1、第九讲 整除和位值原理 整除问题整除问题 整除是我们很早接触的一个概念， 对于它的性质我们也比较熟悉， 不过它在题目表现出 来的很大的灵活性和很强的技巧性， 仍然是值得我们不断学习和思考的 下面我们先回顾一 下相关知识： 1.1.整除的概念整除的概念 a，b，c 为整数，且0b，如果 ab=c，即整数 a 除以整数 b，得到的商是整数 c 且 没有余数，那么称作 n 能被 b 整除，或者是说 b 能整除 a，记作；否则，称为 a 不能被 b 整除，或是说 b 不能整除 n如果整数 a 能够被整数 b 整除，则 a 叫做 b 的倍数，b 叫做 a 的约数 2.2.整除的基本性质整除的基本性质 如
2、果 a，b 都能够被 c 整除，那么它们的和与差也能够被 c 整除即：如果，那 么 如果 b 与 c 的积能整除 a，那么 b 与 c 都能整除 a即：如果，那么 如果 c 能整除 b，b 能整除 a，那么 c 能整除 a即：如果 如果 b，c 都能够整除，且 b 与 c 互质，那么 b 与 c 的乘积能整除 a即： 3.3.数的整除特征数的整除特征 能被 2 整除的数的特征：个位数字是 0，2，4，6，8； 能被 3(或 9)整除的数的特征：各位的数字之和能够被 3(或 9)整除； 能被 4(或 25)整除的数的特征：末两位数能够被 4(或 25)整除； 能被 5 整除的数的特征：个位数字是
3、 0 或 5； 能被 7(或 11、 13)整除的数的特征： 一个整数的末三位与末三位以前的数字所组成的数之 差能够被 7(或 1、11、13)整除； 能被 8(或 125)整除的数的特征：末三位数能够被 8(或 125)整除； 能被11整除的数的特征： 奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能够被11整除 4.4.位值原理位值原理 同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数也不同。也就是说，每一个 数字除了本身的值以外，还有一个“位置值”。例如“5”，写在个位上，就表示 5 个一； 写在十位上，就表示 5 个十；写在百位上，就表示 5 个百；等等。这种把数字和数位结合起 来表示
4、数的原则，称为写数的位值原理位值原理。 用阿拉伯数字和位值原理，可以表示出一切整数。例如，926 表示 9 个百，2 个十，6 个一，即 926=9100+210+6。根据问题的需要，有时我们也用字母代替阿拉伯数字表示 数，如：abc表示 a 个百，b 个十，c 个一。 其中 a 可以是 19 中的数码，但不能是 0，b 和 c 是 09 中的数码。 5.5.位值原理的表达形式位值原理的表达形式 以三位数为例： 100101abcabc abc上面的横线表示这是用位值原理表示的一个数，用以区别abc a b c 1.理解整除的概念，会用整除的性质解决有关问题。 2.理解位值原理的含义，能区分位
5、值原理与字母乘法的区别。 3.掌握整除的性质，并熟练应用被 2、3、4、5、8、9、11 整除的数的特征。 例例 1：证明：当：证明：当ac时，时，abccba必是必是 9 的倍数。的倍数。 分析：abc与cba的数字顺序恰好相反，我们称cba与abc互为反序数，互为反序数的两 个数之差必能被 9 整除。 例例 2 2：有一个两位数，把数码有一个两位数，把数码 1 1 加在它的前面可以得到一个三位数，加在它的后面也可以得加在它的前面可以得到一个三位数，加在它的后面也可以得 到一个三位数，这两个三位数相差到一个三位数，这两个三位数相差 666666。求原来的两位数。求原来的两位数。 分析与解分析
6、与解：由位值原则知道，把数码 1 加在一个两位数前面，等于加了 100；把数码 1 加在 一个两位数后面，等于这个两位数乘以 10 后再加 1。 设这个两位数为 x。由题意得到 （10 x+1）-（100+x）=666， 10 x+1-100-x=666， 10 x-x=666-1+100， 9x=765， x=85。 原来的两位数是 85。 例例 3 3：a a，b b，c c 是是 1 19 9 中的三个不同的数码，用它们组成的六个没有重复数字的三位数之中的三个不同的数码，用它们组成的六个没有重复数字的三位数之 和是（和是（a+b+ca+b+c）的多少倍？）的多少倍？ 分析与解分析与解：用
