1、绝密绝密启用前启用前 2020 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数学数学 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1本试卷共 4 页，均为非选择题(第 1 题第 20 题，共 20 题)。本卷满分为 160 分，考试时间为 120 分钟。 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 2答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位 置。 3请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。 4作答试题，必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。 5如需作
2、图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。 参考公式： 柱体的体积VSh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高 一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 70 分分请把答案填写在请把答案填写在答题卡相应位置上答题卡相应位置上 1已知集合 1,0,1,2,0,2,3AB ，则AB 2已知i是虚数单位，则复数 (1 i)(2i)z 的实部是 3已知一组数据4,2 ,3 ,5,6aa 的平均数为 4，则a的值是 4将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷 2 次，观察向上的点数，则点数和为 5 的概率是 5如图是一个算法流程图，若输出y的
3、值为2，则输入x的值是 6在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线 22 2 10 5 () xy a a 的一条渐近线方程为 5 2 yx，则该双曲线的离 心率是 7已知 y=f(x)是奇函数，当 x0 时， 2 3 f xx ，则8f 的值是 8已知 2 sin () 4 = 2 3 ，则sin2的值是 9如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的已知螺帽的底面正六边形边长为 2cm， 高为 2cm，内孔半轻为 0.5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是 cm. 10将函数 sin(32) 4 yx的图象向右平移 6 个单位长度，则平移后的图象中与 y 轴最近的对称轴的方程是 11设
4、an是公差为 d 的等差数列，bn是公比为 q 的等比数列已知数列an+bn的前 n 项和 2 21() n n Snnn N，则 d+q 的值是 12已知 224 51( ,)x yyx yR，则 22 xy的最小值是 13在ABC 中，43 =90ABACBAC，D 在边 BC 上，延长 AD 到 P，使得 AP=9，若 3 () 2 PAmPBm PC（m 为常数），则 CD 的长度是 14 在平面直角坐标系 xOy 中， 已知 3 (0) 2 P， A， B 是圆 C： 22 1 ()36 2 xy 上的两个动点， 满足PAPB， 则PAB 面积的最大值是 二、解答题：本大题共二、解答
5、题：本大题共6小题，共计小题，共计90分，请在分，请在答题卡指定区域答题卡指定区域 内作答，内作答，解答解答时应写出文字说明、证明过程时应写出文字说明、证明过程 或演算步骤或演算步骤 15（本小题满分 14 分） 在三棱柱 ABCA1B1C1中，ABAC，B1C平面 ABC，E，F 分别是 AC，B1C 的中点 （1）求证：EF平面 AB1C1； （2）求证：平面 AB1C平面 ABB1 16（本小题满分 14 分） 在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知3,2,45acB （1）求sinC的值； （2）在边 BC 上取一点 D，使得 4 cos 5 ADC ，求tanD
6、AC的值 17 （本小题满分 14 分） 某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底 O 在水平线 MN 上，桥 AB 与 MN 平行， OO为铅垂线(O 在 AB 上)经测量，左侧曲线 AO 上任一点 D 到 MN 的距离 1 h(米)与 D 到 OO 的距离 a(米)之间满足关系式 2 1 1 40 ha ；右侧曲线 BO 上任一点 F 到 MN 的距离 2 h(米)与 F 到 OO 的距离 b(米)之间满足关系式 3 2 1 6 800 hbb .已知点 B 到 OO的距离为 40 米 （1）求桥 AB 的长度； （2）计划在谷底两侧建造平行于 OO 的桥墩 CD 和
