1、1 一元二次方程的解法及应用B26 2 3 4 1、 （2020 成都 26 题 8 分）在“新冠”疫情期间，全国人民“众志成城，同心抗疫” ，某商 家决定将一个月获得的利润全部捐赠给社区用于抗疫已知商家购进一批产品，成本为 10 元/件，拟采取线上和线下两种方式进行销售调查发现，线下的月销量 y（单位：件） 与线下售价 x（单位：元/件，12x24）满足一次函数的关系，部分数据如下表： x（元/件）1213141516 y（件）120011001000900800 （1）求 y 与 x 的函数关系式； （2）若线上售价始终比线下每件便宜 2 元，且线上的月销量固定为 400 件试问：当 x
2、为多少时，线上和线下月利润总和达到最大？并求出此时的最大利润 【解答】解： （1）y 与 x 满足一次函数的关系， 设 ykx+b， 将 x12，y1200；x13，y1100 代入得：， 解得：， y 与 x 的函数关系式为：y100 x+2400； （2）设线上和线下月利润总和为 m 元， 则 m400（x210）+y（x10）400 x4800+（100 x+2400） （x10）100（x 19）2+7300， 当 x 为 19 元/件时，线上和线下月利润总和达到最大，此时的最大利润为 7300 元 2、 （8 分）随着 5G技术的发展，人们对各类 5G产品的使用充满期待，某公司计划在
3、某地区 销售一款 5G产品，根据市场分析，该产品的销售价格将随销售周期的变化而变化设该 产品在第x（x为正整数）个销售周期每台的销售价格为y元，y与x之间满足如图所示 的一次函数关系 （1）求y与x之间的关系式； （2） 设该产品在第x个销售周期的销售数量为p（万台） ，p与x的关系可以用px+ 来描述根据以上信息，试问：哪个销售周期的销售收入最大？此时该产品每台的销售 价格是多少元？ 【解答】解： （1）设函数的解析式为：ykx+b（k0） ，由图象可得， 5 ， 解得， y与x之间的关系式：y500 x+7500； （2）设销售收入为w万元，根据题意得， wyp（500 x+7500） （
4、x+） ， 即w250（x7） 2+16000， 当x7 时，w有最大值为 16000， 此时y5007+75004000（元） 答：第 7 个销售周期的销售收入最大，此时该产品每台的销售价格是 4000 元 3、 （2018 成都 26 题 8 分）为了美化环境，建设宜居成都，我市准备在一个广场 上种植甲、乙两种花卉，经市场调查，甲种花卉的种植费用 y（元）与种植面积 x（m 2）之间的函数关系如图所示，乙种花卉的种植费用为每平方米 100 元 （1）直接写出当 0 x300 和 x300 时，y 与 x 的函数关系式； （2）广场上甲、乙两种花卉的种植面积共 1200m 2，若甲种花卉的种
5、植面积不少 于 200m 2，且不超过乙种花卉种植面积的 2 倍，那么应该怎样分配甲、乙两种花 卉的种植面积才能使种植总费用最少？最少总费用为多少元？ 【解答】解： （1）y= （2）设甲种花卉种植为 a m 2，则乙种花卉种植（12000a）m2 6 ， 200a800 当 200a300 时，W1=130a+100（1200a）=30a+12000 当 a=200 时Wmin=126000 元 当 300a800 时，W2=80a+15000+100（1200a）=13500020a 当 a=800 时，Wmin=119000 元 119000126000 当 a=800 时，总费用最少，
6、最少总费用为 119000 元 此时乙种花卉种植面积为 1200800=400m 2 答：应该分配甲、乙两种花卉的种植面积分别是 800m 2 和 400m 2，才能使种植总 费用最少，最少总费用为 119000 元 4、 （2017 成都 26 题 8 分）随着地铁和共享单车的发展，“地铁+单车”已成为很 多市民出行的选择，李华从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的 A， B，C，D，E 中的某一站出地铁，再骑共享单车回家，设他出地铁的站点与文化 宫距离为 x（单位：千米） ，乘坐地铁的时间 y1（单位：分钟）是关于 x 的一次 函数，其关系如下表： 地铁站ABCDE x（千米）891