7、 a，b，c 组成的六个不同数字是 这六个数的和等于将六个数的百位、十位、个位分别相加，得到 所以，六个数的和是（a+b+c）的 222 倍。 例例 4 4：用用 2 2，8 8，7 7 三张数字卡片可以组成若干个不同的三位数，所有这些三位数的平均值是三张数字卡片可以组成若干个不同的三位数，所有这些三位数的平均值是 多少？多少？ 分析与解分析与解：由例 3 知，可以组成的六个三位数之和是（2+8+7）222， 所以平均值是（2+8+7）2226=629。 例例 5 5：一个两位数，各位数字的和的一个两位数，各位数字的和的 5 5 倍比原数大倍比原数大 6 6，求这个两位数。，求这个两位数。 分
8、析与解：设这两个数为ab，则有 （a+b）5-（10a+b）=6， 5a+5b-10a-b=6， 4b-5a=6。 当 b=4，a=2 或 b=9，a=6 时，4b-5a=6 成立，所以这个两位数是 24 或 69。 例例 6 6：将一个三位数的数字重新排列，在所得到的三位数中，用最大的减去最小的，正好等将一个三位数的数字重新排列，在所得到的三位数中，用最大的减去最小的，正好等 于原来的三位数，求原来的三位数。于原来的三位数，求原来的三位数。 分析与解分析与解：设原来的三位数的三个数字分别是 a，b，c。若 由上式知，所求三位数是 99 的倍数，可能值为 198，297，396，495，594
9、，693，792， 891。经验证，只有 495 符合题意，即原来的三位数是 495。 A A 1.一个自然数与 13 的和是 5 的倍数，与 13 的差是 6 的倍数，则满足条件的最小自然数是 答案：答案：3737 2.有三个正整数 a、b、c 其中 a 与 b 互质且 b 与 c 也互质，给出下面四个判断：(a+c) 2 不能被 b 整除，a 2+c2不能被 b 整除：(a+b)2不能被 c 整除；a2+b2不能被 c 整除，其 中，不正确的判断有( ) A4 个 B3 个 C 2 个 D1 个 答案：答案：A A 3.已知 7 位数61287xy是 72 的倍数，求出所有的符合条件的 7
10、 位数 答案：符合条件的答案：符合条件的 7 7 位数是：位数是：12872161287216，12879361287936，12875761287576 4.(1)一个自然数 N 被 10 除余 9，被 9 除余 8，被 8 除余 7，被 7 除余 6，被 6 除余 5，被 5 除余 4，被 3 除余 2，被 2 除余 1，则 N 的最小值是 (北京市竞赛题) (2)若1059、 1417、 2312分别被自然数x除时， 所得的余数都是y， 则xy的值等于( ) A15 B1 C164 D174 (“五羊杯”竞赛题) (3)设 N= 个1990 111，试问 N 被 7 除余几?并证明你的结
11、论 (安徽省竞赛题) 答案：答案： 5.盒中原有 7 个球，一位魔术师从中任取几个球，把每一个小球都变成了 7 个小球，将其放 回盒中，他又从盒中任取一些小球，把每一个小球又都变成了 7 个小球后放回盒中，如此进 行，到某一时刻魔术师停止取球变魔术时，盒中球的总数可能是( ) A1990 个 B1991 个 C 1992 个 D1993 个 答案：答案：D B B 6.在 100 以内同时被 2、3、5 整除的正整数有多少个? 答案：答案：3030、6060、9090 三个三个 7.某商场向顾客发放 9999 张购物券， 每张购物券上印有一个四位数的号码， 从 0001 到 9999 号， 如
