1、第十九讲 排列组合 一、排列问题 在实际生活中经常会遇到这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有 多少种排法，就是排列问题在排的过程中，不仅与参与排列的事物有关，而且与各事物所 在的先后顺序有关 一般地，从n个不同的元素中取出m(mn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做 从n个不同元素中取出m个元素的一个排列 根据排列的定义，两个排列相同，指的是两个排列的元素完全相同，并且元素的排列顺 序也相同如果两个排列中，元素不完全相同，它们是不同的排列；如果两个排列中，虽然 元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列 排列的基本问题是计算排列的总个数 从n个不同的元素中取出m
2、(mn)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同的元素 的排列中取出m个元素的排列数，我们把它记做 m n P 根据排列的定义，做一个m元素的排列由m个步骤完成： 步骤1：从n个不同的元素中任取一个元素排在第一位，有n种方法； 步骤2：从剩下的(1n )个元素中任取一个元素排在第二位，有(1n )种方法； 步骤m：从剩下的(1)nm个元素中任取一个元素排在第m个位置，有 11nmnm（）(种)方法； 由乘法原理，从n个不同元素中取出m个元素的排列数是 121nnnnm（） （）（），即12.1 m n Pn nnnm（）（）（），这里，mn，且等号 右边从n开始，后面每个因数比前一个因数小1，共
3、有m个因数相乘 二、排列数 一般地，对于mn的情况，排列数公式变为123 2 1 n n Pnnn （） （） 表示从n个不同元素中取n个元素排成一列所构成排列的排列数这种n个排列全部取 出的排列，叫做n个不同元素的全排列式子右边是从n开始，后面每一个因数比前一个因 数小1，一直乘到1的乘积，记为!n，读做n的阶乘，则 n n P还可以写为：! n n Pn，其中 !123 2 1nnnn （） （） 在排列问题中，有时候会要求某些物体或元素必须相邻；求某些物体必须相邻的方法 数量，可以将这些物体当作一个整体捆绑在一起进行计算 三、组合问题 日常生活中有很多“分组”问题如在体育比赛中，把参赛队
4、分为几个组，从全班同学 中选出几人参加某项活动等等这种“分组”问题，就是我们将要讨论的组合问题，这里， 我们将着重研究有多少种分组方法的问题 一般地，从n个不同元素中取出m个(mn)元素组成一组不计较组内各元素的次序， 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合 从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关如果两个 组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的 元素不完全相同时，才是不同的组合 从n个不同元素中取出m个元素(mn)的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取 出m个不同元素的组合数记作 m n C 一般地，求从n个不同元素中
5、取出的m个元素的排列数 m n P可分成以下两步： 第一步：从n个不同元素中取出m个元素组成一组，共有 m n C种方法； 第二步：将每一个组合中的m个元素进行全排列，共有 m m P种排法 根据乘法原理，得到 mmm nnm PCP 因此，组合数 12)1 123 2 1 m mn n m m Pnnnnm C mmmP （） （） （） （） 这个公式就是组合数公式 四、组合数的重要性质 一般地，组合数有下面的重要性质： mn m nn CC (mn) 这个公式的直观意义是： m n C表示从n个元素中取出m个元素组成一组的所有分组方 法 n m n C 表示从n个元素中取出(nm)个元素
6、组成一组的所有分组方法显然，从n个元 素中选出m个元素的分组方法恰是从n个元素中选m个元素剩下的(nm)个元素的分组 方法 例如，从5人中选3人开会的方法和从5人中选出2人不去开会的方法是一样多的，即 32 55 CC 规定1 n n C ， 0 1 n C 五、插板法一般用来解决求分解一定数量的无差别物体的方法的总数，使用插板法一般有 三个要求：所要分解的物体一般是相同的：所要分解的物体必须全部分完：参 与分物体的组至少都分到 1 个物体，不能有没分到物体的组出现 在有些题目中，已知条件与上面的三个要求并不一定完全相符，对此应当对已知条件 进行适当的变形，使得它与一般的要求相符，再适用插板法
