1、【新教材】【新教材】5.2.1 三角函数的概念三角函数的概念 三角函数是描述周期运动现象的重要的数学模型，有非常广泛的应用。三角函数的概念是在初 中对锐角三角函数的定义以及刚学过的“角的概念的推广”的基础上讨论和研究的。三角函数的定义 是本章最基本的概念，对三角内容的整体学习至关重要，是其他所有知识的出发点。紧紧扣住三角 函数定义这个宝贵的源泉，可以自然地导出本章的具体内容：三角函数线、定义域、符号判断、值 域、同角三角函数关系、多组诱导公式、多组变换公式、图象和性质。 三角函数的定义在教材中起 着承前启后的作用，一方面，通过这部分内容的学习，可以帮助学生更加深入理解函数这一基本概 念，另一方
2、面它又为平面向量、解析几何等内容的学习作必要的准备。三角函数知识还是物理学、 高等数学、测量学、天文学的重要基础。 课程目标课程目标 1.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义 2.掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切)在各象限的符号 3.掌握公式一并会应用 数学学科素养数学学科素养 1.数学抽象：理解任意角三角函数的定义； 2.逻辑推理：利用诱导公式一求三角函数值； 3.直观想象：任意角三角函数在各象限的符号； 4.数学运算：诱导公式一的运用. 重点：重点：借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义； 掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切)在各象限的符号. 难点：
3、难点：理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义 教学方法：教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。 教学工具：教学工具：多媒体。 一、 情景导入情景导入 在初中我们学习了锐角三角函数，那么锐角三角函数是如何定义的？若将锐角放入直角坐标系 中，你能用角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗？若以单位圆的圆心 O 为原点，你能用角 的终边与单位圆的交点来表示锐角三角函数吗？那么，角的概念推广之后，三角函数的概念又该怎 样定义呢？ 要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探. 二、预习课本，引入新课二、预习课本，引入新课 阅读课本 177- 180 页，思考并
4、完成以下问题 1任意角三角函数的定义？ 2任意角三角函数在各象限的符号？ 3诱导公式一？ 要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。 三、新知探究三、新知探究 1单位圆 在直角坐标系中，我们称以原点 O 为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆 2任意角的三角函数的定义 (1)条件在平面直角坐标系中，设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(x，y)，那么： 图 1- 2- 1 (2)结论 y 叫做 的正弦，记作 sin_，即 sin y； x 叫做 的余弦，记作 cos_，即 cos x； y x叫做 的正切，记作 tan_，即 tan y x(x0) (3)总结
5、正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将 它们统称为三角函数 思考：若已知 的终边上任意一点 P 的坐标是(x，y)，则其三角函数定义为？ 在平面直角坐标系中，设 的终边上任意一点 P 的坐标是(x，y)，它与原点 O 的距离是 r(r x2y20) 三角函数 定义 定义域 名称 sin R 正弦 cos R 余弦 tan k 2，kZ 正切 正弦函数、余弦函数、正切函数统称三角函数. 3正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域 三角函数 定义域 sin R cos R tan xR xk 2，kZ 4正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号 (1)图
6、示： 图 1- 2- 2 (2)口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦” 5诱导公式一 四、典例分析、举一反三四、典例分析、举一反三 题型一题型一 三角函数的定义及应用三角函数的定义及应用 例例 1 在平面直角坐标系中，角 的终边在直线 y2x 上，求 sin ，cos ，tan 的值 【答案】当 的终边在第二象限时，sin 2 5 5 ，cos 5 5 ，tan 2. 当 的终边在第四象限时， sin 2 5 5 ，cos 5 5 ，tan 2. 【解析】当 的终边在第二象限时，在 终边上取一点 P(1，2)，则 r1 222 5， 所以 sin 2 5 2 5 5 ，cos 1 5 5 5
