1、第 1 页（共 23 页） 2022 年新高考数学模拟试卷（年新高考数学模拟试卷（5） 一选择题（共一选择题（共 8 小题，满分小题，满分 40 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）复数(1)22zii ，则的共轭复数z的虚部为( ) A2i B2 C2i D2 2 （5 分）若集合 2 |40Ax x， |0Bx lgx，则(AB ) A( 2,1) B( 2,2) C(0,1) D(0,2) 3 （5 分）函数sincos1yxxx在区间，上的图象大致为( ) A B C D 4 （5 分）某一项针对我国义务教育数学课程标准的研究，如表为各个学段每个主题所 包含的条目数，如图
2、是将统计表的条目数转化为百分比，按各学段绘制的等高条形图，由图 表分析得出以下四个结论，其中错误的是( ) 学段 内容主题 第一学段(1 3 年级） 第二阶段(46 年级） 第三学段(79 年级） 合计 数与代数 21 28 49 98 图形与几何 18 25 87 130 统计与概率 3 8 11 22 综合与实践 3 4 3 10 合计 45 65 150 260 第 2 页（共 23 页） A除了“综合与实践”外，其它三个领域的条目数都随着学段的升高而增加，尤其“图 形与几何”在第三学段急剧增加，约是第二学段的 3.5 倍 B在所有内容领域中， “图形与几何”内容最多，占50%， “综合
3、与实践”内容最少， 约占4% C第一、二学段“数与代数”内容最多，第三学段“图形与几何”内容最多 D “数与代数”内容条目数虽然随着学段的增长而增长，而其百分比却一直在减少， “图 形与几何”内容条目数，百分比都随学段的增长而增长 5 （5 分）已知 2 tan4tan10 ，则 2 cos ()( 4 ) A 1 2 B 1 3 C 1 4 D 1 5 6 （5 分）某校随机调查了 110 名不同的高中生是否喜欢篮球，得到如下的列联表： 男 女 喜欢篮球 40 20 不喜欢篮球 20 30 附：K2. P（K2k0） 0.050 0.010 0.001 k0 3.841 6.635 10.8
4、28 参照附表，得到的正确结论是（ ） A在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下，认为“喜欢篮球与性别有关” B在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下，认为“喜欢篮球与性别无关” C有 99%以上的把握认为“喜欢篮球与性别有关” D有 99%以上的把握认为“喜欢篮球与性别无关” 7 （5 分）若实数x，y满足| | 1x xy y，则点( , )x y到直线1xy的距离的取值范 第 3 页（共 23 页） 围是( ) A(0，1 B1，2 C 22 (,1 22 D(1，2 8（5 分） 在直三棱柱 111 ABCABC中， 底面是等腰直角三角形，90ACB， 侧棱 1 3AA ， 点D，E分
5、别是 1 CC， 1 A B的中点，点E在平面ABD上的射影是ABD的重心G，则点 1 A到 平面ABD的距离为( ) A6 B3 C 2 3 3 D2 二多选题（共二多选题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 9 （5 分）关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是( ) A若a bb c ，则ac B(1,1),(2, )abx，若ab与42ba平行，则2x C非零向量a和b满足| | |abab，则a与ab与的夹角为60 D点(1,3)A，(4, 1)B，与向量AB同方向的单位向量为 34 ( ,) 55 10 （5 分）命题“13x 剟， 2 0
6、 xm”是真命题的一个充分不必要条件是( ) A9m B11m C10m D10m 11 （5 分）已知R，函数 2 ( )(3)sin()f xxx，存在常数aR，使得()f xa为偶 函数，则的值可能为( ) A 6 B 4 C 3 D 2 12 （5 分）一袋中有 6 个大小相同的黑球，编号为 1，2，3，4，5，6，还有 4 个同样大小 的白球，编号为 7，8，9，10，现从中任取 4 个球，则下列结论中正确的是( ) A取出的最大号码X服从超几何分布 B取出的黑球个数Y服从超几何分布 C取出 2 个白球的概率为 1 14 D若取出一个黑球记 2 分，取出一个白球记 1 分，则总得分最
