1、第十八讲 因数与倍数 因数与倍数因数与倍数 因数与倍数的关系很简单，其实就是整除关系的另外一种称谓；当然也有概念的延伸， 就是在多个数之间去研究公因数和公倍数， 经常地应用最大公因数与最小公倍数解题 下面 我们就先回顾基本的概念： 1.1. 公因数与最大公因数公因数与最大公因数 几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公 因数例如：12 的因数有 1，2，3，4，6，1218 的因数有 l，2，3，6，9，18 那么它们 的公因数有 l，2，3，6；其中最大公因数为 6 2.2. 公倍数与最小公倍数公倍数与最小公倍数 几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其
2、中最小的一个，叫做这几个数的最小公 倍数例如：15 的倍数有：15，30，45，60，75，90， 105，120， 10 的倍数有：10， 20，30，40，50，60，70， 80。90，那么它们的公倍数有 30，60，90，是有无穷多 个的；而最小公倍数却只有一个，为 30 3.3. 互质的概念互质的概念 如果两个数的最大公因数是 1， 那么这两个数互质 显然的， 两个不同的质数一定互质 4.4. 辗转相除法求最大公因数辗转相除法求最大公因数 （辗转相除法）用辗转相除法求 4811 和 1981 的最大公因数。 解：4811=21981+849， 1981=2849+283， 849=3
3、283， （4811，1981）=283。 补充说明： 如果要求三个或更多的数的最大公因数， 可以先求其中任意两个数的最大公因数， 再求这个公因数与另外一个数的最大公因数，这样求下去，直至求得最后结果。 5.5. 最大公因数与最小公倍数性质最大公因数与最小公倍数性质 1)1) 分数的计算分数的计算 , , , b db d a ca c ； , , , b db d a ca c 2)2) 约倍关系约倍关系 ,aba b a b 1.会求几个数的最大公因数与最小公倍数。 2.能用最大公因数与最小公倍数的性质解题。 例例1 1：用一个数去除30、60、75，都能整除，这个数最大是多少？ 分析：分
4、析：要求的数去除30、60、75都能整除， 要求的数是30、60、75的公约数。 又要求符合条件的最大的数， 就是求30、60、75的最大公约数。 解： （30，60，75）=53=15 这个数最大是15。 例例2 2：一个数用3、4、5除都能整除，这个数最小是多少？ 分析分析由题意可知，要求的数是3、4、5的公倍数，且是最小的公倍数。 解：3，4，5=345=60， 用3、4、5除都能整除的最小的数是60。 例例3 3：有三根铁丝，长度分别是120厘米、180厘米和300厘米.现在要把它们截成相等的 小段，每根都不能有剩余，每小段最长多少厘米？一共可以截成多少段？ 分析：分析：要截成相等的小
5、段，且无剩余， 每段长度必是120、180和300的公约数。 又每段要尽可能长， 要求的每段长度就是120、180和300的最大公约数. （120，180，300）=302=60 每小段最长60厘米。 12060+18060+30060 =235=10（段） 答：每段最长60厘米，一共可以截成10段。 例例4 4： 加工某种机器零件， 要经过三道工序.第一道工序每个工人每小时可完成3个零件， 第二道工序每个工人每小时可完成10个，第三道工序每个工人每小时可完成5个，要使 加工生产均衡，三道工序至少各分配几个工人？ 分析：分析：要使加工生产均衡，各道工序生产的零件总数应是3、10和5的公倍数.要
6、求三道 工序“至少”要多少工人，要先求3、10和5的最小公倍数。 3，10，5=532=30 各道工序均应加130个零件。 303=10（人） 3010=3（人） 305=6（人） 答：第一道工序至少要分配10人，第二道工序至少要分配3人，第三道工序至少要 分配6人。 例例5 5：一次会餐供有三种饮料.餐后统计，三种饮料共用了65瓶；平均每2个人饮用一瓶 A 饮料，每3人饮用一瓶 B 饮料，每4人饮用一瓶 C 饮料.问参加会餐的人数是多少人？ 分析：分析：由题意可知，参加会餐人数应是2、3、4的公倍数。 解：2，3，4=12 参加会餐人数应是12的倍数。 又122+123+124 =6+4+3
7、=13（瓶） ， 可见12个人要用6瓶 A 饮料，4瓶 B 饮料，3瓶 C 饮料，共用13瓶饮料。 又6513=5， 参加会餐的总人数应是12的5倍， 125=60（人） 。 答：参加会餐的总人数是60人。 例例6 6：一张长方形纸，长2703厘米，宽1113厘米.要把它截成若干个同样大小的正方形， 纸张不能有剩余且正方形的边长要尽可能大.问：这样的正方形的边长是多少厘米？ 分析：分析：由题意可知，正方形的边长即是2703和1113的最大公约数.在学校，我们已经学 过用短除法求两个数的最大公约数，但有时会遇到类似此题情况，两个数除了1以外的 公约数一下不好找到.但又不能轻易断定它们是互质数.怎