7、 EF，且 CE 为 80 米，其中 C，E 在 AB 上(不包括 端点).桥墩 EF 每米造价 k(万元)、桥墩 CD 每米造价 3 2 k(万元)(k0)，问O E 为多少米时，桥墩 CD 与 EF 的总造价最低？ 18（本小题满分 16 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 22 :1 43 xy E的左、右焦点分别为 F1，F2，点 A 在椭圆 E 上且 在第一象限内，AF2F1F2，直线 AF1与椭圆 E 相交于另一点 B （1）求 12 AFF 的周长； （2）在 x 轴上任取一点 P，直线 AP 与椭圆 E 的右准线相交于点 Q，求OP QP的最小值； （3）设点 M 在
8、椭圆 E 上，记OAB与MAB的面积分别为 S1，S2，若 21 3SS ，求点 M 的坐标 19（本小题满分 16 分） 已知关于 x 的函数( ),( )yf xyg x与( )( ,)h xkxb k bR在区间 D 上恒有( )( )( )f xh xg x （1）若 22 2 2()f xxxg xxxD ，求 h(x)的表达式； （2）若 2 1 ln ,( )( )( )(0) xxgkxhkxk Df xxx ，求 k 的取值范围； （3）若 422342 ( ) 2( ) (48 ( ) 4 3 0)2 2f xxxg xxh xtt xttt， , 2, 2Dm n ， 求
9、证：7nm 20（本小题满分 16 分） 已知数列 () n an * N的首项 a1=1，前 n 项和为 Sn设 与 k 是常数，若对一切正整数 n，均有 11 1 11 k kk nnn SSa 成立，则称此数列为“k”数列 （1）若等差数列 n a 是“1”数列，求 的值； （2）若数列 n a 是“ 3 2 3 ”数列，且 0 n a ，求数列 n a 的通项公式； （3）对于给定的 ，是否存在三个不同的数列 n a 为“3”数列，且0 n a ？若存在，求 的取值范 围；若不存在，说明理由 数学数学试题参考答案试题参考答案 一、填空题一、填空题:本题考查基础知识、基本运算和基本思想方
10、法本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法.每小题每小题 5 分分,共计共计 70 分分. 10,2 23 32 4 1 9 53 6 3 2 74 8 1 3 912 3 2 10 5 24 x 114 12 4 5 1318 5 或 0 1410 5 二、解答题二、解答题 15本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识,考查空间想象能力和推考查空间想象能力和推 理论证能力理论证能力.满分满分 14 分分. 证明：因为,E F分别是 1 ,AC BC的中点，所以 1 EFAB. 又/EF 平面 11
11、 ABC， 1 AB 平面 11 ABC， 所以EF平面 11 ABC. （2）因为 1 BC 平面ABC，AB平面ABC, 所以 1 BCAB. 又ABAC, 1 BC 平面 11 ABC,AC 平面 1 ABC, 1 ,BCACC 所以AB 平面 1 ABC. 又因为AB平面 1 ABB,所以平面 1 ABC 平面 1 ABB. 16本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、两角和与差的三角函数等基础知本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、两角和与差的三角函数等基础知识，考查识，考查 运算求解能力运算求解能力.满分满分 14 分分. 解： （1）在ABC中，因为3,
12、2,45acB， 由余弦定理 222 2cosbacacB，得 2 92232cos455b ， 所以5b . 在ABC中，由正弦定理 sinsin bc BC ， 得 52 = sin45sinC ， 所以 5 sin. 5 C （2）在ADC中，因为 4 cos 5 ADC ,所以ADC为钝角， 而180ADCCCAD,所以C为锐角. 故 2 2 5 cos1sin, 5 CC则 sin1 tan cos2 C C C . 因为 4 cos 5 ADC ，所以 2 3 sin1cos 5 ADCADC， sin3 tan cos4 ADC ADC ADC . 从而 31 tan()2 42
13、 tantan(180)tan()= 31 1tantan11 1() 42 ADCC ADCADCCADCC ADCC . 17本小题主要考查函数的性质、用导数求最值、解方程等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数本小题主要考查函数的性质、用导数求最值、解方程等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数 学知识分析和解决实际问题的能力学知识分析和解决实际问题的能力.满分满分 14 分分. 解： （1）设 1111 ,AA BB CD EF都与MN垂直， 1111 ,A B D F是相应垂足. 由条件知，当40OB 时， 3 1 1 40640160, 800 BB 则 1 160AA . 由
