1、小题压轴题专练小题压轴题专练 11双曲线（双曲线（2） 一、单选题 1已知 1 F， 2 F分别为双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左，右焦点，过 1 F的直线交双曲线的 左支于A，B两点，若 11 3AFFB， 2 3 cos 5 AF B，则双曲线的离心率(e ) A 5 2 B 5 2 C 10 2 D 5 3 解：设 1 |BFm，则 1 | 3AFm， 由双曲线的定义知， 21 | 2BFBFa， 21 | 2AFAFa， 2 |2BFma， 2 | 32AFma， 在 2 ABF中，由余弦定理知， 222 22 2 22 | cos 2| | AFBFAB AF
2、 B AFBF ， 222 3(32 )(2 )(4 ) 52(32 )(2 ) mamam ma ma ，化简得， 22 230aamm， ma或 1 3 ma （舍负） ， 1 |BFa， 2 | 3BFa， 2 | 5AFa，| 4ABa， 222 22 |ABBFAF，即 2 90ABF， 222 1212 |BFBFFF，即 222 (3 )(2 )aac， 22 52ac，离心率 10 2 c e a 故选：C 2已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左焦点为 1 F，若直线: l yx k， 3 , 3 3 k与 双曲线C交于M、N两点，且 11 MFNF
3、，则双曲线C的离心率的取值范围是( ) A(1,2) B 2,2) C 2, 31 D(2, 31 解：如图， 由直线: l yx k， 3 , 3 3 k，可得直线l的倾斜角为 6 ， 3 ， 11 MFNF，由对称性可得四边形 12 MF NF为矩形，则 12 | | 2MNFFc， 则|ONc，得( cos , sin)N cc， 由N在双曲线上，可得 2222 222 1 c cosc sin aca ， 整理可得： 422 cos210ee 解得 2 1 1sin e 或 2 1 1sin e （舍) 6 ， 3 ， 22 2 242 3( 31) 23 e 剟， 即231e剟； 又
4、3 b a ， 22 2 3 ca a ，即 22 4ca，得2 c e a 双曲线C的离心率的取值范围是(2，31 故选：D 3设点A，B分别为双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左、右焦点，点M，N分别在双 曲线C的左、右支上，若5MNAM， 2 MBMN MB，且| |MBNB，则双曲线C的离 心率为( ) A 65 5 B 85 5 C13 5 D17 7 解：设|AMm，则| 5 (0)MNm m， 22 ()MBMN MBMBBNMBMBBN MB， 0BN MB，即BNMB， 则 222 |MBBNMN，即 222 (2)(62 )(5 )ammam， 解得
5、ma或 2 3 ma 若 2 3 ma时， 8 | 3 BMa，| 2NBa，不满足| |MBNB（舍去） ， 若ma时，| 3BMa，| 4NBa，满足| |MBNB，则ma |44 cos |55 BNa MNB MNa ， 在ANB中， 222 |2| cosABANBNANBNMNB 即 222 4 43616264 5 caaaa， 整理得 22 68 4 5 ca，即 2 17 5 e ，得 1785 55 e 故选：B 4已知双曲线 22 :1 916 xy C，其左、右焦点分别为 1 F， 2 F，点M的坐标为(3,2)，双曲线 C上的点 0 (P x， 00 )(0yx ，
6、0 0)y 满足 11121 112 | FP FMFFFM FPFF ，则 1 PMF与 2 PMF面积的 差 12 ( PMFPMF SS ) A2 B2 C4 D6 解：双曲线 22 :1 916 xy C的3a ，4b ，5c ， 11121 112 | FP FMFFFM FPFF ， 11112 | cos| cosMFMFPMFMFF， 112 MFPMFF ， 1( 5,0) F 、 2(5,0) F，点(3,2)M， 1 | 2 17MF， 2 | 2 2MF ， 12 | 210FFc， 故由余弦定理可得 222 1122 12 112 |6810084 cos 2| |2