12、果号码的前两位数字之和等于后两位数字之和， 则称这张购物券为 “幸运券” 证明： 这个商场所发放的购物券中，所有的幸运券的号码之和能被 101 整除 答案：答案：显然，号码为 9999 是幸运券，除这张外，如果某个号码 n 是幸运券，那么号 m=9999 n 也是幸运券， 由于 9 是奇数， 所以 mn 由于 m+n=9999 相加时不出现进位， 这就是说， 除去号码 9999 这张幸运券外，其余所有幸运券可全部两两配对，而每一对两个号码之和均 为 9999，即所有幸运券号码之和是 9999 的整倍数，而 1019999，故知所有幸运券号码之 和也能被 101 整除 思考：“如果某个号码 n
13、是幸运券， 那么号 m=9999n 也是幸运券” ， 这是解决问题的关键， 请你考虑这句话合理性 若六位数9381ab是 99 的倍数，求整数 a、b 的值 9381ab能被 9 整除，8+1+a+b+9+3=21+a+b 能被 9 整除，得 3+a+b=9kl(k1为整 数) 又9381ab能被 11 整除，81+ab+93=13+ab 能被 11 整除，得 2+ab=11k2(k2 为整数) 0a，b9 0a+b18，9ab9 由、两式，得 39k121，711k21l， 知 k1=1，或 k1=2；k2=0，或，而 3+a+b 与 2+ab 的奇偶性相异，而 k1=2，k2=1 不符合
14、题意 故把 k1=1，k2=0 代人、两式，解方程组可求得 a=2，b=4 8.写出都是合数的 13 个连续自然数 答案：答案：方法一：直接寻找 从 2 开始，在自然数 2，3，4，5，6，中把质数全部划去，若划去的两个质数之间的 自然数个数不小于 13 个，则从中取 13 个连续的自然数，就是符合要求的一组解，例如：自 然数 114，115，116，126 就是符合题意的一组解 方法二：构造法 我们知道，若一个自然数 a 是 2 的倍数，则 a+2 也是 2 的倍数，若是 3 的倍数，则 a+3 也是 3 的倍数， 若 a 是 14 的倍数，则 a+14 也母 14 的倍数，所以只要取 a
15、为 2，3， ， 14 的倍数，则 a+2，a+3，a+14 分别为 2，3，14 的倍数，从而它们是 13 个连续的自 然 所以，取 a=23414，则 a+2，a+3，a+14 必为 13 个都是合数的连续的自 然数 9.已知定由 “若大于 3 的三个质数 a、 b、 c 满足关系式 20+5b=c， 则 a+b+c 是整数 n 的倍数” 试 问：这个定理中的整数 n 的最大可能值是多少?请证明你的结论 答案：答案： 先将 a+b+c 化为 3(a+2b)的形式， 说明 a+b+c 是 3 的倍数， 然后利用整除的性质对 a、 b 被 3 整除后的余数加以讨论得出 a+2b 也为 3 的倍
16、数 a+b+2a+5b=3(a+2b)， 显然，3a+b+c 若设 a、b 被 3 整除后的余数分别为 ra、rb，则 ra0， rb 0 若 rarb，则 ra=2，rb=1 或 ra=1，rb=2，则 2a+5b =2(3m+2)+5(3n+1)=3(2m+5n+3)，或 者 2a+5b=2(3p+1)+5(3q+2)；3(2P+59+4)，即 2a+5b 为合数与已知 c 为质数矛盾 只有 ra=rb，则 ra=rb=1 或 ra=rb=2 于是 a+2b 必是 3 的倍数，从而 a+b+c 是 9 的倍数 又 2a+5b=211 十 55=47 时， a+b+c=11+5+47=63，
17、 2a+5b =213 十 57=61 时， a+b+c =13+7+61=81， 而(63，81)=9，故 9 为最大可能值 10.一个正整数 N 的各位数字不全相等，如果将 N 的各位数字重新排列，必可得到一个最大 数和一个最小数，若最大数与最小数的差正好等于原来的数 N，则称 N 为“新生数” ，试求 所有的三位“新生数” 答案：答案：将所有的三位“新生数”写出来，然后设出最大数、最小数，求差后分析求出所有三 位“新生数”的可能值，再进行筛选确定 11.设 N 是所求的三位“新生数” ，它的各位数字分别为 a、b、c (a、b、c 不全相等)，将其 各位数字重新排列后，连同原数共得 6