14、 2 1 160, 40 OA 得80.OA 所以8040120ABOAOB（米）. （2）以O为原点，OO为y轴建立平面直角坐标系xOy（如图所示）. 设 2 ( ,),(0,40),F x yx则 3 2 1 6 , 800 yxx 3 2 1 1601606 800 EFyxx. 因为80,CE 所以80OCx. 设 1 (80,),D xy则 2 1 1 (80) , 40 yx 所以 22 1 11 160160(80)4 . 4040 CDyxxx 记桥墩CD和EF的总造价为( )f x， 则 32 32 131 ( )= (1606 )(4 ) 800240 13 (160)(0
15、40). 80080 f xkxxkxx kxxx 2 333 ( )= (160)(20) 80040800 k fxkxxx x， 令( )=0fx，得20.x 所以当20 x 时，( )f x取得最小值. 答： （1）桥AB的长度为 120 米； （2）当OE为 20 米时，桥墩CD和EF的总造价最低. 18本小题主要考查直线方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系、向量数量积等基础本小题主要考查直线方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系、向量数量积等基础 知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.满分
16、满分 16 分分. 解： （1）椭圆 22 :1 43 xy E的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c， 则 222 4,3,1abc. 所以 12 AFF的周长为226ac. （2）椭圆E的右准线为4x . 设( ,0),(4, )P xQy， 则( ,0),(4,)OPxQPxy， 2 (4)(2)44,OP QPx xx 在2x 时取等号. 所以OP QP的最小值为4. （3） 因为椭圆 22 :1 43 xy E的左、 右焦点分别为 12 ,F F， 点A在椭圆E上且在第一象限内， 212 AFF F， 则 12 3 ( 1,0),(1,0), (1, ) 2 FFA. 所以直线:3
17、430.ABxy 设( , )M x y，因为 21 3SS，所以点M到直线AB距离等于点O到直线AB距离的 3 倍. 由此得 |343|3 0403| 3 55 xy ， 则34120 xy或3460 xy. 由 22 34120, 1 43 xy xy 得 2 724320 xx，此方程无解； 由 22 3460, 1 43 xy xy 得 2 71240 xx，所以2x 或 2 7 x . 代入直线:3460lxy，对应分别得0y 或 12 7 y . 因此点M的坐标为(2,0)或 212 (,) 77 . 19本小题主要考查利用导数研究函数的性质本小题主要考查利用导数研究函数的性质，考
18、查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理 能力能力.满分满分 16 分分. 解:（1）由条件 ( )( )( )f xh xg x ，得 22 2 2xxkxbxx ， 取0 x ，得00b，所以0b 由 2 2xxkx，得 2 2 ()0 xk x，此式对一切 (,)x 恒成立， 所以 2 2 0()k，则2k ，此时 2 22xxx 恒成立， 所以( ) 2h xx （2） 1 ln,( )( )()()0,hg xk xxxx. 令 ( ) 1lnu xxx ，则 1 ( )1,u x x 令( )=0u x，得1x . 所以 m
19、in ( ) 0(1)u xu.则1lnxx 恒成立， 所以当且仅当0k 时， ( )( )f xg x 恒成立 另一方面， ( )( )f xh x 恒成立，即 2 1xxkxk 恒成立， 也即 2 ()1 1 +0 xk xk恒成立 因为0k ，对称轴为 1 0 2 k x ， 所以 2 141)0()kk，解得13k 因此，k 的取值范围是03.k （3）当12t 时， 由 ( )( )g xh x ，得 2342 484()32xtt xtt ，整理得 42 23 328 ()0.( ) 4 tt xtt x 令 3242 =()(328),tttt则 642 =538ttt 记 64
20、2 53( )1),28(ttttt 则 5322 2062 (31)(3( )06tttt tt t恒成立， 所以 ( ) t 在1, 2上是减函数，则( 2)( )(1)t，即2 ( )7t 所以不等式( ) 有解，设解为 12 xxx ， 因此 21 7nmxx 当01t 时， 432 ()()11 34241fhtttt 设 432 = 342(41)ttttv t， 322 ( )=1212444(1)(31),v tttttt 令 ( )0v t ，得 3 3 t 当 3 3 (0)t，时， ( )0v t ，( ) v t是减函数； 当(1) 3 3 t，时， ( )0v t ，
