1、小学数学典型应用题小学数学典型应用题 小学数学中把含有数量关系的实际问题用语言或文字叙述出来， 这样所形成 的题目叫做应用题。任何一道应用题都由两部分构成。第一部分是已知条件（简 称条件），第二部分是所求问题（简称问题）。应用题的条件和问题，组成了应 用题的结构。 应用题可分为一般应用题与典型应用题。 没有特定的解答规律的两步以上运算的应用题，叫做一般应用题。 题目中有特殊的数量关系，可以用特定的步骤和方法来解答的应用题，叫做 典型应用题。这本资料主要研究以下 30 类典型应用题： 1 1、归一问题、归一问题 2 2、归总问题、归总问题 3 3、和差问题、和差问题 4 4、和倍问题、和倍问题
2、5 5、差倍问题、差倍问题 6 6、倍比问题、倍比问题 7 7、相遇问题、相遇问题 8 8、追及问题、追及问题 9 9、植树问题、植树问题 1010、年龄问题、年龄问题 1111、行船问题、行船问题 1212、列车问题、列车问题 1313、时钟问题、时钟问题 1414、盈亏问题、盈亏问题 1515、工程问题、工程问题 1616、正反比例问题、正反比例问题 1717、按比例分配、按比例分配 1818、百分数问题、百分数问题 1919、“牛吃草牛吃草”问题问题 2020、鸡兔同笼问题、鸡兔同笼问题 2121、方阵问题、方阵问题 2222、商品利润问题、商品利润问题 2323、存款利率问题、存款利率
3、问题 2424、溶液浓度问题、溶液浓度问题 2525、构图布数问题、构图布数问题 2626、幻方问题、幻方问题 2727、抽屉原则问题、抽屉原则问题 2828、公约公倍问题、公约公倍问题 2929、最值问题、最值问题 3030、列方程问题、列方程问题 1 1 归一问题归一问题 【含义】 在解题时，先求出一份是多少（即单一量），然后以单一 量为标准，求出所要求的数量。这类应用题叫做归一问题。 【数量关系】 总量份数1 份数量 1 份数量所占份数所求几份的数量 另一总量（总量份数）所求份数 【解题思路和方法】 先求出单一量，以单一量为标准，求出所要求的 数量。 例 1 买 5 支铅笔要 0.6 元
4、钱，买同样的铅笔 16 支，需要多少钱？ 解（1）买 1 支铅笔多少钱？ 0.650.12（元） （2）买 16 支铅笔需要多少钱？0.12161.92（元） 列成综合算式 0.65160.12161.92（元） 答：需要 1.92 元。 例 2 3 台拖拉机 3 天耕地 90 公顷，照这样计算，5 台拖拉机 6 天耕地 多少公顷？ 解（1）1 台拖拉机 1 天耕地多少公顷？ 903310（公顷） （2）5 台拖拉机 6 天耕地多少公顷？ 1056300（公顷） 列成综合算式 9033561030300（公顷） 答：5 台拖拉机 6 天耕地 300 公顷。 例3 5辆汽车4次可以运送100吨钢
5、材， 如果用同样的7辆汽车运送105 吨钢材，需要运几次？ 解 （1）1 辆汽车 1 次能运多少吨钢材？ 100545（吨） （2）7 辆汽车 1 次能运多少吨钢材？ 5735（吨） （3）105 吨钢材 7 辆汽车需要运几次？ 105353（次） 列成综合算式 105（100547）3（次） 答：需要运 3 次。 2 2 归总问题归总问题 【含义】 解题时，常常先找出“总数量”，然后再根据其它条件 算出所求的问题，叫归总问题。所谓“总数量”是指货物的总价、几小时（几天） 的总工作量、几公亩地上的总产量、几小时行的总路程等。 【数量关系】 1 份数量份数总量 总量1 份数量份数 总量另一份数另
6、一每份数量 【解题思路和方法】 先求出总数量，再根据题意得出所求的数量。 例 1 服装厂原来做一套衣服用布 3.2 米， 改进裁剪方法后， 每套衣服 用布 2.8 米。原来做 791 套衣服的布，现在可以做多少套？ 解 （1）这批布总共有多少米？ 3.27912531.2（米） （2）现在可以做多少套？ 2531.22.8904（套） 列成综合算式 3.27912.8904（套） 答：现在可以做 904 套。 例 2 小华每天读 24 页书，12 天读完了红岩一书。小明每天读 36 页书，几天可以读完红岩？ 解 （1）红岩这本书总共多少页？ 2412288（页） （2）小明几天可以读完红岩？