18、个三位数：cbacabbcabacacbabc,，不妨设其 中的最大数为abc， 则最小数为cba 由 “新生数” 的定义， 得 N=abccba=(100a+l0b+c) 一(100c+l0b+d)=99(ac) 答案：答案：由上式知 N 为 99 的整数倍，这样的三位数可能为：198，297，396，495，594，693， 792， 891， 990 这九个数中， 只有 954459=495 符合条件， 故 495 是唯一的三位 新生数” C C 12.从左向右将编号为 1 至 2002 号的 2002 个同学排成一行， 从左向右从 1 到 11 报数， 报到 11 的同学原地不动，其余
19、同学出列；然后，留下的同学再从左向右从 1 到 11 报数，报到 11 的同学留下， 其余同学出列； 留下的同学再从左向左从 1 到 11 地报数， 报到 11 的同学留下， 其余同学出列问最后留下的同学有多少?他们的编号是几号? 答案：答案：由题意，第一次报数后留下的同学，他们的编号必为 11 的倍数；第二次报数后留下 的同学，他们的编号必为 11 2=121 的倍数；第三次报数后留下的同学，他们的编号必为 11 3=1331 的倍数 因此，最后留下的同学编号为 1331 的倍数，我们知道从 12002 中，1331 的倍数只有 一个，即 1331 号，所以，最后留下一位同学，其编号为 13
20、31 13.在一种游戏中，魔术师请一个人随意想一个三位数cbacabbcabacabc、的和 N，把 N 告诉魔术师，于是魔术师就能说出这个人所想的数abc现在设 N=3194，请你做魔术师， 求出数abc来 答案：答案：将abc也加到和 N 上，这样 a、b、c 就在每一位上都恰好出现两次，所以有abc +N=222(a+b+c) 从而 3194222(a+b+c) 3194+1000，而 a、b、c 是整数 所以 15a 十 b 十 c18 因为 222153194=136， 222163194=358， 22217-3194=580， 22218-3194=802， 其中只有 3+5+8
21、=16 能满足式，所以abc=358 14.某公园门票价格对达到一定人数的团队按团队票优惠现有 A、B、C 三个旅游团共 72 人，如果各团单独购票，门票费依次为 360 元、384 元、480 元；如果三个团合起来购票， 总共可少花 72 元 (1)这三个旅游团各有多少人? (2)在下面填写一种票价方案，使其与上述购票情况相符 答案：答案：(1)360+384+48072=1152(元)， 115272=16(元人)，即团体票是每人 16 元 因为 16 不能整除 360，所以 A 团未达到优惠人数 若三个团都未达到优惠人数，则三个团的人数比为 360：384：480=15：16：20，即三
22、 个团的人数分别为72 51 20 ,72 51 16 ,72 51 15 ，这都不是整数(只要指出其中某一个不是整数 即可)，不可能所以 B、C 两团至少有一个团本来就已达到优惠人数 这有三种可能：只有 C 团达到；只有 B 团达到；B、C 两团都达到 对于，可得 C 团人数为 48016=30，A、B 两团共有 42 人，A 团人数为 15/3142， 不是整数，不可能 刘于，可得 B 团人数为 38416=24，A、C 两团共有 48 人，A 团人数为 15/3548， 不是整数，不可能 所以必是成立，即 C 团有 30 人，B 团有 24 人，A 团有 18 人 15.在下边的加法算式
23、中，每个口表示一个数字，任意两个数字都不同：试求 A 和 B 乘积的 最大值 售票处 普通票 团体票(须满人) 每人 售票处 普通票 团体票(须满 20 人) 每人 20 元 每人 16 元(或或 8 折优惠) 答案：答案：先通过运算的进位，将能确定的口确定下来，再来分析求出 A 和 B 乘积的最大值 设算式为 显然，g=1，d=9，h=0 a+c+f=10+B ，b+e=9+A，A6 2（A+B）+19=2+3+4+5+6+7+8=35，A+B=8 要想 AB 最大，A6，取 A=5，B=3此时 b=6，e=8，a=2，c=4；f=7， 故 AB 最大值为 15 16.任给一个自然数 N，把