7、 2 17 1017 MFFFMF MFF MFFF ， 2 1212 15 cos2cos1 17 PFFMFF ， 2 1212 8 sin1 17 PFFcosPFF， 12 12 12 sin8 tan cos15 PFF PFF PFF ， 直线 1 PF的方程为 8 (5) 15 yx 把它与双曲线联立可得 16 (5,) 3 P， 1 34 | 3 PF， 12 1 sin 17 MFF， 1 1 34134 2 17 23317 S MPF ， 2 11616 2 233 PMF S ， 12 3416 6 33 PMFPMF SS 故选：D 5已知双曲线 22 22 1(0,
8、0) xy ab ab 的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，P是双曲线上一点， 12 PFF是以 1 FP为底边的等腰三角形， 且 21 60120PF F ， 则该双曲线的离心率的取值范 围是( ) A(1,2) B 31 (,) 2 C 31 (1,) 2 D 31 (,2) 2 解： 12 PFF是以 1 FP为底边的等腰三角形， 212 | | 2PFFFc， 在 12 PFF中，由余弦定理知， 222 112212221 |2| |cosPFFFPFFFPFPF F 222 2121 442 22cos8(1cos)ccccPF FcPF F 121 | 2 21cosPFcPF
9、F， 由双曲线的定义知， 1221 2| |2 21cos2 |aPFPFcPF Fc， 21 60120PF F ， 21 11 cos 22 PF F， 21 26 1cos 22 PF F， 21 02 21cos2(2 32)cPF Fcc， 02(2 32)ac， 离心率 31 2 c e a ，即 31 (,) 2 e 故选：B 6已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左、右焦点分别为 1( ,0)Fc， 2( ,0) F c，点P在双 曲线C支上，满足 1212 | |PFPFPFPF， 12 | 3|PFPF，又直线:3430lxyc与双 曲线C的左、右
10、两支各交于一点，则双曲线C的离心率的取值范围是( ) A 10 5 (, ) 34 B 13 5 (, ) 34 C 513 ( ,) 42 D 510 ( ,) 42 解：以 1 PF， 2 PF为边，作平行四边形 12 PFEF， 如图所示： 则 12 PFPFPE， 1221 PFPFF F， 又 1212 | |PFPFPFPF，所以 21 | |PEF F， 因为对角线相等的平行线四边形是矩形，所以 12 PFPF， 根据双曲线的性质，可知 12 | 2PFPFa， 因为 12 | 3|PFPF，所以 122 | 22|PFPFaPF， 即 2 |PFa， 12 | 2| 3PFaP
11、Fa， 在Rt 12 PFF中，有 2222 1212 |4PFPFFFc， 又 12 | 2PFPFa，所以 2222 121212 (|)|2| 4PFPFPFPFPFPFa， 所以 22222 1212 2| | |444PFPFPFPFaca， 因为 2 |PFa， 1 | 3PFa，即 2 12 | | 3PFPFa， 所以 222 12 2| | 446PFPFcaa，解得 2 2 2 5 2 c e a ， 又因为双曲线的离心率(1,)e，所以 10 1 2 e， 由题意知，双曲线的渐近线方程为 b yx a ， 又直线:3430lxyc与双曲线C的左右两支各交于一点， 所以直线
12、l的斜率大于双曲线的渐近线 b yx a 的斜率， 所以 3 4 b a ，即 3 4 b a ， 所以 222 2 22 9 1 16 bca e aa ，解得 5 4 e （或 5 4 e 舍去） ， 综上所述， 510 ( ,) 42 e 故选：D 7已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左焦点为F，M是双曲线右支上的一点，点M关 于原点的对称点为N，若F在以MN为直径的圆上，且 5 , 3 12 FNM ，则该双曲线的离 心率的取值范围是( ) A(1, 2 B 2, 31 C(1, 31 D 2,) 解：由题意可知FMFN，设双曲线右焦点为F，则四边形MFNF为矩
