1、第十一章立体几何初步 11.4 空间中的垂直关系 11.4.1 直线与平面垂直直线与平面垂直 课后篇巩固提升 基础达标练 1. 如图所示,PA平面 ABC,BCAC,则图中直角三角形的个数为( ) A.4 B.3 C.2 D.1 答案 A 解析因为 PA平面 ABC,BC平面 ABC,所以 PABC,PAAC,PAAB.又 ACBC,PAAC=A,所以 BC平面 PAC,所以 BCPC, 所以直角三角形有PAB,PAC,ABC,PBC,共 4个.故选 A. 2.在ABC 中,AB=AC=5,BC=6,PA平面 ABC,PA=8,则点 P 到 BC 的距离是( ) A. B.2 C.3 D.4
2、答案 D 解析由题得 PB=PC= ,则 P到 BC的距离 d= -( ) ,即 d= - =4 . 3.下列命题中,正确的有( ) 如果一条直线垂直于平面内的两条直线,那么这条直线和这个平面垂直. 过直线 l外一点 P,有且仅有一个平面与 l垂直. 如果三条共点直线两两垂直,那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面. 垂直于角的两边的直线必垂直于这个角所在的平面. 过点 A 垂直于直线 a 的所有直线都在过点 A垂直于 a的平面内. A.2 个 B.3个 C.4个 D.5 个 答案 C 解析正确,中当平面内的两条直线平行时,直线可能与平面平行、垂直或在平面内. 4. 如图所示,PA 垂直于
3、以 AB为直径的圆 O 所在的平面,C为圆上异于 A,B的任一点,则下列说法不正确 的是( ) A.PABC B.BC平面 PAC C.ACPB D.PCBC 答案 C 解析因为 PA 垂直于以 AB为直径的圆 O 所在的平面,即 PA平面 ABC,又 BC平面 ABC,所以 PA BC,故 A正确;又 C为圆上异于 A,B 的任一点,AB为圆 O 的直径,所以 BCAC,所以 BC平面 PAC, 所以 BCPC,故 B,D均正确.故选 C. 5.直线 a与平面 所成的角为 50,直线 ba,则直线 b 与平面 所成的角等于( ) A.40 B.50 C.90 D.150 答案 B 解析根据两
4、条平行直线和同一平面所成的角相等,知 b 与 所成的角也是 50. 6. (多选题)如图,ABCD-A1B1C1D1为正方体,下列结论正确的是( ) A.BD平面 CB1D1 B.AC1BD C.AC1平面 CB1D1 D.异面直线 AD 与 CB1所成的角为 60 答案 ABC 解析BDB1D1,B1O1平面 CB1D1,故 A正确;ACBD,BDCC1,BD平面 ACC1,BDAC1, 故 B 正确;与 B同理有 AC1与 B1D1,CB1垂直,则 AC1平面 CB1D1,故 C正确;D 中显然异面直线 AD 与 CB1所成的角为 45,故 D 错误.故选 ABC. 7.空间四边形 ABC
5、D 的四条边相等,则对角线 AC 与 BD 的位置关系为 . 答案垂直 解析如图,取 AC的中点 E,连接 BE,DE. 由 AB=BC,得 ACBE. 同理 ACDE, 所以 AC平面 BED. 因此,ACBD. 8.已知 PA 垂直于平行四边形 ABCD所在的平面,若 PCBD,则平行四边形 ABCD一定 是 . 答案菱形 解析由于 PA平面 ABCD,BD平面 ABCD,所以 PABD.又 PCBD,且 PC平面 PAC,PA平面 PAC,PCPA=P,所以 BD平面 PAC.又 AC平面 PAC,所以 BDAC.又四边形 ABCD 是平行四边形, 所以四边形 ABCD是菱形. 9. 如
