1、第 1 页（共 21 页） 2022 年（全国卷）老高考理科数学模拟试卷（年（全国卷）老高考理科数学模拟试卷（20） 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）若集合 |84 Ax yx， |(35)(27) 0Bxxx，则(AB ) A 5 3，2 B(， 5 3 C2， 7 2 D 5 3 ，2 2 （5 分）复数 1 2zi， 2 13zi ，其中i为虚数单位，则 12 zzz在复平面内的对应点 位于( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3 （5 分）设等差数列 n a的前n项和为 n S，若 1010
2、 0a， 10101011 0aa，则满足0 n S 的 最小正整数n的值为( ) A1010 B1011 C2020 D2021 4 （5 分）函数( )f x是定义在R上的偶函数，(1)f x是奇函数，且当01x 时， 2020 ( )logf xx，则 1 (2019)()( 2020 ff ) A1 B1 C 1 2020 D2020 5 （5 分） 西游记 三国演义 水浒传和红楼梦是中国古典文学瑰宝，并称为中 国古典小说四大名著， 我区教育科学研究所为了解我校学生阅读四大名著的情况， 随机调查 了 100 位学生，其中阅读过西游记或水浒传的学生共有 90 位，阅读过水浒传 的学生共有
3、 80 位，阅读过西游记且阅读过水浒传的学生共有 60 位，则在调查的 100 位同学中阅读过西游记的学生人数为( ) A80 人 B70 人 C60 人 D50 人 6 （5 分）椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的离心率是 1 2 ，则 2 1 3 b a 的最小值为( ) A 3 3 B1 C 2 3 3 D2 7 （ 5分 ） 令 2020202020192018 12320202021 (1)()xa xa xa xaxaxR， 则 2320202021 22 0 1 92 0 2 0(aaaa ) A 2019 2019 2 B 2020 2019 2 C 2019 2
4、020 2 D 2020 2020 2 8 （5 分）如图，在长方体 1111 ABCDABC D中，设 1 1ADAA，2AB ，P是 11 C D的中 点，则 1 BC与 1 A P所成角的大小为( ) 第 2 页（共 21 页） A30 B45 C60 D90 9 （5 分）如图，ABC中，4 3AC ， 3 cos 3 A，D为ABC外一点，且2DA ， 2DC ，BCD的面积为4 2，则(AB ) A6 B7 C8 D9 10 （5 分）一个球从h米高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落下，当它 第 10 次着地时，全程共经过( )米 A 8 2 h B 9 2 h C 8
5、 3 2 h h D 9 3 2 h h 11 （5 分）已知函数 2 2 2 ,0 ( ) |log|,0 xx x f x x x ，函数( )( )()g xf xa aR，若( )g x有四个不 同的零点 1 x， 2 x， 3 x， 4 x，且满足 1234 xxxx，则 312 2 34 1 ()x xx x x 的取值范围是( ) A( 1,) B 7 (0, ) 2 C 7 ( 1, 2 D( 1,1) 12 （5 分）已知等轴双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，与直线 1 2 yx交于A、B两点， 且| 2AB 15，则该双曲线方程为( ) A 22 6xy B 22 9xy
6、C 22 16xy D 22 25xy 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）若单位向量a，b满足(2 )aba，则a与b的夹角为 14 （5 分）函数 3 ( )5f xxx的图象在点(1P，f（1）)处的切线方程是 15 （5 分）将 2 个相同的红球和 2 个相同的黑球全部放入甲、乙、丙、丁四个盒子里，其 第 3 页（共 21 页） 中甲、乙盒子均最多可放入 2 个球，丙、丁盒子均最多可放入 1 个球，且不同颜色的球不能 放入同一个盒子里，共有 种不同的放法 16（5 分） 三棱锥PABC中，PA底面ABC，3PA
7、， 在底面ABC中，2AB ，60C， 则三棱锥PABC的外接球的体积等于 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分） 已知锐角三角形ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2b ， 3c ，三角形ABC的面积为 3 3 2 （1）求BC边上的高； （2）求sin(2 )AC 18 （12 分）为抑制房价过快上涨和过度炒作，各地政府响应中央号召，因地制宜出台了系 列房价调控政策某市拟定出台“房产限购的年龄政策” 为了解人们对“房产限购年龄政 策”的态度，在年龄为2060岁的人群中随机调查 100 人，调查数据的