21、( ) v t是增函数 (0)1v ，(1)0v ，则当01t 时，( ) 0v t （或证： 2 ( )(1) (31)(1)0v tttt） 则 ( 1)( 1)0fh ，因此 1()mn ， 因为22mn -，所以217nm 当20t 时，因为 ( )f x，( )g x均为偶函数，因此 7nm也成立 综上所述，7nm 20本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及考查代数推理、转化与化归及 综合运用数学知识探究与解决问题的能力综合运用数学知识探究与解决问题的能力满分满分16分分 解
22、： （1）因为等差数列 n a 是“1”数列，则 11nnn SSa ，即 11nn aa ， 也即 1 (1)0 n a ，此式对一切正整数n均成立 若1，则 1 0 n a 恒成立，故 32 0aa ，而 21 1aa ， 这与 n a 是等差数列矛盾 所以1 （此时，任意首项为1的等差数列都是“11”数列） （2）因为数列 * () n anN是“ 3 2 3 ”数列， 所以 11 3 3 nnn SSa ，即 11 3 3 nnnn SSSS 因为 0 n a ，所以 1 0 nn SS ，则 11 3 11 3 nn nn SS SS 令 1n n n S b S ，则 2 3 11
23、 3 nn bb ，即 22 1 (1)(1)(1) 3 nnn bbb 解得 2 n b ，即 1 2 n n S S ，也即 1 4 n n S S ， 所以数列 n S 是公比为4的等比数列 因为 11 1Sa，所以 1 4n n S 则 2 1(1), 34(2). n n n a n （3）设各项非负的数列 * () n anN为“ 3”数列， 则 111 333 11nnn SSa ，即 333 11nnnn SSSS 因为0 n a ，而 1 1a ，所以 1 0 nn SS ，则3 1 3 1 1=1 nn nn SS SS 令3 1 = n n n S S c ，则 3 3
24、11( 1) nnn ccc ，即 333 (1)(1)( 1) nnn ccc （*） 若0或=1，则（*）只有一解为 =1 n c ，即符合条件的数列 n a 只有一个 （此数列为1，0，0，0，） 若1，则（*）化为 3 2 3 2 (1)(1)0 1 nnn ccc ， 因为 1 n c ，所以 3 2 3 2 10 1 nn cc ，则（*）只有一解为 =1 n c ， 即符合条件的数列 n a 只有一个 （此数列为1，0，0，0，） 若01，则 3 2 3 2 10 1 nn cc 的两根分别在（0，1）与（1，+）内， 则方程（*）有两个大于或等于1的解：其中一个为1，另一个大于
25、1（记此解为t） 所以 1nn SS 或 3 1nn St S 由于数列 n S 从任何一项求其后一项均有两种不同结果，所以这样的数列 n S 有无数多个，则对应的 n a 有无数多个 综上所述，能存在三个各项非负的数列 n a 为“ 3”数列，的取值范围是01 数学数学( (附加题附加题) ) 21 【选做题】本题包括 【选做题】本题包括 A、B、C 三三小题，小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答 若多做，则若多做，则 按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤
26、 A选修 4-2：矩阵与变换（本小题满分 10 分） 平面上点 (2, 1)A 在矩阵 1 1 a b M 对应的变换作用下得到点 (3, 4)B （1）求实数a，b的值； （2）求矩阵M的逆矩阵 1 M B选修 4-4：坐标系与参数方程（本小题满分 10 分） 在极坐标系中，已知点 1 (,) 3 A在直线:cos2l上，点 2 (,) 6 B在圆:4sinC上（其中0， 02 ） （1）求 1 ， 2 的值； （2）求出直线l与圆C的公共点的极坐标 C选修 4-5：不等式选讲（本小题满分 10 分） 设xR，解不等式2| 1| 4xx 【必做题】第【必做题】第22题、第题、第23题，每题题
27、，每题10分，共计分，共计20分分请在请在答题卡指定区域答题卡指定区域 内作答，解答时应写出文字说明、内作答，解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤 22 （本小题满分 10 分） 在三棱锥 ABCD 中，已知 CB=CD=5,BD=2，O 为 BD 的中点，AO平面 BCD，AO=2，E 为 AC 的中点 （1）求直线 AB 与 DE 所成角的余弦值； （2）若点 F 在 BC 上，满足 BF= 1 4 BC，设二面角 FDEC 的大小为 ，求 sin 的值 23 （本小题满分 10 分） 甲口袋中装有 2 个黑球和 1 个白球，乙口袋中装有 3 个白球现从甲、乙两口袋
28、中各任取一个球交换 放入另一口袋，重复 n 次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为 Xn，恰有 2 个黑球的概率为 pn，恰有 1 个黑球的概率为 qn （1）求 p1，q1和 p2，q2； （2）求 2pn+qn与 2pn-1+qn-1的递推关系式和 Xn的数学期望 E(Xn)(用 n 表示) 数学数学(附加题附加题)参考答案参考答案 21 【选做题】 【选做题】 A选修选修 4-2：矩阵与变换：矩阵与变换 本小题主要考查矩阵的运算、逆矩阵等基础知识，考查运算求解能力本小题主要考查矩阵的运算、逆矩阵等基础知识，考查运算求解能力满分满分10分分 解： （1）因为 123 = 114 a b ，所以
