1、第十一章立体几何初步 11.1 空间几何体 11.1.5 旋转体旋转体 课后篇巩固提升 基础达标练 1.一个等边圆柱(底面直径等于高)的轴截面的面积是 2S,则它的一个底面的面积是( ) A. B. C.S D.S 答案 A 解析设底面半径为 r,则 4r2=2S,故底面面积=r2= .故选 A. 2.(多选题)(2020 全国高一课时练习)下列关于球体的说法正确的是( ) A.球体是空间中到定点的距离等于定长的点的集合 B.球面是空间中到定点的距离等于定长的点的集合 C.一个圆绕其直径所在直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体是球体 D.球的对称轴只有 1条 答案 BC 解析空间中到定点的距离
2、等于定长的点的集合是球面,所以 A 错误,B正确;由球体的定义,知 C正确; 球的每一条直径所在的直线均为它的对称轴,所以 D错误. 3. (2020河北高一期中)在长方形 ABCD中挖掉半圆 O,得到如图所示的图形,则将该图形绕着 AB 所在的直线旋转一周后得到的几何体为( ) A.一个长方体内部挖去一个球 B.一个长方体内部挖去半个球 C.一个圆柱体内部挖去一个球 D.一个圆柱体内部挖去半个球 答案 C 解析根据空间几何体的结构得知,将该图形绕着 AB所在的直线旋转一周后得到的几何体为一个圆 柱体内部挖去一个球.故选 C. 4.(2020 四川泸县第四中学二模)设长方体的长、宽、高分别为
3、2a,a,a,其顶点都在一个球面上,则该球 的表面积为( ) A.3a2 B.6a2 C.12a2 D.24a2 答案 B 解析长方体的长,宽,高分别为 2a,a,a,其顶点都在一个球面上,长方体的对角线就是外接球的直径,所 以球的直径长为 a,所以球的半径为 a,所以球的表面积是 4( ) =6a2,故选 B. 5.用长为 4、宽为 2 的矩形做侧面围成一个高为 2的圆柱,此圆柱的轴截面面积为( ) A.8 B. C. D. 答案 B 解析易知 2r=4,则 2r= ,所以轴截面面积= 2= .故选 B. 6.(2020 广西壮族自治区一模)我国古代数学名著数学九章中有云:“今有木长二丈四尺
4、,围之五尺. 葛生其下,缠木两周,上与木齐,问葛长几何?”其意思为“圆木长 2丈 4 尺,圆周为 5尺,葛藤从圆木的底 部开始向上生长,绕圆木两周,刚好顶部与圆木平齐,问葛藤最少长多少尺”(注:1丈等于 10 尺)( ) A.29 尺 B.24 尺 C.26 尺 D.30 尺 答案 C 解析由题意,圆柱的侧面展开图是矩形,一条边(即木棍的高)长 24尺,另一条边长 52=10尺,因此葛 藤长 =26 尺,故选 C. 7.下列说法正确的是 .(填序号) 连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线; 以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转所得的旋转体是圆台; 圆柱、圆锥、圆台都有两个底面; 圆锥的侧
5、面展开图为扇形,这个扇形所在圆的半径等于圆锥的母线长. 答案 解析根据圆柱母线的定义,错误;以直角梯形垂直于上、下底的腰为轴旋转得到的旋转体是圆台,以 另一腰为轴旋转所得的旋转体不是圆台,故错误;圆锥只有一个底面,故错误;根据圆锥母线的定 义,正确. 8. (2020全国高一课时练习)图中平面图形从下往上依次由等腰梯形、矩形、半圆、圆、等腰三角形拼 接形成,若将它绕直线 l旋转形成一个组合体,下面说法不正确的是 (填序号). 该组合体可以分割成圆台、圆柱、圆锥和两个球; 该组合体中的圆锥和球只有一个公共点; 该组合体中的球和半球只有一个公共点. 答案 解析该组合体可以分割成圆锥、球、半球、圆柱
6、、圆台,故错,正确. 9.一个圆锥的轴截面为边长为 a 的正三角形,则其表面积为 . 答案 a 2 解析由题知,圆锥的底面半径 r= ,母线长 l=a,则其表面积为 S 表=r(r+l)= ( ) a 2. 10.已知 H 是球 O的直径 AB 上一点,AHHB=12,AB平面 ,H为垂足, 截球 O 所得截面的面积 为 ,求球 O 的半径. 解如图,设球 O 的半径为 R,则 由 AHHB=12得 HA= 2R= R, 所以 OH= . 因为截面面积为 = (HM)2,所以 HM=1. 在 RtHMO 中,OM2=OH2+HM2, 所以 R2= R 2+HM2= R 2+1, 所以 R= ,
