1、1 山东省青岛市 2021 届高三第一次模拟考试 数学试卷 一、单项选择题（本大题共 8 小题， 每小题 5 分，共计 40 分在每小题给出的四个选项中， 只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1已知集合 A 2 log, 4y yx x，B 1 2 Rxyx ，则( R A)B A(，2 B2，) C0，2 D(0，2) 2若，表示两个不同的平面，m 为平面内的一条直线，则 A“m”是“”的充分不必要条件 B“m”是“”的必要不充分条件 C“m”是“”的必要不充分条件 D“m”是“”的充要条件 3已知双曲线 22 22 1 yx ab 的一条渐近线的倾斜角为 3 ，则该
2、双曲线的离心率为 A 1 2 B 3 2 C 2 3 3 D2 418 世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运 算具有了几何意义，例如，ZOZ，也即复数 z 的模的几何意义为 z 对应的点 Z 到原 点的距离，在复数平面内，复数 0 2i 1i a Z （i 是虚数单位，aR）是纯虚数，其对应 的点为 0 Z，Z 为曲线1Z 上的动点，则 0 Z与 Z 之间的最小距离为 A 1 2 B1 C 3 2 D2 5若 3 log (1), 0 ( ) 2 , 0 x xx f x x ，则不等式 1 ( ) 2 f x 的解集为 A(1，0)(31，) B(，13
3、)(1，) C(1，0)(0，31) D(，1)(31，) 6已知角终边上有一点 P( 4 tan 3 ， 17 2sin() 6 )，则cos的值为 A 1 2 B 1 2 C 3 2 D 3 2 7已知( )yf x为奇函数，(1)yf x为偶函数，若当x0，1， 2 ( )log ()f xxa，则 (2021)f A1 B0 C1 D2 2 8在抛物线 2 1 2 xy第一象限内一点( n a， n y)处的切线与 x 轴交点的横坐标记为 1n a ，其中 Nn ，已知 2 32a ， n S为 n a的前 n 项和，若 n mS恒成立，则 m 的最小值为 A16 B32 C64 D1
4、28 二、 多项选择题 （本大题共 4 小题， 每小题 5 分， 共计 20 分 在每小题给出的四个选项中， 至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9关于圆 C： 222 1 210 4 xykxykk ，下列说法正确的是 Ak的取值范围是0k B若4k ，过 M(3，4)的直线与圆 C 相交所得弦长为2 3，其方程为125160 xy C若4k ，圆 C 圆 22 1xy相交 D若4k ，0m ，0n ，直线10mxny 恒过圆 C 的圆心，则 12 8 mn 恒成立 10已知向量a( 4 2sin 4 x ， 4 cos( ) 4 x f x)，b(1， 1 2 )
5、，若a与b共线，则下列说法正 确的是 A将( )f x的图像向左平移 3 个单位得到函数 13 cos(2) 434 yx 的图像 B函数( )f x的最小正周期为 C直线 3 2 x 是( )f x图像的一条对称轴 D函数( )f x在( 2 ， 4 )上单调递减 11若实数ab，则下列不等式关系正确的是 A 223 ( )( )( ) 555 baa B若 a1，则log2 aab C若 a0，则 22 11 ba ab D若 m 5 3 ，a，b(1，3)，则 3322 1 )()0 3 abm abab（ 12在南方不少地区，经常看到人们头收一种用木片、竹篾或苇蒿等材料制作的斗笠，用来
6、 遮阳城避雨，随着旅游和文化交流活动的开展，斗笠也逐渐成为一种时尚旅游产品，有 一种外形为圆锥形的斗笠，称为“灯罩斗笠”，根据人的体型、高矮等制作成大小不一 的现号供人选择使用，不同型号的斗笠大小经常用帽坡长（母线长）和帽底宽（底面圆 直径长）两个指标进行衡现有一个“灯罩斗笠”，帽坡长 20 厘米，帽底宽 203厘 米，关于此斗笠，下面说法正确的是 A斗笠轴截而(过顶点和底而中心的截面图形)的顶角为 120 3 B过斗笠顶点和斗笠侧面上任意两母线的截面三角形的最大面积为 1003平方厘米 C若此斗笠顶点和底面圆上所有点都在同一球上，则该球的表面积为 1600平方厘米 D此斗笠放在平面上，可以益
7、住的球(保持斗笠不变形)的最大半径为 20330 厘米 三、填空题（本大题共 4 小题， 每小题 5 分，共计 20 分请把答案填写在答题卡相应位置 上） 13 26 2) x x (的展开式中的常数项是 14已知非零向量a，b满足2ba，且(ab)a，则a与b的夹角为 15 某驾驶贝培训学校为对比了解“科目二”的培训过程采用大密度集中培训与周末分散培 训两种方式的效果，调查了 105 名学员，统计结界为：接受大密度集中培训的 55 个学 员中有 45 名学员一次考试通过， 接受周末分散培训的学员一次考试通过的有 30 个 根 据统计结果，认为“能否一次考试通过与足否集中培训有关”犯错误的概率
8、不超 过 附： 2 2 () ()()()() n adbc k ab cd ac bd P( 2 Kk) 0.05 0.025 0.010 0.001 k 3.841 5.024 6.635 10.828 16 2021 年是中国传统的“牛”年， 可以在平面坐标系中用抛物线与圆勾勒出牛的形象 已 知抛物线 Z： 2 4xy的焦点为 F，圆 F： 22 (1)4xy与抛物线 Z 在第一象限的交点 为 P(m， 2 4 m )，直线 l：(0)xttm 与抛物线 Z 的交点为 A，直线 l 与圆 F 在第一象 限的交点为 B， 则 m ； 三角形 FAB 周长的取值范围为 （第一空 2 分， 第