6、图所示,M,N分别是正方体 ABCD-A1B1C1D1中 BB1,B1C1的中点. (1)则 MN 与 CD1所成的角为 . (2)则 MN 与 AD所成的角为 . 答案(1)60 (2)45 解析(1)由图易知 MNAD1, ACD1构成正三角形. AD1与 CD1成 60角,MN与 CD1成 60角. (2)AD1与 AD 成 45角,而 MNAD1, MN 与 AD成 45角. 10. 如图,在三棱锥 A-BCD中,CA=CB,DA=DB.作 BECD于点 E,作 AHBE 于点 H.求证:AH平面 BCD. 证明取 AB的中点 F,连接 CF,DF(图略). CA=CB,DA=DB,C
7、FAB,DFAB. CFDF=F,AB平面 CDF. CD平面 CDF,ABCD. 又 CDBE,ABBE=B,CD平面 ABE. AH平面 ABE,CDAH. AHBE,BECD=E,AH平面 BCD. 能力提升练 1.(2020 江苏高一月考)已知 是一个平面,m,n是两条直线,有下列四个结论,正确的是( ) A.如果 m,mn,则 n B.如果 m,n,则 mn C.若直线 m垂直于平面 内的无数条直线,则 m D.如果 m,mn,则 n 答案 BD 解析对于 A,如果 m,mn,则 n或 n,所以不正确;对于 B,若 m,n,那么 mn,所以正确; 对于 C,根据线面垂直的定义,直线
8、m 垂直于平面 内的任意直线,则 m,而直线 m 垂直于平面 内 的无数条直线,则 m与 不一定垂直,所以不正确;对于 D,根据平行线中的一条垂直一个平面,另一条 也垂直于这个平面,可得若 m,mn,那么 n,所以正确. 2. 如图所示,正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 1,线段 B1D1上有两个动点 E,F,且 EF= ,则下列结论错误 的是 ( ) A.ACBE B.EF平面 ABCD C.三棱锥 A-BEF 的体积为定值 D.AEF 的面积与BEF的面积相等 答案 D 解析由 AC平面 DBB1D1,BE平面 DBB1D1知 A正确;由 EF平面 A1B1C1D1,且平面 A1
9、B1C1D1平 面 ABCD知 B正确;由BEF 面积 S= 1 .VA-BEF= 知 C正确;D 中两三角形以 EF 为底边,高不等,则面积不等,故 D 错误. 3.(多选题)在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,点 E,F,G 分别为棱 A1D1,A1A,A1B1的中点,下列结论正确的是 ( ) A.EFB1C B.BC1平面 EFG C.A1C平面 EFG D.异面直线 FG,B1C 所成角的大小为 答案 ABC 解析如图,连接 AD1,则 EFAD1BC1,又 BC1B1C, EFB1C,故 A正确; BC1EF,EF平面 EFG,BC1平面 EFG, BC1平面 EFG,故 B 正
10、确;A1CEF,A1CEG,EFEG=E,A1C平面 EFG,故 C 正确; FGAB1,AB1C为异面直线 FG,B1C 所成角,连接 AC,可得AB1C 为等边三角形,则 AB1C= ,即异面直线 FG,B1C所成角的大小为 ,故 D 错误.故选 ABC. 4.在三棱柱 ABC-A1B1C1中,各棱长相等,侧棱垂直于底面,点 D是侧面 BB1C1C 的中心,则 AD与平面 BB1C1C所成角的大小是( ) A.30 B.45 C.60 D.90 答案 C 解析 如图,取 BC的中点 E,连接 AE,则 AE平面 BCC1B1.故ADE 为直线 AD与平面 BB1C1C所成的角.设 各棱长为
11、 a,则 AE= a,DE= a.所以 tanADE= .所以ADE=60. 5. 如图,三条相交于点 P的线段 PA,PB,PC 两两垂直,点 P 在平面 ABC 外,PH平面 ABC 于点 H,则垂足 H是ABC的( ) A.外心 B.内心 C.垂心 D.重心 答案 C 解析PCPA,PCPB,PAPB=P,PC平面 PAB. 又 AB平面 PAB,ABPC. 又 ABPH,PHPC=P,AB平面 PCH. 又 CH平面 PCH,ABCH. 同理 BCAH,ACBH.H为ABC的垂心. 6.(2020 上海高三专题练习)在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,O 是底面 ABCD的中心,E