29、 213, 24, a b 解得2ab，所以 21 12 M （2）因为 21 12 M ，det2 2 1150 （ ）（）M，所以M可逆， 从而 1 21 55 12 55 - M B选修选修4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力满分满分10分分 解： （1）由 1cos 2 3 ，得 1 4 ； 2 4sin2 6 ，又（0，0） （即（0， 6 ） ）也在圆C上， 因此 2 2 或0 （2）由 cos2, 4sin , 得4sincos2，所以sin21 因为 0
30、，0 2 ，所以 4 ， =2 2 所以公共点的极坐标为(2 2,) 4 C选修选修4-5：不等式选讲：不等式选讲 本小题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力本小题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力满分满分10分分 解：当x0时，原不等式可化为224xx，解得 2 0 3 x ； 当10 x 时，原不等式可化为224xx，解得10 x ； 当1x 时，原不等式可化为224xx，解得2 1x 综上，原不等式的解集为 2 |2 3 xx 22【必做题】本小题主要考查空间向量、异面直线所成角和二面角等基础知识，考查空间想象能力和运【必做题】本小题主要考查空间向量
31、、异面直线所成角和二面角等基础知识，考查空间想象能力和运 算求解能力满分算求解能力满分10分分 解：（1）连结OC，因为CB =CD，O为BD中点，所以COBD 又AO平面BCD，所以AOOB，AOOC 以 OBOCOA， ， 为基底，建立空间直角坐标系Oxyz 因为BD=2，5CBCD，AO=2， 所以B（1，0，0），D（1，0，0），C（0，2，0），A（0，0，2） 因为E为AC的中点，所以E（0，1，1） 则AB=（1，0，2），DE=（1，1，1）， 所以 |102|15 | 15| |53 cos AB DE AB DE ABDE ， 因此，直线AB与DE所成角的余弦值为 15
32、15 （2）因为点F在BC上， 1 4 BFBC，BC=（1，2，0） 所以 11 1 (,0) 44 2 BFBC 又20,0DB （ ,）， 故 7 1 ( ,0) 4 2 DFDBBF 设 1111 ()xyz， ，n 为平面DEF的一个法向量， 则 1 1 0 0, DE DF ，n n 即 111 11 0 71 0, 42 xyz xy ， 取 1 2x ，得 1 7y ， 1 5z ，所以 1 (27 5)n ， ， 设 2222 ()xyz， ，n 为平面DEC的一个法向量，又DC=（1，2，0）， 则 2 2 0 0, DE DC ，n n 即 222 22 0 20, xy
33、z xy ， 取 2 2x ，得 2 1y ， 2 1z ， 所以 2 (211)n ， ， 故 2 1 1 2 |475|13 | | | co |13786 s n n nn 所以 2 2 39 1coss n 13 i 23 【必做题】本小题主要考查随机变量及其概率分布等基础知识，考查逻辑思维能力和推理论证能力【必做题】本小题主要考查随机变量及其概率分布等基础知识，考查逻辑思维能力和推理论证能力满满 分分10分分 解：（1） 11 31 1 11 33 CC1 CC3 p ， 11 32 1 11 33 CC2 CC3 q ， 1111 3121 2111111 1111 3333 CC
34、CC127 0 (1) CCCC3927 ppqpqpq ， 11111111 33222112 21111 11111111 33333333 CCCCCCCC ()(1) CCCCCCCC qpqpq 1 1216 = 9327 q （2）当2n 时， 1111 3121 111111 1111 3333 CCCC12 0 (1) CCCC39 nnnnnnn ppqpqpq ， 11111111 33222112 1111 11111111 33333333 CCCCCCCC ()(1) CCCCCCCC nnnnn qpqpq 1 12 = 93 n q ， 2，得 11111 241
35、212 22 399333 nnnnnnn pqpqqpq 从而 11 1 2(211) 3 nnnn pqpq ，又 11 1 3 12pq ， 所以 1 1 11 2( )1( ) 3 33 1 nn nn pq ， * nN 由，有 1 313 () 595 nn qq ，又 1 3 5 1 15 q ， 所以 1 113 () 1595 n n q ， * nN 由，有 1311 1() 210 111 ( )( ) 33925 nn nn n pq， * nN 故 311 11 1()( ) 1092 35 nn nn pq， * nN n X的概率分布 n X 0 1 2 P 1 nn pq n q n p 则 * 1 ()0(1)121( ) , 3 n nnnnn E Xpqqpn N
