1、第第 8 讲讲 立体几何立体几何 第第 2 课时课时 线面关系及空间角线面关系及空间角 专题训练专题训练 作业作业(十八十八) 一、选择题 1(2020 陕西省宝鸡市模拟)已知 ，是两个不同的平面，l，又 m，n 是三条 不同的直线，则不正确的命题是( ) A若 m，n，则 mn B若 m，n，则 mn C若 l，l，则 D若 ，l，且 l，则 l 2(2020 厦门市高中毕业班质检)若平面 平面 ，m 是 内的任意一条直线， 则下列结论正确的是( ) A任意直线 l，都有 l B存在直线 l，使得 l C任意直线 l，都有 lm D存在直线 l，使得 lm 3.如图，正方体 ABCDA1B1
2、C1D1的棱长为 1，E 为棱 DD1上的点，F 为 AB 的 中点，则三棱锥 B1BFE 的体积为( ) A.1 3 B.1 4 C. 1 12 D.1 6 4在长方体 ABCDA1B1C1D1中，ABBC1，异面直线 AC1与 BB1所成的 角为 30 ，则 AA1( ) A. 3 B3 C. 5 D. 6 5已知正方体 ABCDA1B1C1D1，给出下列四个结论： 点 P 在直线 BC1上运动时，三棱锥 AD1PC 的体积不变； 点 P 在直线 BC1上运动时，直线 AP 与平面 AD1C 所成角的大小不变； 点 P 在直线 BC1上运动时，二面角 PAD1C 的大小不变； M 是平面
3、A1B1C1D1上到点 D 和 C1距离相等的点，则点 M 的轨迹是过点 D1 的直线 其中正确结论的序号是( ) A B C D 6.(2020 合肥肥东县高级中学调研)如图，已知 P 是矩形 ABCD 所在平面外一点， PA平面 ABCD，E，F 分别是 AB，PC 的中点若PDA45 ，则 EF 与平面 ABCD 所成角的大小是( ) A90 B60 C45 D30 7(2020 皖南八校联考)已知圆锥顶点为 P，母线 PA，PB 所成角的余弦值为3 4， PA 与圆锥底面所成角为 60 ，若PAB 的面积为 7，则该圆锥体积为( ) A2 2 B. 2 C.2 6 3 D. 6 3 8
4、如图，在边长为 2 的正方形 ABCD 中，E，F 分别为 BC，CD 的中点，H 为 EF 的中点，沿 AE，EF，FA 将正方形折起，使 B，C，D 重合于点 O，在构成 的三棱锥 OAEF 中，下列结论错误的是( ) AAO平面 EOF B三棱锥 OAEF 的体积为1 3 C直线 AH 与平面 EOF 所成角的正切值为 2 2 DAE平面 OAH 9(2020 厦门市毕业班质量检查)一副三角板由一块有一个内角为 60 的直角三 角形和一块等腰直角三角形组成，如图所示，BF90 ，A60 ，D 45 ，BCDE.现将两块三角板拼接在一起，取 BC 中点 O 与 AC 中点 M，则 下列直线
5、与平面 OFM 所成的角不为定值的是( ) AAC BAF CBF DCF 10 (2020 北流市实验中学模拟)如图， 将边长为 2的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起，使得 AC1，则三棱锥 ABCD 的体积为( ) A. 3 6 B. 3 3 C. 3 2 D.1 3 11(2020 长郡中学高三适应性考试)已知三棱柱 ABCA1B1C1内接于一个半径 为 3的球，四边形 A1ACC1与 B1BCC1均为正方形，M，N 分别是 A1B1，A1C1 的中点，C1M1 2A1B1，则异面直线 BM 与 AN 所成角的余弦值为( ) A. 3 10 B. 30 10 C. 7 10 D.