8、频率分布直方图和 支持“房产限购”的人数与年龄的统计结果如图所示： 年龄 20，28) 28，36) 36，44) 44，52) 52，60) 支持的人数 15 5 15 28 17 （1） 由以上统计数据填22列联表， 并判断能否在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为 以 44 岁为分界点的不同人群对“房产限购年龄政策”的支持度有差异？ 44 岁以下 44 岁及 44 岁以上 总计 支持 不支持 总计 （2）若以 44 岁为分界点，从不支持“房产限购”的人中按分层抽样的方法抽取 8 人参加政 策听证会，现从这 8 人中随机抽 2 人记抽到 44 岁以上的人数为X，求随机变量X的分布 列
9、及数学期望 参考公式： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cdac bd 2 0 ()P Kk 0.100 0.050 0.010 0.001 0 k 2.706 3.841 6.635 10.828 第 4 页（共 21 页） 19（12 分） 如图， 在四棱锥PABCD中， 四边形ABCD是直角梯形，ABAD，/ /ABCD， PC 底面ABCD，222 2ABADCD，E是PB的中点 （1）求证：PACB； （2）若三棱锥DACE的体积为 1，求二面角PACE的正弦值 20 （12 分）在三角形MAB中，点( 1,0)A ，(1,0)B，且它的周长为 6，记点M的轨
10、迹为曲 线E （）求E的方程； （）设点( 2,0)D ，过B的直线与E交于P，Q两点，求证：PDQ不可能为直角 21 （12 分）已知函数( )cos ax f xexa （）当1a 时，讨论函数( )f x的单调性； （）设1a，若0 x ， 2 ，恒有( ( )( )a f xabxfx成立，求b的取值范围（注 :() axax eae 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 2 2 4 1 ( 4 1 x t t t y t 为参数，)tR （）求曲线C的直角坐标方程
11、； 第 5 页（共 21 页） （）已知直线l的参数方程为 3 1 2 ( 1 2 xt t yt 为参数，)tR，点(1,0)M，并且直线l与曲 线C交于A，B两点，求 11 |MAMB 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知函数( ) |31|1|f xxx （）解不等式( ) 2f x ； （）记函数( )( )2|1|g xf xx的值域为M，若tM，求 4 4t t 的最小值 第 6 页（共 21 页） 2022 年（全国卷）老高考理科数学模拟试卷（年（全国卷）老高考理科数学模拟试卷（20） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满
12、分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）若集合 |84 Ax yx， |(35)(27) 0Bxxx，则(AB ) A 5 3，2 B(， 5 3 C2， 7 2 D 5 3 ，2 【解答】解： |840 |2Axxx x厔， 57 | 32 Bxx 剟， 5 ,2 3 AB 故选：D 2 （5 分）复数 1 2zi， 2 13zi ，其中i为虚数单位，则 12 zzz在复平面内的对应点 位于( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【解答】解：复数 1 2zi， 2 13zi ， 则 12 (2)(13 )23(16)55zzziiii， z在复平
13、面内的对应点(5, 5)位于第四象限， 故选：D 3 （5 分）设等差数列 n a的前n项和为 n S，若 1010 0a， 10101011 0aa，则满足0 n S 的 最小正整数n的值为( ) A1010 B1011 C2020 D2021 【解答】解：根据题意，等差数列 n a中，若 1010 0a， 10101011 0aa， 则 120191010 20191010 ()201922019 20190 22 aaa Sa ， 1202010101011 202010101011 ()2020()2020 () 10100 22 aaaa Saa ， 故满足0 n S 的最小正整数n
14、的值为 2020； 故选：C 4 （5 分）函数( )f x是定义在R上的偶函数，(1)f x是奇函数，且当01x 时， 2020 ( )logf xx，则 1 (2019)()( 2020 ff ) A1 B1 C 1 2020 D2020 第 7 页（共 21 页） 【解答】解：根据题意，函数( )f x是定义在R上的偶函数，则有()( )fxf x， 又由(1)f x是奇函数，即函数( )f x的图象关于点( 1,0)对称，则()( 2)fxfx ， 则有(2)( )f xf x ， 即(2)( )f xf x ， 则有(4)(2)( )f xf xf x ，则函数( )f x是周期为