7、 六、使用插板法一般有如下三种类型：使用插板法一般有如下三种类型： m个人分n个东西，要求每个人至少有一个这个时候我们只需要把所有的东西排成一 排，在其中的( 1)n 个空隙中放上( 1)m 个插板，所以分法的数目为 1 1 m n C m个人分n个东西，要求每个人至少有a个这个时候，我们先发给每个人( 1)a 个， 还剩下(1)nm a个东西，这个时候，我们把剩下的东西按照类型来处理就可以 了所以分法的数目为 1 (1) 1 m n m a C m个人分n个东西，允许有人没有分到这个时候，我们不妨先借来m个东西，每个人 多发 1 个，这样就和类型一样了，不过这时候物品总数变成了()nm 个，
8、因此分法的 数目为 1 1 m n m C 1.使学生正确理解排列、组合的意义；正确区分排列、组合问题； 2.了解排列、 排列数和组合数的意义， 能根据具体的问题， 写出符合要求的排列或组合； 3.掌握排列组合的计算公式以及组合数与排列数之间的关系； 4.会、分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力 和逻辑思维能力； 通过本讲的学习， 对排列组合的一些计数问题进行归纳总结， 重点掌握排列与组合的联 系和区别，并掌握一些排列组合技巧，如捆绑法、挡板法等。 5.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数。 例例 1 1：小新、阿呆等七个同学照像，分别求出在下列条件下有多少种
9、站法？小新、阿呆等七个同学照像，分别求出在下列条件下有多少种站法？ （1）七个人排成一排；）七个人排成一排； （2）七个人排成一排，小新必须站在中间）七个人排成一排，小新必须站在中间. . （3）七个人排成一排，小新、阿呆必须有一人站在中间）七个人排成一排，小新、阿呆必须有一人站在中间. . （4）七个人排成一排，小新、阿呆必须都站在两边）七个人排成一排，小新、阿呆必须都站在两边. . （5）七个人排成一排，小新、阿呆都没有站在边上）七个人排成一排，小新、阿呆都没有站在边上. . （6）七个人战成两排，前排三人，后排四人）七个人战成两排，前排三人，后排四人. . （7）七个人战成两排，前排三人
10、，后排四人）七个人战成两排，前排三人，后排四人. . 小新、阿呆不在同一排。小新、阿呆不在同一排。 【解析】 （1） 7 7 5040P （种） 。 （2）只需排其余 6 个人站剩下的 6 个位置 6 6 720P （种）. （3）先确定中间的位置站谁，冉排剩下的 6 个位置2 6 6 P=1440(种) （4）先排两边，再排剩下的 5 个位置，其中两边的小新和阿呆还可以互换位 置 5 5 2240P (种) （5）先排两边，从除小新、阿呆之外的 5 个人中选 2 人，再排剩下的 5 个人， 25 55 2400PP（种）. （6）七个人排成一排时，7 个位置就是各不相同的现在排成两排，不管前
11、后排 各有几个人，7 个位置还是各不相同的，所以本题实质就是 7 个元素的全排 列 7 7 5040P （种）. （7）可以分为两类情况： “小新在前，阿呆在后”和“小新在前，阿呆在后” ，两 种情况是对等的，所以只要求出其中一种的排法数，再乘以 2 即可43 5 5 P 2=2880(种)排队问题，一般先考虑特殊情况再去全排列。 例例 2 2：用用 1、2、3、4、5、6 可以组成多少个没有重复数字的个位是可以组成多少个没有重复数字的个位是 5 的三位数？的三位数？ 【解析】【解析】 个位数字已知， 问题变成从从5个元素中取2个元素的排列问题， 已知5n ，2m ， 根据排列数公式，一共可以
12、组成 2 5 5 420P (个)符合题意的三位数。 例例 3 3：用用1、2、3、4、5这五个数字，不许重复，位数不限，能写出多少个这五个数字，不许重复，位数不限，能写出多少个 3 的倍数？的倍数？ 【解析】 按位数来分类考虑： 一位数只有1个3； 两位数：由1与2，1与5，2与4，4与5四组数字组成，每一组可以组成 2 2 2 12P (个)不同的两位数，共可组成248(个)不同的两位数； 三位数：由1，2与3；1，3与5；2，3与4；3，4与5四组数字组成，每一 组可以组成 3 3 3 2 16P (个)不同的三位数，共可组成6424(个)不同的 三位数； 四位数：可由1，2，4，5这四
