1、适合初中生阅读 一个等积形在反比例函数图象上的应用 麦麦提伊敏达伍提 （新疆喀什地区莎车县恰热克镇中学 844799） 摘要：摘要：反比例函数的图像上任意一点作 x 轴、y 轴的垂线，它们与 x 轴、y 轴所围成的矩 形面积为常数， 把基本等积形与反比例函数图像的这一个性质相结合可以得到一些结论， 这 些结论对于解决一些反比例函数有关的中考题很有帮助。 关键词：关键词：等积形，反比例函数图像，中考 一、等积形一、等积形及其性质及其性质 等积形是指面积相等的平面图形，即两个图形等积，形状不一定相同。下面我们以人教 版数学教科书八年级下册教科书习题 18.1 的第 15 题为例认识一个基本等积形；
2、 如图，在ABCD 中，过对角线 BD 上的一点 P作EFBC, GHAB,图中哪两个平行四边形 的面积相等？为什么？ 由 EFBCAB，GHABCD 可证四边形 AEPH, EBGP,CGPF,DHPF 都是平行四边形； 所以有 , , ，得 SCGPF= SAEPH 进一步利用等式的性质公可以得到SABGH= SCBEF，SCGHD= SAEFD 我们可以得到结论：过平行四边形对角线上一点，引各边的平行线，所得四个平行四边 形中，不被对角线分割的两个平行四边形为等积形，图 1 就是一根基本等积形； 反过来，如图 2，点P是ABCD 内一点且 EFBC, GHAB，S1= S2则点 P，B,
3、D 共线 （点P在对角线 BD 上） ，理由如下： 因为 FBC, GHAB 所以四边形BEPF, DFPH为平行四边形 , , S1= S2 四边形 = S1= S2= 四边形 所以 P,B,D 共线； 如图 3 在ABCD 中，过对角线BD上的一点 P 作 PEAD, PFCD,则 EFAC 图 1 图 2 适合初中生阅读 因为 EPAD,所以 , ABO=EBM 从而 ； AOB=EMB,EFAC 在图 3 中有 ，因此 EFACFH 二、基本等积形的性质在反比例函数图像上的应用二、基本等积形的性质在反比例函数图像上的应用 在反比例函数 (k 是常数且 k0)图像上任取两点 P,Q，过点
4、 P,Q 分别作x轴和y轴 的垂线，就会出现上面所述的等积形，根据这个等积形的性质可得 EFABMN,而由于 四边形 EMPF, EQNF 为平行四边形,所以 EF=PM=QN 我们就可以得到反比例函数图像性质有关的一个结论：如图5,在平面直角坐标系 中一条直线与反比例函数图像的两个交点为 P,Q,与两个坐标轴的交点为 M,N 而且从点 P,Q 引x轴，y轴的垂线，垂足为 A,B,E,F 则 PM=QN （性质），EFABMN； 如图 6，矩形 ABCD 的四个顶点分别在反比例函数 和 的图像上 (k，m 是常数且 mk0)则矩形ABCD关 于直线 y=x 对称。 下面以第一象限为列，其他的同
5、理可证；延长 AB,CD 交坐标 轴于点 E,F,M,N，且过 E,F 作 CD 的垂线，垂足分别为 G,H 根据性质，AE=BF,DM=CN,所以GM=DM-AE=CN-CH=HN, 由于 EFHG是矩形， EG=FH 所以 Rt EGMRt FHN,所以GME=HNF=45，由 于EFMN,OEF=OFE=45,所以点 M 和点 N，点 E 和点 F 关于直线y=x对称。 由于 AE=BF,DM=CN，所以点 A 和点 B，点 D 和点 C 也关于直线 y=x 对称，进一步可 以到结论 OA=OB,OC=OD M O F E A B D C P F H F E A B D C P 图 3
6、图 4 图 5 图 6 适合初中生阅读 三、反比例函数图像的性质结论在解题中运用三、反比例函数图像的性质结论在解题中运用 如图7，正方形 ABCD 的顶点 A,B 在双曲线y 上， C,D 在双曲线y 上，则正方形 ABCD 的面积为 . 由于正方形也是特许的矩形，这个题可以运用上述结论来解决这道 题。 我们把问题一般化， 如图正方形ABCD的顶点A,B在双曲线y 上，C,D 在双曲线y 上(k，m 是常数且 mk0，暂讨论第一象 限的情况)则求正方形 ABCD 的面积？ 如图 8，连结 AC,BD 交于点 G,由于 ABCD 关于直线y=x 对称，直线y=x必过点 G,OGAB,AGO=BG
7、O=45，所以 AC x轴， BD y 轴 不妨设 mk0,从正方形 ABCD 的各顶点引x轴，y轴的垂线， 距形 k, 距形 m, 距形 , 距形 正方形 距形 距形 G( ), B( ), D( ) BD= 所以 正方形 （2020 年重庆中考第 12 题）如图 10，在平面直角坐标系中，矩 形 ABCD 的对角线 AC 的中点与坐标原点重合，点E是x轴上一 点，连接 AE若 AD 平分OAE，反比例函数y （k0，x 0）的图象经过 AE 上的两点 A，F，且 AFEF，ABE 的面 积为18，则 k 的值为（ ） A6 B12 C18 D24 如图，连结AE并延长交y轴于点G，连结BG
8、,BD， 根据性质得AG=EF=AF,所以 , , 由EAD=DAO=ODA得EGBD,所以 问题就转化为，如图 11，过点A作AMy轴，ANx轴 ， 图 7 图 8 图 9 图 10 图 11 适合初中生阅读 GMAGOE, 所以 ，同理 ,所以 距形 （2020 年随州中考 15 第） 如图 12， 直线AB与双曲线y （k0） 在第一象限内交于A、B两点，与x轴交于点C，点B为线段 AC的中点， 连接OA，若AOC的面积为3，则k的值为 根据性质得AD=AB=BC所以 , 距形 当然，反比例函数图像的这两个结论并不是对于每个反比例函数有关的题都能用到，只 是灵活运用上述结论能简化解题方法，加快解题速度： 参考文献参考文献 2020 年重庆中考数学试卷 2020 年随州中考数学试卷 图 12