7、大的概率为 1 14 三填空题（共三填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 第 4 页（共 23 页） 13 （5 分）已知函数2sin()(0)yx为偶函数，其图象与直线2y 的某两个交点 横坐标为 1 x、 2 x，若 21 |xx的最小值为，则函数的解析式为 14（5 分） 若二项式 2 1 ()nx x 的展开式中二项式系数的和为 64， 则展开式中的常数项为 15 （5 分）已知抛物线 2 4yx的焦点为F，P为抛物线上一动点，定点(1,1)A，则PAF 周长最小值为 16 （5 分）某种候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究候鸟的专
8、家发现， 该种鸟类的飞行速度v（单位：/ )m s与其耗氧量Q之间的关系为 2 log 10 Q va（其中a、b 是实数） 据统计，该种鸟类在耗氧量为 80 个单位时，其飞行速度为18/ms，则a ； 若这种候鸟飞行的速度不能低于60/m s，其耗氧量至少要 个单位 四解答题（共四解答题（共 6 小题，满分小题，满分 70 分）分） 17 （10 分）已知数列 n a的首项 * 11 33 ,() 521 n n n a aanN a （1）证明：数列 1 1 n a 是等比数列； （2）设 n n n b a ，求数列 n b的前n项和 n S （3）是否存在互不相等的正整数m，s，n使m
9、，s，n成等差数列，且使1 m a ，1 s a ， 1 n a 成等比数列？如果存在，请给以证明；如果不存在，请说明理由 18 （12 分）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知 ( 3)sinsinsincaAcCbB （1）求角B的大小； （2）求cossin3cosCBA的取值范围 19 （12 分）如图，在梯形ABCD中，/ /ABDC，60ABC，FC 平面ABCD，四边 形ACFE为矩形，点M为线段EF的中点，且1ADCDBC， 3 2 CF （1）求证：平面BCM 平面AMC； （2）求平面MAB与平面FCB所成锐二面角的余弦值 第 5 页（共 23 页） 20
10、 （12 分）2020 年 8 月，体育总局和教育部联合提出了关于深化体教融合，促进青少年 健康发展的意见 某地区为落实该意见，初中毕业生升学体育考试规定，考生必须参加立 定跳远、掷实心球、1 分钟跳绳三项测试，三项考试满分为 50 分，其中立定跳远 15 分，掷 实心球 15 分，1 分钟跳绳 20 分某学校在初三上学期开始时要掌握全年级学生每分钟跳绳 的情况，随机抽取了 100 名学生进行测试，得到频率分布直方图（如图所示） ，且规定计分 规则如下表： 每分钟跳绳个数 155，165) 165，175) 175，185) 185，215 得分 17 18 19 20 （1）现从样本的 10
11、0 名学生中，任意选取 2 人，求两人得分之和不大于 35 分的概率； （2）若该校初三年级所有学生的跳绳个数 2 ( ,)XN ，用样本数据的平均值和方差估计 总体的期望和方差已知样本方差 2 169s （各组数据用中点值代替） 根据往年经验，该校 初三年级学生经过训练， 正式测试时跳绳个数都有明显进步 假设中考正式测试时每人每分 钟跳绳个数比初三上学期开始时个数增加 10 个，现利用所得正态分布模型： 全年级有 1000 名学生，预估正式测试每分钟跳 182 个以上人数； （结果四舍五入到整数） 若在全年级所有学生中任意选取 3 人，记正式测试时每分钟跳 195 个以上的人数为Y， 求随机
12、变量Y的分布列和期望 附 ： 若 2 (,)XN ， 则( |)0 . 6 8 2 6P X，(| 2 )0.9544P X， (| 3 )0.9974P X 第 6 页（共 23 页） 21 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左焦点为( 1,0)F ，短轴的一个端点与椭圆 的两个焦点构成一个正三角形 （1）求椭圆C的方程； （2） 若直线ykxm与椭圆C有且只有一个公共点A， 与直线40 x 交于点B 设AB 中点为M，试比较|AM与|FM的大小，并说明理由 22 （12 分）已知函数( )1 (1) 1()f xxa xlnx aR （1）当0a时，求函数
13、( )f x的极小值； （2）当0a 时，若1x 是函数( )f x的极大值点，求a的取值范围 第 7 页（共 23 页） 2022 年新高考数学模拟试卷（年新高考数学模拟试卷（5） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 8 小题，满分小题，满分 40 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）复数(1)22zii ，则的共轭复数z的虚部为( ) A2i B2 C2i D2 【解答】解：复数(1)22zii ，则 222(1)(1)22 2 1(1)(1)2 iiii zi iii ， 的共轭复数2zi 的虚部为2 故选：B 2 （5 分）若集合 2 |40A