24、 N 的各位数字按相反的顺序写出来，得到一个新的自然数 N，试 证明：NN能被 9 整数 答案：答案：令 N=，则 N= 11 aaa nn 所以，N 除以 9 所得的余数等于 a1+a2+an 除以 9 所得的余数， 而 N除以 9 所得的余数等于 an+an-1+ a1除以 9 所得的的余数 显然， a1+a2+an= an+an-1+ a1因此，N 与 N除以 9 所得的余数相同，从而NN能被 9 整除 17.证明：111 111+112112十 113113能被 10 整除 答案：答案：要证明 111 111+112112十 113113能被 10 整除，只需证明 111111+112
25、112十 113113的末位数字 为 0，即证 111 111、112112、113113三个数的末位数字和为 10 证明：111 111的末位数字显然为 1；112112=(1124)28，而 1124的末位数字是 6，所以 112112 的末位数字也是 6； 113 113=(1134)28113 1134的末位数字是 1， 所以 113113的末位数字是 3 111 111、112112、113113三个数的末位数字和为 10， 111” 十 112n十 113m 能被 10 整除 注：本题是将证明被 10 整除转化为求三数的末位数字之和为 10解决数学问题时，常 将未知的问题转化为熟知
26、的问题，复杂的问题转化为简单的问题，这就是化归思想 1.在下列数中，哪些能被 4 整除？哪些能被 9 整除？哪些能被 3 整除？ 28、96、120、225、540、768、423、224、292 分析：分析： 由可以被 4、9、3 整除的数的特征来考察这些数。可被 4 整除的数要看数字的末两位。 可被 9 或 3 整除的数的特征相似，都是要先求出各个数位上的数字之和能否被 9 或 3 整除。 答案：答案： 能被 4 整除的数：28、96、120、540、768、224 n aaa 21 能被 9 整除的数：225、540、423 能被 3 整除的数：96、120、225、540、768、42
27、3、294 2.（1）五位数 A1A72 能被 12 整除； （2）五位数 4B97B 能被 12 整除，求这两个五位数。 分析：分析： 由于 12=34，且 3 与 4 互质，那么能被 12 整除的数应具有的特点是既能被 3 整除也 能被 4 整除。 答案：答案： （1）A1A72 可被 3 整除则 A+1+A+7+2=10+2A 能被 3 整除，A 取 l、4。因为末两位数 72 可被 4 整除，那么 A1A72 可被 4 整除。 所以这个五位数是 1l172 或 41472。 （2）4B97B 可被 3 整除，则 4+B+9+7+B=20+2B 能被 3 整除，B 取 2、5、8。再由能
28、被 4 整除的条件，末两位数 7B 要能被 4 整数，B 可以取 2 或 6。同时符合上述两个条件的 B 取值 只有 2，所以这个五位数是 42972。 3.有一个四位整数 16，如果要让这个四位数同时能被 2、3、4、5 整除，那么这个四位 数的末两位上应是什么数？ 分析：分析： 由于满足能被 2、3、4 整除的数比较多，所以先来看满足可以被 5 整除的数的特点，即 个位数是 0 或 5。 但若在个位填 5， 则不满足可以被 2 整除的条件， 所以个位数字一定是 0， 若使这个四位数可以被 4 整除，则0 是 4 的整数倍，满足条件的有 00、20、40、60、80。 最后再用可被 3 整除
29、的条件来限制，找出正确的答案。 答案：答案： 在 1600、1620、1640、1660、1680 这些数中易知 1620 与 1680 可以被 3 整除。 则这个四位数的末两位上是 20 或 80。 4.要使六位数能被 36 整除，而且所得的商最小，问这个六位数是多少？ 分析：分析： 由于能被 36 整除， 36=49， 且 4 与 9 互质， 所以这个六位数既能被 4 整除， 又能被 9 整除。再考虑“所得的商最小”这个条件，应首先是 A 尽量小，其次是 B 尽量小， 最后是 C 尽量小。 答案：答案： 使能被 4 整除，则能被 4 整除，因此 C 可能取 1、3、5、7、9。 使能被 9
