1、第第 8 讲讲 立体几何立体几何 第第 1 课时课时 几何体与球的切接问题、三视图几何体与球的切接问题、三视图 专题训练专题训练 作业作业(十七十七) 一、选择题 1.如图，在正四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，底面的边长为 3，BD1与底面所成角的大小为 ， 且 tan2 3，则该正四棱柱的外接球表面积为( ) A26 B28 C30 D32 2(2018 课标全国)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹 进部分叫卯眼， 图中木构件右边的小长方体是榫头 若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木 构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( ) 3.(2020 太
2、原五中模拟)某同学在参加通用技术实践课时，制作了一个工艺品，如图所示， 该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为 4 3的正方体的六个面所截后剩余的部分(球心与 正方体的中心重合)，若其中一个截面圆的周长为 4，则该球的半径是( ) A2 B4 C2 6 D4 6 4(2020 安徽示范性高中联考)已知在三棱锥 PABC 中，AB平面 APC，AB4 2，PA PC 2，AC2，则三棱锥 PABC 外接球的表面积为( ) A28 B36 C48 D72 5 (2020 安徽皖中名校二联)将半径为 3， 圆心角为2 3 的扇形围成一个圆锥(接缝处忽略不计)， 则该圆锥的内切球的体积为( ) A. 2
3、 3 B. 3 3 C.4 3 D2 6. 古希腊数学家阿基米德是世界上公认的三位最伟大的数学家之一，据传其 墓碑上刻着他认为最满意的一个数学发现，一个“圆柱容球”的几何图形， 即圆柱容器里放了一个球，该球顶天立地，四周碰边，如右图所示在该 图中，球的体积是圆柱体积的2 3，并且球的表面积也是圆柱表面积的 2 3.若圆 柱的表面积是 6，现在向圆柱和球的缝隙里注水，则最多可以注入的水的体积为( ) A. 3 B.2 3 C D.4 3 7(2020 山西第一次联考)在三棱柱 ABCA1B1C1中，AA1平面 ABC，BC1与底面所成角 的正切值为2 6 3 ，三棱柱的各顶点均在半径为 2 的球
4、 O 的球面上，且 AC2，ABC60 ， 则三棱柱 ABCA1B1C1的体积为( ) A4 3 B.4 3 3 C4 2 D.4 2 3 8(2020 福州市质量检测)如图，网格纸上的小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何 体的三视图，则该几何体的体积为( ) A32 B16 C.32 3 D.80 3 9(2020 石家庄二中期末考试)如图是某实心机械零件的三视图，则该机械零件的表面积为 ( ) A662 B664 C662 D664 10(2020 湛江市第二十一中学热身考试)已知四棱锥 PABCD 的顶点都在球 O 的球面上， PA底面 ABCD，ABAD1，BCCD2，若球 O
5、的表面积为 36，则 PA( ) A2 B. 6 C. 31 D. 33 11.(2020 福州市质检)如图， 以棱长为 1 的正方体的顶点 A 为球心， 以 2为半径作一个球面， 则该正方体的表面被球面所截得的所有弧长之和为( ) A.3 4 B. 2 C.3 2 D.9 4 12(2020 江西省八校联考)已知 ABCD 是球 O 的内接三棱锥，球 O 的半径为 2，且 AC 4，BD2，ACDACB 3，则点 A 到平面 BCD 的距离为( ) A.2 6 3 B.4 6 3 C.2 3 3 D.4 3 3 13 把一个球形的铁质原材料切割成正三棱柱形的工业用的零配件， 若该正三棱柱形的
6、零配 件的最大体积为 8 cm3，则球形铁质原材料的体积为( ) A.4 3 cm3 B.8 3 cm3 C.16 3 cm3 D.32 3 cm3 二、填空题 14如图，圆锥状容器内盛有水，水深 3 dm，水面直径 2 3 dm，放入一个铁球后，水恰好 把铁球淹没，则该铁球的体积为_ dm3. 15.从一个底面半径和高都是 R 的圆柱中挖去一个以圆柱上底面为底，下底面中心为顶点的 圆锥，得到如图所示的几何体如果用一个与圆柱下底面距离为 l，并且平行于底面的平面 去截这个几何体，则截面面积为_ 16(2020 运城市高三考前适应性测试)农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子 又称粽粒，
7、古称角黍，是端午节大家都会品尝的食品如图，平行四边形形状的纸片是由六 个边长为 2 的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体， 则该六面体的体积为_；若该六面体内有一球，当该球体积最大时，球的表面积是 _ 17(2020 大教育全国名校联考)已知四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是边长为 2 的正方形， 且PAB90 .若四棱锥 PABCD 的五个顶点在以 4 为半径的同一球面上，当 PA 最长时， PDA_，四棱锥 PABCD 的体积为_ 18(2020 唐山市高三模拟)已知四棱锥 PABCD 的顶点都在球 O 的球面上，PA底面 ABCD，ABAD1，BCC