7、288368（天） 列成综合算式 2412368（天） 答：小明 8 天可以读完红岩。 例 3 食堂运来一批蔬菜，原计划每天吃 50 千克，30 天慢慢消费完这 批蔬菜。后来根据大家的意见，每天比原计划多吃 10 千克，这批蔬菜可以吃多少 天？ 解 （1）这批蔬菜共有多少千克？ 50301500（千克） （2）这批蔬菜可以吃多少天？ 1500（5010）25（天） 列成综合算式 5030（5010）15006025（天） 答：这批蔬菜可以吃 25 天。 3 3 和差问题和差问题 【含义】 已知两个数量的和与差，求这两个数量各是多少，这类应用题 叫和差问题。 【数量关系】 大数（和差） 2 小数
8、（和差） 2 【解题思路和方法】 简单的题目可以直接套用公式；复杂的题目变通后 再用公式。 例 1 甲乙两班共有学生 98 人，甲班比乙班多 6 人，求两班各有多少 人？ 解 甲班人数（986）252（人） 乙班人数（986）246（人） 答：甲班有 52 人，乙班有 46 人。 例 2 长方形的长和宽之和为 18 厘米，长比宽多 2 厘米，求长方形的 面积。 解 长（182）210（厘米） 宽（182）28（厘米） 长方形的面积 10880（平方厘米） 答：长方形的面积为 80 平方厘米。 例 3 有甲乙丙三袋化肥，甲乙两袋共重 32 千克，乙丙两袋共重 30 千克，甲丙两袋共重 22 千克
9、，求三袋化肥各重多少千克。 解 甲乙两袋、乙丙两袋都含有乙，从中可以看出甲比丙多（3230）2 千克，且甲是大数，丙是小数。由此可知 甲袋化肥重量（222）212（千克） 丙袋化肥重量（222）210（千克） 乙袋化肥重量321220（千克） 答：甲袋化肥重 12 千克，乙袋化肥重 20 千克，丙袋化肥重 10 千克。 例 4 甲乙两车原来共装苹果 97 筐， 从甲车取下 14 筐放到乙车上， 结 果甲车比乙车还多 3 筐，两车原来各装苹果多少筐？ 解 “从甲车取下 14 筐放到乙车上，结果甲车比乙车还多 3 筐”，这说明 甲车是大数，乙车是小数，甲与乙的差是（1423），甲与乙的和是 97，
10、因 此 甲车筐数（971423）264（筐） 乙车筐数976433（筐） 答：甲车原来装苹果 64 筐，乙车原来装苹果 33 筐。 4 4 和倍问题和倍问题 【含义】 已知两个数的和及大数是小数的几倍（或小数是大数的几 分之几），要求这两个数各是多少，这类应用题叫做和倍问题。 【数量关系】 总和 （几倍1）较小的数 总和 较小的数 较大的数 较小的数 几倍 较大的数 【解题思路和方法】 简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用 公式。 例 1 果园里有杏树和桃树共 248 棵， 桃树的棵数是杏树的 3 倍， 求杏 树、桃树各多少棵？ 解 （1）杏树有多少棵？ 248（31）62（棵） （2
11、）桃树有多少棵？ 623186（棵） 答：杏树有 62 棵，桃树有 186 棵。 例 2 东西两个仓库共存粮 480 吨，东库存粮数是西库存粮数的 1.4 倍，求两库各存粮多少吨？ 解 （1）西库存粮数480（1.41）200（吨） （2）东库存粮数480200280（吨） 答：东库存粮 280 吨，西库存粮 200 吨。 例 3 甲站原有车 52 辆，乙站原有车 32 辆，若每天从甲站开往乙站 28 辆，从乙站开往甲站 24 辆，几天后乙站车辆数是甲站的 2 倍？ 解 每天从甲站开往乙站 28 辆，从乙站开往甲站 24 辆，相当于每天从甲 站开往乙站（2824）辆。把几天以后甲站的车辆数当作
12、 1 倍量，这时乙站的车 辆数就是 2 倍量，两站的车辆总数（5232）就相当于（21）倍， 那么，几天以后甲站的车辆数减少为 （5232）（21）28（辆） 所求天数为 （5228）（2824）6（天） 答：6 天以后乙站车辆数是甲站的 2 倍。 例 4 甲乙丙三数之和是 170，乙比甲的 2 倍少 4，丙比甲的 3 倍多 6， 求三数各是多少？ 解 乙丙两数都与甲数有直接关系，因此把甲数作为 1 倍量。 因为乙比甲的 2 倍少 4，所以给乙加上 4，乙数就变成甲数的 2 倍； 又因为丙比甲的 3 倍多 6，所以丙数减去 6 就变为甲数的 3 倍； 这时（17046）就相当于（123）倍。那
13、么， 甲数（17046）（123）28 乙数282452 丙数283690 答：甲数是 28，乙数是 52，丙数是 90。 5 5 差倍问题差倍问题 【含义】 已知两个数的差及大数是小数的几倍（或小数是大数的几 分之几），要求这两个数各是多少，这类应用题叫做差倍问题。 【数量关系】 两个数的差（几倍1）较小的数 较小的数几倍较大的数 【解题思路和方法】 简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。 例 1 果园里桃树的棵数是杏树的 3 倍， 而且桃树比杏树多 124 棵。 求 杏树、桃树各多少棵？ 解 （1）杏树有多少棵？ 124（31）62（棵） （2）桃树有多少棵？ 623186（棵