13、形， OMOFc ，MFFN ， 设MFm，MFn ，则 222 4mnc， 由双曲线定义可知：2mna，故 222 24mnmna， 22 22mnca， 22 1 2 MFF Smnca ， 设FMN，则2MOF ，故 2 11 sin2sin2 22 MOF Sc cc ， 又2 MFFMOF SS ， 222 sin2cac， 5 , 3 12 FNM ， 所以, 12 6 故 22(1 sin2 )ac， 2 2 2 1 1sin2 c e a ， 2 6 ， 3 ， 1 sin22， 3) 2 ， 2 2e，故2e并且 2 42 3e，故31e 该双曲线的离心率的取值范围是 2，3
14、1 故选：B 8设 1 F、 2 F是椭圆 1 C和双曲线 2 C的公共焦点，P是它们的一个公共点，且 12 | |PFPF， 线段 1 |PF垂直平分线经过 2 F，若 1 C和 2 C的离心率分别为 1 e、 2 e，则 12 9ee的最小值( ) A2 B4 C6 D8 解：设椭圆 1 C的方程为 22 22 11 1 xy ab ，焦距为 1 2c， 双曲线 2 C的方程为 22 22 22 1 xy ab ，焦距为 2 2c， 1 F、 2 F是椭圆 1 C和双曲线 2 C的公共焦点， 12 22ccc 线段 1 |PF垂直平分线经过 2 F， 212 | | 2PFFFc， 12
15、|22PFac ， 由 1212 | 242PFPFaca，得 12 2aac， 则 12 12 11 2 aa eec ，则 12 1 11 ()1 2 ee ， 1 0e ， 2 0e ， 12 1212 1221 91111 9(9)()(10) 22 ee eeee eeee 12 21 911 (102)(1023)8 22 ee ee 当且仅当 12 3ee时，上式等号成立 12 9ee的最小值为 8 故选：D 9已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左、右焦点分别为 1 F、 2 F，以 1 OF为直径的圆与双 曲线的一条渐近线交于点M，若线段 1 MF交双曲
16、线于点P，且 21 | 5|PFPF，则双曲线的 离心率为( ) A 26 4 B 34 4 C2 D3 解：由双曲线的定义知， 21 | 2PFPFa， 21 | 5|PFPF， 1 | 2 a PF， 2 5 | 2 a PF ， 点M在以 1 OF为直径的圆上， 1 90FMO， 焦点 1( ,0)Fc到渐近线 b yx a 的距离 1 2 | | ( )1 b c a MFb b a ， 在Rt 1 FMO中， 1 12 1 | cos | MFb MFF OFc ， 在 12 PFF中，由余弦定理知， 22 2 22222 1122 12 112 25 4 |23 44 cos 2|
17、 | 22 2 aa c PFFFPFca MFF a PFFFac c ， 22 23bca cac ，化简得 22 23caab， 222 2()3abaab，解得ba或2ba （舍)， 22 2 2 1( )2 abb e aa 故选：C 10已知点 1 F、 2 F分别为双曲线 22 22 :1(0,0) xy Tab ab 的左、右焦点，过 2 F的直线与双 曲线T的左、右两支分别交于A、B两点，若 11 |:|:| 5:5:4AFBFAB ，则双曲线T的离心 率为( ) A 46 2 B46 C2 7 D7 解： 11 |:|:| 5:5:4AFBFAB ， 设 2 |BFm， 1