7、 ，tan 2 12. 当 的终边在第四象限时，在 终边上取一点 P(1，2)，则 r 122 2 5， 所以 sin 2 5 2 5 5 ，cos 1 5 5 5 ，tan 2 1 2. 解题技巧：（已知角 终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法） (1)先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应的三角 函数值 (2)在 的终边上任选一点 P(x，y)，设 P 到原点的距离为 r(r0)，则 sin y r，cos x r.当已知 的终边上一点求 的三角函数值时，用该方法更方便 跟踪训练一跟踪训练一 1已知角 终边上一点 P(x,3)(x0)，且 cos 10
8、 10 x，求 sin ，tan . 【答案】当 x1 时，sin 3 10 10 ，tan 3； 当 x1 时，此时 sin 3 10 10 ，tan 3. 【解析】由题意知 r|OP| x29，由三角函数定义得 cos x r x x29. 又cos 10 10 x， x x29 10 10 x.x0，x 1. 当 x1 时，P(1,3)，此时 sin 3 1232 3 10 10 ，tan 3 13. 当 x1 时，P(1,3)，此时 sin 3 1 232 3 10 10 ，tan 3 13. 题型二题型二 三角函数值的符号三角函数值的符号 例例 2 (1)若 是第四象限角，则点 P(
9、cos ，tan )在第_象限 (2)判断下列各式的符号：sin 183 ；tan 7 4 ；cos 5. 【答案】（1）四； （2） sin 183 0；tan 7 4 0. 【解析】(1) 是第四象限角，cos 0，tan 0，点 P(cos ，tan )在第四象限 (2) 180 183 270 ，sin 183 0； 3 2 7 4 2，tan 7 4 0；3 2 50. 解题技巧：(判断三角函数值在各象限符号的攻略) (1)基础：准确确定三角函数值中各角所在象限； (2)关键：准确记忆三角函数在各象限的符号； (3)注意：用弧度制给出的角常常不写单位，不要误认为角度导致象限判断错误
10、提醒：注意巧用口诀记忆三角函数值在各象限符号 跟踪训练二跟踪训练二 1确定下列式子的符号： (1) tan 108 cos 305 ；(2) cos 5 6 tan 11 6 sin 2 3 ；(3)tan 120 sin 269 . 【答案】(1) tan 108 cos 305 0；(2) cos 5 6 tan 11 6 sin 2 3 0； （3）tan 120 sin 269 0. 【解析】(1)108 是第二象限角，tan 108 0. 305 是第四象限角，cos 305 0.从而 tan 108 cos 305 0. (2)5 6 是第二象限角，11 6 是第四象限角，2 3
11、是第二象限角， cos 5 6 0，tan11 6 0，sin 2 3 0.从而 cos 5 6 tan 11 6 sin 2 3 0. (3)120 是第二象限角，tan 120 0，269 是第三象限角，sin 269 0. 从而 tan 120 sin 269 0. 题型三题型三 诱导公式一的应用诱导公式一的应用 例例 3 求值：(1)tan 405 sin 450 cos 750 ； (2)sin7 3 cos 23 6 tan 15 4 cos13 3 . 【答案】（1） 3 2 ；（2）5 4. 【解析】 (1)原式tan(360 45 )sin(360 90 )cos(2 360
12、 30 ) tan 45 sin 90 cos 30 11 3 2 3 2 . (2)原式sin 2 3 cos 4 6 tan 4 4 cos 4 3 sin 3cos 6tan 4cos 3 3 2 3 2 1 1 2 5 4. 解题技巧：（利用诱导公式一进行化简求值的步骤） (1)定形：将已知的任意角写成 2k 的形式，其中 0，2)，kZ. (2)转化：根据诱导公式，转化为求角 的某个三角函数值 (3)求值：若角为特殊角，可直接求出该角的三角函数值 跟踪训练三跟踪训练三 1化简下列各式： (1)a2sin(1 350 )b2tan 405 2abcos(1 080 )； (2)sin
13、11 6 cos12 5 tan 4. 【答案】（1）(ab)2 ； （2）1 2. 【解析】(1)原式a2sin(4 360 90 )b2tan(360 45 )2abcos(3 360 ) a2sin 90 b2tan 45 2abcos 0 a2b22ab(ab)2. (2)sin 11 6 cos12 5 tan 4 sin 2 6 cos12 5 tan 0sin 60 1 2. 五、课堂小结五、课堂小结 让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 六、板书设计六、板书设计 七、作业七、作业 课本 179 页练习及 182 页练习. 本节课主要采用讲练结合与分组探究的教学方法，借助单位圆探究任意角三角函数（正弦、余 弦、正切）的概念，且借助单位圆与直角坐标系探究三角函数在各个象限符号，并会灵活运用. 5.2.1 三角函数的概念 1. 三角函数的定义 例 1 例 2 例 3 2三角函数在各象限的符号 3诱导公式一