14、） 答：果园里杏树是 62 棵，桃树是 186 棵。 例 2 爸爸比儿子大 27 岁，今年，爸爸的年龄是儿子年龄的 4 倍，求 父子二人今年各是多少岁？ 解 （1）儿子年龄27（41）9（岁） （2）爸爸年龄9436（岁） 答：父子二人今年的年龄分别是 36 岁和 9 岁。 例 3 商场改革经营管理办法后，本月盈利比上月盈利的 2 倍还多 12 万元，又知本月盈利比上月盈利多 30 万元，求这两个月盈利各是多少万元？ 解 如果把上月盈利作为 1 倍量，则（3012）万元就相当于上月盈利的 （21）倍，因此 上月盈利（3012）（21）18（万元） 本月盈利183048（万元） 答：上月盈利是
15、18 万元，本月盈利是 48 万元。 例 4 粮库有 94 吨小麦和 138 吨玉米，如果每天运出小麦和玉米各是 9 吨，问几天后剩下的玉米是小麦的 3 倍？ 解 由于每天运出的小麦和玉米的数量相等，所以剩下的数量差等于原来 的数量差（13894）。把几天后剩下的小麦看作 1 倍量，则几天后剩下的玉米就 是 3 倍量，那么，（13894）就相当于（31）倍，因此 剩下的小麦数量（13894）（31）22（吨） 运出的小麦数量942272（吨） 运粮的天数7298（天） 答：8 天以后剩下的玉米是小麦的 3 倍。 6 6 倍比问题倍比问题 【含义】 有两个已知的同类量，其中一个量是另一个量的若干
16、倍， 解题时先求出这个倍数，再用倍比的方法算出要求的数，这类应用题叫做倍比问 题。 【数量关系】 总量一个数量倍数 另一个数量倍数另一总量 【解题思路和方法】 先求出倍数，再用倍比关系求出要求的数。 例 1 100 千克油菜籽可以榨油 40 千克，现在有油菜籽 3700 千克，可 以榨油多少？ 解 （1）3700 千克是 100 千克的多少倍？ 370010037（倍） （2）可以榨油多少千克？ 40371480（千克） 列成综合算式 40（3700100）1480（千克） 答：可以榨油 1480 千克。 例 2 今年植树节这天， 某小学 300 名师生共植树 400 棵， 照这样计算， 全县
17、 48000 名师生共植树多少棵？ 解 （1）48000 名是 300 名的多少倍？ 48000300160（倍） （2）共植树多少棵？ 40016064000（棵） 列成综合算式 400（48000300）64000（棵） 答：全县 48000 名师生共植树 64000 棵。 例 3 凤翔县今年苹果大丰收，田家庄一户人家 4 亩果园收入 11111 元，照这样计算，全乡 800 亩果园共收入多少元？全县 16000 亩果园共收入多少 元？ 解 （1）800 亩是 4 亩的几倍？ 8004200（倍） （2）800 亩收入多少元？ 111112002222200（元） （3）16000 亩是
18、800 亩的几倍？ 1600080020（倍） （4）16000 亩收入多少元？ 22222002044444000（元） 答：全乡 800 亩果园共收入 2222200 元， 全县 16000 亩果园共收入 44444000 元。 7 7 相遇问题相遇问题 【含义】 两个运动的物体同时由两地出发相向而行，在途中相遇。 这类应用题叫做相遇问题。 【数量关系】 相遇时间总路程（甲速乙速） 总路程（甲速乙速）相遇时间 【解题思路和方法】 简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再 利用公式。 例 1 南京到上海的水路长 392 千米， 同时从两港各开出一艘轮船相对 而行，从南京开出的船每小时行
19、28 千米，从上海开出的船每小时行 21 千米，经 过几小时两船相遇？ 解 392（2821）8（小时） 答：经过 8 小时两船相遇。 例 2 小李和小刘在周长为 400 米的环形跑道上跑步， 小李每秒钟跑 5 米，小刘每秒钟跑 3 米，他们从同一地点同时出发，反向而跑，那么，二人从出 发到第二次相遇需多长时间？ 解 “第二次相遇”可以理解为二人跑了两圈。 因此总路程为 4002 相遇时间（4002）（53）100（秒） 答：二人从出发到第二次相遇需 100 秒时间。 例 3 甲乙二人同时从两地骑自行车相向而行，甲每小时行 15 千米， 乙每小时行 13 千米，两人在距中点 3 千米处相遇，求