14、x x， |0Bx lgx，则(AB ) A( 2,1) B( 2,2) C(0,1) D(0,2) 【解答】解： 2 |40 | 22Ax xxx ， |0 |01Bx lgxxx， (0,1)AB 故选：C 3 （5 分）函数sincos1yxxx在区间，上的图象大致为( ) A B C D 【解答】解：根据题意，sincos1yxxx，x ， 有()()sin()cos() 1sincos1( )fxxxxxxxf x ，即函数( )f x为偶函数，排除 第 8 页（共 23 页） AB， 又由( )sincos120f ，排除D， 故选：C 4 （5 分）某一项针对我国义务教育数学课程
15、标准的研究，如表为各个学段每个主题所 包含的条目数，如图是将统计表的条目数转化为百分比，按各学段绘制的等高条形图，由图 表分析得出以下四个结论，其中错误的是( ) 学段 内容主题 第一学段(1 3 年级） 第二阶段(46 年级） 第三学段(79 年级） 合计 数与代数 21 28 49 98 图形与几何 18 25 87 130 统计与概率 3 8 11 22 综合与实践 3 4 3 10 合计 45 65 150 260 A除了“综合与实践”外，其它三个领域的条目数都随着学段的升高而增加，尤其“图 形与几何”在第三学段急剧增加，约是第二学段的 3.5 倍 B在所有内容领域中， “图形与几何”
16、内容最多，占50%， “综合与实践”内容最少， 约占4% C第一、二学段“数与代数”内容最多，第三学段“图形与几何”内容最多 D “数与代数”内容条目数虽然随着学段的增长而增长，而其百分比却一直在减少， “图 形与几何”内容条目数，百分比都随学段的增长而增长 【解答】解： （1）对于A，结合表格可知，除了“综合与实践”外，其它三个领域的条目 数都随着学段的升高而增加，尤其“图形与几何”在第三学段急剧增加，约是第二学段的 第 9 页（共 23 页） 87 3.5 25 倍，故A对 （2）对于B，由表格可知： “图形与几何”内容最多，占 130 50% 260 ， “综合与实践”内容 最少，占 1
17、0 4% 260 ，故B对 （3）对于C，分析表格可知，第一、二学段“数与代数”内容分别是 21，28，数目最多， 第三学段“图形与几何”内容为 87，最多故C对 （4）对于D，图形与几何的第一学段到第二学段百分比是减少的，故D错 故选：D 5 （5 分）已知 2 tan4tan10 ，则 2 cos ()( 4 ) A 1 2 B 1 3 C 1 4 D 1 5 【解答】解：由 2 tan4tan10 可得： 1 tan4 tan ， 所以 sincos1 4 cossinsincos ，即 1 sincos 4 ， 所以 2 1cos2() 4 cos () 42 1sin21111 si
18、ncos 22244 故选：C 6 （5 分）某校随机调查了 110 名不同的高中生是否喜欢篮球，得到如下的列联表： 男 女 喜欢篮球 40 20 不喜欢篮球 20 30 附：K2. P（K2k0） 0.050 0.010 0.001 k0 3.841 6.635 10.828 参照附表，得到的正确结论是（ ） A在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下，认为“喜欢篮球与性别有关” B在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下，认为“喜欢篮球与性别无关” C有 99%以上的把握认为“喜欢篮球与性别有关” 第 10 页（共 23 页） D有 99%以上的把握认为“喜欢篮球与性别无关” 【 解 答 】
19、解 ： 根 据 题 意 可 得 ： K2 7.8226.635 故在犯错误的概率不超过 1%的前提下， 认为有 99%以上的把握认为 “喜欢篮球与性别有 关” ， 故选：C 7 （5 分）若实数x，y满足| | 1x xy y，则点( , )x y到直线1xy的距离的取值范 围是( ) A(0，1 B1，2 C 22 (,1 22 D(1，2 【解答】解：当0 x且0y时， 方程化为： 22 |1x xy yxy； 当0 x 且0y 时， 方程化为： 22 |1x xy yxy； 当0 x 且0y 时， 22 |1x xy yyx； 当0 x 且0y 时，无意义； 作出图象如图所示， 直线yx