13、个数字组成，有 4 4 4 3 2 124P (个)不同 的四位数； 五位数：可由1，2，3，4，5组成，共有 5 5 5 4 3 2 1 120P (个)不同的 五位数 由加法原理，一共有182424120177(个)能被3整除的数，即3的倍数 例例 4 4：某管理员忘记了自己小保险柜的密码数字，只记得是由四个非某管理员忘记了自己小保险柜的密码数字，只记得是由四个非0数码组数码组成，且四个数成，且四个数 码之和是码之和是9，那么确保，那么确保打开保险柜至少要试几次？打开保险柜至少要试几次？ 【解析】 四个非0数码之和等于 9 的组合有 1，1，1，6；1，1，2，5；1，1，3，4；1，2，
14、 2，4；1，2，3，3；2，2，2，3 六种。 第一种中，可以组成多少个密码呢？只要考虑6的位置就可以了，6可以任意选择 4个位置中的一个，其余位置放1，共有4种选择； 第二种中，先考虑放2，有4种选择，再考虑5的位置，可以有3种选择，剩下的 位置放1，共有4 312(种)选择同样的方法，可以得出第三、四、五种都各有12 种选择最后一种，与第一种的情形相似，3的位置有4种选择，其余位置放2， 共有4种选择 综上所述，由加法原理，一共可以组成412121212456(个)不同的四位 数，即确保能打开保险柜至少要试56次 例例 5 5： 两对三胞胎喜相逢， 他们围坐在桌子旁， 要求每个人都不与自
15、己的同胞兄妹相邻，两对三胞胎喜相逢， 他们围坐在桌子旁， 要求每个人都不与自己的同胞兄妹相邻， ( (同同 一位置上坐不同的人算不同的坐法一位置上坐不同的人算不同的坐法) )，那么共有多少种不同的坐法，那么共有多少种不同的坐法？ 【解析】 第一个位置在6个人中任选一个， 有 1 6 6C (种)选法， 第二个位置在另一胞胎的3人 中任选一个，有 1 3 3C (种)选法同理，第3，4，5，6个位置依次有2，2，1， 1种选法由乘法原理，不同的坐法有 111111 632211 6 3 2 2 1 172PPPPPP (种)。 例例 6 6： 一种电子表在一种电子表在 6 时时 24 分分 30
16、 秒时的显示为秒时的显示为 6: :24： 30， 那么从， 那么从 8 时到时到 9 时这段时间里，时这段时间里， 此表的此表的 5 个数字都不相同的时刻一共有多少个个数字都不相同的时刻一共有多少个? ? 【解析】 设 A:BC DE是满足题意的时刻，有 A 为 8，B、D 应从 0，1，2，3，4，5 这 6 个数 字中选择两个不同的数字，所以有 2 6 P种选法，而 C、E 应从剩下的 7 个数字中选 择两个不同的数字，所以有 2 7 P种选法，所以共有 2 6 P 2 7 P=1260 种选法。 从 8 时到 9 时这段时间里，此表的 5 个数字都不相同的时刻一共有 1260 个。 例
17、例 7 7：一个六位数能被一个六位数能被 11 整除，它的各位数字非零且互不相同的将这个六位数的整除，它的各位数字非零且互不相同的将这个六位数的 6 个数个数 字重新排列，最少还能排出多少个能被字重新排列，最少还能排出多少个能被 11 整除的六位数整除的六位数? ? 【解析】 设这个六位数为abcdef， 则有()ace、()bdf的差为 0 或 11 的倍数 且 a、b、c、d、e、f 均不为 0，任何一个数作为首位都是一个六位数。 先考虑 a、c、e 偶数位内，b、d、f 奇数位内的组内交换，有 3 3 P 3 3 P=36 种顺序； 再考虑形如badcfe这种奇数位与偶数位的组间调换，也
18、有 3 3 P 3 3 P=36 种顺序。 所以， 用均不为 0 的 a、 b、 c、 d、 e、 f 最少可排出 36+36=72 个能被 11 整除的数(包 含原来的abcdef)。 所以最少还能排出 72-1=71 个能被 11 整除的六位数。 例例 8 8：已知在由甲、乙、丙、丁、戊共已知在由甲、乙、丙、丁、戊共 5 名同学进行的手工制作比赛中，决出了第名同学进行的手工制作比赛中，决出了第一至第五一至第五 名的名次 甲、 乙两名参赛者去询问成绩， 回答者对甲说：“很遗憾， 你和乙都未拿到冠军 ”名的名次 甲、 乙两名参赛者去询问成绩， 回答者对甲说：“很遗憾， 你和乙都未拿到冠军 ”