20、两地的距离。 解 “两人在距中点 3 千米处相遇”是正确理解本题题意的关键。从题中 可知甲骑得快，乙骑得慢，甲过了中点 3 千米，乙距中点 3 千米，就是说甲比乙 多走的路程是（32）千米，因此， 相遇时间（32）（1513）3（小时） 两地距离（1513）384（千米） 答：两地距离是 84 千米。 8 追及问题 【含义】 两个运动物体在不同地点同时出发（或者在同一地点而不 是同时出发，或者在不同地点又不是同时出发）作同向运动，在后面的，行进速 度要快些，在前面的，行进速度较慢些，在一定时间之内，后面的追上前面的物 体。这类应用题就叫做追及问题。 【数量关系】 追及时间追及路程（快速慢速）
21、追及路程（快速慢速）追及时间 【解题思路和方法】 简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。 例 1 好马每天走 120 千米，劣马每天走 75 千米，劣马先走 12 天，好 马几天能追上劣马？ 解 （1）劣马先走 12 天能走多少千米？ 7512900（千米） （2）好马几天追上劣马？ 900（12075）20（天） 列成综合算式 7512（12075）9004520（天） 答：好马 20 天能追上劣马。 例 2 小明和小亮在 200 米环形跑道上跑步，小明跑一圈用 40 秒，他 们从同一地点同时出发，同向而跑。小明第一次追上小亮时跑了 500 米，求小亮 的速度是每秒多少米。 解
22、小明第一次追上小亮时比小亮多跑一圈， 即 200 米， 此时小亮跑了 （500 200）米，要知小亮的速度，须知追及时间，即小明跑 500 米所用的时间。又知 小明跑 200 米用 40 秒，则跑 500 米用40（500200）秒，所以小亮的速度 是 （500200）40（500200）3001003（米） 答：小亮的速度是每秒 3 米。 例 3 我人民解放军追击一股逃窜的敌人，敌人在下午 16 点开始从甲 地以每小时 10 千米的速度逃跑， 解放军在晚上 22 点接到命令， 以每小时 30 千米 的速度开始从乙地追击。 已知甲乙两地相距 60 千米， 问解放军几个小时可以追上 敌人？ 解
23、敌人逃跑时间与解放军追击时间的时差是（2216）小时，这段时间 敌人逃跑的路程是10（226）千米，甲乙两地相距 60 千米。由此推知 追及时间10（226）60（3010） 2202011（小时） 答：解放军在 11 小时后可以追上敌人。 例 4 一辆客车从甲站开往乙站，每小时行 48 千米；一辆货车同时从 乙站开往甲站，每小时行 40 千米，两车在距两站中点 16 千米处相遇，求甲乙两 站的距离。 解 这道题可以由相遇问题转化为追及问题来解决。从题中可知客车落后 于货车（162）千米，客车追上货车的时间就是前面所说的相遇时间， 这个时间为 162（4840）4（小 时） 所以两站间的距离为
24、 （4840）4352（千米） 列成综合算式 （4840）162（4840）884352（千 米） 答：甲乙两站的距离是 352 千米。 例 5 兄妹二人同时由家上学，哥哥每分钟走 90 米，妹妹每分钟走 60 米。哥哥到校门口时发现忘记带课本，立即沿原路回家去取，行至离校 180 米处 和妹妹相遇。问他们家离学校有多远？ 解 要求距离，速度已知，所以关键是求出相遇时间。从题中可知，在相 同时间（从出发到相遇）内哥哥比妹妹多走（1802）米，这是因为哥哥比妹妹 每分钟多走（9060）米， 那么，二人从家出走到相遇所用时间为 1802（9060）12（分钟） 家离学校的距离为 901218090
25、0（米） 答：家离学校有 900 米远。 例 6 孙亮打算上课前 5 分钟到学校， 他以每小时 4 千米的速度从家步 行去学校，当他走了 1 千米时，发现手表慢了 10 分钟，因此立即跑步前进，到学 校恰好准时上课。后来算了一下，如果孙亮从家一开始就跑步，可比原来步行早 9 分钟到学校。求孙亮跑步的速度。 解 手表慢了 10 分钟，就等于晚出发 10 分钟，如果按原速走下去，就要 迟到 （105） 分钟， 后段路程跑步恰准时到学校， 说明后段路程跑比走少用了 （10 5）分钟。如果从家一开始就跑步，可比步行少 9 分钟，由此可知，行 1 千米， 跑步比步行少用9（105）分钟。所以 步行 1