7、011.513 y1（分钟）1820222528 （1）求 y1关于 x 的函数表达式； （2）李华骑单车的时间（单位：分钟）也受 x 的影响，其关系可以用 y2=x2 11x+78 来描述，请问：李华应选择在那一站出地铁，才能使他从文化宫回到家 所需的时间最短？并求出最短时间 【解答】解： （1）设 y1=kx+b，将（8，18） ， （9，20） ，代入得： ， 解得：， 故 y1关于 x 的函数表达式为：y1=2x+2； 7 （2）设李华从文化宫回到家所需的时间为 y，则 y=y1+y2=2x+2+x211x+78=x29x+80， 当 x=9 时，y 有最小值，ymin=39.5， 5
8、、 （2016 成都 26 题 8 分）随着地铁和共享单车的发展，“地铁+单车”已成为很 多市民出行的选择，李华从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的 A， B，C，D，E 中的某一站出地铁，再骑共享单车回家，设他出地铁的站点与文化 宫距离为 x（单位：千米） ，乘坐地铁的时间 y1（单位：分钟）是关于 x 的一次 函数，其关系如下表： 地铁站ABCDE x（千米）891011.513 y1（分钟）1820222528 （1）求 y1关于 x 的函数表达式； （2）李华骑单车的时间（单位：分钟）也受 x 的影响，其关系可以用 y2=x2 11x+78 来描述，请问：李华应选择在那一站出地
9、铁，才能使他从文化宫回到家 所需的时间最短？并求出最短时间 解： （1）6005yx； (2) 设果园多种 x 棵橙子树时，橙子的总产量为 z 个.由题知： Z（100 x）y（100 x） （600-5x）5(x10）260500 a50 当 x10 时，Z最大60500. 果园多种 10 棵橙子树时，可以使橙子的总产量最大，最大为 60500 个. 6、 （2015 成都 26 题 8 分）某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用 13200 元购进了一批 这种衬衫，面市后果然供不应求，商家又用 28800 元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第 一批购进量的 2 倍，但单价贵了 10 元 （
10、1）该商家购进的第一批衬衫是多少件？ （2）若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下 50 件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售 完后利润不低于 25%（不考虑其他因素） ，那么每件衬衫的标价至少是多少元？ 解答： 解： （1）设该商家购进的第一批衬衫是 x 件，则购进第二批这种衬衫是 2x 件，依题 意有 +10=， 解得 x=120， 8 经检验，x=120 是原方程的解，且符合题意 答：该商家购进的第一批衬衫是 120 件 （2）3x=3120=360， 设每件衬衫的标价 y 元，依题意有 （36050）y+500.8y（13200+28800）（1+25%） ， 解得 y150 答：每件衬
11、衫的标价至少是 150 元 7、 （2020 达州 22 题 8 分）某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售，有关信息如下表： 原进价（元/张）零售价（元/张）成套售价（元/套） 餐桌a380940 餐椅a140160 已知用 600 元购进的餐椅数量与用 1300 元购进的餐桌数量相同 （1）求表中 a 的值； （2）该商场计划购进餐椅的数量是餐桌数量的 5 倍还多 20 张，且餐桌和餐椅的总数量 不超过 200 张若将一半的餐桌成套（一张餐桌和四张餐椅配成一套）销售，其余餐桌、 餐椅以零售方式销售，请问怎样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？ 【解答】解： （1）根据题意得：， 解得
12、 a260， 经检验，a260 是原分式方程的解 答：表中 a 的值为 260 （2）设购进餐桌 x 张，则购进餐椅（5x+20）张， 根据题意得：x+5x+20200， 解得：x30 设销售利润为 y 元， 根据题意得：y9402604（260110）x+（380260）x+160（260 110）（5x+204x）250 x+1000， k2500， 当 x30 时，y 取最大值，最大值为：25030+10008500 答：当购进餐桌 30 张、餐椅 170 张时，才能获得最大利润，最大利润是 8500 元 9 8、 （2020 甘孜 26 题 8 分）某商品的进价为每件 40 元，在销售