15、4 的周期函数， 则(2019)( 12020)( 1)ffff （1） ， 当01x 时， 2020 ( )logf xx，则f（1） 2020 log10， 2020 11 ()log1 20202020 f ， 故 1 (2019)()( 1)01 2020 ff ， 故选：B 5 （5 分） 西游记 三国演义 水浒传和红楼梦是中国古典文学瑰宝，并称为中 国古典小说四大名著， 我区教育科学研究所为了解我校学生阅读四大名著的情况， 随机调查 了 100 位学生，其中阅读过西游记或水浒传的学生共有 90 位，阅读过水浒传 的学生共有 80 位，阅读过西游记且阅读过水浒传的学生共有 60 位，
16、则在调查的 100 位同学中阅读过西游记的学生人数为( ) A80 人 B70 人 C60 人 D50 人 【解答】解：因为阅读过西游记或水浒传的学生共有 90 位， 阅读过西游记且阅读过水浒传的学生共有 60 位， 所以西游记与水浒传两本书中只阅读了一本的学生共有906030位， 又因为阅读过 水浒传 的学生共有 80 位， 所以只阅读过 水浒传 的学生共有806020 位， 故只阅读过西游记的学生共有302010位， 从而阅读过西游记的学生人数为106070位， 故选：B 6 （5 分）椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的离心率是 1 2 ，则 2 1 3 b a 的最小值为(
17、 ) A 3 3 B1 C 2 3 3 D2 【解答】解：由题意可得， 1 2 c a 第 8 页（共 21 页） 即 1 2 ca 2 222 3 4 a bac 则 2 2 3 1 1113 4 2 33434 33 a baa aaaa 当且仅当 1 43 a a 即 3 2 a 时取等号 2 1 3 b a 的最小值为 3 3 故选：A 7 （ 5分 ） 令 2020202020192018 12320202021 (1)()xa xa xa xaxaxR， 则 2320202021 22 0 1 92 0 2 0(aaaa ) A 2019 2019 2 B 2020 2019 2
18、C 2019 2020 2 D 2020 2020 2 【解答】解：由于 20200120202020 202020202020 (1)xCCxCx， 则 02020 20202020 CC， 12019 20202020 CC， 12021 aa， 22020 aa， 12320202320202021 202020192018220192020aaaaaaaa， 2020202020192018 12320202021 ( )(1)f xxa xa xa xaxa， 2019201920182017 1232020 ( )2020(1)202020192018f xxa xa xa xa
19、， 令1x ，可得 2019 12320202320202021 2020 2202020192018220192020aaaaaaaa 故选：C 8 （5 分）如图，在长方体 1111 ABCDABC D中，设 1 1ADAA，2AB ，P是 11 C D的中 点，则 1 BC与 1 A P所成角的大小为( ) A30 B45 C60 D90 第 9 页（共 21 页） 【解答】解：以D为坐标原点，以DA为x轴，DC为y轴， 1 DD为z轴，建立空间直角坐 标系，如图所示， 1(1 A，0，1)，(0P，1，1)， 1(1 B，2，1)，(0C，2，0)， 1 ( 1,0, 1)BC ， 1
20、 ( 1,1,0)AP ， 设 1 BC与 1 A P所成角为， 11 11 11 |11 cos|cos,| 2| |22 BC AP BC AP BCAP ， 60 故选：C 9 （5 分）如图，ABC中，4 3AC ， 3 cos 3 A，D为ABC外一点，且2DA ， 2DC ，BCD的面积为4 2，则(AB ) A6 B7 C8 D9 【解答】解：ABC中，4 3AC ， 3 cos 3 A， 所以： 6 sin 3 A ， 且2DA ， 所以 2 2 sinsin22sincos 3 DAAA， 第 10 页（共 21 页） 2 1 coscos22cos1 3 DAA ， 由于2
21、DC ，BCD的面积为4 2， 所以 12 2 24 2 23 BDC SBD ， 解得6BD ， 由余弦定理得： 22222 1 2cos62262()48 3 BCBDCDBD CDD ， 解得4 3BC 在ABC中，利用余弦定理： 222 2cosBCACABAC ABA， 即 2 3 48488 3 3 ABAB， 解得8AB 故选：C 10 （5 分）一个球从h米高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落下，当它 第 10 次着地时，全程共经过( )米 A 8 2 h B 9 2 h C 8 3 2 h h D 9 3 2 h h 【解答】解：由于一个球从h米高处自由落下，每次