19、对乙说：“你当然不会是最差的 ” 从这个回答分析，对乙说：“你当然不会是最差的 ” 从这个回答分析， 5 人的名次排列共有多少种不人的名次排列共有多少种不同的情况同的情况？ 【解析】 这道题乍一看不太像是排列问题，这就需要灵活地对问题进行转化仔细审题，已 知 “甲和乙都未拿到冠军” ， 而且 “乙不是最差的” ， 也就等价于5人排成一排， 甲、 乙都不站在排头且乙不站在排尾的排法数，因为乙的限制最多，所以先排乙，有3 种排法， 再排甲， 也有3种排法， 剩下的人随意排， 有 3 3 3 2 16P (种)排法 由 乘法原理，一共有3 3 654 (种)不同的排法。 例例 9 9：4名男生，名男
20、生，5名女生，全体排成一行，问名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法：下列情形各有多少种不同的排法： 甲不在中间也不在两端；甲不在中间也不在两端； 甲、甲、乙两人必须排在两端；乙两人必须排在两端； 男、女生分男、女生分别排在一起；别排在一起； 男女相间男女相间 【解析】【解析】 先排甲，9个位置除了中间和两端之外的6个位置都可以，有6种选择，剩下 的8个人随 意排， 也就是8个元素全排列的问题， 有 8 8 8 7 6 5 4 3 2 140320P (种) 选择由乘法原理，共有640320241920(种)排法 甲、乙先排，有 2 2 2 12P (种)排法；剩下的7个人随意排
21、，有 7 7 7 6 5 4 3 2 15040P (种)排法由乘法原理，共有2504010080 (种)排法 分别把男生、女生看成一个整体进行排列，有 2 2 2 12P (种)不同排列方法， 再分别对男生、 女生内部进行排列， 分别是4个元素与5个元素的全排列问题， 分别有 4 4 4 3 2 124P (种)和 5 5 5 4 3 2 1 120P (种)排法 由乘法原理，共有224 1205760(种)排法 先排4名男生， 有 4 4 4 3 2 124P (种)排法， 再把5名女生排到5个空档中， 有 5 5 5 4 3 2 1 120P (种)排法由乘法原理，一共有24 12028
22、80(种) 排法。 例例 1010：一台晚会上有一台晚会上有6个演唱节目和个演唱节目和4个舞蹈节目求：个舞蹈节目求： 当当4个舞蹈节目要排在一起时，有多少不同的安排节目的顺序？个舞蹈节目要排在一起时，有多少不同的安排节目的顺序？ 当要求每当要求每2个舞蹈节目之间至少安排个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时，一共有多少不同的安排个演唱节目时，一共有多少不同的安排 节目的顺序？节目的顺序？ 【解析】【解析】 先将4个舞蹈节目看成1个节目，与6个演唱节目一起排，则是7个元素全排列 的问题，有 7 7 7!7 6 5 4 3 2 15040P (种)方法 第二步再排4个舞蹈节目， 也就是4 个舞蹈节
23、目全排列的问题，有 4 4 4!4 3 2 124P (种)方法 根据乘法原理，一共有504024120960(种)方法 首先将6个演唱节目排成一列(如下图中的 “” )， 是6个元素全排列的问题， 一共有 6 6 6!6 5 4 3 2 1720P (种)方法 第二步，再将4个舞蹈节目排在一头一尾或2个演唱节目之间(即上图中“” 的位置)， 这相当于从7个 “” 中选4个来排， 一共有 4 7 7 6 5 4840P (种) 方法 根据乘法原理，一共有720 840604800(种)方法。 A A 1.1.用用 1、2、3、4、5 这五个数字可组成多这五个数字可组成多少个比少个比20000大
24、且百位数字不是大且百位数字不是3的的无重复数字的无重复数字的 五位数？五位数？ 【解析】 可以分两类来看： 把 3 排在最高位上，其余 4 个数可以任意放到其余 4 个数位上，是 4 个元素全 排列的问题，有 4 4 4 3 2 124P (种)放法，对应 24 个不同的五位数； 把 2，4，5 放在最高位上，有 3 种选择，百位上有除已确定的最高位数字和 3 之外的 3 个数字可以选择，有 3 种选择，其余的 3 个数字可以任意放到其余 3 个 数位上， 有 3 3 6P 种选择 由乘法原理， 可以组成3 3 654 (个)不同的五位数。 由加法原理，可以组成245478(个)不同的五位数。