26、千米所用时间为 19（105）0.25（小时）15（分 钟） 跑步 1 千米所用时间为 159（105）11（分钟） 跑步速度为每小时 111605.5（千米） 答：孙亮跑步速度为每小时 5.5 千米。 9 9 植树问题植树问题 【含义】 按相等的距离植树，在距离、棵距、棵数这三个量之间， 已知其中的两个量，要求第三个量，这类应用题叫做植树问题。 【数量关系】 线形植树 棵数距离棵距1 环形植树 棵数距离棵距 方形植树 棵数距离棵距4 三角形植树 棵数距离棵距3 面积植树 棵数面积（棵距行距） 【解题思路和方法】 先弄清楚植树问题的类型，然后可以利用公式。 例 1 一条河堤 136 米，每隔
27、2 米栽一棵垂柳，头尾都栽，一共要栽多 少棵垂柳？ 解 1362168169（棵） 答：一共要栽 69 棵垂柳。 例 2 一个圆形池塘周长为 400 米， 在岸边每隔 4 米栽一棵白杨树， 一 共能栽多少棵白杨树？ 解 4004100（棵） 答：一共能栽 100 棵白杨树。 例 3 一个正方形的运动场， 每边长 220 米， 每隔 8 米安装一个照明灯， 一共可以安装多少个照明灯？ 解 2204841104106（个） 答：一共可以安装 106 个照明灯。 例 4 给一个面积为 96 平方米的住宅铺设地板砖，所用地板砖的长和 宽分别是 60 厘米和 40 厘米，问至少需要多少块地板砖？ 解 9
28、6（0.60.4）960.24400（块） 答：至少需要 400 块地板砖。 例 5 一座大桥长 500 米，给桥两边的电杆上安装路灯，若每隔 50 米 有一个电杆，每个电杆上安装 2 盏路灯，一共可以安装多少盏路灯？ 解 （1）桥的一边有多少个电杆？ 50050111（个） （2）桥的两边有多少个电杆？ 11222（个） （3）大桥两边可安装多少盏路灯？22244（盏） 答：大桥两边一共可以安装 44 盏路灯。 1010 年龄问题年龄问题 【含义】 这类问题是根据题目的内容而得名，它的主要特点是两人 的年龄差不变，但是，两人年龄之间的倍数关系随着年龄的增长在发生变化。 【数量关系】年龄问题往
29、往与和差、和倍、差倍问题有着密切联系，尤其与 差倍问题的解题思路是一致的，要紧紧抓住“年龄差不变”这个特点。 【解题思路和方法】 可以利用“差倍问题”的解题思路和方法。 例 1 爸爸今年 35 岁， 亮亮今年 5 岁， 今年爸爸的年龄是亮亮的几倍？ 明年呢？ 解 3557（倍） （35+1）（5+1）6（倍） 答：今年爸爸的年龄是亮亮的 7 倍， 明年爸爸的年龄是亮亮的 6 倍。 例 2 母亲今年 37 岁，女儿今年 7 岁，几年后母亲的年龄是女儿的 4 倍？ 解 （1）母亲比女儿的年龄大多少岁？ 37730（岁） （2）几年后母亲的年龄是女儿的 4 倍？30（41）73（年） 列成综合算式
30、（377）（41）73（年） 答：3 年后母亲的年龄是女儿的 4 倍。 例 3 3 年前父子的年龄和是 49 岁，今年父亲的年龄是儿子年龄的 4 倍，父子今年各多少岁？ 解 今年父子的年龄和应该比 3 年前增加（32）岁， 今年二人的年龄和为 493255（岁） 把今年儿子年龄作为 1 倍量，则今年父子年龄和相当于（41）倍，因此， 今年儿子年龄为 55（41）11（岁） 今年父亲年龄为 11444（岁） 答：今年父亲年龄是 44 岁，儿子年龄是 11 岁。 例 4 甲对乙说：“当我的岁数曾经是你现在的岁数时，你才 4 岁”。 乙对甲说：“当我的岁数将来是你现在的岁数时，你将 61 岁”。求甲
31、乙现在的岁 数各是多少？ 解：这里涉及到三个年份：过去某一年、今年、将来某一年。列表分析： 过去某一年 今 年 将来某一年 甲 岁 岁 61 岁 乙 4 岁 岁 岁 表中两个“”表示同一个数，两个“”表示同一个数。 因为两个人的年龄差总相等：461，也就是 4， 61 成等差数列，所以，61 应该比 4 大 3 个年龄差， 因此二人年龄差为 （614）319（岁） 甲今年的岁数为 611942（岁） 乙今年的岁数为 421923（岁） 答：甲今年的岁数是 42 岁，乙今年的岁数是 23 岁。 11 行船问题 【含义】 行船问题也就是与航行有关的问题。解答这类问题要弄清 船速与水速，船速是船只本