30、 整除，则 1+8+A+B+C+6=15+A+B+C 能被 9 整除。要使所得的商最小， 就要使这个六位数尽可能小，即尽量小。因此首先是 A 尽量小，其次是 B 尽 量小，最后是 C 尽量小。先试取 A=0。此六位数的数字之和为 A+B+C，欲使 B、C 尽量小，而 且（15+B+C）能被 9 整除，则（B+C）取 3，因为 B+C=3，且 C 只能取 l、3、5、7、9。则 C=3， B=0。 当 A=0， B=0， C=3 时， 此六位数能被 36 整除， 而且所得的商最小， 为 18003636=5001。 5.已知 2002 年的 1 月 l 日是星期二，那么 （1）2002 年的 1
31、2 月 5 日是星期几？ （2）20 年后的 1 月 l 日将是星期几？ 分析：分析： 因为星期是按规律重复出现的现象，星期一、星期二、星期日、星期每 7 天重复一次。所以要知道 12 月 5 日是星期几，须知从 1 月 1 日到 12 月 5 日之间有多少个 7 天。 求 20 年后的某天是星期几的算法相同。 618ABC 618ABC 618ABC6C 618ABC 618ABCABC 答案：答案： （1）在 2002 年中从 1 月至 12 月，其中 2 月是 28 天，l、3、5、7、8、10 月都是 31 天， 4、6、9、11 月都是 30 天， 因此从 1 月 1 日到 12 月
32、 5 日总共有，28+631+430+5=339 （天） 由于一星期有 7 天，339=748+3，所以从 1 月 1 日到 12 月 5 日的 339 天中，共有 48 星期零 3 天，这 3 天就是从星期二起的 3 天，第三天是星期四。所以 12 月 5 日是星期四。 （2） 先求出这 20 年总共有多少天。 由于每年有 365 天， 20 年就有 20365=7300 （天） ， 而每四年有一个闰年，20 年中有 5 个闰年，所以 20 年总共有 20365+5=7305（天） 。 由于一个星期有 7 天，7305=71043+4 说明 20 年中有 1043 个星期零 4 天，2002
33、 年 1 月 1 日是星期二，所以 20 年后的 1 月 1 日从星期二往后推 4 天，应该是星期六。 6.检验下面的算式是否正确： （l）65343+35892+38462=139587 （2）2708358=968464。 分析：分析： 根据余数的特征，我们可以利用“弃九数” ，不经过计算判断正误。等号左右两边若弃 九数相等，则等式可能成立。若弃九数不等，则等式一定不成立。而且两个因数的弃九数相 乘，所得的数的弃九数应当等于两个因数的乘积的九余数。如果不等，则乘法计算有错误。 答案：答案： （1）求各个加数的弃九数： 65343（6+5+3+4+3）9=23 35892（3+5+8+9+2
34、）9=30 38462（3+8+4+6+2）9=25 139587（1+3+9+5+8+7）9=36 等号左边弃九数的和：3+5=8，右边弃九数为 6。86，则原算式计算有误。 （2）2708（2+7+0+8）9=l8 358（3+5+8）9=17 87=56（5+6）9=12 968464（9+6+8+4+6+4）9=4l 左边乘积的弃九数为 2，右边结果弃九数为 1。21，所以此算式有误。 7.已知两个整数相除商是 13，余数是 8，并且被除数与除数的差是 308，求这两个整数。 分析：分析： 由题中条件有：被除数除数=138 被除数-除数=308，即被除数比除数大 12 倍多 8，那么