25、 2.2.用用 0 到到 9 十个数字组成没有重复数字十个数字组成没有重复数字的四位数的四位数； 若将这些四位数按从小到； 若将这些四位数按从小到大的顺序排列，大的顺序排列， 则则 5687 是第几个数是第几个数？ 【解析】【解析】 从高位到低位逐层分类： 千位上排1，2，3或4时，千位有4种选择，而百、十、个位可以从0 9中除千位已确 定的数字之外的9个数字中选择，因为数字不重复，也就是从9个元素中取3个的 排列问题，所以百、十、个位可有 3 9 9 8 7504P (种)排列方式由乘法原理， 有4 5042016(个) 千位上排5，百位上排0 4时，千位有1种选择，百位有5种选择，十、个位
26、 可以从剩下的八个数字中选择也就是从8个元素中取2个的排列问题，即 2 8 8 756P ，由乘法原理，有1 5 56280 (个) 千位上排5，百位上排6，十位上排0，1，2，3，4，7时，个位也从剩下的 七个数字中选择，有1 1 6742 (个) 千位上排5， 百位上排6， 十位上排8时， 比5687小的数的个位可以选择0，1， 2，3，4共5个 综上所述， 比5687小的四位数有20162804252343(个)， 故比5687小是第 2344个四位数 3.3.用用 1、2、3、4、5、6 六张数字卡片，每次六张数字卡片，每次取三张卡片组成三位数，一共可以组成多少个取三张卡片组成三位数，
27、一共可以组成多少个 不同的偶数？不同的偶数？ 【解析】【解析】 由于组成偶数，个位上的数应从2，4，6中选一张，有3种选法；十位和百位上 的数可以从剩下的5张中选二张，有 2 5 5 420P (种)选法由乘法原理，一共 可以组成3 2060(个)不同的偶数 4.4.五位同学扮成奥运会吉祥物福娃贝贝、晶晶、欢欢、迎迎和妮妮，排成一排表演节目。五位同学扮成奥运会吉祥物福娃贝贝、晶晶、欢欢、迎迎和妮妮，排成一排表演节目。 如果贝贝和妮妮不相邻，共有（如果贝贝和妮妮不相邻，共有（ ）种不同的排法。）种不同的排法。 【解析】 五位同学的排列方式共有 54321=120（种） 。 如果将相邻的贝贝和妮妮
28、看作一人， 那么四人的排列方式共有 4321=24 （种） 。 因为贝贝和妮妮可以交换位置，所以贝贝和妮妮相邻的排列方式有 242=48(种)； 贝贝和妮妮不相邻的排列方式有 120-48=72（种） 。 5.5.由由4个不同的独唱节目和个不同的独唱节目和3个不同的合唱节目组成一台晚会， 要求任意两个合唱节目不相个不同的合唱节目组成一台晚会， 要求任意两个合唱节目不相 邻，开始和最后一个节目必须是合唱，则这台晚会节目的编排方法共有多少种？邻，开始和最后一个节目必须是合唱，则这台晚会节目的编排方法共有多少种？ 【解析】【解析】 先排独唱节目， 四个节目随意排， 是4个元素全排列的问题， 有 4
29、4 4 3 2 124P 种排法；其次在独唱节目的首尾排合唱节目，有三个节目，两个位置，也就是从三 个节目选两个进行排列的问题，有 2 3 3 26P (种)排法；再在独唱节目之间的3 个位置中排一个合唱节目，有3种排法由乘法原理，一共有246 3432 (种) 不同的编排方法 B B 6.6.从从 1，2，8 中任取中任取 3 个数组成无重复数字的三位数，共有多少个？（只要求列式）个数组成无重复数字的三位数，共有多少个？（只要求列式） 从从 8 位候选人中任选三位分别任团支书，组织委员，宣传委员，共有多少种不同的选位候选人中任选三位分别任团支书，组织委员，宣传委员，共有多少种不同的选 法？法
30、？ 3 位同学坐位同学坐 8 个座位，每个座位坐个座位，每个座位坐 1 人，共有几种坐法？人，共有几种坐法？ 8 个人坐个人坐 3 个座位，每个座位坐个座位，每个座位坐 1 人，共有多少种坐法？人，共有多少种坐法？ 一火车站有一火车站有 8 股车道，停放股车道，停放 3 列火车，有多少种不同的停放方法？列火车，有多少种不同的停放方法？ 8 种不同的菜籽，任选种不同的菜籽，任选 3 种种在不同土质的三块土地上，有多少种不同的种法？种种在不同土质的三块土地上，有多少种不同的种法？ 【解析】【解析】 按顺序，有百位、十位、个位三个位置，8 个数字（8 个元素）取出 3 个往上排， 有 3 8 P种
31、3 种职务 3 个位置，从 8 位候选人（8 个元素）任取 3 位往上排，有 3 8 P种 3 位同学看成是三个位置，任取 8 个座位号（8 个元素）中的 3 个往上排（座号 找人） ，每确定一种号码即对应一种坐法，有 3 8 P种 3 个坐位排号 1，2，3 三个位置，从 8 人中任取 3 个往上排（人找座位） ，有 3 8 P 种 3 列火车编为 1，2，3 号，从 8 股车道中任取 3 股往上排，共有 3 8 P种 土地编 1，2，3 号，从 8 种菜籽中任选 3 种往上排，有 3 8 P种。 7.7.现有男同学现有男同学 3 人，女同学人，女同学 4 人人( (女同学中有一人叫王红女同