22、着地后又跳回到原高度的一半再落下， 当它第 10 次着地时， 所行的路程为：h，h， 2 h ， 4 h ， 8 h ， 16 h ， 32 h ， 64 h ， 128 h ， 256 h ， 第一次落地前行的路程和最后一次落地前行的路程都是单程，其他是双程 9 8 1 (1) 2 ?3 1 21282562 1 2 h hhhh Shh 故选：C 11 （5 分）已知函数 2 2 2 ,0 ( ) |log|,0 xx x f x x x ，函数( )( )()g xf xa aR，若( )g x有四个不 同的零点 1 x， 2 x， 3 x， 4 x，且满足 1234 xxxx，则 31
23、2 2 34 1 ()x xx x x 的取值范围是( ) A( 1,) B 7 (0, ) 2 C 7 ( 1, 2 D( 1,1) 第 11 页（共 21 页） 【解答】解： 2 2 2 2 2 2 ,0 2 ,0 ( )log,01 |log|,0 log,1 xx x xx x f xxx x x x x ， 作出函数( )f x的图象，如图示： ， 函数( )( )g xf xa有 4 个不同的零点， 故( )f xa有 4 个不同的解， 根据对称性得到 12 2xx ， 由 2324 loglogxx，得： 2324 loglog0 xx，得： 34 1x x ， 3123 2 3
24、43 11 ()2x xxx x xx ， 3 1 1 2 x， 3 3 1 2yx x 是减函数， 3 3 1 121x x ， 故选：D 12 （5 分）已知等轴双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，与直线 1 2 yx交于A、B两点， 且| 2AB 15，则该双曲线方程为( ) A 22 6xy B 22 9xy C 22 16xy D 22 25xy 【解答】解：由题意作图如右图， 设等轴双曲线的方程为 22 xym，0m ，直线 1 2 yx，即20 xy， 双曲线与直线20 xy联立可得， 22 (2 ) yym， 第 12 页（共 21 页） 即 2 3ym， 则 3 m y ，(0
25、)m， 故2 3 m x ， 则由图象的对称性可得， | 2 15AB 可化为|15OA ， 即415 33 mm ， 解得，9m ， 故双曲线方程为 22 9xy 故选：B 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）若单位向量a，b满足(2 )aba，则a与b的夹角为 3 【解答】解：根据题意，设向量a，b夹角为， 若(2 )aba，则 2 (2 )21 2cos0abaaa b ， 则有 1 cos 2 ， 第 13 页（共 21 页） 又由0，则 3 ， 故答案为： 3 14（5 分） 函数 3 ( )5f xxx的图象
26、在点(1P，f（1）)处的切线方程是 230 xy 【解答】解：函数 3 ( )5f xxx的导数为 2 ( )31f xx， 可得在点(1P，f（1）)处的切线斜率为312 k， 又f（1） 3 1155 ， 切点为(1,5)，则切线方程为52(1)yx， 即为230 xy 故答案为：230 xy 15 （5 分）将 2 个相同的红球和 2 个相同的黑球全部放入甲、乙、丙、丁四个盒子里，其 中甲、乙盒子均最多可放入 2 个球，丙、丁盒子均最多可放入 1 个球，且不同颜色的球不能 放入同一个盒子里，共有 20 种不同的放法 【解答】解： （丙，丁） 2 2 (0,0):2A， （丙，丁） 11
27、 22 (1,0):4C C， （丙，丁） 11 22 (0,1):4C C， （丙，丁）(1， 2 2 1):(22)A（不同色） 1 2 C （同色）10， 故共有：2441020种 16（5 分） 三棱锥PABC中，PA底面ABC，3PA ， 在底面ABC中，2AB ，60C， 则三棱锥PABC的外接球的体积等于 43 129 54 【解答】解：由题意设三棱锥PABC的外接球的球心为O，如图： 可以把三棱锥放在圆柱中，此题转化为求解圆柱的外接球的半径， 底面ABC外接圆的半径 2 3 2sin603 AB r ， 设外接球的半径为R，则 222 143 () 212 RrPA， 43 1
28、2 R ， 所以三棱锥的外接球的体积为： 3 443 129 354 R 故答案为： 43 129 54 第 14 页（共 21 页） 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分） 已知锐角三角形ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2b ， 3c ，三角形ABC的面积为 3 3 2 （1）求BC边上的高； （2）求sin(2 )AC 【解答】 解： （1） 因为2b ，3c ， 三角形ABC的面积为 3 311 sin2 3 sin 222 bcAA ， 解得 3 sin 2 A， 因为A为锐角，可得 3 A
