1、题型题型三三、 直线的直线的参数方程参数方程及其运用及其运用 t 的几何意义：t 表示有向线段PP 0 的数量， P(yx ,)为直线上任意一点：则P0P=t 过点),( 000 yxP，倾斜角为的直线参数方程为 sin cos 0 0 tyy txx ，（t为参数） x y 0 P( yx , ) P0 Q l x y 0 P0 P l 00 ( ,)P x y A B 00 ( ,)P x y A B 2 21121 2 AB()4ttttt t 2 21121 2 AB()4ttttt t 1212 PAPBtttt 1212 PAPBtttt 2 121 2 ()4ttt t 设A，B
2、是直线l上的点，其对应的参数分别为t， 1 t， 2 t 变式、直线 1 23 xt yt （t 为参数）的化为普通方程_ 例二、直线 0 0 1 2 3 2 xxt yyt （t 为参数）的倾斜角为（ ） A、60 B、120 C、30 D、150 例 1、将直线01 yx化为参数方程_ 1 cos 2 3 sin 2 =120 0 0 1 2 3 2 xxt yyt 0 0 2 +cos 3 2 sin 3 xxt yyt 例一、2016 广东省适应性考试：直角坐标系xOy中，过点 (1, 2)P的直线l的倾斜角为45以坐标原点为极点，x轴 正半轴为极坐标建立极坐标系，曲线C的极坐标方程
3、为 2 sin2cos,直线l和曲线C的交点为,A B ()求直线l的参数方程； ()求PA PB 【解析】 （1）直线l过点(1, 2)P，且倾斜角为45 直线l的参数方程为 1cos45 2sin45 xt yt （t为参数） ， 即直线l的参数方程为 2 1 2 2 2 2 xt yt （t为参数） ) 2, 1 ( P A B 2 1 2 2 2 2 xt yt 2 2yx 2 6 240tt 2 22 ( 2)2(1) 22 tt （2） 2 sin2cos， 2 ( sin )2 cos， 曲线C的直角坐标方程为 2 2yx， 2 1 2 2 2 2 xt yt ， 2 22 (
4、2)2(1) 22 tt ， 2 6 240tt ， 1 2 4t t ，4PA PB 变式：直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 2 1 2 2 2 2 xt yt （t为参数） 点(1, 2)P，l和曲线 2 2yx的交点为,A B () PAPB (2) 求 AB 将 2 1 2 2 2 2 xt yt 代入 2 2yx得 2 22 ( 2)2(1) 22 tt ， 2 6 240tt 1 2 4t t ， 12 +6 2tt 1212 =+=6 2PAPBtttt 2 12121 2 =()4ABtttttt 变式2、已知曲线C的参数方程 sin cos2 y x （是参数） ，直线
5、l的参数方程是： ty tx 2 2 1 2 2 （t是参数） (1)将曲线C的参数方程化为直角坐标方程； (2)直线l与x轴交点为，直线l与曲线C交于，N两点，求 PNPM 11 的值 1 2 x 2 2 y ) 0 , 1 (P M N 1 2 x 2 2 y ty tx 2 2 1 2 2 求 PNPM 11 的值 12 1212 11 tt tttt 在直角坐标系xOy中， 直线 1 C的参数方程为 ,sin ,cos32 ty tx （t为参数，为倾斜角） ， 以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线 2 C 的极坐标方程为 sin4 （1）求 2 C 的直角坐标方程
6、； （2）直线 1 C与 2 C 相交于FE,两个不同的点，点P的极坐标为(2 3,)，若 PFPEEF2，求直线 1 C的普通方程 例一变式 2：直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 2 2 2 3 2 xt yt （t为参数） 点(1, 2)P，l和曲线 2 2yx的交点为 ,A B () PAPB (2) 求 AB 例一变式 3：直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 1+ 2 xt yt （t为参数） 点(1, 2)P，l和曲线 2 2yx的交点为,A B () PAPB (2) 求 AB 非标准形式下非标准形式下的的直线直线参数方程参数方程 3yx （20192019 湛江湛江二模
7、）二模）在直角坐标系在直角坐标系中，点中，点 0,1 ，直线，直线: = 2 = 1 + （ （为参数） ，为参数） ， 以原点以原点为极点，为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为的极坐标方程为 72+ 2cos2 = 24. . （1 1）求曲线）求曲线的直角坐标方程；的直角坐标方程； （2 2）设直线）设直线与曲线与曲线交于点交于点,，求，求 1 + 1 的值 的值. . 【详解】 （1） 72+2cos2 = 24 72+ 2 2cos2 1 = 24 又 2= 2+ 2, = cos 曲线的直角坐标方程为： 2 4 + 2 3 = 1
8、 （2）将直线的参数方程化为标准形式为： = 2 5 , = 1 + 1 5 ; （为参数） ， 代入曲线方程，得192+ 6 5 45 = 0. 0恒成立 1+ 2= 6 5 19 ,12= 45 19 1 + 1 = 1 1 + 1 2 = 12 12 = 1+2 2412 12 = 4 3 2017 广州调研考广州调研考:以直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为 极轴,且两个坐标系取相等的长度单位.已知直线l的参数方程为 sin , ( 1cos xt t yt 为参数,0), 曲线C的极坐标方程为 2 cos4sin . ( ) 求直线l的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程; （II
9、）设直线l与曲线 C 相交于,A B两点, 当变化时, 求AB的最小值. 由由 sin , 1cos , xt yt 消去消去t得得cossinsin0 xy1 分分 所以直线所以直线l的普通方程为的普通方程为cossinsin0 xy. 2 分分 由由 2 cos4sin, 得得 2 cos4 sin,3 分分 所以曲线所以曲线 C 的直角坐标方程为的直角坐标方程为yx4 2 .5 分分 将直线 l 的参数方程代入yx4 2 , 得 22 sin4 cos40tt , 6 分 设 A、B 两点对应的参数分别为 12 , t t, 则 12 2 cos sin tt 4 , 1 2 2 sin t t 4 ,7 分 所以 2 12121 2 ()4ABtttttt 2 422 16cos16 sinsinsin 4 . 9 分 当 2 时, AB的最小值为 4. 10 分