35、308=除数12+8，则两数可求。 答案：答案： 除数=（308-8）（13-l） =25 被除数=308+25=333 答：被除数是 333，除数是 25。 8.有一列数字：l，2，9，4，7，1，2，9，4，7（1）第 307 个数是多少？（2）这 307 个数相加的和是多少？ 分析：分析： 观察这一列数的循环规律，是按照 l、2、9、4、7 这个顺序每五个数依次重复排列的， 一个循环是 5 个数，要看 307 个数中有几个这样的循环。 答案：答案： （1）307=561+2 可知 307 里面有 61 个（1、2、9、4、7） ，还余两个数，所以第 307 个数是 2。 （2）每个循环之
36、和：l+2+9+4+7=22，307 个数中有 61 个循环及一个 l、一个 2。 所以这 307 个数的和为：2261+l+2=1345 答：第 307 个数是 2，307 个数的和为 1345。 1.1.在内填上适当的数字，使（1）34能同时被 2、3、4、5、9 整除； （2）736能被 24 整除； （3）1996能同时被 8、9、25 整除 分析：分析： （1）题目要求 34能同时被 2、3、4、5、9 整除，因为能被 4 整除的数一定能被 2 整除， 能被 9 整除的数一定能被 3 整除， 所以 34只要能被 4、 9、 5 整除， 就一定能被 2、 3、4、5、9 整除先考虑能被
37、 5 整除的条件个位是 0 或 5，再考虑能被 4 整除的条件，由 于 4 不能整除 345，所以个位必须是 0，最后考虑能被 9 整除的条件，340 的各个数位 上的数字和是 9 的倍数，3+4+0=7+，这时十位数字只能是 2，问题得以解决 （2）题目要求 736能被 24 整除，24=38，而 3 与 8 互质，根据整除的性质，考虑被 24 整除，只要分别考虑被 3、8 整除就行了先考虑被 8 整除的条件，736的末三位数 所组成的数 36能被 8 整除，所以个位数字只能是 0 或 8，当个位数字为 0 时，由于要求 7 360 能被 3 整除，所以 7+3+6+0=16+能被 3 整除
38、，这样千位数字只能是 2 或 5 或 8； 当个位数字为 8 时，由于要求 7368 能被 3 整除，所以 7+3+6+8=24+能被 3 整除，这 样千位数字只能是 0 或 3 或 6 或 9 （3）题目要求1996能同时被 8、9、25 整除，首先考虑能被 25 整除的条件，1996 的末两位数能被 25 整除，末两位数只能是 00，25，50，75其次考虑能被 8 整除的条 件，1996的末三位数字组成的数能被 8 整除，但 600，625，650，675 这四个数中， 只有 600 这个数能被 8 整除最后199600 这个数能被 9 整除，其各个数位上的数字和 +1+9+9+9+6+
39、0=25+能被 9 整除，所以第七位数字是 2 解：解： （1）因为 34能同时被 2、3、4、5、9 整除，因此只要 34能同时被 4、5、9 整 除由于 34能被 5 整除，所以个位数字只能是 0 或 5，又因为 4 不能整除 345，所以 个位必须是0， 又340能被9整除， 3+4+0=7+能被9整除， 所以十位数字只能是2 3420 能同时被 2、3、4、5、9 整除 （2）因为 24=38，3 与 8 互质，736被 8 整除的条件是，736的末三位数所组成的 数 36能被 8 整除， 所以个位数字只能是 0 或 8； 当个位数字是 0 时， 7360 能被 3 整除， 7+3+6
40、+0=16+能被 3 整除，所以千位数字只能是 2 或 5 或 8；当个位数字是 8 时，7 368 能被 3 整除，7+3+6+8=24+能被 3 整除，所以千位数字只能是 0 或 3 或 6 或 9所 以所求的数为 72360，75360，78360，70368，73368，76368，79368 （3）因为1996能被 25 整除，1996的末两位数能被 25 整除，这样末两位数只 能是 00，25，50，75；又因为1996能被 8 整除，但1996的末三位数 600，625， 650， 675 这四个数中， 只有 600 能被 8 整除； 而199600 又能被 9 整除， +1+9