29、 ， 由余弦定理可得 2222 232 37abcbc ， 设BC边上的高为h，则 113 3 7 222 ahh， 解得 3 21 7 h 即BC边上的高为 3 21 7 （2）因为 222 7497 cos 214272 abc C ab ， 可得 2 3 21 sin1 14 Ccos C， 3 3 sin22sincos 14 CCC， 2 13 cos22cos1 14 CC ， 所以 31313 34 3 sin(2 )sincos2cossin2() 2142147 ACACAC 18 （12 分）为抑制房价过快上涨和过度炒作，各地政府响应中央号召，因地制宜出台了系 列房价调控政
30、策某市拟定出台“房产限购的年龄政策” 为了解人们对“房产限购年龄政 策”的态度，在年龄为2060岁的人群中随机调查 100 人，调查数据的频率分布直方图和 支持“房产限购”的人数与年龄的统计结果如图所示： 第 15 页（共 21 页） 年龄 20，28) 28，36) 36，44) 44，52) 52，60) 支持的人数 15 5 15 28 17 （1） 由以上统计数据填22列联表， 并判断能否在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为 以 44 岁为分界点的不同人群对“房产限购年龄政策”的支持度有差异？ 44 岁以下 44 岁及 44 岁以上 总计 支持 不支持 总计 （2）若以 44
31、岁为分界点，从不支持“房产限购”的人中按分层抽样的方法抽取 8 人参加政 策听证会，现从这 8 人中随机抽 2 人记抽到 44 岁以上的人数为X，求随机变量X的分布 列及数学期望 参考公式： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cdac bd 2 0 ()P Kk 0.100 0.050 0.010 0.001 0 k 2.706 3.841 6.635 10.828 【解答】解： （1）由统计数据填22列联表如下： 44 岁以下 44 岁及 44 岁以上 总计 支持 35 45 80 不支持 15 5 20 总计 50 50 100 计算观测值 2 11 (35 545
32、15)25 6.253.841 50 50 80204 k ， 所以在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为以 44 岁为分界点的不同人群对“房产限购年 第 16 页（共 21 页） 龄政策”的支持度有差异； （2）由题意可知抽取的这 8 人中，44 岁以下的有 6 人，44 岁以上的有 2 人， 根据题意，X的可能取值是 0，1，2， 计算 2 6 2 8 15 (0) 28 C P X C ， 11 62 2 8 3 (1) 7 C C P x C ， 2 2 2 8 1 (2) 28 C P X C ， 可得随机变量X的分布列为： X 0 1 2 P 15 28 3 7 1 28 故
33、数学期望为 15311 ()012 287282 E X 19（12 分） 如图， 在四棱锥PABCD中， 四边形ABCD是直角梯形，ABAD，/ /ABCD， PC 底面ABCD，222 2ABADCD，E是PB的中点 （1）求证：PACB； （2）若三棱锥DACE的体积为 1，求二面角PACE的正弦值 【解答】 （1）证明：PC 平面ABCD，BC 平面ABCD， BCPC， 因为直角梯形ABCD中，2 2,2ABADCD，所以2ACBC， 所以 222 ACBCAB，所以BCAC， 又ACPCC，所以BC 平面PAC 又因为PA平面PAC， 所以BCPA （2）解：以C为坐标原点，,CB
34、 CA CP为x，y，z轴的正方向建系如图， 第 17 页（共 21 页） 易知(0C，0，0)，(2B，0，0)，(0A，2，0)， 设(0P，0，2 )h，则(1E，0，)h， 易知ACD的面积为 1 221 2 ， 由三棱锥DACE，即三棱锥EACD的体积为 1， 得 1 11 3 h ，故3h 即(0P，0，6)，(1E，0，3)， 由（1）知，(2,0,0)mCB是平面PAC的一个法向量， 设( , , )nx y z是平面EAC的一个法向量， (0,2,0)CA，(1CE ，0，3)， 则 0 0 n CA n CE ，即 20 30 y xz ，解得取1z ，则3x ， 故(3,