12、,F,G,H分别是棱 A1A,B1B,C1C,D1D的中点,则与直线 A1O 垂直的立方体的截面为 .(写出一个即可) 答案 GBD(或 AFC1H或 ED1B1) 解析如图所示, 连接 OG,A1C1,易知 BDAC,BDAA1,故 BD平面 ACC1A1,A1O平面 ACC1A1,故 BDA1O.设正方 体边长为 2, 则 A1O= ,OG= ,A1G= =3, 故 A1G2=A1O2+OG2,故 A1OOG, OGBD=O,故 A1O平面 GBD. 7.等腰直角三角形 ABC的斜边 AB 在平面 内,若 AC与 所成的角为 30,则斜边上的中线 CM 与 所成的角为 . 答案 45 解析
13、如图, 设 C 在平面 内的射影为点 O,连接 AO,MO,则CAO=30,CMO 就是 CM与 所成的角. 设 AC=BC=1,则 AB= , CM= ,CO= .sinCMO= , CMO=45. 8.ABC的三个顶点 A,B,C到平面 的距离分别为 2 cm,3 cm,4 cm,且它们在 的同侧,则ABC的重 心到平面 的距离为 . 答案 3 cm 解析如图,设 A,B,C在平面 内的射影分别为 A,B,C,ABC 的重心为 G,连接 CG并延长交 AB 于中 点 E, 又设 E,G 在平面 内的射影分别为 E,G, 则 EAB,GCE,EE= (AA+BB)= ,CC=4,CGGE=2
14、1, 在直角梯形 EECC 中,取 GC,GC的中点 H,H, 设 GG=x1,HH=x2, 则 解得 x1=3,即ABC的重心到平面 的距离为 GG=3. 9. 如图,在三棱锥 P-ABC 中,PA=PB=PC=13,ABC=90,AB=8,BC=6,M为 AC的中点. (1)求证:PM平面 ABC; (2)求直线 BP与平面 ABC所成的角的正切值. (1)证明PA=PC,M为 AC的中点, PMAC. 又ABC=90,AB=8,BC=6, AM=MC=MB= AC=5. 在PMB 中,PB=13,MB=5. PM= - - =12. PB2=MB2+PM2, PMMB. 由可知 PM平面
15、 ABC. (2)解PM平面 ABC, MB 为 BP 在平面 ABC内的射影, PBM 为 BP 与底面 ABC所成的角. 在 RtPMB中,tanPBM= . 素养培优练 如图,在四棱锥 P-ABCD中,PA平面 ABCD,AB=BC=2,AD=CD= ,PA= ,ABC=120.G为线段 PC 上的点. (1)证明:BD平面 APC; (2)若 G 为 PC的中点,求 DG 与平面 APC 所成角的正切值; (3)若 G 满足 PC平面 BGD,求 的值. (1)证明设点 O为 AC,BD 的交点. 由 AB=BC,AD=CD,得 BD垂直平分线段 AC. 所以 O为 AC的中点,BDA
16、C. 又因为 PA平面 ABCD,BD平面 ABCD, 所以 PABD. 又 PAAC=A,所以 BD平面 APC. (2)解连接 OG.由(1)可知 OD平面 APC,则 DG 在平面 APC 内的射影为 OG,所以OGD 是 DG与平 面 PAC 所成的角. 由题意得 OG= PA= . 在ABC中,因为 AB=BC,ABC=120,AO=CO,所以ABO= ABC=60, 所以 AO=OC=AB sin 60= . 在 RtOCD中,OD= - =2. 在 RtOGD中,tanOGD= . 所以 DG与平面 APC 所成角的正切值为 . (3)解因为 PC平面 BGD,OG平面 BGD, 所以 PCOG. 在 RtPAC 中,PC= . 所以 GC= . 从而 PG= ,所以 .