7、即球 O的半径为 . 11. (2020全国高一课时练习)如图所示,已知圆柱的高为 80 cm,底面半径为 10 cm,表面上有 P,Q两点,若 P,Q 两点在轴截面 ABB1A1上,且 PA=40 cm,B1Q=30 cm,一只蚂蚁沿着侧面从 P点爬到 Q 点,求蚂蚁爬 行的最短路程. 解将 圆柱侧面沿母线 AA1展开,得到如图所示的矩形. 设圆柱的底面半径为 r,则 r=10 cm. A1B1= 2r=r=10(cm).过点 Q作 QSAA1于点 S,在 RtPQS 中,PS=80-40- 30=10(cm),QS=A1B1=10(cm). PQ= =10 (cm), 即蚂蚁爬过的最短路径
8、长是 10 cm. 能力提升练 1.如果圆锥的侧面展开图是半圆,那么这个圆锥的轴截面对应的等腰三角形的底角是( ) A.30 B.45 C.60 D.90 答案 C 解析设圆锥的底面半径是 r, 母线长是 l.如图所示,2r=l, 所以 2r=l.所以 . 所以轴截面对应的等腰三角形的底角为 60.故选 C. 2.(2020 河北邢台第八中学高二期中)一个四面体各棱长都为 ,四个顶点在同一球面上,则此球的表 面积为( ) A.3 B.4 C.3 D.6 答案 A 解析把正四面体扩展为正方体,二者有相同的外接球,扩展后正方体的棱长为 1,所以正方体对角线的 长度就是外接球的直径,所以球的半径为
9、,所以球的表面积为 4R2=4( ) =3,故选 A. 3.已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,这个圆柱的全面积与侧面积的比是( ) A. B. C. D. 答案 A 解析设圆柱的底面半径为 r,高为 h,则由题设知 h=2r,S全=2r2+2r h=2r2(1+2).又 S侧=h2=42r2, 全 侧 .故选 A. 4.(多选题)一个正方体内接于一个球,过球心作一截面,如图所示,则截面图形可能是( ) 答案 ABC 解析当截面平行于正方体的一个侧面时得 C,当截面过正方体的体对角线时得 B,当截面不平行于任 何侧面也不过对角线时得 A,但无论如何都不能截出 D. 5.一个圆台上、下底面的半
10、径分别为 3 cm和 8 cm,若两底面圆心的连线长为 12 cm,则这个圆台的母 线长为 cm,表面积为 cm2. 答案 13 216 解析如图, 过点 A作 ACOB,交 OB于点 C.在 RtABC 中,AC=12 cm,BC=8-3=5 cm,所以 AB= =13(cm). 表面积为 S=(33+82+313+813)=216(cm2). 6. 如图所示的几何体是从一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面,下底面圆心为顶点的圆锥而得 到的.现用一个平面去截这个几何体,若这个平面垂直于圆柱底面所在的平面,那么截面图形可能是图 中的 .(填序号) 答案 解析在与圆柱底面垂直的截面中,随着截面
11、位置的变化,截面图形也会发生变化.当截面经过圆柱的轴 时,所截得的图形是图.当截面不经过圆柱的轴时,截得的图形是图.而图是不会出现的. 7.定义如图所示的几何体为斜截圆柱(由不平行圆柱底面的平面截圆柱得到),已知斜截圆柱底面的直 径为 40 cm,母线长最短为 50 cm、最长为 80 cm,则斜截圆柱侧面展开图的面积 S= cm2. 答案 2 600 解析把斜截圆柱补成底面半径 20 cm,高 130 cm的圆柱,则侧面展开可得斜截圆柱侧面展开圆面积 S= (50+80)40=2 600(cm 2). 8.已知球的两个平行截面的面积分别为 5和 8,且两截面位于球心的同侧,且距离等于 1,求
12、这个球的 半径. 解如图, 设这两个截面的半径分别为 r1,r2,球心到截面的距离分别为 d1,d2,球半径为 R.则 =5, =8, =5, =8. R2= , =8-5=3, 即(d1-d2)(d1+d2)=3. 又 d1-d2=1, - 解得 R= =3. 素养培优练 (2020四川高一期末)如图,已知在直角三角形 ABC中,ACBC,BC=2,tan ABC=2 . (1)若以直线 AC 为轴,直角三角形 ABC 旋转一周,试说明所得几何体的结构特征并求所得几何体的表 面积. (2)一只蚂蚁在问题(1)形成的几何体上从点 B 绕着几何体的侧面爬行一周回到点 B,求蚂蚁爬行的最 短距离. 解(1)在直角三角形 ABC 中,由 BC=2,tan ABC=2 ,即 tan ABC= =2 ,得 AC=4 .若三角形 ABC以直线 AC为轴旋转一周, 形成的几何体为以 BC=2为半径,高 AC=4 的圆锥, 则 AB= =6,其表面积为 S=22+26=16. (2)由问题(1)的圆锥,要使蚂蚁爬行的距离最短,则沿过点 B 的母线把圆锥侧面展开为平面图形, 如图所示, 所求最短距离就是点 B 到点 B1的距离,BAB1= ,在ABB1中,由余弦定理得 BB1= - =6 .