20、为两段等轴双曲线的渐近线， 四分之一个单位圆上的点到直线1xy的距离 的最大值为 2 2 ， 故选：C 第 11 页（共 23 页） 8（5 分） 在直三棱柱 111 ABCABC中， 底面是等腰直角三角形，90ACB， 侧棱 1 3AA ， 点D，E分别是 1 CC， 1 A B的中点，点E在平面ABD上的射影是ABD的重心G，则点 1 A到 平面ABD的距离为( ) A6 B3 C 2 3 3 D2 【解答】解：如图所示，以C为坐标原点，CA，CB， 1 CC所在直线分别为x，y，z轴， 建立空间直角坐标系， 设CACBa，则(A a，0，0)，(0B，a，0)， 3 (0,0, ) 2
21、D， 1( A a，0，3)， 可得 3 ( , ) 2 2 2 a a E， 1 ( , ) 3 3 2 a a G，( ,1) 6 6 a a GE ， 3 (0, ) 2 BDa， 因为点E在平面ABD上的射影是ABD的重心，所以GE 平面ABD，所以0GE BD， 即 3 0()10 662 aa a ，解得3a ，即 1 1 ( ,1) 2 2 GE ， 则点 1 A到平面ABD的距离为d，E是 1 A B的中点， 所以2|6dGE 第 12 页（共 23 页） 故选：A 二多选题（共二多选题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 9 （5 分）关于
22、平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是( ) A若a bb c ，则ac B(1,1),(2, )abx，若ab与42ba平行，则2x C非零向量a和b满足| | |abab，则a与ab与的夹角为60 D点(1,3)A，(4, 1)B，与向量AB同方向的单位向量为 34 ( ,) 55 【解答】解：若a bb c，则有()0bac，所以0b 或0ac或()bac，故选 项A错误； 因为(1,1),(2, )abx，若ab与42ba平行，则有3(42)6(1)xx，解得2x ，故选 项B正确； 因为非零向量a和b满足| | |abab，则以向量a和b为边对应的四边形为一个角是 60的菱形，
23、则a与ab的夹角为30，故选项C错误； 因为点(1,3)A，(4, 1)B， 则( 3 ,4 )AB ， 可得与向量AB同方向的单位向量为 34 ( ,) 55| AB AB ， 故选项D正确 故选：BD 10 （5 分）命题“13x 剟， 2 0 xm”是真命题的一个充分不必要条件是( ) 第 13 页（共 23 页） A9m B11m C10m D10m 【解答】解：因为13x 剟， 2 0 xm，所以 2 m x， 所以当9m时，13x 剟， 2 0 xm恒成立， 要使“13x 剟， 2 0 xm”是真命题的一个充分不必要条件，则m的值要大于 9， 故是10m，11m均可 故选：BC 1
24、1 （5 分）已知R，函数 2 ( )(3)sin()f xxx，存在常数aR，使得()f xa为偶 函数，则的值可能为( ) A 6 B 4 C 3 D 2 【解答】解：根据题意， 2 ( )(3)sin()f xxx，则 2 ()(3) sin ()f xaxaxa， 若()f xa为偶函数，则30a 且sin ()sin ()xaxa ， 则3a ，sincoscossincossinsincosxaxaxaxa， 必有cos0a，则3 2 k，必有 36 k ，()Zk 当0k时， 6 ，当1k时， 2 ， 故选：AD 12 （5 分）一袋中有 6 个大小相同的黑球，编号为 1，2，3
25、，4，5，6，还有 4 个同样大小 的白球，编号为 7，8，9，10，现从中任取 4 个球，则下列结论中正确的是( ) A取出的最大号码X服从超几何分布 B取出的黑球个数Y服从超几何分布 C取出 2 个白球的概率为 1 14 D若取出一个黑球记 2 分，取出一个白球记 1 分，则总得分最大的概率为 1 14 【解答】解：一袋中有 6 个大小相同的黑球，编号为 1，2，3，4，5，6，还有 4 个同样大 小的白球，编号为 7，8，9，10，现从中任取 4 个球， 对于A，超几何分布取出某个对象的结果数不定， 也就是说超几何分布的随机变量为实验次数，即指某事件发生n次的试验次数， 第 14 页（共
26、 23 页） 由此可知取出的最大号码X不服从超几何分布，故A错误； 对于B，超几何分布的随机变量为实验次数，即指某事件发生n次的试验次数， 由此可知取出的黑球个数Y服从超几何分布，故B正确； 对于C，取出 2 个白球的概率为 22 64 4 10 3 7 C C p C ，故C错误； 对于D，若取出一个黑球记 2 分，取出一个白球记 1 分， 则取出四个黑球的总得分最大， 总得分最大的概率为 4 6 4 10 1 14 C P C ，故D正确 故选：BD 三填空题（共三填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）已知函数2sin()(0)yx