13、过程中发现，每周的销售量 y （件）与销售单价 x（元）之间的关系可以近似看作一次函数 ykx+b，且当售价定为 50 元/件时，每周销售 30 件，当售价定为 70 元/件时，每周销售 10 件 （1）求 k，b 的值； （2）求销售该商品每周的利润 w（元）与销售单价 x（元）之间的函数解析式，并求出 销售该商品每周可获得的最大利润 【解答】解： （1）由题意可得：， ， 答：k1，b80； （2）w（x40）y（x40） （x+80）（x60）2+400， 当 x60 时，w 有最大值为 400 元， 答：销售该商品每周可获得的最大利润为 400 元 9、 （2020 乐山 23 题 1
14、0 分）某汽车运输公司为了满足市场需要，推出商务车和轿车对外租 赁业务下面是乐山到成都两种车型的限载人数和单程租赁价格表： 车型每车限载人数（人）租金（元/辆） 商务车6300 轿车4 （1）如果单程租赁 2 辆商务车和 3 辆轿车共需付租金 1320 元，求一辆轿车的单程租金 为多少元？ （2）某公司准备组织 34 名职工从乐山赴成都参加业务培训，拟单程租用商务车或轿车 前往在不超载的情况下，怎样设计租车方案才能使所付租金最少？ 【解答】解： （1）设租用一辆轿车的租金为 x 元， 由题意得：3002+3x1320， 解得x240， 答：租用一辆轿车的租金为 240 元； （2）若只租用商务
15、车， ， 只租用商务车应租 6 辆，所付租金为 30061800（元） ； 若只租用轿车， ， 只租用轿车应租 9 辆，所付租金为 24092160（元） ； 若混和租用两种车，设租用商务车 m 辆，租用轿车 n 辆，租金为 W 元 由题意，得， 由 6m+4n34，得 4n6m+34， W300m+60（6m+34）60m+2040， 6m+344n0， 10 ， 1m5，且 m 为整数， W 随 m 的增大而减小， 当 m5 时，W 有最小值 1740，此时 n1 综上，租用商务车 5 辆和轿车 1 辆时，所付租金最少为 1740 元 10、 （2020 泸州 21 题 7 分）某校举办“
16、创建全国文明城市”知识竞赛，计划购买甲、乙两 种奖品共 30 件其中甲种奖品每件 30 元，乙种奖品每件 20 元 （1）如果购买甲、乙两种奖品共花费 800 元，那么这两种奖品分别购买了多少件？ （2）若购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的 3 倍如何购买甲、乙两种奖品，使 得总花费最少？ 【解答】解： （1）设甲种奖品购买了 x 件，乙种奖品购买了（30 x）件， 根据题意得 30 x+20（30 x）800， 解得 x20， 则 30 x10， 答：甲种奖品购买了 20 件，乙种奖品购买了 10 件； （2）设甲种奖品购买了 x 件，乙种奖品购买了（30 x）件，设购买两种奖品的总费用
17、 为 w 元， 根据题意得 30 x3x，解得 x7.5， w30 x+20（30 x）10 x+600， 100， w 随 x 的增大而减小， x8 时，w 有最小值为：w108+600680 答：当购买甲种奖品 8 件、乙种奖品 22 件时，总花费最小，最小费用为 680 元 11、 （2020 眉山 24 题 10 分） “绿水青山就是金山银山” ，某村为了绿化荒山，计划在植树节 当天种植柏树和杉树经调查，购买 2 棵柏树和 3 棵杉树共需 850 元；购买 3 棵柏树和 2 棵杉树共需 900 元 （1）求柏树和杉树的单价各是多少元； （2）本次绿化荒山，需购买柏树和杉树共 80 棵，
18、且柏树的棵数不少于杉树的 2 倍，要 使此次购树费用最少，柏树和杉树各需购买多少棵？最少费用为多少元？ 【解答】解： （1）设柏树的单价为 x 元/棵，杉树的单价是 y 元/棵， 11 根据题意得：， 解得， 答：柏树的单价为 200 元/棵，杉树的单价是 150 元/棵； （2）设购买柏树 a 棵，则杉树为（80a）棵，购树总费用为 w 元， 根据题意：a2（80a） ，解得， w200a+150（80a）50a+1200， 500， w 随 a 的增大而增大， 又a 为整数， 当 a54 时，w最小14700， 此时，80a26， 即购买柏树 54 棵，杉树 26 棵时，总费用最小为 14