6、70 10 12.如图，直线 PA 垂直于圆 O 所在的平面，ABC 内接于圆 O，且 AB 为圆 O 的直径，点 M 为线段 PB 的中点以下各命题中，假命题是( ) ABCPC BOM 与平面 APC 相交 C点 B 到平面 PAC 的距离等于线段 BC 的长 D三棱锥 MPAC 的体积等于三棱锥 PABC 的体积的一半 13.如图， 正方体 ABCDA1B1C1D1中，O 为底面 ABCD 的中心， M 为棱 BB1的中点，则下列结论不正确的是( ) AD1O平面 A1BC1 BD1O平面 MAC C异面直线 BC1与 AC 所成的角为 60 DMO平面 ABCD 14.(2020 潍坊
7、高密市高三模拟)如图，已知正方体 ABCD A1B1C1D1，过对角线 BD1作平面 交棱 AA1于点 F，交棱 CC1于 点 E，下列说法不正确的是( ) A平面 分正方体所得两部分的体积相等 B四边形 BFD1E 一定是平行四边形 C平面 与平面 DBB1不可能垂直 D四边形 BFD1E 的面积有最大值 二、填空题 15(2020 浙江)已知圆锥的侧面积(单位：cm2)为 2，且它的侧面展开图是一个 半圆，则这个圆锥的底面半径(单位：cm)是_ 16 (2020 江苏)如图， 六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的 已 知螺帽的底面正六边形边长为 2 cm，高为 2 cm，内孔半
8、轻为 0.5 cm，则此六角 螺帽毛坯的体积是_ cm3. 17(2020 运城市联合体模拟)棱长为 3 的正方体 ABCDA1B1C1D1封闭薄壁容 器内有一个高为 2，底面半径为 1 的圆柱水平移动，在移动过程中，该圆柱的一 个底面恒在平面 ABCD 内，则该圆柱不能到达的区域的体积为_ 18在 120 的二面角内有一点 P，P 到二面角的两个半平面的距离分别为 1 和 3， 则 P 到该二面角棱的距离为_ 19(2020 深圳市第二次调研)已知正方形 ABCD 边长为 3，点 E，F 分别在边 AB，AD 上运动(E 不与 A，B 重合，F 不与 A，D 重合)，将AEF 以 EF 为折
9、痕 折起， 当 A， E， F 位置变化时， 所得五棱锥 AEBCDF 体积的最大值为_ 20.(2020 山东日照市第一中学模拟)古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现：平面上到 两定点 A，B 距离之比为常数 (0 且 1)的点的轨迹是一个圆心在直线 AB 上的圆，该圆简称为阿氏圆根据以上信息，解决下面的问题：如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB2AD2AA16，点 E 在棱 AB 上，BE2AE，动 点 P 满足 BP 3PE.若点 P 在平面 ABCD 内运动，则点 P 所形成的阿氏圆的半 径为_；若点 P 在长方体 ABCDA1B1C1D1内部运动，F 为棱 C1D1的中 点，M
10、为 CP 的中点，则三棱锥 MB1CF 的体积的最小值为_ 1.如图，一个二面角的棱上有两个点 A，B，线段 AC，BD 分别在这个二面角的 两个面内，并且都垂直于棱 AB，AB4 cm，AC6 cm，BD8 cm，CD2 17 cm，则这个二面角的度数为( ) A30 B60 C90 D120 2(2020 深圳市第二次调研考试)设 为平面，m，n 为两条直线，若 m，则 “mn”是“n”的( ) A充分必要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件 参考解析答案参考解析答案 1 答案 B 解析 A 中，若 n，则在 中存在一条直线 l，使得 ln，又 m，l， 则 m
11、l，又 ln，那么 mn，故正确；B 中，若 m，n，则 mn 或相 交或异面，故不正确；C 中，若 l，则存在 a，使 la，又 l，a ，则 ，故正确；D 中，若 ，且 l，则 l或 l，又 l，l ，故正确故选 B. 2 答案 B 解析 如图所示，因为平面 A1B1C1D1平面 DD1C1C， 所以设平面 A1B1C1D1，平面 DD1C1C， 连接 B1D1，则 B1D1平面 A1B1C1D1，但 B1D1不垂直于平面 DD1C1C，故 A 错 误； 如 A1B1平面 A1B1C1D1，A1B1平面 DD1C1C，故 B 正确； 连接 DC1，A1B1平面 A1B1C1D1，DC1平面