27、为偶函数，其图象与直线2y 的某两个交点 横坐标为 1 x、 2 x，若 21 |xx的最小值为，则函数的解析式为 2cos2yx 【解答】解：2sin()(0)yx为偶函数， 2 ，则2sin()2cos 2 yxx ，函数的最大值为 2， 图象与直线2y 的某两个交点横坐标为 1 x、 2 x， 则 21 |xxkT， 21 |xx的最小值为， T，即 2 ，得2， 即2cos2yx， 故答案为：2cos2yx 14 （5 分）若二项式 2 1 ()nx x 的展开式中二项式系数的和为 64，则展开式中的常数项为 15 【解答】解：264 n ，6n ，二项式 26 1 ()x x 的展开
28、式中常数项为 44 6( 1) 15C 故答案为：15 第 15 页（共 23 页） 15 （5 分）已知抛物线 2 4yx的焦点为F，P为抛物线上一动点，定点(1,1)A，则PAF 周长最小值为 3 【解答】解：抛物线 2 4yx的焦点为(1,0)F，准线方程为1x ， 求PAF周长的最小值，即求|PAPF的最小值， 设点P在准线上的射影为D， 根据抛物线的定义，可知| |PFPD 因此，|PAPF的最小值，即|PAPD的最小值 根据平面几何知识，可得当D，P，A三点共线时|PAPD最小， 因此的最小值为( 1)1 12 A x ， 则PAF周长最小值为2 | 2 13AF 故答案为：3 1
29、6 （5 分）某种候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究候鸟的专家发现， 该种鸟类的飞行速度v（单位：/ )m s与其耗氧量Q之间的关系为 2 log 10 Q va（其中a、b 是实数） 据统计， 该种鸟类在耗氧量为 80 个单位时， 其飞行速度为18/ms， 则a 6 ； 若这种候鸟飞行的速度不能低于60/m s，其耗氧量至少要 个单位 【解答】解： 2 log 10 Q va，当80Q 个单位时，18/vm s， 2 80 18 10 alog， 解得：6a ， 2 6 10 Q vlog ， 又60/vm s， 第 16 页（共 23 页） 2 660 10 Q log， 解
30、得： 10 10 2Q，即10240Q， 故答案为：6，10240 四解答题（共四解答题（共 6 小题，满分小题，满分 70 分）分） 17 （10 分）已知数列 n a的首项 * 11 33 ,() 521 n n n a aanN a （1）证明：数列 1 1 n a 是等比数列； （2）设 n n n b a ，求数列 n b的前n项和 n S （3）是否存在互不相等的正整数m，s，n使m，s，n成等差数列，且使1 m a ，1 s a ， 1 n a 成等比数列？如果存在，请给以证明；如果不存在，请说明理由 【解答】 （1）证明： * 11 33 ,() 521 n n n a aan
31、N a ， 1 211 3 n nn a aa ，即 1 111 1(1) 3 nn aa ， 又由 1 3 5 a 可得 1 12 10 3a ， 1 1 1 1 1 3 1 n n a a ， 数列 1 1 n a 是首项为 2 3 ，公比为 1 3 的等比数列； （2）解：由（1）可得： 1 1212 1( ) 333 n n n a ， 12 1 3n n a ， 2 3 n n n bn， 22 12(1)12 (123)2()2() 3332333 n nn nn nn Sn ， 又 231 1(1)12 2() 36333 n n n nn S ， 第 17 页（共 23 页）
32、两式相减得： 211 11 (1) 2(1)111(1) 33 2()2 1 33333333 1 3 n n nnn n nnn nn S ， 整理得： 2 323 22 3 n n nnn S ； （3）解：假设存在，由题设可得：2mns，且 2 (1)(1)(1) mns aaa， 由（2）可得： 13 2 32 1 3 n n n n a ， 2 1 32 n n a ， 2 222 () 32 3232 mns ，整理得：332 3 mns ， 又332 32 3 mnm ns ，当且仅当mn时等号成立，再根据m，n，s互不相等， 332 3 mns ，矛盾， 假设不成立， 即不存在