9、二空 3 分） 四、解答题（本大题共 6 小题，共计 70 分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤） 17 （本小题满分 10 分） 从“ 1 () 2 n a Sn n； 23 Sa， 412 aa a； 1 2a ， 4 a是 2 a， 8 a的等比数列”，三 个条件任选一个，补充到下面的横线处，并解答 已知等差数列 n a的前 n 项和为 n S，公差 d 不等于 0， ，Nn （1）求数列 n a的通项公式； （2）若 1 22 nn n bSS ，数列 n b的前 n 项和为 n W，求 n W 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个条件计分 4 18
10、（本小题满分 12 分） 如图，在ABC 中，ABAC，ABAC2，点 E，F 是线段 BC（含端点）上的动点， 且点 E 在点 F 的右下方，在运动的过程中，始终保持EAF 4 不变，设EAB弧度 （1）写出的取值范围，并分别求出线段 AE，AF 关于的函数关系式； （2）求EAF 面积 S 的最小值 19 （本小题满分 12 分） 在四棱锥 PABCD 中， PA平面 ABCD， ADBC， BCCD， PAAD2， CD1， BC3，点 M，N 在线段 BC 上，BM2MN1，ANMDE，Q 为线段 PB 上的一点 （1）求证：MD平面 PAN； （2）若平面 MQA 与平面 PAN 所
11、成锐角的余弦值为 4 5 ，求直线 MQ 与平面 ABCD 所 成角的正弦值 5 20 （本小题满分 12 分） 某商场每年都会定期答谢会员， 允许年度积分超过指定积分的会员参加特价购物赠券活 动，今年活动的主题为“购物三选一，正清暖心里”，符合条件的会员可以特价购买礼包 A （十斤肉类） ，礼包 B（十斤蔬菜）和礼包 C（十斤鸡蛋）三类特价商品中的任意一类，并 且根据购买的礼包不同可以获取价值不等的代金券，根据以往经验得知，会员购买礼包 A 和礼包 B 的概率均为 2 5 （1）预计今年有 400 名符合条件的会员参加活动，求商场为此活动需要准备多少斤鸡 蛋合理； （2）在促销活动中，若有甲
12、、乙、丙三位会员同时参加答谢活动，各人购买礼包互相 独立，已知购买礼包 A 或购买礼包 B 均可以获得 50 元商场代金券，购买礼包 C 可以获得 25 元商场代金券，设 Y 是三人获得代金券金额之和，求 Y 的分布列和数学期望 21 （本小题满分 12 分） 在平面直角坐标系中，已知椭圆 C： 22 22 1 xy ab (0ab)的离心率为 3 2 ，右焦点为 F2，上顶点为 A2，点 P(a，b)到直线 F2A2的距离等于 1 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2） 直线 l：(0)ykxm m与椭圆 C 相交于 A， B 两点， D 为 AB 的中点， 直线 DE， DF 分别与圆 W
13、： 222 (3 )xymm相切于点 E，F求EWF 的最小值 22 （本小题满分 12 分） 青岛胶东国际机场的显著特点之一是弯曲曲线的运用， 衡量曲线弯曲程度的重要指标是 曲率，曲线的曲率定义如下：若( )fx是( )f x的导函数，( )fx是( )fx的导函数，则曲线 ( )yf x在点(x，( )f x)处的曲率 3 2 2 ( ) (1( ) ) fx K fx 已知函数( )elncos(1) x f xaxbx(a0，b0)，若 a0 则曲线( )yf x在点(1， (1)f)处的曲率为 2 2 （1）求b； （2）若函数( )yf x存在零点，求a的取值范围； （3）已知1.
14、098ln31.099， 0.048 e1.050， 0.045 e0.956 ，证明：1.14ln1.15 6 参考答案 1C 2B 3C 4B 5A 6D 7C 8D 9ACD 10BC 11BCD 12ACD 13240 14120 150.025 162；(4，6) 17解：选， （1），令 ，当时， 当时，而； （2） 18解： （1），由题意知， ； （2） 当且仅当 8 时，取“” 19解： （1）证明：BC3，BM1，CM2，ADCM， 又ADCM，四边形 AMCD 为平行四边形， 又BCCD，四边形 AMCD 为矩形， 7 ， AEDMANAMEADMAME90， MDAN，
15、又PA平面 ABCD，PAMD，ANPAA， MD平面 PAN； （2）如图建立空间坐标系，则 M(1，0，0)，A(0，0，0)，P(0，0，2)， N(1， 1 2 ，0)，B(1，1，0)，Q(x，y，z)， 设 设平面 MQA 与平面 PAN 的一个法向量分别为 设平面 MQA 与平面 PAN 所成锐二面角为， 此时，平面 ABCD 的一个法向量， 8 20解： （1）会员购买礼包 C 的概率为， 准备鸡蛋：（斤） ， （2）Y 的所有可能取值为：150，125，100，75， Y 的分布列如下： 21解： （1）直线 F2A2的方程为 P(a，b)到直线 F2A2的距离为， 而椭圆 C 的标准方程为； （2）设 9 ， ， 令， EDW30，EWF120 22 （1）时， ， 在处的曲率为， （2） 令， 当且仅当 x1 时取“” ，显然，当时，无零点， 当时， 存在使，符合题意， 综上：实数 a 的取值范围为， 10 （3）由（2）知（当且仅当 x1 时取“” ） 又 综上：