32、身航行的速度，也就是船只在静水中航行的速度；水 速是水流的速度，船只顺水航行的速度是船速与水速之和；船只逆水航行的速度 是船速与水速之差。 【数量关系】 （顺水速度逆水速度）2船速 （顺水速度逆水速度）2水速 顺水速船速2逆水速逆水速水速2 逆水速船速2顺水速顺水速水速2 【解题思路和方法】 大多数情况可以直接利用数量关系的公式。 例 1 一只船顺水行 320 千米需用 8 小时， 水流速度为每小时 15 千米， 这只船逆水行这段路程需用几小时？ 解 由条件知，顺水速船速水速3208，而水速为每小时 15 千米， 所以，船速为每小时 32081525（千米） 船的逆水速为 251510（千米）
33、 船逆水行这段路程的时间为 3201032（小时） 答：这只船逆水行这段路程需用 32 小时。 例 2 甲船逆水行 360 千米需 18 小时， 返回原地需 10 小时； 乙船逆水 行同样一段距离需 15 小时，返回原地需多少时间？ 解由题意得 甲船速水速3601036 甲船速水速3601820 可见 （3620）相当于水速的 2 倍， 所以， 水速为每小时 （3620）28（千米） 又因为， 乙船速水速36015， 所以， 乙船速为 36015832（千米） 乙船顺水速为 32840（千米） 所以， 乙船顺水航行 360 千米需要 360409（小时） 答：乙船返回原地需要 9 小时。 例
34、3 一架飞机飞行在两个城市之间，飞机的速度是每小时 576 千米， 风速为每小时 24 千米，飞机逆风飞行 3 小时到达，顺风飞回需要几小时？ 解 这道题可以按照流水问题来解答。 （1）两城相距多少千米？（57624）31656（千米） （2）顺风飞回需要多少小时？1656（57624）2.76（小时） 列成综合算式（57624）3（57624）2.76（小时） 答：飞机顺风飞回需要 2.76 小时。 1212 列车问题列车问题 【含义】 这是与列车行驶有关的一些问题，解答时要注意列车车身 的长度。 【数量关系】 火车过桥：过桥时间（车长桥长）车速 火车追及： 追及时间（甲车长乙车长距离）（甲
35、车速乙车速） 火车相遇： 相遇时间（甲车长乙车长距离）（甲车速乙车速） 【解题思路和方法】 大多数情况可以直接利用数量关系的公式。 例 1 一座大桥长 2400 米， 一列火车以每分钟 900 米的速度通过大桥， 从车头开上桥到车尾离开桥共需要 3 分钟。这列火车长多少米？ 解 火车 3 分钟所行的路程，就是桥长与火车车身长度的和。 （1）火车 3 分钟行多少米？ 90032700（米） （2）这列火车长多少米？ 27002400300（米） 列成综合算式 90032400300（米） 答：这列火车长 300 米。 例 2 一列长 200 米的火车以每秒 8 米的速度通过一座大桥，用了 2 分
36、 5 秒钟时间，求大桥的长度是多少米？ 解 火车过桥所用的时间是 2 分 5 秒125 秒， 所走的路程是 （8125） 米， 这段路程就是（200 米桥长），所以，桥长为 8125200800（米） 答：大桥的长度是 800 米。 例 3 一列长 225 米的慢车以每秒 17 米的速度行驶，一列长 140 米的 快车以每秒 22 米的速度在后面追赶，求快车从追上到追过慢车需要多长时间？ 解 从追上到追过，快车比慢车要多行（225140）米，而快车比慢车每 秒多行（2217）米，因此，所求的时间为 （225140）（2217）73（秒） 答：需要 73 秒。 例 4 一列长 150 米的列车以
37、每秒 22 米的速度行驶，有一个扳道工人 以每秒 3 米的速度迎面走来，那么，火车从工人身旁驶过需要多少时间？ 解 如果把人看作一列长度为零的火车，原题就相当于火车相遇问题。 150（223）6（秒） 答：火车从工人身旁驶过需要 6 秒钟。 例 5 一列火车穿越一条长 2000 米的隧道用了 88 秒， 以同样的速度通 过一条长 1250 米的大桥用了 58 秒。求这列火车的车速和车身长度各是多少？ 解 车速和车长都没有变，但通过隧道和大桥所用的时间不同，是因为隧 道比大桥长。可知火车在（8858）秒的时间内行驶了（20001250）米的路程， 因此，火车的车速为每秒 （20001250）（8
38、858）25（米） 进而可知，车长和桥长的和为（2558）米， 因此，车长为 25581250200（米） 答：这列火车的车速是每秒 25 米，车身长 200 米。 1313 时钟问题时钟问题 【含义】 就是研究钟面上时针与分针关系的问题，如两针重合、两 针垂直、两针成一线、两针夹角为 60 度等。时钟问题可与追及问题相类比。 【数量关系】 分针的速度是时针的 12 倍， 二者的速度差为 11/12。 通常按追及问题来对待，也可以按差倍问题来计算。 【解题思路和方法】 变通为“追及问题”后可以直接利用公式。 例 1 从时针指向 4 点开始，再经过多少分钟时针正好与分针重合？ 解 钟面的一周分为