19、700 元 12、 （2020 绵阳 20 题 12 分）4 月 23 日是“世界读书日” ，甲、乙两个书店在这一天举行了 购书优惠活动 甲书店：所有书籍按标价 8 折出售； 乙书店：一次购书中标价总额不超过 100 元的按原价计费，超过 100 元后的部分打 6 折 （1）以 x（单位：元）表示标价总额，y（单位：元）表示应支付金额，分别就两家书店 的优惠方式，求 y 关于 x 的函数解析式； （2） “世界读书日”这一天，如何选择这两家书店去购书更省钱？ 【解答】解： （1）甲书店：y0.8x， 乙书店：y （2）令 0.8x0.6x+40， 解得：x200， 当 x200 时，选择甲书店
20、更省钱， 当 x200，甲乙书店所需费用相同， 当 x200，选择乙书店更省钱 12 13、 （2020 南充 23 题 10 分）某工厂计划在每个生产周期内生产并销售完某型设备，设备的 生产成本为 10 万元/件 （1）如图，设第 x（0 x20）个生产周期设备售价 z 万元/件，z 与 x 之间的关系用图 中的函数图象表示求 z 关于 x 的函数解析式（写出 x 的范围） （2）设第 x 个生产周期生产并销售的设备为 y 件，y 与 x 满足关系式 y5x+40（0 x 20） 在（1）的条件下，工厂第几个生产周期创造的利润最大？最大为多少万元？（利 润收入成本） 【解答】解： （1）由图
21、可知，当 0 x12 时，z16， 当 12x20 时，z 是关于 x 的一次函数，设 zkx+b， 则 解得： zx+19， z 关于 x 的函数解析式为 z （2）设第 x 个生产周期工厂创造的利润为 w 万元， 当 0 x12 时，w（1610）（5x+40）30 x+240， 由一次函数的性质可知，当 x12 时，w最大值3012+240600（万元） ； 当 12x20 时， w（x+1910） （5x+40） x2+35x+360 （x14）2+605， 当 x14 时，w最大值605（万元） 综上所述，工厂第 14 个生产周期创造的利润最大，最大是 605 万元 14、 （202
22、0 遂宁 20 题 9 分）新学期开始时，某校九年级一班的同学为了增添教室绿色文化， 打造温馨舒适的学习环境，准备到一家植物种植基地购买 A、B 两种花苗据了解，购买 A 种花苗 3 盆，B 种花苗 5 盆，则需 210 元；购买 A 种花苗 4 盆，B 种花苗 10 盆，则需 380 元 （1）求 A、B 两种花苗的单价分别是多少元？ （2）经九年级一班班委会商定，决定购买 A、B 两种花苗共 12 盆进行搭配装扮教室种 植基地销售人员为了支持本次活动，为该班同学提供以下优惠：购买几盆 B 种花苗，B 种花苗每盆就降价几元， 请你为九年级一班的同学预算一下， 本次购买至少准备多少钱？ 最多准
23、备多少钱？ 13 【解答】 解：（1） 设A、 B两种花苗的单价分别是x元和y元， 则， 解得， 答：A、B 两种花苗的单价分别是 20 元和 30 元； （2）设购买 B 花苗 x 盆，则购买 A 花苗为（12x）盆，设总费用为 w 元， 由题意得：w20（12x）+（30 x）xx2+10 x+240（0 x12） ， 10故 w 有最大值，当 x5 时，w 的最小值为 290，当 x0 时，w 的最小值为 240， 故本次购买至少准备 240 元，最多准备 290 元 15、 （2020 自贡 23 题 10 分）甲、乙两家商场平时以同样价格出售相同的商品新冠疫情期 间，为了减少库存，甲
24、、乙两家商场打折促销甲商场所有商品按 9 折出售，乙商场对 一次购物中超过 100 元后的价格部分打 8 折 （1）以 x（单位：元）表示商品原价，y（单位：元）表示实际购物金额，分别就两家商 场的让利方式写出 y 关于 x 的函数解析式； （2）新冠疫情期间如何选择这两家商场去购物更省钱？ 【解答】解： （1）由题意可得， y甲0.9x， 当 0 x100 时，y乙x， 当 x100 时，y乙100+（x100）0.80.8x+20， 由上可得，y乙； （2）当 0.9x0.8x+20 时，得 x200，即此时选择甲商场购物更省钱； 当 0.9x0.8x+20 时，得 x200，即此时两家商