32、学中有一人叫王红) )，从中选出男女同学各，从中选出男女同学各 2 人，分人，分 别参加数学、英语、音乐、美术四个兴趣小组：别参加数学、英语、音乐、美术四个兴趣小组： ( (1) )共有多少种选法共有多少种选法? ? ( (2) )其中参加美术小组的是女同学的选法有多少种其中参加美术小组的是女同学的选法有多少种? ? ( (3) )参加数学小组的不是女同学王红的选法有多少种参加数学小组的不是女同学王红的选法有多少种? ? ( (4) )参加数学小组的不是女同学王红，且参加美术小组的是女同学的选法有多少参加数学小组的不是女同学王红，且参加美术小组的是女同学的选法有多少 种种? ? 【解析】【解析
33、】 （1）从 3 个男同学中选出 2 人，有 2 23 =3 种选法。从 4 个女同学中选出 2 人， 有 2 34 =6种选法。 在四个人确定的情况下， 参加四个不同的小组有4321=24 种选法。 3624=432，所以共有 432 种选法。 （2）在四个人确定的情况下，参加美术小组的是女同学时有 2321=12 种选 法。 3612=216，所以其中参加美术小组的是女同学的选法有 216 种。 （3）考虑参加数学小组的是王红时的选法，此时的问题相当于从 3 个男同学中选 出 2 人，从 3 个女同学中选出 1 人，3 个人参加 3 个小组时的选法。 33321=54，所以参加数学小组的是
34、王红时的选法有 54 种，432-54=378， 所以参加数学小组的不是女同学王红的选法有 378 种。 （4）考虑参加数学小组的是王红且参加美术小组的是女同学时的选法，此时的问 题相当于从 3 个男同学中选出 2 人参加两个不同的小组，从 3 个女同学中选出 1 人参加美术小组时的选法。 323=18，所以参加数学小组的是王红且参加美术小组的是女同学时的选法有 18 种，216-18=198，所以参加数学小组的不是女同学王红，且参加美术小组的是 女同学的选法有 198 种。 8.8.某校举行男生乒乓球比赛，比赛分成某校举行男生乒乓球比赛，比赛分成 3 个阶段进行，第个阶段进行，第一一阶阶段：
35、将参加比赛的段：将参加比赛的 48 名选手名选手 分成分成 8 个小组，每组个小组，每组 6 人，分别人，分别进行单循环赛；第二阶段：将进行单循环赛；第二阶段：将 8 个小组产生的前个小组产生的前 2 名共名共 16 人人再分成再分成4个小组，每组个小组，每组4人，分别进行单循环赛；第人，分别进行单循环赛；第三三阶段：阶段：由由 4 个小组产生的个小组产生的4个第个第1名名 进行进行2场半决赛和场半决赛和2场决赛， 确场决赛， 确定定1至至4名的名次 问： 整个赛程一共需要进行多少场比赛？名的名次 问： 整个赛程一共需要进行多少场比赛？ 【解析】【解析】 第一阶段中，每个小组内部的6个人每2人
36、要赛一场，组内赛 2 6 65 15 2 1 C 场， 共8个小组，有15 8120 场；第二阶段中，每个小组内部4人中每2人赛一场， 组内赛 2 4 43 6 2 1 C 场，共4个小组，有6424场；第三阶段赛224场根 据加法原理，整个赛程一共有120244148场比赛。 9.9.由数字由数字 1，2，3 组成五位数，要求这五位数中组成五位数，要求这五位数中 1，2，3 至少各出现一至少各出现一次，那么这样的五次，那么这样的五 位数共有位数共有_个个。( (2007 年“迎春杯”高年级组决赛年“迎春杯”高年级组决赛) ) 【解析】【解析】 这是一道组合计数问题 由于题目中仅要求1，2，3
37、至少各出现一次， 没有确定1， 2，3出现的具体次数， 所以可以采取分类枚举的方法进行统计， 也可以从反面想， 从由1,2,3组成的五位数中，去掉仅有1个或2个数字组成的五位数即可 (法 1)分两类： 1，2，3中恰有一个数字出现3次， 这样的数有 1 3 5 460C (个)； 1，2，3中有两个数字各出现2次，这样的数有 22 34 590CC (个)符合题意 的五位数共有6090150(个) (法 2)从反面想，由1，2，3组成的五位数共有 5 3个，由1，2，3中的某2个数 字组成的五位数共有 5 3 (22)个，由1，2，3中的某1个数字组成的五位数共有 3个，所以符合题意的五位数共