12、 DD1C1C，但 A1B1不平行于 DC1， 故 C 错误； 如 mCC1平面 DD1C1C，m平面 A1B1C1D1，所以 m 垂直于平面 A1B1C1D1 内所有的直线，故不存在直线与之平行，故 D 错误故选 B. 3 答案 C 解析 由等体积法可知 VB1BFEVEBFB11 3SBB1F AD 1 3 1 21 1 2 1 1 12.故选 C. 4 答案 D 解析 如图， 连接 A1C1，由长方体的性质知 BB1AA1，则A1AC1 即为异面直线 AC1与 BB1所成的角，所以A1AC130.在 Rt A1B1C1中， A1C1 A1B12B1C12 2.在RtA1AC1中， tan
13、A1AC1 A1C1 AA1，即 AA1 A1C1 tanA1AC1 2 3 3 6.故选 D. 5 答案 C 解析 如图，VAD1PCVPAD1C，BC1平面 AD1C， BC1上任意一点到平面 AD1C 的距离相等，三棱锥 AD1PC 的 体积不变，正确；直线 AB 与平面 AD1C 所成的角和直线 AC1与平面 AD1C 所成的角不相等，不正确；AP平面 BC1D1A，二 面角 PAD1C 的大小即平面 BC1D1A 与平面 CAD1所成角的大小，正确； M 是平面 A1B1C1D1上到点 D 和 C1距离相等的点，点 M 的轨迹是平面 A1B1C1D1与线段DC1的垂直平分线所在平面的
14、交线， 而DD1D1C1， 正确 故 正确结论的序号是. 6 答案 C 解析 如图，取 PD 中点 G，连接 AG，FG， E，F 分别为 AB，PC 的中点， AE1 2AB，GFDC 且 GF 1 2DC， 又在矩形 ABCD 中 ABCD 且 ABCD， AEGF 且 AEGF， 四边形 AEFG 是平行四边形， AGEF， AG 与平面 ABCD 所成的角等于 EF 与平面 ABCD 所成的角， PA平面 ABCD，AD平面 ABCD，PAAD， 过 G 作 GHAD，垂足为 H，GH平面 PAD，则 GHPA， GH平面 ABCD， GAH 为 AG 与平面 ABCD 所成的角，即为
15、所求角， PDA45 ，G 为 PD 的中点， GAH45 ， 即 EF 与平面 ABCD 所成的角为 45 .故选 C. 7 答案 C 解析 如图所示，设底面半径为 OAr， PA 与圆锥底面所成角为 60 ， PAO60 ， PAPB2r，母线 PA，PB 所成角的余弦值为3 4， sinAPB 7 4 ，1 2(2r) 2 7 4 7r 2， V1 3S 底面PO1 3(r 2) 3r2 6 3 .故选 C. 8 答案 D 解析 对于 A，翻折前，ABBE，ADDF，故翻折后，OAOE，OAOF. 又 OEOFO，OE，OF平面 EOF，OA平面 EOF，故正确 对于 B，OA平面 EO
16、F，VOAEFVAOEF1 3SOEFAO 1 3 1 211 21 3，故正确 对于 C，连接 OH，AH，则OHA 为 AH 与平面 EOF 所成的角 OEOF1，H 是 EF 的中点，OEOF，OH1 2EF 2 2 . 又 OA2，tanOHAOA OH2 2，故正确 对于 D，OA平面 EOF，EF平面 EOF，OAEF.又 OHEF，OAOH O，OA，OH平面 OAH，EF平面 OAH. EA 不可能与平面 OAH 垂直，故错误故选 D. 9 答案 B 解析 因为 O，M 为中点，所以 OMAB，所以 OMBC， 又 OFBC，且 OMOFO，OM，OF平面 OMF， 所以 BC
17、平面 OMF， 所以 BF， CF 与平面 OFM 所成的角分别为BFO 和CFO， 它们相等， 等于 45 ， 根据直线与平面所成角的定义， 知 AC 与平面 OFM 所成的角为CMOCAB 60 . 故只有 AF 与平面 OFM 所成的角不为定值故选 B. 10 答案 A 解析 如图所示，图 1 中，连接 AC 与 BD 相交于点 O，ACBD， 则 OAOC1 2AC1， 图 2 中，OAC 是等边三角形，OABD，OCBD，OAOCO，OA平面 OAC，OC平面 OAC，BD平面 OAC， 三棱锥 ABCD 的体积1 3SOACBD 1 3 3 4 122 3 6 .故选 A. 11
18、答案 B 分析 画出图形，找出 BM 与 AN 所成角的平面角，利用解三角形求出 BM 与 AN 所成角的余弦值 解析 如图，取 BC 的中点为 O，连接 ON，OA，MN， 则 MN1 2B1C1 綊 OB，则四边形 MNOB 是平行四边形，BM 与 AN 所成角就是ANO 或其补角， M，N 分别是 A1B1，A1C1的中点，C1M1 2A1B1， A1C1B1C1， 由四边形 A1ACC1与 B1BCC1均为正方形，可得 BCCACC1， 设 BCCACC1a， 三棱柱 ABCA1B1C1外接球可看作棱长为 a 的正方体外接球， 三棱柱 ABCA1B1C1内接于一个半径为 3的球， a2
