1、勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理 一、选择题(每小题 4 分,共 12 分) 1.如图,每个小正方形的边长为 1,A,B,C 是小正方形的顶点,则ABC 的度数为 ( ) A.90 B.60 C.45 D.30 2.如图所示,在由单位正方形组成的网格图中标有 AB,CD,EF,GH 四条线段,其中 能构成直角三角形三边的线段是( ) A.CD,EF,GH B.AB,EF,GH C.AB,CD,GH D.AB,CD,EF 3.将直角三角形三条边的长度都扩大同样的倍数后得到的三角形( ) A.仍是直角三角形 B.可能是锐角三角形 C.可能是钝角三角形 D.不可能是直角三角形 二、填空题二、填空题(
2、 (每小题每小题 4 4 分分, ,共共 1212 分分) ) 4.把命题“如果直角三角形的两直角边长分别为 a,b,斜边长为 c,那么 a 2+b2=c2” 的逆命题改写成“如果,那么”的形式: . 5.观察以下几组勾股数,并寻找规律: 3,4,5; 5,12,13; 7,24,25; 9,40,41; 请你写出有以上规律的第组勾股数: . 6.若 a,b,c 是直角三角形的三条边长,斜边 c 上的高的长是 h,给出下列结论: 以 a 2,b2,c2 的长为边的三条线段能组成一个三角形;以,的长为边 的三条线段能组成一个三角形;以 a+b,c+h,h 的长为边的三条线段能组成直角 三角形;以
3、 , , 的长为边的三条线段能组成直角三角形. 其中所有正确结论的序号为 . 三、解答题三、解答题( (共共 2626 分分) ) 7.(8 分)如图,在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域,我海军甲、 乙两 艘巡逻艇立即从相距 13nmile 的 A,B 两个基地前去拦截,六分钟后同时到达 C 地 将其拦截.已知甲巡逻艇每小时航行 120nmile,乙巡逻艇每小时航行 50nmile,航 向为北偏西 40,问:甲巡逻艇的航向是多少? 8.(8 分)如图,每个小正方形的边长均为 1.求四边形 ABCD 的面积和周长(精确到 0.1). 【拓展延伸】 9.(10 分)王伟准备用一段长 30
4、米的篱笆围成一个三角形形状的小圈,用于饲养 家兔.已知第一条边长为 am,由于受地势限制,第二条边长只能是第一条边长的 2 倍多 2m. (1)请用 a 表示第三条边长. (2)问第一条边长可以为 7m 吗?为什么?请说明理由,并求出 a 的取值范围. (3)能否使得围成的小圈是直角三角形形状,且各边长均为整数?若能,说出你的 围法;若不能,请说明理由. 答案解析答案解析 1.【解析】选 C.根据勾股定理可以得到:AC=BC=,AB=. () 2+( ) 2=( ) 2, AC 2+BC2=AB2.ABC 是等腰直角三角形. ABC=45. 2.【解析】选 B.AB 2=22+22=8,CD2
5、=42+22=20,EF2=12+22=5,GH2=32+22=13, 所以 AB 2+EF2=GH2. 3.【解析】选 A.设直角三角形的三边分别为 a,b,c,且满足 a 2+b2=c2,扩大相同倍 数后各边分别为 na,nb,nc, 因为(na) 2+(nb)2=n2(a2+b2)=n2c2=(nc)2, 所以扩大同样的倍数后得到的三角形仍是直角三角形. 4.【解析】逆命题为:三角形三边长 a,b,c,满足 a 2+b2=c2,这个三角形是直角三角 形,逆命题改写成 “如果,那么” 的形式:如果三角形三边长 a,b,c,满足 a 2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形. 答案:如果三
6、角形三边长 a,b,c,满足 a 2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形 5.【解析】从上边可以发现第一个数是奇数,且逐步递增 2,故第 5 组第一个数 是 11,又发现第二、第三个数相差为 1,故设第二个数为 x,则第三个数为 x+1,根 据勾股定理得:11 2+x2=(x+1)2, 解得 x=60,则得第组勾股数是 11,60,61. 答案:11,60,61 6.【解析】直角三角形的三条边满足勾股定理 a 2+b2=c2,因而以 a2,b2,c2的长为 边的三条线段不能满足两边之和大于第三边,故不能组成一个三角形,故错误; 直角三角形的三边有 a+bc(a,b,c 中 c 最大),而在
7、,三个数中最 大,如果能组成一个三角形,则有+成立,即(+) 2( ) 2,即 a+b+2c(由 a+bc),则不等式成立,从而满足两边之和大于第三边,则以 ,的长为边的三条线段能组成一个三角形,故正确;a+b,c+h,h 这三个 数中 c+h 一定最大,(a+b) 2+h2=a2+b2+2ab+h2,(c+h)2=c2+h2+2ch, 又2ab=2ch=4SABC,(a+b) 2+h2=(c+h)2,根据勾股定理的逆定理即以 a+b,c+h,h 的长为边的三条线段能组成直角三角形,故正确;假设a=3,b=4,c=5,则 , , 的 长为 , , ,以这三个数的长为边的三条线段不能组成直角三角
8、形,故错误. 答案: 7.【解析】AC=120=12(nmile),BC=50=5(nmile),又因为 AB=13nmile,所 以 AC 2+BC2=AB2,所以ABC 是直角三角形,可知CAB+CBA=90,由CBA=50, 知CAB=40,所以甲巡逻艇的航向为北偏东 50. 8.【解析】根据勾股定理得到: AD=, AB=, CD=5; BC=, 四边形 ABCD 的周长是 AB+BC+CD+AD=+5+18.8. 连接 AC,BD,则 AC=5. (2) 2+( ) 2=52,52+52=(5 ) 2, AB 2+BC2=AC2,AC2+CD2=AD2. ABC 和ACD 是直角.
9、四 边 形ABCD的 面 积 = 直 角 ABC的 面 积 + 直 角 ACD的 面 积 = BCAB+ ACCD=17.5. 【归纳整合】勾股定理与其逆定理的联系和区别 联系:(1)两者都与 a 2+b2=c2有关.(2)两者所讨论的问题都是直角三角形. 区别:勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”为条件,进而得到这个直角三 角形三边的数量关系,“a 2+b2=c2”;勾股定理的逆定理则是以“一个三角形的三 边满足 a 2+b2=c2”为条件,进而得到“这个三角形是直角三角形”,是判别一个三 角形是否是直角三角形的一个方法. 9.【解析】(1)第二条边长为 2a +2, 第三条边长为 30-a-(2a +2)=28-3a. (2)当 a =7 时,三边长分别为 7,16,7. 由于 7+716,所以不能构成三角形,即第一条边长不能为 7m. 由可解得 a,即 a 的取值范围是 a. (3)在(2)的条件下,a 为整数时,a 只能取 5 或 6. 当 a =5 时,三角形的三边长分别为 5,12,13. 由 5 2+122=132知,恰好能构成直角三角形. 当 a =6 时,三角形的三边长分别为 6,14,10. 由 6 2+102142知,此时不能构成直角三角形. 综上所述,能围成满足条件的小圈,它们的三边长分别为 5m,12m,13m.