33、 18 （12 分）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知 ( 3)sinsinsincaAcCbB （1）求角B的大小； （2）求cossin3cosCBA的取值范围 【解答】解： （1）( 3)sinsinsincaAcCbB， 由正弦定理得， 222 3acacb， 即 222 3acbac， 由余弦定理得， 222 3 cos 22 acb B ac ， 由B为三角形内角得， 0 30B ， （2） 51 cossin3coscos()3cos 62 CBAAA ， 311 cossin3cos 222 AAA ， 113 sincos 222 AA， 第 18 页（共
34、 23 页） 1 sin() 32 A ， 由 5 0 6 A ，得 7 336 A ， 所以 1 sin() 1 23 A ， 故原式的范围(0， 3 2 19 （12 分）如图，在梯形ABCD中，/ /ABDC，60ABC，FC 平面ABCD，四边 形ACFE为矩形，点M为线段EF的中点，且1ADCDBC， 3 2 CF （1）求证：平面BCM 平面AMC； （2）求平面MAB与平面FCB所成锐二面角的余弦值 【解答】 （1）证明：在梯形ABCD中，/ /ABDC，60ABC，ADBC， 所以60DAB，ACDCAB ， 又ADCD，所以DACACD ， 所以30DACCAB ， 所以90
35、ACB，所以ACBC 又FC 平面ABCD，BC 平面ABCD，所以FCBC， 因为ACFCC，AC，FC 平面ACFE， 所以BC 平面ACFE，即BC 平面AMC 又BC 平面BCM，则平面BCM 平面AMC （2）解：由（1）知CA，CB，CF两两垂直， 所以以C为坐标原点，分别以直线CA，CB，CF为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标 系， 第 19 页（共 23 页） 因为1BC ，60ABC， 3 2 CF ， 所以3AC ，所以( 3,0,0)A，(0B，1，0)， 33 (,0,) 22 M， 所以(3,1,0)AB ， 33 (,0,) 22 AM 设 1 ( , , )nx
36、y z为平面MAB的一个法向量， 由 1 1 0 0 nAB nAM ，得 30 33 0 22 xy xz ， 解得 3yx zx ，取1x ，则 1 (1, 3,1)n 因为 2 (1,0,0)n 是平面FCB的一个法向量， 设平面MAB与平面FCB所成锐二面角为， 所以 12 12 |15 cos |55 nn nn 20 （12 分）2020 年 8 月，体育总局和教育部联合提出了关于深化体教融合，促进青少年 健康发展的意见 某地区为落实该意见，初中毕业生升学体育考试规定，考生必须参加立 定跳远、掷实心球、1 分钟跳绳三项测试，三项考试满分为 50 分，其中立定跳远 15 分，掷 实心
37、球 15 分，1 分钟跳绳 20 分某学校在初三上学期开始时要掌握全年级学生每分钟跳绳 的情况，随机抽取了 100 名学生进行测试，得到频率分布直方图（如图所示） ，且规定计分 规则如下表： 每分钟跳绳个数 155，165) 165，175) 175，185) 185，215 得分 17 18 19 20 （1）现从样本的 100 名学生中，任意选取 2 人，求两人得分之和不大于 35 分的概率； （2）若该校初三年级所有学生的跳绳个数 2 ( ,)XN ，用样本数据的平均值和方差估计 第 20 页（共 23 页） 总体的期望和方差已知样本方差 2 169s （各组数据用中点值代替） 根据往年
38、经验，该校 初三年级学生经过训练， 正式测试时跳绳个数都有明显进步 假设中考正式测试时每人每分 钟跳绳个数比初三上学期开始时个数增加 10 个，现利用所得正态分布模型： 全年级有 1000 名学生，预估正式测试每分钟跳 182 个以上人数； （结果四舍五入到整数） 若在全年级所有学生中任意选取 3 人，记正式测试时每分钟跳 195 个以上的人数为Y， 求随机变量Y的分布列和期望 附 ： 若 2 (,)XN ， 则( |)0 . 6 8 2 6P X，(| 2 )0.9544P X， (| 3 )0.9974P X 【解答】解： （1）由频率分布直方图得，得分为 17，18 的人数分别为 6 人
39、，12 人， 两人得分之和不大于 35 分，即两人得分均为 17 分，或两人中 1 人 17 分，1 人 18 分， 211 6612 2 100 29 1650 CC C P C ； （2）1600.061700.121800.341900.302000.12100.08185x （个)， 又 2 169，13，所以正式测试时，195，13，182 1 (182)1(10.6826)0.8413 2 P X ， 0.8413 1000841.3841， 由正态分布模型，全年级所有学生中任取 1 人，每分钟跳绳个数 195 以上的概率为 0.5， 即(3,0.5)YB， 03 3 (0)(0.
