1、第十一章立体几何初步 11.3 空间中的平行关系 11.3.3 平面与平面平行平面与平面平行 课后篇巩固提升 基础达标练 1.(多选题)设 ,为两个不重合的平面,则下列条件能得到 的是( ) A.内有无数条直线与 平行 B.平面 , 平行于同一平面 C.平面 , 平行于同一条直线 D.内有两条相交直线与 平行 答案 BD 解析对于 A,若这无数条直线为无数条平行线,则无法得到 ,A错误; 对于 B,平面 , 平行于同一平面,此时 ,B 正确; 对于 C,平面 , 平行于同一条直线,此时平面 ,可以相交,C 错误; 对于 D,由面面平行的判定定理可知,D正确. 2.(多选题)(2020 全国高一
2、课时练习)已知 a,b 表示两条不重合的直线,表示三个不重合的平面,给 出下列命题,其中正确的是( ) A.若 =a,=b,且 ab,则 B.若 a,b相交且都在 ,外,a,b,a,b,则 C.若 a,a,则 D.若 a,a,=b,则 ab 答案 BD 解析对于 A,若 =a,=b,且 ab,则 或者 与 相交,故 A错误. 对于 B,若 a,b 相交且都在 , 外,则 a,b可以确定一个平面,记为 ,a,b,a,b,可得 ,由面面平行的传递性可知 ,故 B正确. 对于 C,a,a,则 或 与 相交,故 C错误. 对于 D,由 a,a,=b,由线面平行的性质定理知 ab,故 D 正确. 3.已
3、知直线 a,b,平面 ,下列命题正确的是( ) A.若 a,ba,则 b B.若 a,b,a,b,则 C.若 ,b,则 b D.若 ,a,则 a 答案 D 解析本题考查线面、面面平行的判定和性质.若 a,ba,则 b或 b,故 A错误;由面面平行的 判定定理知 B 错误;若 ,b,则 b或 b,故 C错误.故选 D. 4.a,b,c 为三条不重合的直线,为三个不重合的平面,现给出六个命题: ab; ab; ; ; a; a. 其中正确的命题是( ) A. B. C. D. 答案 C 解析本题考查直线、平面的平行.由空间平行线的传递性,知正确;错误,a,b可能相交、平行或异 面;错误,与 可能相
4、交;由面面平行的传递性,知正确;错误,a可能在 内.故选 C. 5.在正方体 EFGH-E1F1G1H1中,四对截面彼此平行的一对是( ) A.平面 E1FG1与平面 EGH1 B.平面 FHG1与平面 F1H1G C.平面 F1H1H与平面 FHE1 D.平面 E1HG1与平面 EH1G 答案 A 解析如图易证 E1G1平面 EGH1,G1F平面 EGH1. 又 E1G1G1F=G1,E1G1,G1F平面 E1FG1. 所以平面 E1FG1平面 EGH1.即选项 A符合,其他都相交.故选 A. 6.在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,若经过 D1B 的平面分别交 AA1和 CC1于点 E
5、,F,则四边形 D1EBF 的形 状是 ( ) A.矩形 B.菱形 C.平行四边形 D.正方形 答案 C 解析因为平面和左右两个侧面分别交于 ED1,BF,所以 ED1BF,同理 D1FEB,所以四边形 D1EBF是 平行四边形.故选 C. 7.下列说法正确的是( ) A.平行于同一条直线的两个平面平行 B.平行于同一个平面的两个平面平行 C.一个平面内有三个不共线的点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行 D.若三条直线 a,b,c 两两平行,则在过直线 a 的平面中,有且只有一个平面与 b,c 均平行 答案 B 解析平行于同一条直线的两个平面可以平行也可以相交,所以 A错;B 正确;C中
6、没有指明这三个点在 平面的同侧还是异侧,所以 C不正确;因为过直线 a 的平面中,只要 b,c 不在其平面内,则与 b,c均平行, 所以 D不正确.故选 B. 8.过正方体 ABCD-A1B1C1D1的三个顶点 A1,C1,B 的平面与底面 ABCD所在平面的交线为 l,则 l与 A1C1的位置关系是 . 答案 lA1C1 解析因为过 A1,C1,B 三点的平面与底面 A1B1C1D1的交线为 A1C1,与底面 ABCD的交线为 l,由于正方 体的两底面互相平行,则由面面平行的性质定理知 lA1C1. 9. 如图,ABCD是空间四边形,E,F,G,H分别是其四边上的点且共面,AC平面 EFGH
7、,AC=m,BD=n,当 EFGH是菱形时, = . 答案 解析 - - ,而 EF=FG, EF= , - . 能力提升练 1.已知 a,b 表示直线,表示平面,则下列推理正确的是( ) A.=a,bab B.=a,abb,且 b C.a,b,a,b D.,=a,=bab 答案 D 解析选项 A,=a,b,则 a,b可能平行也可能相交,故 A 不正确; 选项 B,=a,ab,则可能 b,且 b,也可能 b 在平面 或 内,故 B 不正确; 选项 C,a,b,a,b,根据面面平行的判定定理,再加上条件 ab=A,才能得出 ,故 C 不正确; 选项 D为面面平行性质定理的符号语言,故选 D. 2
8、.设平面 平面 ,A,B,C是 AB的中点,当 A,B分别在 , 内运动时,那么所有的动点 C( ) A.不共面 B.当且仅当 A,B在两条相交直线上移动时才共面 C.当且仅当 A,B在两条给定的平行直线上移动时才共面 D.不论 A,B 如何移动都共面 答案 D 解析由面面平行的性质,不论 A,B如何运动,动点 C均在过点 C 且与 , 都平行的平面上. 3. (2020全国高二)如图,在四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中,四边形 ABCD为平行四边形,E,F 分别在线段 DB,DD1上,且 ,G 在 CC1上,平面 AEF平面 BD1G,则 =( ) A. B. C. D. 答案 B 解析
