1、1 第第 23 讲讲 不会输的游戏不会输的游戏 【专题简析】【专题简析】 小朋友都很喜欢做游戏,数学中也有很多游戏。通过数学游戏,不仅能培养我们把实际问 题数学化的能力,而且还能培养我们学习数学的兴趣。 在这些游戏中,想要使拿到最后一个者获胜,首先要决定谁先拿,如果把物品总数除以每次 取物品个数的和,没有余数,就让对方先拿,自己拿的个数必须和对方拿的个数合起来是两 人每次的和。 【例题 1】 桌上有 21 根火柴,小邱和小红轮流取,每人每次取 1 根或 2 根,谁取到最后一根谁就获胜。 小红该怎样取才能保证获胜? 思路导航: 因为每人每次只能拿 1 根或 2 根,所以只要小邱先拿,小红就一定能
2、拿到第三根,即小邱拿 1 根,小红就 拿 2 根,小邱拿 2 根,小红就拿 1 根,如此拿下去小红就能把 3、6、9、12、15、18、21 这些“制高点”掌 握在手,从而获胜。因此只要把火柴总数除以二人每次取火柴的和,如果没有余数,就让双方先拿。 解:小红让小邱先拿,并且每次自己拿的个数和小邱拿的根数合起来是 3,则小红保证能获 胜。 练习 1 1.小明和小刚一起做游戏,他们把 18 粒棋子放在桌上,然后轮流拿,每人每次只能拿 1 粒或 者 2 粒,谁拿到最后一粒谁就获胜,你能让小明保证获胜吗? 2.桌上放着一堆火柴,共 56 根。由甲乙两人轮流拿,每人每次拿 1 至 3 根,拿到最后一根的
3、 人获胜,问该怎样拿才能保证获胜? 2 3.桌上有 20 颗彩珠,小丽和小兰轮流拿,每人每次只能拿 1 颗或 2 颗,谁拿到最后五颗,谁 就获胜,小兰该怎样拿才能保证获胜呢? 【例题 2】甲、乙两名同学从 1 到 30 轮流连续报数,谁先报到 30 这个数,谁就获胜,规定: 每人每次最多报三个数,最少一个数。如甲报 1,乙可报 2 或 2,3 或报 2,3,4;接着甲可 报乙报的数后面的 1 个数或 2 个数或 3 个数。问:有没有必胜的报数策略? 思路导航: 要想必胜,就要抢到 30。要抢到 30,只要捡到 26,这时如果对方报 27,你就报 28,29,30; 如果对方报 27,28,你就
4、报 29,30;对方报 27,28,29,你就报 30。同理,要抢到 26,只要抢到 22。要抢到 22, 只要抢到 18。同理只要抢以 14,10,6,2 即可。也就是从 30 继续减去 4(30472,余数是几,就 必须先抢到几) 。策略是自己先报,且先报到 2,这样就能确保抢到 6。 解:你先报到 2,对方报 3,你就报 4,5,6;对方报 3,4,你就报 5,6;对方报 3,4,5, 你就报 6;同理可以确保抢到 10,14,18,22,26,30。 练习 2 1.小东和小华做游戏,他们把 19 粒棋子放在桌上,然后轮流拿,每人每次能拿 1 粒或者 2 粒, 谁拿到最后一粒,谁就获胜。
5、这次小东该怎样拿才能保证获胜呢? 2.桌上有 22 根火柴,小明和小红轮流取,每人每次只能取 1 根或 2 根,谁取到最后一根谁获 胜。这次小红该怎样取才能保证获胜? 3 3.报 80,两人轮流报,从 1 开始,每人每次报 15 个连续数,如果一人报 1,另一个人可报 2 或 2,3 或 2,3,4,或 2,3,4,5,或 2,3,4, 5,6; 如果一人报 1、2、3、另一人可报 4 或 4, 5 或 4,5,6 或 4,5,6,7 或 4,5,6,7,8,谁先报到 80 谁就获胜。问怎样报才 能取胜? 【例题 3】 有两堆枚数相等的棋子,甲、乙两人轮流在其中任意一堆里取,多取不限,但不有不
6、取。谁 取到了最后一枚棋子为胜,如果甲后取,他一定能取胜吗? 思路导航: 由于两堆棋子的枚数相等,例如都有 5 枚,如图: 如果乙先在左边取 2 枚,甲在右边取 2 枚,这时两边都还有 3 枚: 乙先在哪一边取几枚,甲就在另一边取几枚,甲一定取走最后一枚棋子。甲后取,一定能获胜,不论乙先 在其中哪一堆里取多少枚棋子,甲总可以在另一堆里取相同枚数的棋子,因此甲一定能获胜,如果两堆棋 子数不相等,只要甲先取出较多一堆里比另一堆多的枚数,使得两堆棋子枚数相等,就可以转化为例题中 的情形。 解:见思路导航 练习 3 1.左边有 10 枚棋子,右边有 12 棋子,两人轮流去取,取到最后一枚的得胜,先取好
7、还是后 取好?怎样取才能获胜? 4 2.有三行棋子如下图,两人轮流取,每人每次只能在同一行中至少取走 1 枚或 2 枚,谁最后 取完为胜,问:要想获胜是先取还是后取? 【例题 4】 小东和小华玩 25 根小棒轮流取的游戏, 每人每次可取 1 根或 2 根, 谁取到最后一根谁就获胜。 小东先取了 2 根,小华怎样取才能获胜? 思路导航: 25 根小棒小东先取走了 2 根,还有 25223(根) ,23372,小华也跟着取 2 根,然后不管小东 取几根,只要小华每次取的和小东每次取的根数合起来是 3,小华就一定能获胜。 解:见思路导航 练习 4 1.小华和小东做游戏,桌上有 45 粒棋子,每人每次