38、有 55 33 (22)3150 (个)。 10. 10. 10个人围成一圈，从中选出两个不相邻的人，共有多少种不同选法？个人围成一圈，从中选出两个不相邻的人，共有多少种不同选法？ 【解析】【解析】 (法 1)乘法原理按题意，分别站在每个人的立场上，当自己被选中后，另一个 被选中的， 可以是除了自己和左右相邻的两人之外的所有人， 每个人都有7种选择， 总共就有7 1070种选择， 但是需要注意的是， 选择的过程中， 会出现 “选了甲、 乙，选了乙、甲”这样的情况本来是同一种选择，而却算作了两种，所以最后的结 果应该是(101 1 1 )10235(种) (法 2)排除法可以从所有的两人组合中排
39、除掉相邻的情况，总的组合数为 2 10 C， 而被选的两个人相邻的情况有10种，所以共有 2 10 1045 1035C (种)。 11. 8 个人站队，冬冬必须站在小悦和阿奇的中间（不一定相邻） ，小慧和大智不能相邻，个人站队，冬冬必须站在小悦和阿奇的中间（不一定相邻） ，小慧和大智不能相邻， 小光和大亮必须相邻，满足要求的站法一共有多少种？小光和大亮必须相邻，满足要求的站法一共有多少种？ 【解析】【解析】 冬冬要站在小悦和阿奇的中间， 就意味着只要为这三个人选定了三个位置， 中间的 位置就一定要留给冬冬，而两边的位置可以任意地分配给小悦和阿奇 小慧和大智不能相邻的互补事件是小慧和大智必须相
40、邻 小光和大亮必须相邻，则可以将两人捆绑考虑 只满足第一、三个条件的站法总数为： 32123 72423 PPP3360CC（种） 同时满足第一、三个条件，满足小慧和大智必须相邻的站法总数为： 32222 62322 PPPP960C （种） 因此同时满足三个条件的站法总数为：33609602400（种） 。 C C 12.12.小明有小明有 10 块大白兔奶糖块大白兔奶糖, ,从今天起从今天起, ,每天至少吃一块每天至少吃一块. .那么他一共有多少种不同的吃法那么他一共有多少种不同的吃法? ? 【解析】【解析】 我们将 10 块大白兔奶糖从左至右排成一列,如果在其中 9 个间隙中的某个位置插
41、 入“木棍”,则将 lO 块糖分成了两部分。 我们记从左至右,第 1 部分是第 1 天吃的,第 2 部分是第 2 天吃的,， 如:|表示第一天吃了 3 粒,第二天吃了剩下的 7 粒： | | 表示第一天吃了 4 粒,第二天吃了 3 粒,第三天吃了剩 下的 3 粒 不难知晓,每一种插入方法对应一种吃法,而 9 个间隙,每个间隙可以插人也可以不 插入,且相互独立，故共有 29=512 种不同的插入方法,即 512 种不同的吃法。 13.13.小红有小红有 10 块糖，每天至少吃块糖，每天至少吃 1 块，块，7 天吃完，她共有多少种不同的吃法？天吃完，她共有多少种不同的吃法？ 【解析】【解析】 分三
42、种情况来考虑： 当小红最多一天吃4块时，其余各每天吃1块，吃4块的这天可以是这七天里的 任何一天，有7种吃法； 当小红最多一天吃3块时，必有一天吃2块，其余五天每天吃1块，先选吃3块 的那天， 有7种选择， 再选吃2块的那天， 有6种选择， 由乘法原理， 有7642 种吃法； 当小红最多一天吃2块时，必有三天每天吃2块，其四天每天吃1块，从7天中 选3天，有 3 7 765 35 32 1 C (种)吃法。 根据加法原理，小红一共有7423584(种)不同的吃法 还可以用挡板法来解这道题，10块糖有9个空， 选6个空放挡板， 有 63 99 84CC(种) 不同的吃法。 14.14.把把 20
43、 个苹果分给个苹果分给 3 个小朋友，每人最少分个小朋友，每人最少分 3 个，可以有多少种不同的分法？个，可以有多少种不同的分法？ 【解析】 (法1)先给每人2个， 还有14个苹果， 每人至少分一个， 13个空插2个板， 有 2 13 78C 种分法 (法 2)也可以按分苹果最多的人分的个数分类枚举。 15.15.有有 10 粒糖，分三天吃完，每天至少吃一粒，共有多少种不同的吃法？粒糖，分三天吃完，每天至少吃一粒，共有多少种不同的吃法？ 【解析】【解析】 如图：|，将 10 粒糖如下图所示排成一排，这样每两颗之 间共有 9 个空，从头开始吃，若相邻两块糖是分在两天吃的，就在其间画一条竖 线隔开
44、表示之前的糖和之后的糖不是在同一天吃掉的， 九个空中画两条竖线， 一共 有9 8236 种方法 16.16.某池塘中有某池塘中有ABC、 、三只游船，三只游船，A船可乘坐船可乘坐3人，人，B船可乘坐船可乘坐2人，人，C船可乘坐船可乘坐1人，人， 今有今有3个成人和个成人和2个儿童要分乘这些游船，为安全起见，有儿童乘坐的游船上必须至少有个个儿童要分乘这些游船，为安全起见，有儿童乘坐的游船上必须至少有个 成人陪同，那么他们成人陪同，那么他们5人乘坐这三支游船的所有安全乘船方法共有多少种？人乘坐这三支游船的所有安全乘船方法共有多少种？ 【解析】【解析】 由于有儿童乘坐的游船上必须至少有1个成人陪同，