35、0, 1)n ， 设二面角PACE大小为，则 63 cos |/ / |21010 m n mn ， 于是 110 sin 1010 20 （12 分）在三角形MAB中，点( 1,0)A ，(1,0)B，且它的周长为 6，记点M的轨迹为曲 线E （）求E的方程； （）设点( 2,0)D ，过B的直线与E交于P，Q两点，求证：PDQ不可能为直角 【解答】解： （）由题意可得，6MAMBAB， 4MAMBAB，则M的轨迹E是以( 1,0)A ，(1,0)B为焦点，长轴为 4 的椭圆， 又M、A、B三点不共线，0y， 第 18 页（共 21 页） E的方程为 22 1(0) 43 xy y； （）证
36、明：设直线PQ的方程为1xmy， 代入 22 1(0) 43 xy y，得 22 (34)690mymy， 设 1 (P x， 1) y， 2 (Q x， 2) y，则 12 2 6 34 m yy m ， 12 2 9 34 y y m ， 1212 (2)(2)DP DQxxy y 121212 (1)(1)2(11)4mymymymyy y 2 1212 (1)3 ()9my ym yy 22 222 9(1)1827 90 343434 mm mmm ， PDQ不可能为直角 21 （12 分）已知函数( )cos ax f xexa （）当1a 时，讨论函数( )f x的单调性； （）
37、设1a，若0 x ， 2 ，恒有( ( )( )a f xabxfx成立，求b的取值范围（注 :() axax eae 【解答】解： （）当1a 时，( )cos1 x f xex， 得( )(cossin )2cos() 4 xx fxexxex ， 令( )0fx，得 31 22 44 xkk，Zk； 令( )0fx，得 15 22 44 xkk，Zk 函数( )f x在 31 2,2 44 kk，Zk上单调递增； 在 15 2,2 44 kk，Zk上单调递减 （）设函数( )( ( )( )sin ax g xa f xaf xbxexbx ，0 x， 2 ， 则( )( sincos
38、) ax g xeaxxb， 设( )( sincos ) ax h xeaxxb， 则 2 ( )(1)sin2 cos 0 ax h xeaxax， 第 19 页（共 21 页） 函数( )h x单调递增， 即( )g x在0， 2 上单调递增， ( )1g xb ， 2 a aeb 当1b时，( ) 0g x，函数( )g x在0， 2 上单调递增， 则( )(0)0g xg，不符合题意； 当 2 a b ae 时，( ) 0g x，函数( )g x在0， 2 上单调递减， ( )(0)0g xg，符合题意； 当 2 1 a bae 时， 由于( )g x是一个单调递增的函数， 而(0)
39、10gb ， 2 ()0 2 a gaeb ， 由零点存在性定理，必存在一个零点 0 x，使得 0 ()0g x， 从而函数( )g x在 0 (0,)x上单调递减，在 0 (x，) 2 上单调递增， 因此只需(0) 0g，() 0 2 g ， 即 2 2 a eb ， 2 2 a be ， 从而 22 2 aa ebae 综上，b的取值范围为 2 2 a e ，) 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 2 2 4 1 ( 4 1 x t t t y t 为参数，)tR （
40、）求曲线C的直角坐标方程； （）已知直线l的参数方程为 3 1 2 ( 1 2 xt t yt 为参数，)tR，点(1,0)M，并且直线l与曲 线C交于A，B两点，求 11 |MAMB 第 20 页（共 21 页） 【解答】解： （）曲线C的参数方程为 2 2 4 1 ( 4 1 x t t t y t 为参数，)tR 根据 2 4 1 x t 整理得 2 4 1t x ，代入 2 2 22 (4 ) (1) t y t ，得到 22 40 xxy， 转换为标准式为 22 (2)4(04)xyx （）把直线l的参数方程为 3 1 2 ( 1 2 xt t yt 为参数，)tR，代入 22 40
41、 xxy，得到 2 330tt， 所以3 AB tt，3 A B t t ， 则 2 | ()4|1115 |3 ABA B AB ABA B ttt ttt MAMBttt t 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知函数( ) |31|1|f xxx （）解不等式( ) 2f x ； （）记函数( )( )2|1|g xf xx的值域为M，若tM，求 4 4t t 的最小值 【解答】解： （）依题意，得 4 ,1, 1 ( )22, 1, 3 1 4 , 3 x x f xxx x x 于是 1 ( ) 2 42 x f x x 或 1 1 3 22 2 x x 或 1 3 42 x x ， 解得 1 0 2 x剟 即不等式( ) 2f x 的解集为 1 |0 2 xx 剟 （）( ) |31| 3|1|31(33)| 4g xxxxx ， 当且仅当(31)(33) 0 xx时，取等号，所以4M ，) 则 4 4yt t 在4，)单调递增， 第 21 页（共 21 页） 所以 411 44() 4(4)17 4 tt tt 所以 4 4t t 的最小值为 17