9、在四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中,四边形 ABCD 为平行四边形,E,F分别在线段 DB,DD1上,且 ,EFBD1, G 在 CC1上,且平面 AEF平面 BD1G, AFBG, . 4.如图,P是ABC 所在平面外一点,平面 平面 ABC, 分别交线段 PA,PB,PC于点 A,B,C,若 ,则 =( ) A. B. C. D. 答案 D 解析由平面 平面 ABC,得 ABAB,BCBC,ACAC,由等角定理得ABC=ABC,BCA= BCA,CAB=CAB,从而ABCABC,PABPAB, ( ) ( ) , 所以 ,故选 D. 5. (多选题)(2020 福建南安侨光中学高一月考
10、)如图是正四棱锥 P-ABCD 的平面展开图,其中四边形 ABCD 为正方形,P1,P2,P3,P4是顶点 P 对应的四个点,E,F,G,H 分别为 P1A,P4D,P2C,P2B的中点.在正四 棱锥 P-ABCD中,给出下列结论,其中正确的是 ( ) A.平面 EFGH平面 ABCD B.直线 PA平面 BDG C.直线 EF平面 PBC D.直线 EF平面 BDG 答案 ABC 解析作出立体图形如图所示. 连接 E,F,G,H四点构成平面 EFGH.对于 A,因为 E,F分别是 PA,PD的中点,所以 EFAD.又 EF平面 ABCD,AD平面 ABCD,所以 EF平面 ABCD.同理,E
11、H平面 ABCD.又 EFEH=E,EF平面 EFGH,EH平面 EFGH,所以平面 EFGH平面 ABCD,故 A 正确; 对于 B,连接 AC,BD,DG,BG,设 AC的中点为 M,则 M 也是 BD的中点,所以 MGPA,又 MG平 面 BDG,PA平面 BDG,所以 PA平面 BDG,故 B正确; 对于 C,由 A中的分析知 EFAD,ADBC,所以 EFBC,因为 EF平面 PBC,BC平面 PBC,所 以直线 EF平面 PBC,故 C正确; 对于 D,根据 C中的分析可知 EFBC,再结合图形可得,BCBD=B,则直线 EF与平面 BDG不平 行,故 D错误. 6.如图,在直角梯
12、形 ABCP 中,APBC,APAB,AB=BC= AP,D为 AP 的中点,E,F,G 分别为 PC,PD,CB的中点,将PCD 沿 CD折起,得到四棱锥 P-ABCD,如图. 则在四棱锥 P-ABCD 中,AP与平面 EFG 的位置关系为 . 答案平行 解析在四棱锥 P-ABCD中,E,F分别为 PC,PD 的中点,EFCD.ABCD,EFAB. EF平面 PAB,AB平面 PAB,EF平面 PAB.同理 EG平面 PAB. 又 EFEG=E,平面 EFG平面 PAB. AP平面 PAB,AP平面 EFG,AP平面 EFG. 7.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,M是 A1D1
13、的中点,则直线 MD与平面 A1ACC1的位置关系 是 .直线 MD 与平面 BCC1B1的位置关系是 . 答案 相交 平行 解析因为 M 是 A1D1的中点,所以直线 DM 与直线 AA1相交,所以 DM 与平面 A1ACC1有一个公共点, 所以 DM与平面 A1ACC1相交. 取 B1C1中点 M1,MM1 C1D1,C1D1 CD, 所以四边形 DMM1C为平行四边形,所以 DM CM1,所以 DM平面 BCC1B1. 8.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,点 N在 BD上,点 M在 B1C上,且 CM=DN,求证:MN平面 AA1B1B. 证明证法一:如图,作 MEBC 交
14、 B1B 于点 E,作 NFAD 交 AB 于点 F,连接 EF, 则 EF平面 AA1B1B. . 在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,CM=DN, B1M=BN. 又 B1M=BN,B1C=BD, . ME=NF.又 MEBCADNF, 四边形 MEFN为平行四边形. MNEF,MN平面 AA1B1B. 证法二:如图,连接 CN并延长交 BA 所在直线于点 P,连接 B1P. 则 B1P平面 AA1B1B. NDCNBP, . 又 CM=DN,B1C=BD, . MNB1P. B1P平面 AA1B1B, MN平面 AA1B1B. 素养培优练 如图所示,在底面是菱形的四棱锥 P-ABCD 中,ABC=60,PA=AC=a,PB=PD= a,点 E在 PD上,且 PEED=21,在棱 PC 上是否存在一点 F,使 BF平面 AEC?证明你的结论. 解当点 F 是棱 PC的中点时,BF平面 AEC. 证明:取 PE 的中点 M,连接 FM,则 FMCE. FM平面 AEC,CE平面 AEC,FM平面 AEC,由 EM= PE=ED,得 E是 MD 的中点. 连接 BM,BD,设 BDAC=O, 则 O 是 BD的中点,BMOE. BM平面 AEC,OE平面 AEC, BM平面 AEC. FMBM=M,平面 BFM平面 AEC. 又 BF平面 BFM,BF平面 AEC.