8、么办？在此，我们以例6为例 介绍另一种求最大公约数的方法。 对于例6，可做如下图解： 从图中可知：在长2703厘米、宽1113厘米的长方形纸的一端，依次裁去以宽（1113 厘米）为边长的正方形2个.在裁后剩下的长1113厘米，宽477厘米的长方形中，再裁去 以宽（477厘米）为边长的正方形2个.然后又在裁剩下的长方形（长477厘米，宽159厘 米）中， 以159厘米为边长裁正方形， 恰好裁成3个， 且无剩余.因此可知， 159厘米是477 厘米、1113厘米和2703厘米的约数.所以裁成同样大的，且边长尽可能长的正方形的边 长应是159厘米.所以，159厘米是2703和1113的最大公约数。
9、让我们把图解过程转化为计算过程，即： 27031113，商2余477； 1113477，商2余159； 477159，商3余0。 或者写为 2703=21113+477， 1113=2477+159， 477=3159。 当余数为0时，最后一个算式中的除数159就是原来两个数2703和1113的最大公约 数. 可见，477=1593， 1113=15932+159=1597， 2703=15972+477 =15972+1593=15917。 又7和17是互质数， 159是2703和1113的最大公约数。 我们把这种求最大公约数的方法叫做辗转相除法.辗转相除法的优点在于它能在较 短的时间内求出
10、任意两个数的最大公约数。 例例7 7：用辗转相除法求4811和1981的最大公约数。 解：4811=21981+849， 1981=2849+283， 849=3283， （4811，1981）=283。 补充说明： 如果要求三个或更多的数的最大公约数， 可以先求其中任意两个数的最 大公约数，再求这个公约数与另外一个数的最大公约数，这样求下去，直至求得最后结 果.也可以直接观察，依次试公有的质因数。 例例8 8：求1008、1260、882和1134四个数的最大公约数是多少？ 解：（1260，1008）=252， （882，1134）=126， 又（252，126）=126， （1008，12
11、60，882，1134）=126。 求两个数的最小公倍数，除了用短除法外，是否也有其他方法呢？请看例9. 例例9 9： 两个数的最大公约数是4， 最小公倍数是252， 其中一个数是28， 另一个数是多少？ 解：解：设要求的数为x，则有： 428 7 x y x=4y28=47 28x=4y47 又4是 x 和28的最大公约数， （y，7）=1， 4y7是 x 和28的最小公倍数。 x28=4252 x=425228=36 要求的数是36。 通过例9的解答过程，不难发现：如果用 a 和 b 表示两个自然数，那么这两个自然 数的最大公约数与最小公倍数关系是： （a，b）a，b=ab。 这样，求两个
12、数的最小公倍数的问题，即可转化成先求两个数的最大公约数，再用 最大公约数除两个数的积，其结果就是这两个数的最小公倍数。 例例1010：求21672和11352的最小公倍数。 解：（21672，11352）=1032 （1032可以用辗转相除法求得） 21672，11352=21672113521032 =238392。 答：21672 和 11352 的最小公倍数是 238392. A A 1.两个自然数的最大公约数是 6，最小公倍数是 72。已知其中一个自然数是 18，求另一个 自然数。 答案：24 2.两个自然数的最大公约数是 7，最小公倍数是 210。这两个自然数的和是 77，求这两个自
13、 然数。 答案：35 和 42 3.已知 a 与 b， a 与 c 的最大公约数分别是 12 和 15， a， b， c 的最小公倍数是 120， 求 a， b， c。 答案：a 为 60，b 为 24，c 为 15 或 a 为 120，b 为 12，c 为 15 4.已知两个自然数的和是 50，它们的最大公约数是 5，求这两个自然数。 答案：5 和 45，15 和 35 5.已知两个自然数的积为 240，最小公倍数为 60，求这两个数。 答案：4 和 60，12 和 20 B 6.用自然数 a 去除 498，450，414，得到相同的余数，a 最大是多少？ 答案：12 7.现有三个自然数，它
14、们的和是 1111，这样的三个自然数的公约数中，最大的可以是多少？ 答案：101 8.狐狸和袋鼠进行跳远比赛， 狐狸每次跳 4.5 米， 袋鼠每次跳 2.75 米， 它们每秒都只跳一次。 比赛途中，从起点开始，每隔 12.375 米设一个陷阱，当它们之中一个先掉进陷阱时，另一 个跳了多少米? 答案：40.5 9.用长 9 厘米、宽 6 厘米、高 4 厘米的长方体搭一个正方体，至少需要多少块这样的长方体 木块？ 答案：216 10.加工某种机器零件，要经过三道工序.第一道工序每个工人每小时可完成 8 个零件，第二 道工序每个工人每小时可完成 12 个， 第三道工序每个工人每小时可完成 16 个，