45、所以儿童不能乘坐C船 若这5人都不乘坐C船，则恰好坐满AB、两船，若两个儿童在同一条船上， 只能在A船上，此时A船上还必须有1个成人，有 1 3 3C 种方法；若两个儿童不 在同一条船上，即分别在AB、两船上，则B船上有1个儿童和1个成人，1个儿童 有 1 2 2C 种选择，1个成人有 1 3 3C 种选择，所以有236种方法故5人都不乘 坐C船有369种安全方法； 若这5人中有1人乘坐C船， 这个人必定是个成人， 有 1 3 3C 种选择 其余的2个 成人与2个儿童，若两个儿童在同一条船上，只能在A船上，此时A船上还必须 有1个成人，有 1 2 2C 种方法，所以此时有326种方法；若两个儿
46、童不在同 一条船上，那么B船上有1个儿童和1个成人，此时1个儿童和1个成人均有 1 2 2C 种选择，所以此种情况下有3 2212 种方法；故5人中有1人乘坐C船有 61218种安全方法所以，共有91827种安全乘法 17.17.从从10名男生，名男生，8名女生中选出名女生中选出8人参加游泳比赛在下列条件下，分别有多少种选法？人参加游泳比赛在下列条件下，分别有多少种选法？ 恰有恰有3名女生入选；至少有两名女生入选；某两名女生，某两名男生必须入选；名女生入选；至少有两名女生入选；某两名女生，某两名男生必须入选； 某两名女生，某两名男生不能同时入选；某两名女生，某两名男生最多入选两人。某两名女生，
47、某两名男生不能同时入选；某两名女生，某两名男生最多入选两人。 【解析】【解析】 恰有3名女生入选，说明男生有5人入选，应为 35 810 14112CC种； 要求至少两名女生人选，那么“只有一名女生入选”和“没有女生入选”都不符 合要求运用包含与排除的方法，从所有可能的选法中减去不符合要求的情况： 8871 1810108 43758CCCC； 4人必须入选，则从剩下的14人中再选出另外4人，有 4 14 1001C种； 从所有的选法 8 18 C种中减去这4个人同时入选的 4 14 C种： 84 1814 43758 100142757CC 分三类情况：4人无人入选；4人仅有1人入选；4人中
48、有2人入选，共： 81726 14414414 34749CCCCC。 18.18.在在 6 名内科医生和名内科医生和 4 名外科医生中，内名外科医生中，内科主任和外科主任各一名，现要组成科主任和外科主任各一名，现要组成 5 人医疗小人医疗小 组送医下乡，按照下列条组送医下乡，按照下列条件各有多少种选派方法件各有多少种选派方法？ 有有 3 名内名内科医生和科医生和 2 名外科医生；名外科医生； 既有内科既有内科医生，又有外科医生；医生，又有外科医生； 至少有一至少有一名主任参加；名主任参加； 既有主任，又有外既有主任，又有外科医生。科医生。 【解析】【解析】 先从6名内科医生中选3名，有 3
49、6 654 20 32 1 C 种选法；再从4名外科医生中 选2名， 共有 2 4 43 6 2 1 C 种选法根据乘法原理，一共有选派方法206120种 用 “ 去 杂 法 ” 较 方 便 ， 先 考 虑 从10名 医 生 中 任 意 选 派5人 ， 有 5 10 109876 252 5432 1 C 种选派方法；再考虑只有外科医生或只有内科医生 的情况由于外科医生只有4人，所以不可能只派外科医生如果只派内科医 生，有 51 66 6CC种选派方法所以，一共有2526246种既有内科医生又 有外科医生的选派方法。 如 果 选1名 主 任 ， 则 不 是 主 任 的8名 医 生 要 选4人 ， 有 4 8 8765 22140 432 1 C 种选派方法；如果选2名主任，则不是主任的8名 医生要选3人，有 3 8 876 1156 32 1 C 种选派方法根据加法原理，一共有 14056196种选派方法 分两类讨论： 若选外科主任， 则其余4人可任意选取， 有 4 9 9 876 126 432 1 C 种选取方法； 若不选外科主任，则必选内科主任，且剩余4人不能全选内科医生，用“去 杂法”有 44 85 87655432 65 432 1432 1 CC 种选取法 根据加法原理，一共有12665191种选派方法。 19.19.在在 10 名学生中，