39、 60 格，分针每分钟走一格，每小时走 60 格；时针每 小时走 5 格， 每分钟走 5/601/12 格。 每分钟分针比时针多走 （11/12） 11/12 格。4 点整，时针在前，分针在后，两针相距 20 格。所以 分针追上时针的时间为 20（11/12） 22（分） 答：再经过 22 分钟时针正好与分针重合。 例 2 四点和五点之间，时针和分针在什么时候成直角？ 解 钟面上有 60 格，它的 1/4 是 15 格，因而两针成直角的时候相差 15 格 （包括分针在时针的前或后 15 格两种情况） 。 四点整的时候， 分针在时针后 （54） 格，如果分针在时针后与它成直角，那么分针就要比时针
40、多走 （54 15）格，如果分针在时针前与它成直角，那么分针就要比时针多走（5415） 格。再根据 1 分钟分针比时针多走（11/12）格就可以求出 二针成直角的时间。 （5415）（11/12） 6（分） （5415）（11/12） 38（分） 答：4 点 06 分及 4 点 38 分时两针成直角。 例 3 六点与七点之间什么时候时针与分针重合？ 解 六点整的时候，分针在时针后（56）格，分针要与时针重合，就得 追上时针。这实际上是一个追及问题。 （56）（11/12） 33（分） 答：6 点 33 分的时候分针与时针重合。 1414 盈亏问题盈亏问题 【含义】 根据一定的人数，分配一定的物
41、品，在两次分配中，一次 有余（盈），一次不足（亏），或两次都有余，或两次都不足，求人数或物品数， 这类应用题叫做盈亏问题。 【数量关系】 一般地说，在两次分配中，如果一次盈，一次亏，则有： 参加分配总人数（盈亏）分配差 如果两次都盈或都亏，则有： 参加分配总人数（大盈小盈）分配差 参加分配总人数（大亏小亏）分配差 【解题思路和方法】 大多数情况可以直接利用数量关系的公式。 例 1 给幼儿园小朋友分苹果，若每人分 3 个就余 11 个；若每人分 4 个就少 1 个。问有多少小朋友？有多少个苹果？ 解 按照“参加分配的总人数（盈亏）分配差”的数量关系： （1）有小朋友多少人？ （111）（43）1
42、2（人） （2）有多少个苹果？ 3121147（个） 答：有小朋友 12 人，有 47 个苹果。 例 2 修一条公路，如果每天修 260 米，修完全长就得延长 8 天；如果 每天修 300 米，修完全长仍得延长 4 天。这条路全长多少米？ 解 题中原定完成任务的天数， 就相当于“参加分配的总人数”， 按照“参 加分配的总人数（大亏小亏）分配差”的数量关系，可以得知 原定完成任务的天数为（26083004）（300260）22（天） 这条路全长为 300（224）7800（米） 答：这条路全长 7800 米。 例 3 学校组织春游，如果每辆车坐 40 人，就余下 30 人；如果每辆车 坐 45
43、人，就刚好坐完。问有多少车？多少人？ 解 本题中的车辆数就相当于“参加分配的总人数”，于是就有 （1）有多少车？ （300）（4540）6（辆） （2）有多少人？ 40630270（人） 答：有 6 辆车，有 270 人。 1515 工程问题工程问题 【含义】 工程问题主要研究工作量、工作效率和工作时间三者之间 的关系。这类问题在已知条件中，常常不给出工作量的具体数量，只提出“一项 工程”、“一块土地”、“一条水渠”、“一件工作”等，在解题时，常常用单 位“1”表示工作总量。 【数量关系】 解答工程问题的关键是把工作总量看作“1”，这样，工作 效率就是工作时间的倒数（它表示单位时间内完成工作总
44、量的几分之几），进而 就可以根据工作量、工作效率、工作时间三者之间的关系列出算式。 工作量工作效率工作时间 工作时间工作量工作效率 工作时间总工作量（甲工作效率乙工作效率） 【解题思路和方法】 变通后可以利用上述数量关系的公式。 例 1 一项工程，甲队单独做需要 10 天完成，乙队单独做需要 15 天完成，现在两队合作，需要几天完成？ 解 题中的“一项工程”是工作总量， 由于没有给出这项工程的具体数量， 因此，把此项工程看作单位“1”。由于甲队独做需 10 天完成，那么每天完成这 项工程的 1/10； 乙队单独做需 15 天完成， 每天完成这项工程的 1/15； 两队合做， 每天可以完成这项工