18、 | 5AFt，| 4ABt，则 1 | 5BFt， 1 | 5AFt， 根据双曲线的定义，得 2112 | | 2AFAFBFBFa， 即4552tmttma， 解得ta，3ma， 即 1 | 5AFa， 2 | 7AFa， 1 | 5BFa，| 21 F BF中， 222 12121221 |2| |cosFFBFBFBFBFF BF 222 21 49252 35coscaaaaF BF， 在三角形 12 ABF F中， 222 1111 |2| |cosAFBFABBFABABF 222 1 41625245coscaaaaABF， 211 coscos0F BFABF， 22 446
19、ca，可得 46 2 ca， 因此，该双曲线的离心率 46 2 e 故选：A 二、多选题 11已知 1 F， 2 F分别为双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左、右焦点， 1 A， 2 A分别为其实轴 的左、右端点，且 2 12 | b FF a ，点P为双曲线右支一点，I为 12 PFF的内心，则下列结论 正确的有( ) A离心率21e B点I的横坐标为定值a C若 121 2 () IPFIPFIF F SSSR成立，则21 D若PH垂直x轴于点H，则 2 12 | |PHHAHA 解： 2 12 |2 b FFc a ，且 222 bca， 22 20caca， 1 c
20、 e a ， 2 210ee ，21e ，即选项A正确； 设内切圆I与 12 PFF的三边分别相切于点M，N，T，如图所示， 由圆的切线长定理知，| |PMPN， 11 | |FMFT， 22 | |F NF T， 由双曲线的定义知， 121212 2| | (|) |aPFPFPMFMPNF NFTF T， 而 12 | 2FTF Tc， 1 |FTca， 2 |F Tca， ( ,0)T a，即点I的横坐标为定值a，故选项B正确； 设圆I的半径为r， 121 2( ) IPFIPFIF F SSSR， 1212 111 | 222 PFrPFrFFr ，即 1212 | |PFPFFF，
21、1212 |PFPFFF，即22ac， 11 21 21 a ce ，即选项C正确； 假设点P在第一象限，设其坐标为( , )m n，则 22 22 1 mn ab ， PH垂直x轴于点H， 2 222 2 |(1) m PHnb a ， 1 |HAma， 2 |HAma， 22 12 | | ()()HAHAma mama， 若 2 12 | |PHHAHA，则 2 222 2 (1) m bma a ，化简得 22 ma， 此时点P与H重合，不符合题意，即选项D错误 故选：ABC 12已知 1 F、 2 F分别为双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左、右焦点，且a，b，c
22、成等比数 列(c为双曲线的半焦距） ，点P为双曲线右支上的点，点I为 12 PFF的内心若 121 2 IPFIPFIF F SSS成立，则下列结论正确的是( ) A当 2 PFx轴时， 12 30PFF B离心率 15 2 e C 51 2 D点I的横坐标为定值a 解：a，b，c成等比数列， 2 bac， 对于A，当 2 PFx轴时，点P为 2 ( ,) b c a ， 2 2 12 12 |1 tan |222 b PFac a PFF FFcac ，显然 12 30PFF，即选项A错误； 对于B， 222 bacca，1 c e a ， 2 10ee ，解得 15 2 e （舍负） ，即
23、选项B正确； 对于C，设圆I的半径为r， 121 2 IPFIPFIF F SSS， 1212 111 | 222 rPFrPFrFF ，即 1212 | |PFPFFF， 由双曲线的定义知， 12 | 2PFPFa， 22ac，即 151 2 a ce ，故选项C正确； 对于D，设直线 1 PF， 2 PF和 12 F F分别与圆I相切于点M，N，T，如图所示， 由双曲线的定义和切线长的性质可知， 1212 | 2|PFPFaTFTF， 12 | 2TFTFc， 2 |TFca，即( ,0)T a， 点I的横坐标为定值a，即选项D正确 故选：BCD 13已知点P是双曲线 22 :1 169