15、 要使加工生 产均衡，三道工序至少各分配几个工人？ 答案：6，4，3 C C 11.一个两位数去除 251，得到的余数是 41.求这个两位数。 答案：42 或 70。 12.用一个自然数去除另一个整数， 商 40， 余数是 16.被除数、 除数、 商数与余数的和是 933， 求被除数和除数各是多少？ 答案：被除数是 856，除数是 21。 13.某年的十月里有 5 个星期六，4 个星期日，问这年的 10 月 1 日是星期几？ 答案：这年的 10 月 1 日是星期四。 14. 3 月 18 日是星期日，从 3 月 17 日作为第一天开始往回数（即 3 月 16 日（第二天） ，15 日（第三天）
16、 ，）的第 1993 天是星期几？ 答案：第 1993 天必是星期二。 15.一个数除以 3 余 2，除以 5 余 3，除以 7 余 2，求适合此条件的最小数。 答案：适合条件的最小的自然数是 23。 16.一个数除以 5 余 3，除以 6 余 4，除以 7 余 1，求适合条件的最小的自然数。 分析 “除以 5 余 3”即“加 2 后被 5 整除” ，同样“除以 6 余 4”即“加 2 后被 6 整除” 。 答案：适合条件的最小的自然数是 148。 17.一个数除以 3 余 2，除以 5 余 3，除以 7 余 4，求符合条件的最小自然数。 答案：符合条件的最小的自然数是 53。 18.一个布袋
17、中装有小球若干个.如果每次取 3 个，最后剩 1 个；如果每次取 5 个或 7 个，最 后都剩 2 个.布袋中至少有小球多少个？ 答案：布袋中至少有小球 37 个。 19. 69、90 和 125 被某个正整数 N 除时，余数相同，试求 N 的最大值。 答案：N 最大是 7。 1.甲数是乙数的三分之一，甲数和乙数的最小公倍数是54，甲数是多少？乙数是多少？ 答案：答案：甲数是18，乙数是54。 2.一块长方形地面， 长120米， 宽60米， 要在它的四周和四角种树， 每两棵之间的距离相等， 最少要种树苗多少棵？每相邻两棵之间的距离是多少米？ 答案：答案：每两棵之间的距离是60米，最少要种树苗6
18、棵。 3.已知两个自然数的积是5766，它们的最大公约数是31.求这两个自然数。 答案：答案：设这两个自然数为 A 和 B。 A，B=576631=186。 186=2331， 这两个自然数为31和186或62和93。 4.兄弟三人在外工作，大哥6天回家一次，二哥8天回家一次，小弟12天回家一次.兄弟三人 同时在十月一日回家，下一次三人再见面是哪一天？ 答案：答案：10月25日。 5.将长25分米，宽20分米，高15分米的长方体木块锯成完全一样的尽可能大的立方体，不能 有剩余，每个立方体的体积是多少？一共可锯多少块？ 答案：答案：每个立方体的体积是125立方分米.一共可锯60块。 6.一箱地雷
19、， 每个地雷的重量相同， 且都是超过1的整千克数， 去掉箱子后地雷净重201千克， 拿出若干个地雷后，净重183千克.求一个地雷的重量？ 答案：答案：3 千克. 1. 将一个两位数的十位数字减去或加上它的个位数字，所得到的两个数都是 78 的大于 1 的约数。求这个两位数。 答案：答案：42 或 85 2. 有一个自然数，它的最小的两个约数之和是 4，最大的两个约数之和是 100，求这个自然 数。 答案：答案：75 3. 有一个自然数，它的最大的两个约数之和是 123，求这个自然数。 答案：答案：82 4. 求只有 8 个约数但不大于 30 的所有自然数。 答案：答案：30，24 5. 100
20、 以内约数个数最大的自然数有五个，它们分别是几？ 答案：答案：60，72，84，90，96 6. 一个学生做两个两位数乘法时，把其中的一个乘数的个位数字 9 误看成 7，得出的乘积 是 756，问：正确的乘积是多少？ 答案：答案：812 7. 一个数如果等于除它本身以外的所有约数之和， 则称此数为完全数。 已知 30 以内有两个 完全数，请将它们找出来。 答案：答案：6，28 8. a、b 两数的最大公约数是 12，已知 a 有 8 个约数，b 有 9 个约数，求 a 和 b。 答案：答案：a=24，b=36 9. 现有三个自然数，它们的和是 1111，这样的三个自然数的公约数最大可以得多少? 答案：答案：101 10. A，B 是两个奇数，它们的最大公约数是 3，求（A+B）和（A-B）的最大公约数。 答案：答案：6 11. 甲、乙两数的最大公约数是 37，两数的和是 444，这样的自然数有哪几组？ 答案：答案：37 与 407 或 185 与 259 12. 试用 2，3，4，5，6，7 六个数码组成两个三位数，使这两个三位数与 540 的最大公约 数尽可能大。 答案：答案：324 和 756