41、+9+6+0+0=25+ 能被 9 整除，所在第七位数字只能是 2所以 2199600 能同时被 8、9、25 整除 2.2.把 915 连续写多少次，所组成的数就能被 9 整除，并且这个数最小 分析：分析：要求这个数能被 9 整除，而 9+1+5=15 显然不能被 9 整除，但 315 能被 9 整除，因 此只要把 915 连续写 3 次，所组成的数就能被 9 整除，并且这个数最小 解：解： 因为 9+1+5=15， 15 不能被 9 整除， 而 315 能被 9 整除， 所以只要把 915 连续写 3 次， 即 915915915 必能被 9 整除，且这个数最小 3.3.希希买了九支铅笔，
42、两支圆珠笔，三个练习本和五块橡皮她看到圆珠笔每支 3 角 9 分， 橡皮每块 6 分，其余她没注意售货员要她付 3 元 8 角，希希马上说： “阿姨你算错了 ”请 问售货员的帐算错了没有？为什么？ 分析：分析：根据圆珠笔与橡皮的单价，可以算出圆珠笔、橡皮共需 392+65=108（分） ，而 3 元 8 角即 380 分减去 108 分等于 272 分，这 272 分是买九支铅笔、三个练习本的价格，这 9 与 3 正好是 3 的倍数， 也就是说九支铅笔与三个练习本的总价钱应是 3 的倍数 （无论它们各 自的单价是多少） ，而 272 不是 3 的倍数，显然是售货员把账算错了 解：解： 两支圆珠
43、笔和五块橡皮的总钱数 392+65=108 （分） 3 元 8 角即 380 分， 380-108=272 （分）应是九支铅笔与三个练习本付的总价钱，因为九支铅笔与三个练习本的总价钱必是 3 的倍数，而 272 不是 3 的倍数，所以售货员把账给算错了 4.4.三个数分别是 346，734，983，请再写一个比 996 大的三位数，使这四个数的平均数是一 个整数 分析：分析：要使这四个数的平均数是一个整数，说明这四个数的和必是 4 的倍数因为 346+734+983=2063， 被 4 除余 3， 比 996 大的三位数只有 997 被 4 除余 1， 这时 2063+997=3060 必能被
44、 4 整除 解：解： 因为 346+734+983=2063， 被 4 除余 3， 比 996 大的三位数只有 997 被 4 除余 1， 且 2063+997 必能被 4 整除，所以第四个数为 997 5.5.甲、乙两数的和是 1088，甲数除以乙数的商是 11，余数是 32，求甲、乙两的数值。 分析：分析：根据甲数除以乙数商 11 余 32，甲数=乙数11+32，又根据甲、乙两数之和为 1088， 所以 1088 相当于比乙数的（11+1）倍多 32。 解：解：乙数： （1088-32）12=88， 甲数：1088-88=1000 6.6.小雨有一盒糖，每 7 颗一数还余 4 颗，每 5
45、颗一数又少 3 颗，每 3 颗，每 3 颗一数恰好数 完，这盒糖至少有多少颗？ 分析与解：分析与解：3 颗一数恰好数完，说明糖的颗数应是 3 的倍数，而 7 颗一数余 4 个，相当于 7 颗一数差：7-4=3（颗） ，5 颗一数也差 3 颗，说明糖的数量比 3、5、7 的最小公倍数少 3。 因为 357=105，105-3=102（颗） 答：这盒糖至少有 102 颗。 7.7.今年国庆节是星期三，10 月 17 日是星期几？ 分析与解：分析与解：可以这样想：一个星期有 7 天，国庆节是星期三，以后的日期依次是星期四、星 期五、星期六、星期日、星期一，每 7 天为一个周期。从 10 月 1 日到
46、 10 月 17 日共有 （17-1）天，即 16 天，先算一算 16 天共有多少个这样的周期：167=22，余数是 2 也就是两个星期后，从星期三开始再数 2 天，即星期五。 8.节日的街上挂起了一串串的彩灯，从第一盏开始，按照 5 盏红灯，4 盏黄灯，3 盏绿灯，2 盏蓝灯的顺序重复地排下去，问第 1996 盏灯是什么颜色？ 分析：分析：因为彩灯是按照 5 盏红灯，4 盏黄灯，3 盏绿灯，2 盏蓝灯的顺序重复地排下去，要 求第 1996 盏灯是什么颜色，只要用 1996 除以 5432 的余数是几，就可判断第 1996 盏灯是什么颜色了 解：解：1996（5432）=1424 所以第 1996 盏灯是红色