45、程的（1/101/15）。 由此可以列出算式： 1（1/101/15）11/66（天） 答：两队合做需要 6 天完成。 例 2 一批零件，甲独做 6 小时完成，乙独做 8 小时完成。现在两人合 做，完成任务时甲比乙多做 24 个，求这批零件共有多少个？ 解 设总工作量为 1，则甲每小时完成 1/6，乙每小时完成 1/8，甲比乙每 小时多完成（1/61/8），二人合做时每小时完成（1/61/8）。因为二人合做 需要1（1/61/8）小时，这个时间内，甲比乙多做 24 个零件，所以 （1）每小时甲比乙多做多少零件？ 241（1/61/8）7（个） （2）这批零件共有多少个？ 7（1/61/8）16
46、8（个） 答：这批零件共有 168 个。 解二 上面这道题还可以用另一种方法计算： 两人合做，完成任务时甲乙的工作量之比为 1/61/843 由此可知，甲比乙多完成总工作量的 43 / 43 1/7 所以，这批零件共有 241/7168（个） 例 3 一件工作，甲独做 12 小时完成，乙独做 10 小时完成，丙独做 15 小时完成。 现在甲先做 2 小时， 余下的由乙丙二人合做， 还需几小时才能完成？ 解 必须先求出各人每小时的工作效率。如果能把效率用整数表示，就会 给计算带来方便，因此，我们设总工作量为 12、10、和 15 的某一公倍数，例如 最小公倍数 60，则甲乙丙三人的工作效率分别是
47、 60125 60106 60154 因此余下的工作量由乙丙合做还需要 （6052）（64）5（小时） 答：还需要 5 小时才能完成。 例 4 一个水池， 底部装有一个常开的排水管， 上部装有若干个同样粗 细的进水管。当打开 4 个进水管时，需要 5 小时才能注满水池；当打开 2 个进水 管时，需要 15 小时才能注满水池；现在要用 2 小时将水池注满，至少要打开多少 个进水管？http:/ 解 注（排）水问题是一类特殊的工程问题。往水池注水或从水池排水相 当于一项工程，水的流量就是工作量，单位时间内水的流量就是工作效率。 要 2 小时内将水池注满， 即要使 2 小时内的进水量与排水量之差刚好
48、是一池 水。为此需要知道进水管、排水管的工作效率及总工作量（一池水）。只要设某 一个量为单位 1，其余两个量便可由条件推出。 我们设每个同样的进水管每小时注水量为 1，则 4 个进水管 5 小时注水量为 （145），2 个进水管 15 小时注水量为（1215），从而可知 每小时的排水量为 （1215145）（155）1 即一个排水管与每个进水管的工作效率相同。由此可知 一池水的总工作量为 1451515 又因为在 2 小时内，每个进水管的注水量为 12，所以，2 小时内注满一 池水至少需要多少个进水管？ （1512）（12） 8.59（个） 答：至少需要 9 个进水管。 1616 正反比例问题
49、正反比例问题 【含义】 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如 果这两种量中相对应的两个数的比的比值一定（即商一定），那么这两种量就叫 做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。正比例应用题是正比例意义和解 比例等知识的综合运用。 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对 应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关 系。反比例应用题是反比例的意义和解比例等知识的综合运用。 【数量关系】 判断正比例或反比例关系是解这类应用题的关键。许多典 型应用题都可以转化为正反比例问题去解决，而且比较简捷。 【解题思路和方法】 解决这类问题的重
50、要方法是：把分率（倍数）转化 为比，应用比和比例的性质去解应用题。 正反比例问题与前面讲过的倍比问题基本类似。 例 1 修一条公路，已修的是未修的 1/3，再修 300 米后，已修的变成 未修的 1/2，求这条公路总长是多少米？ 解 由条件知，公路总长不变。 原已修长度总长度1（13）14312 现已修长度总长度1（12）13412 比较以上两式可知，把总长度当作 12 份，则 300 米相当于（43）份，从 而知公路总长为 300（43）123600（米） 答： 这条公路总长 3600 米。 例 2 张晗做 4 道应用题用了 28 分钟，照这样计算，91 分钟可以做几 道应用题？ 解 做题效