40、5)0.125P YC， 第 21 页（共 23 页） 13 3 (1)(0.5)0.375P YC， 23 3 (2)(0.5)0.375P YC， 33 3 (3)(0.5)0.125P YC Y的分布列为： 0 1 2 3 P 0.125 0.375 0.375 0.125 ( )3 0.5 1.5E Y 21 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左焦点为( 1,0)F ，短轴的一个端点与椭圆 的两个焦点构成一个正三角形 （1）求椭圆C的方程； （2） 若直线ykxm与椭圆C有且只有一个公共点A， 与直线40 x 交于点B 设AB 中点为M，试比较|AM与
41、|FM的大小，并说明理由 【解答】解： （1）由题意得1c ，2ac，又因为 222 abc，所以 2,3ab，故椭圆C的方程为 22 1 43 xy （2）由 22 1 43 ykxm xy ，消去y整理可得： 222 (34)84120kxkmxm， 因为直线ykxm与椭圆C有且只有一个公共点A， 所以 222 (8)4 (34)(412)0kmkm， 所以 22 34mk 设 0 (A x， 00 )(0)yy ， 所以 0 22 88 2 34 kmkm x km ， 所以 00 43 , k xy mm ，即 43 (,) k A m m ， 第 22 页（共 23 页） 又解得(
42、4, 4)Bkm ， 所以 43 (1,),( 3, 4) k FAFBkm mm ， 因此 431212 (1,) ( 3, 4)3()30 kkk FA FBkm mmmm ， 故FAFB， 所以F在以AB为直径的圆上， 于是| |AMFM 22 （12 分）已知函数( )1 (1) 1()f xxa xlnx aR （1）当0a时，求函数( )f x的极小值； （2）当0a 时，若1x 是函数( )f x的极大值点，求a的取值范围 【解答】解： （1）函数( )f x的定义域是(0,)， 1 ( )1 a fxaalnx x ， 设 1 ( )1 a g xaalnx x ，则 22 1
43、1 ( ) aaaxa g x xxx ， 当0a时，( )0g x，( )g x在(0,)递增，且g（1）0， 当01x时，( )0g x ，即( )0f x，当1x 时，( )0g x ，即( )0f x， 故( )f x在(0,1)递减，在(1,)递增， 故1x 是( )f x的极小值点，且( )f xf 极小值 （1）0； （2）当0a 时，由（1）知 22 1 () 1 ( ) a a x axa a g x xx ， ( ) i当 1 0 a a 即 1a时， ( )0g x，则( )g x在(0,)递减，又g（1）0， 当01x时，( )0g x ，即( )0f x，当1x 时，
44、( )0g x ，即( )0f x， 故( )f x在(0,1)递增，在(1,)递减， 故1x 是( )f x的极大值点，满足题意； ( )ii当 1 0 a a 时，令( )0g x得 1a x a ， 第 23 页（共 23 页） 当 1 00 a a 即 1 1 2 a 时，取 1 ( a x a ，)， 得( )0g x，则( )g x在 1 ( a a ，)上递减， 当 1 1 a x a 时，( )g xg（1）0， 即() 0f x， 当1x 时，( )g xg（1）0， 即() 0f x， 故( )f x在 1 ( a a ，1)上单调递增，在(1,)上单调递减， 故1x 是(
45、 )f x的极大值点，满足题意， 当 1 1 a a 即 1 2 a 时， 2 1 ( ) 2 x g x x ， 当01x时，( )0g x，当1x 时，( )0g x， 故( )g x在(0,1)上递增，在(1,)上递减， 故( )( )f xg xg（1）0， 故( )f x在(0,)上单调递减，此时，( )f x无极大值， 当 1 1 a a 即 1 0 2 a 时， 取 1 (1,) a x a ， 得() 0g x， 则( )g x在 1 (1,) a a 上递增， 当 1 1 a x a 时，( )g xg（1）0，即( )0f x，这与“( )f x在1x 处取极大值”矛 盾，不满足题意， 综上：所求实数a的取值范围是 1 (,) 2