8、可取 1 粒或 2 粒,谁取到最后一粒谁获胜, 小华先拿走了 1 粒,问小东怎样取才能获胜? 2.小军和小明在做游戏,他们在桌上放 50 根火柴棒,规定每人每次可取 1 根至 3 根,谁拿到 最后一根,谁获胜,小军先拿了 3 根,问小明怎样取才能获胜? 3.两堆糖,两人轮流拿,一次只能在其中一堆拿,拿几根不限,最后一个把糖拿走的人算输, 怎样拿会输? 5 1 11 1 1 10 0 8 8 7 75 5 4 4 2 2 1 1 1 12 2 3 3 6 6 9 9 【例题 5】 12 枚棋子摆成一圈,小华和小东轮流从中取走一枚或两枚,如果取走 2 枚,这两枚必须相邻。 谁取走最后一枚谁就获胜,
9、小华应采取什么样的策略才能获胜? 思路导航: 小华可以这样做: (1)让小东先取走一枚或两枚之后,圆圈的某一位置将出现单独的空当。于是小华从圆圈中与这个空当 相对的一侧取走一枚或两枚,使得余下的棋子被两个空当分成数目相等的两部分。 (2)从这以后,小东从哪一部分中取走一枚或两枚,小华就从另一部分中取走相同数量的棋子,这样小 华就能取走最后一枚而获胜。 解:如右图:(数字是图中棋子的编号)小东在一侧 取一枚或几枚棋子,小华就在空当相对的另一侧取走 相同数量的棋子,小华获胜。 练习 5 1.桌子上摆成一圈放着 10 枚棋子,甲、乙两人轮流从中取,每次取一枚或取相邻的两枚,如 果 2 枚棋子之间已有
10、棋子被取走,它们不算相邻的,谁取到最后一枚就算胜利,你看是先取 有利还是后取有利?有没有必胜的方法? 2.桌上摆成一圈放着 8 根小棒,每次只能取一根或相邻的两根(如果两根小棒之间有小棒被 取走,就不算相邻) ,小芳先取,乐乐后取,谁能取到最后一根就算胜利,乐乐要想取胜应怎 样取? 3.有 11 根火柴,A、B 两个比赛,规定每个人每次可以拿 13 根火柴,但不能连续再次拿去 相同数目的火柴,谁拿到最后一根火柴,谁就得胜,如果 A 先开始拿,是否有必胜的方法? 6 练习题答案 练习 1 1.让小刚先拿,小明 每次拿的个数与小刚拿的个数合起来是 3,小刚保证能获胜。 2.56414 没有余数,若
11、甲先拿,刚乙只要每次拿的火柴数和甲的合起来是 4,乙就会拿到 最后一根而获胜。 3.小兰必须先拿两颗,然后按小丽 1 颗,小兰 2 颗;或小丽 2 颗,小兰 1 颗的方法继续拿下 去,小兰才能保证获胜。 练习 2 1.19361,余数是 1,小东就先拿 1 粒,然后不管小华拿几粒,他都能保证拿到第 4, 第 7最后获胜。 2.22371,除下来有余数,小红应先把这个 1 根拿下,然后不管小明几根,只要小红 每次拿的火柴根数和小明拿的火柴根数合起来是 3,小红就能获胜。 3.806132,除下来有余数,先报者应先报两个数,然后不管后报者报几个数,只要先 报者每次报数的个数和后者合起来是 6,先报
12、者就会报到 80,从而获胜。 练习 3 1.要想取胜,要先取右边的 2 枚,然后对方取几枚,你就在另一堆也取几枚。 2.应先取。甲先在第二行取一枚棋子,如甲乙在第一行(或第二行)取 1 枚棋子,甲只需在 第三行取 2 枚棋子,则剩下第三行一枚棋子和第二行(或第一行)一枚棋子,甲必胜;甲先 在第二行取一枚棋子,如果乙在第三行取一枚棋子,则甲只需在第三行取剩下的棋子,这时 在第一行和第二行分别剩下一枚棋子,甲必胜;甲先在第二行取一枚棋子,如果乙在第三行 取 2 枚棋子,则甲只需在任一行取一枚棋子,这时在剩余的两行分别剩下一枚,甲必胜。 练习 4 1.45144(粒) ,443142,小东拿 2 粒
13、,然后不管小华拿几粒,只要小东每次取 的和小华合起来是 3,小东就一定取胜。 2.50347(根) ,474113,小军先拿 3 根,小明也跟着拿 3 根,然后小军不管拿几 根,只要小明每次拿的和小军合起来是 4,小明就一定获胜。 3.(1)如果两堆糖同样多,甲先拿几块,乙在另一堆也拿和甲同样多的块数,这样拿下去, 后拿的人一定得输。 (2)如果两堆糖不一样多,可以先从多的一堆里取出比少的一堆多的块数,然后后拿的人 拿几块,先拿的人也拿几块,这样下去,先拿的一定得输。 练习 5 7 1.后取者有利,有必胜的办法,无论先取者取走 1 枚或 2 枚棋子,后者总是在“缺口”对面取走 1 枚或 2 枚棋子,使余下的棋子变成数目相同的两段以后,无论先取者取走哪些棋子,后取 者总在另一段相应的位置上取走同样多的棋子,这样可以必胜。 2.乐乐后取,要想取胜,可以这样想 : 不论小芳先取 1 根还是 2 根,乐乐总在“缺口”的对面取 走 1 根或 2 根,使余下的小棒变成数目相同的两段以后,不论小芳取走哪些小棒,乐乐只要 在另一段同样位置上取走同样多的小棒,这样可以必胜。 3.A 先拿,第一次拿 3 根,以后每次按规则拿后,使余下的根数为 8 或 4 或 0 根,即可取胜。