25、场购物一样； 当 0.9x0.8x+200 时，得 x200，即此时选择乙商场购物更省钱 16、 （2020湘西州）某口罩生产厂生产的口罩 1 月份平均日产量为 20000 个，1 月底因突然 爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求工厂决定从 2 月份起扩 大产能，3 月份平均日产量达到 24200 个 （1）求口罩日产量的月平均增长率； （2）按照这个增长率，预计 4 月份平均日产量为多少？ 答案解： （1）设口罩日产量的月平均增长率为 x，根据题意，得 20000（1+x） 224200， 解得 x12（舍去） ，x20.110%，答：口罩日产量的月平均增长率为 10% （
26、2）24200（1+0.1）26620（个） 答：预计 4 月份平均日产量为 26620 个 17、 （2020滨州）某水果商店销售一种进价为 40 元/千克的优质水果，若售价为 50 元/千克， 则一个月可售出 500 千克； 若售价在 50 元/千克的基础上每涨价 1 元， 则月销售量就减少 10 千克 （1）当售价为 55 元/千克时，每月销售水果多少千克？ （2）当月利润为 8750 元时，每下克水果售价为多少元? （3）当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？ 答案解：（1）当售价为55元/千克时，每月销售水果=500-10（55-50）=450千克； （2）设每千克水果售价为
27、x元， 由题意可得：8750=（x-40）500-10（x-50）， 解得：x1=65，x2=75， 14 答：每千克水果售价为65元或75元； （3）设每千克水果售价为m元，获得的月利润为y元， 由题意可得：y=（m-40）500-10（m-50）=-10（m-70）2+9000， 当m=70时，y有最大值为9000元， 答：当每千克水果售价为70元时，获得的月利润最大值为9000元 18、 （2020贵阳） （12 分）2020 年体育中考，增设了考生进入考点需进行体温检测的要求防 疫部门为了解学生错峰进入考点进行体温检测的情况，调查了一所学校某天上午考生进 入考点的累计人数 y（人）与时
28、间 x（分钟）的变化情况，数据如下表： （表中 915 表 示 9x15） 时间 x（分钟） 0123456789915 人数 y（人）0170320450560650720770800810810 （1）根据这 15 分钟内考生进入考点的累计人数与时间的变化规律，利用初中所学函数 知识求出 y 与 x 之间的函数关系式； （2）如果考生一进考点就开始测量体温，体温检测点有 2 个，每个检测点每分钟检测 20 人，考生排队测量体温，求排队人数最多时有多少人？全部考生都完成体温检测需要多 少时间？ （3）在（2）的条件下，如果要在 12 分钟内让全部考生完成体温检测，从一开始就应该 至少增加几个
29、检测点？ 答案解： （1）由表格中数据的变化趋势可知， 当 0 x9 时，y 是 x 的二次函数，当 x0 时，y0，二次函数的关系式可设为：y ax2+bx，由题意可得： 170 = a + b 450 = 9a + 3b，解得： a = 10 b = 180， 二次函数关系式为：y10 x2+180 x， 当 9x15 时，y180， y 与 x 之间的函数关系式为：y= 10 x 2 + 180 x(0 x 9) 180(9x 15) ； （2）设第 x 分钟时的排队人数为 w 人， 由题意可得：wy40 x= 10 x 2 + 140 x(0 x 9) 810 40 x(9x 15) ， 当 0 x9 时，w10 x2+140 x10（x7）2+490，当 x7 时，w 的最大值490， 当 9x15 时，w81040 x，w 随 x 的增大而减小，210w450，排队人数最多时 是 490 人，要全部考生都完成体温检测，根据题意得：81040 x0，解得：x20.25， 答：排队人数最多时有 490 人，全部考生都完成体温检测需要 20.25 分钟； （3）设从一开始就应该增加 m 个检测点，由题意得：1220（m+2）810， 解得 m 11 8 ，m 是整数，m 11 8 的最小整数是 2，一开始就应该至少增加 2 个检测点