24、xy E的右支上一点， 1 F， 2 F为双曲线E的左、右焦点， 12 PFF的面积为 20，则下列说法正确的是( ) A点P的横坐标为 20 3 B 12 PFF的周长为 80 3 C 12 3 FPF 小于 D 12 PFF的内切圆半径为 3 4 解：设 12 FPF的内心为I，连接IP， 1 IF， 2 IF， 双曲线 22 :1 169 xy E中的4a ，3b ，5c ， 不妨设( , )P m n，0m ，0n ， 由 12 PFF的面积为 20，可得 12 1 |520 2 FFncnn，即4n ， 由 2 16 1 169 m ，可得 20 3 m ，故A符合题意； 由 20
25、( 3 P，4)，且 1( 5,0) F ， 2(5,0) F， 可得 12 1 35 kPF ， 12 2 5 kPF， 则 12 1212 360 535 tan(0, 3) 12 12 319 1 5 35 FPF ， 则 12 3 FPF ，故C符合题意； 由 2 12 3525371350 |1616 99333 PFPF， 则 12 PFF的周长为 5080 10 33 ，故B符合题意； 设 12 PFF的内切圆半径为r，可得 121212 11 (|)| 4 22 rPFPFFFFF， 可得 80 40 3 r ，解得 3 2 r ，故D不符合题意 故选：ABC 14已知 1 F
26、， 2 F分别为双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左右焦点，且 2 12 2 | b FF a ，点P为 双曲线右支上一点，I为 12 PFF的内心，过原点O作PI的平行线交 1 PF于K，若 1212 IPFIPFIF F SSS成立，则下列结论正确的有( ) A 51 2 B 51 2 C点I的横坐标为a DPKa 解： 2 12 2 | b FF a ， 222 222 2 bca c aa ，整理得 2 10(eee 为双曲线的离心率） ， 1e ， 15 2 e 设 12 PFF的内切圆半径为r， 由双曲线的定义得 12 | 2PFPFa， 12 | 2FFc，
27、1 1 1 | 2 IPF SPFr， 2 2 1 | 2 IPF SPFr， 1 2 1 2 2 IF F Sc rcr， 121 2 IPFIPFIF F SSS， 12 11 | 22 PFrPFrcr， 故 12 |151 2215 2 PFPFa cc ，所以A正确，B错误 设内切圆与 1 PF、 2 PF、 12 F F的切点分别为M，N，T， 可得| |PMPN 11 | |FMFT， 22 | |F NF T 由 121212 | | | 2PFPFFMF NFTF Ta， 1212 | | 2FFFTF Tc， 可得|2 |F Tca，可得T的坐标为( ,0)a，即I的横坐标
28、为a，故C正确； 设PI延长线与 12 F F交于H，可得 22 11 | | PFF H PFFH ，由 12 | 2PFPFa， 可得 11 22| | aOH PFFH ，由三角形的相似的性质可得 1 1 | | PFPK OHHF ， 由可得|PKa故D正确 故选：ACD 三、填空题 15 已知双曲线 22 1 94 xy 的左顶点为A，B，C分别为双曲线左、 右两支上的点， 且/ /BCx 轴，过B，C分别作直线AB，AC的垂线，两垂线相交于点D，若 27 3 4 B C D S，则|BC 3 6 解：由双曲线方程 22 1 94 xy ，得( 3,0)A ，由题意设 0 (B x，
29、 00 )(0)yx ， 则点 0 (Cx， 0) y，得 22 00 1 94 xy ，且 0 0y 直线AB的斜率 0 0 3 AB y x k，则直线BD的方程为 0 00 0 3 () x yyxx y 同理可得直线CD的方程为 0 00 0 3 () x yyxx y ， 联立 0 00 0 0 00 0 3 () 3 () x yyxx y x yyxx y ，解得 0 3 13 4 x y y ， 则 0 13 (3,) 4 y D，结合 0 | 2|BCx， 得 0 0000 1319 2| 244 BCD y Sxyx y ， 27 3 4 BCD S， 22 00 927