19、a2a22 3，解得 a2， BCCACC12，CO1，AO 5，AN 5，NOMBB1M2BB12 （ 2）222 6， 在ANO 中，由余弦定理可得：cosANOAN 2NO2AO2 2ANNO 6 2 5 6 30 10 .故选 B. 12 答案 B 13 答案 D 14 答案 C 解析 对于 A： 由正方体的对称性可知， 平面 分正方体所得两部分的体积相等， 故 A 正确； 对于 B：因为平面 ABB1A1平面 CC1D1D，平面 BFD1E平面 ABB1A1BF， 平面 BFD1E平面 CC1D1DD1E，所以 BFD1E. 同理可证：D1FBE，故四边形 BFD1E 一定是平行四边
20、形，故 B 正确； 对于 C：当 E，F 为棱中点时，EF平面 BB1D，又因为 EF平面 BFD1E， 所以平面 BFD1E平面 DBB1，故 C 不正确； 对于 D：当 F 与 A 重合，当 E 与 C1重合时，四边形 BFD1E 的面积有最大值， 故 D 正确故选 C. 15 答案 1 解析 设圆锥底面半径为 r，母线长为 l，则 rl2， 2r1 22l， 解得 r1， l2. 16 答案 12 3 2 解析 正六棱柱体积为 6 3 4 22212 3 (cm3)， 圆柱体积为 1 2 2 2 2 (cm 3)，所求几何体体积为 12 3 2 cm3. 17 答案 172 解析 该圆柱
21、到达的区域为一个柱体，该柱体的底面积 S324 1 4 5， 高为 2，体积为 102，所以该圆柱不能到达的区域的体积为 33(102)17 2. 18 答案 2 21 3 解析 如图，设点 P 在两个半平面内的射影分别为 C，B，则 在PCB 中，PC1，PB3，CPB60 ，CB219213cosCPB 7，CB 7. 设 P 到棱的距离为 l，则 l CB sin120 2 21 3 . 19 答案 2 3 解析 不妨设|AE|3a，|AF|3b，a，b(0，1) 在直角三角形 AEF 中，易知 EF 边上的高为 h 3ab a2b2. 又五棱锥 AEBCDF 的底面面积为 S9 1ab
22、 2 ， 欲使五棱锥 AEBCDF 的体积最大，需平面 AEF平面 EBCDF. Vmax1 3Sh9 1ab 2 ab a2b2. a2b22ab，Vmax9 1ab 2 ab 2ab 9 2 4 (2 abab ab) 令 t ab，则 t(0，1)，Vmax9 2 4 (2tt3)，t(0，1)， 令 f(t)2tt3，t(0，1)，则 f(t)23t2， 易知当 t 6 3 时，f(t)取得最大值4 6 9 . Vmax9 2 4 4 6 9 2 3. 综上所述，当 ab 6 3 时，五棱锥 AEBCDF 的体积取得最大值 2 3. 20 答案 2 3 9 4 解析 (1)以 AB 为
23、 x 轴，AD 为 y 轴，AA1为 z 轴，建立如图所 示的坐标系，在 xAy 坐标平面中，B(6，0)，E(2，0)，设 P(x， y)， 由 BP 3PE 得(x6)2y23(x2)2y2， 所以 x2y212， 所以若点 P 在平面 ABCD 内运动，则点 P 所形成的阿氏圆的半径为 2 3. (2)在 Axyz 空间直角坐标系中，B(6，0，0)，E(2，0，0)，设点 P(x，y，z)， 由 BP 3PE 得(x6)2y2z23(x2)2y2z2， 所以 x2y2z212， 由题得 F(3，3，3)，B1(6，0，3)，C(6，3，0)， 所以FB1 (3，3，0)，B1C (0，
24、3，3)，设平面 B1CF 的法向量为 n(x0， y0，z0)， 所以 n FB1 3x03y00， nB1C 3y03z00， 故 n(1，1，1)为其一个法向量， 由题得CP (x6，y3，z)， 所以点 P 到平面 B1CF 的距离为 h|CP n| |n| |xyz9| 3 ， 因为(x2y2z2)(121212)(xyz)2，当且仅当 xyz 时取等号，所以 6xyz6， 所以 hmin|69| 3 3，所以点 M 到平面 B1CF 的最小距离为 3 2 ， 由题得B1CF 为等边三角形，且边长为 32323 2， 所以三棱锥 MB1CF 的体积的最小值为1 3 3 4 (3 2)
25、2 3 2 9 4. 备选题备选题 1 答案 B 解析 设所求二面角的大小为 ，则BD ，AC ，因为DC DB BA AC ， 所以DC 2(DB BA AC )2DB 2BA2AC22DB BA 2DB AC 2BA AC . 而依题意可知 BDAB，ACAB，所以 2DB BA 0，2BA AC 0，所以|DC |2|DB |2|BA |2|AC |22BD AC ，即 417 824262286cos，所以 cos1 2，而 0，所以 60 ，故选 B. 2 答案 C 解析 当 m 时，如果 mn，不一定能推出 n，因为直线 n 可以在平面 外 当m时， 如果n， 根据线面垂直的性质一定能推出mn， 所以若m， 则“mn”是“n”的必要不充分条件故选 C.
