=G,
14、DE平面 AGF. DE平面 BCED,平面 AGF平面 BCED,且平面 AGF平面 BCED=AF,由面面垂直的性 质定理可知,动点 A在平面 ABC内的射影在 AF上,故 A,B正确.由于DEF的面积为定值,当三棱锥 A-FED的高取得最大值时,即当平面 ADE平面 BCED 时,三棱锥 A-FED的体积有最大值,故 C正 确.在翻折的过程中,AEF 有可能为直角,E,F分别为 AC,BC的中点,则 EFAB,即 EFBD,异 面直线 AE与 BD 所成的角为AEF或其补角,则直线 AE与 BD 可能垂直,故 D选项错误. 6.如图,在四面体 P-ABC中,PA=PB= ,平面 PAB平
15、面 ABC,ABC=90,AC=8,BC=6,则 PC= . 答案 7 解析取 AB的中点 E,连接 PE. PA=PB,PEAB. 又平面 PAB平面 ABC, PE平面 ABC.连接 CE, PECE.ABC=90,AC=8,BC=6, AB=2 ,PE= - ,CE= ,PC= =7. 7.(2020 山东邹城第一中学高三月考)三棱锥 P-ABC 中,PA=PB=PC=AB=BC=1,且平面 PAC平面 ABC,则 AC= ;若球 O 与该三棱锥除 PB以外的 5 条棱均相切,则球 O的半径为 . 答案 -1 解析如图,设 M为 AC的中点, 因为 PA=PC,所以 PMAC.又因为平面
16、 PAC平面 ABC,所以由面面垂直的性质定理得 PM 平面 ABC,所以 PMMB.因为 - - ,所以 PM=MB, 从而可得 PM= ,AC= .设 O1,O2分别为对应面的内心,分别过 O1,O2作 MP,MB的平行线,交于 点 O,即 O为所求的球心,易知 OO1MO2是正方形,设 RtPAC 内切圆的半径为 r,球 O 的半径为 R,由 图可知 OM=R= r,而 r= - ,所以 R= -1. 8.如图,在长方形 ABCD中,AB=2,BC=1,E 为 DC的中点,F 为线段 EC(端点除外)上一动点.现将AFD 沿 AF折起,使平面 ABD平面 ABC.在平面 ABD 内过点
17、D作 DKAB,K为垂足.设 AK=t,则 t的取值 范围是 . 答案( ) 解析如图, 过 D 作 DGAF,垂足为 G,连接 GK, 平面 ABD平面 ABC,又 DKAB,DK平面 ABC, DKAF. AF平面 DKG,AFGK.容易得到,当 F接近 E点时,K接近 AB 的中点,当 F 接近 C点时,K 接近 AB 的四等分点.t的取值范围是( ). 素养培优练 如图所示,四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是边长为 1 的菱形,BCD=60,E是 CD 的中点,PA底 面 ABCD,PA= . (1)证明:平面 PBE平面 PAB; (2)求二面角 A-BE-P的大小. (1)证明如图所示,连接 BD, 由 ABCD是菱形且BCD=60,可知BCD是等边三角形. 因为 E是 CD的中点, 所以 BECD. 又因为 ABCD, 所以 BEAB. 又因为 PA平面 ABCD,BE平面 ABCD, 所以 PABE. 而 PAAB=A,因此 BE平面 PAB. 又因为 BE平面 PBE, 所以平面 PBE平面 PAB. (2)解由(1)知 BE平面 PAB,PB平面 PAB, 所以 PBBE. 又因为 ABBE,所以PBA 是二面角 A-BE-P的平面角.在 RtPAB中,tanPBA= ,所以 PBA=60, 故二面角 A-BE-P的大小是 60.