30、3 (|)() 44 x y，又 22 00 1 94 xy ， 42 00 4120yy，解得 2 0 2y，则 0 3 6 | 2 x ， 0 | 2| 3 6BCx 故答案为：3 6 16 如图， 已知F为双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的右焦点， 过点F的直线交两渐近线于A， B两点 若120OAB，OAB内切圆的半径 3 5 ab r ， 则双曲线的离心率为 19 4 解：过( ,0)F c作FH垂直渐近线 b yx a 于H，则 2 | | 1( ) b c a FHb b a ， 120OAB，60FAH， 2 3 | 3 AFb， 在OAF中，由余弦定理知，
31、 222 |2| | cos120OFOAAFOAAF， 即 222 2 32 3 |()2 |cos120 33 cOAbOAb ， 解得 3 | 3 OAab， 设OAB的内心为M，作MNOA于N，则60MAO， 3 | 5 ab MNr ， 333 | 315 ab ANMN ， 333124 3 | | 31515 abab ONOAANab ， 3 |3 5 tan |4124 3 15 ab MN MON ONab ，即 3 4 b a ， 22 319 1( )1() 44 b e a 故答案为： 19 4 17已知 1 F， 2 F分别为双曲线 22 22 1(0,0) xy
32、ab ab 的左焦点和右焦点，过点 2 F且斜率为 (0)k k 的直线l与双曲线的右支交于A，B两点， 12 AFF的内切圆圆心为 1 O，半径为 1 r， 12 BFF的内切圆圆心为 2 O，半径为 2 r，则直线 12 OO的方程为： xa ；若 12 3rr，则 k 解： 12 AFF的内切圆圆心为 1 O， 边 1 AF、 2 AF、 12 F F上的切点分别为M、N、E， 则| |AMAN， 11 | |FMFE， 22 | |F NF E， 由 12 | 2AFAFa，得 12 | (|)2AMMFANNFa，则 12 | 2MFNFa， 即 12 | 2FEF Ea，记 1 O
33、的横坐标为 0 x，则 0 (E x，0)， 于是 00 ()2xccxa，得 0 xa， 同理可得内心 2 O的横坐标也为a，则有直线 12 OO的方程为xa； 设直线l的倾斜角为，则 22 2 OF O ， 12 90 2 O F O ， 在 12 O EF中， 1 12 2 tantan(90) 2| r O F O EF ， 在 22 O EF中， 2 22 2 tantan 2| r O F O EF ， 由 12 3rr，可得3tantan(90)cot 222 ， 解得 3 tan 23 ， 则直线的斜率为 2 2 3 2tan 32 tan3 1 11 23 tan 3k 故答
34、案为：a；3 18已知双曲线 2 2 1 2 :1(0) y Cxb b 的一条渐近线方程为3yx，则双曲线 1 C的离心率为 2 ； 若抛物线 2 2: 2(0)Cypx p的焦点F与双曲线 1 C的一个焦点相同，M是抛物线 2 C上 一点，FM的延长线交y轴的正半轴于点N，交抛物线 2 C的准线l于点P，且3FMMN， 则|NP 解：由双曲线 2 2 1 2 :1(0) y Cxb b 的一条渐近线方程为3yx，得3b ， 22 2cab，则双曲线 1 C的离心率为2 c e a ； 且双曲线 1 C的右焦点为(2,0)， 而抛物线 2 2: 2(0)Cypx p的焦点F与双曲线 1 C的
35、一个焦点相同， 抛物线 2 2: 2(0)Cypx p的焦点F为(2,0)，则2 2 p ，4p 抛物线 2 2: 8Cyx 抛物线 2 :8C yx的焦点为(2,0)F，准线方程为:2l x ， 根据题意画出图形，根据3FMMN，设|FMa，则 1 | 3 MNa， 过M作MA垂直于准线，垂足为A，交y轴于点B， 由抛物线的定义知| |FMMAa， 由BMNOFN，得 |1 |4 BMMN OFNF ， 即 11 | 42 BMOF， 15 | |2 22 MAMF， 155 | 326 MN又BMNAPM， |1 |4 MNBM NPAB ，则 510 | 4| 4 63 NPMN 故答案为：2；10 3