8、D2，若球 O 的表面积为 36，则直线 PC 与底面 ABCD 所 成角的余弦值为_ 19(2019 天津)已知四棱锥的底面是边长为 2的正方形，侧棱长均为 5.若圆柱的一个底面 的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点， 另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心， 则该圆柱的体 积为_ 20(2020广东七校第二次联考)在四棱锥 PABCD 中，四边形 ABCD 是边长为 2a 的正 方形，PD底面 ABCD，且 PD2a，若在这个四棱锥内放一个球，则该球半径的最大值为 _ 1在棱长为 2 的正方体中，恰好有一个半径为 r 的球内切于该正方体，球的表面积记为 S1， 连接球与正方体的切点形成的多面体的表面
9、积记为 S2，则S1 S2的值是( ) A. 3 3 B. 3 8 C. 3 6 D. 3 4 2(2020 山东泰安市高三第五次模拟)在四面体 ABCD 中，BCCDBDAB2，平面角 ABC90 ， 二面角ABCD的平面角为150 ， 则四面体ABCD外接球的表面积为( ) A.31 3 B.124 3 C31 D124 3.(2020 湖北省七市联考)如图， ABC是边长为2的等边三角形， M为AC的中点 将ABM 沿 BM 折起到PBM 的位置， 当三棱锥 PBCM 体积最大时， 三棱锥 PBCM 外接球的表 面积为( ) A B3 C5 D7 4(2020 合肥肥东县调研)在三棱锥
10、PABC 中，平面 PAC平面 ABC，ABAC，PAPC AC2，AB4，则三棱锥 PABC 的外接球的表面积为( ) A23 B.23 4 C64 D.64 3 5(2020 揭阳市高三摸底)已知在ABC 中，B90 ，DC平面 ABC，AB4，BC5， CD3，则三棱锥 DABC 的外接球表面积为( ) A.50 3 B25 C50 D.125 2 3 6 (2020 兰州一中模拟)已知点 A 是以 BC 为直径的圆 O 上异于 B， C 的动点， P 为平面 ABC 外一点，且平面 PBC平面 ABC，BC3，PB2 2，PC 5，则三棱锥 PABC 外接球 的表面积为_ 7 (202
11、0 河南省鹤壁市二次模拟)在三棱锥 ABCD 中， 已知 BCCDBD 2AB 2AD 6，且平面 ABD平面 BCD，则三棱锥 ABCD 外接球的表面积为_ 8(2020 衡水市高三下学期联考，文)已知长方体 ABCDA1B1C1D1的共顶点的三条棱长度 之比为 112，且其外接球的表面积为 16，则该长方体的表面积为_ 9 (2020 福建省高三质量检测)已知长方体 ABCDA1B1C1D1中， AB5， AD3， AA14， 过点 A 且与直线 CD 平行的平面 将长方体分成两部分，现同时将两个球分别放入这两部 分几何体内，则在平面 变化的过程中，这两个球的半径之和的最大值是_ 参考解析
12、答案参考解析答案 1 答案 A 解析 如图，连接 BD，在正四棱柱 ABCDA1B1C1D1中， D1D平面 ABCD，DBD1为 BD1与底面所成角， tanDBD1tan2 3，BD3 2， 在 RtBDD1中，DD12 3BD2 2， BD1 BD2DD12 26， 正四棱柱的外接球半径为 26 2 ， 其表面积为 426 4 26.故选 A. 2 答案 A 解析 由题意知，俯视图中应有一个不可见的长方形，且俯视图应为轴对称图形故 A 正 确 3 答案 B 解析 设截面圆半径为 r，球的半径为 R，则球心到某一截面的距离为正方体棱长的一半即 2 3， 根据截面圆的周长可得 42r，得 r
13、2， 故由题意知 R2r2(2 3)2，即 R222(2 3)216，所以 R4.故选 B. 4 答案 B 解析 方法一：因为 PAPC 2，AC2，所以 PAPC.因为 AB平面 APC， AC，PC平面 APC，所以 ABAC，ABPC.又 PAABA，PA，AB平面 PAB，所以 PC平面 PAB，又 PB平面 PAB，所以 PCPB，则BCP，ABC 均为直角三角形如图，取 BC 的中点为 O，连接 OA，OP，则 OBOCOA OP，即点 O 为三棱锥 PABC 外接球的球心，在 RtABC 中，AC2，AB 4 2，则 BC6， 所以外接球的半径 R3， 所以三棱锥 PABC 外接
14、球的表面积 S4R2 36.故选 B. 方法二：因为 PAPC 2，AC2，所以 PAPC，ACP 为直角三角形如 图，取 AC 的中点为 M，则 M 为PAC 外接圆的圆心过 M 作直线 n 垂直于平 面 PAC， 则直线 n 上任意一点到点 P， A， C 的距离都相等 因为 AB平面 PAC， 所以 AB 平行于直线 n.设直线 n 与 BC 的交点为 O，则 O 为线段 BC 的中点，所 以点 O 到点 B，C 的距离相等，则点 O 即三棱锥 PABC 外接球的球心因为 AB平面 PAC，AC平面 PAC，所以 ABAC.又 AC2，AB4 2，所以 BC6，则外 接球的半径 R3，所
15、以三棱锥 PABC 外接球的表面积 S4R236.故选 B. 方法三：因为 PAPC 2，AC2，所以 PAPC，又 AB平面 PAC，所以可 把三棱锥 PABC 放在如图所示的长方体中，此长方体的长、宽、高分别为 2， 2，4 2，则三棱锥 PABC 的外接球即长方体的外接球，长方体的体对角线即 长方体外接球的直径，易得长方体的体对角线的长为 6，则外接球的半径 R3， 所以三棱锥 PABC 外接球的表面积 S4R236.故选 B. 5 答案 A 解析 设该圆锥的底面半径为 r， 高为 h， 则 2r2 3 3， 解得 r1， 所以 h 32122 2. 设该圆锥的内切球的半径为 R，则 R
16、 2 2R 1 3，解得 R 2 2 . 所以该圆锥的内切球的体积 V4 3R 34 3 2 2 3 2 3 .故选 A. 6 答案 B 解析 设球的半径为 r，则由题意可得球的表面积为 4r22 36，所以 r1，所以圆柱的 底面半径为 1、高为 2，所以最多可以注入的水的体积为 1224 31 32 3 . 7 答案 C 解析 在ABC 中，AC2，ABC60 ，所以三角形 ABC 的外接圆半径 r1 2 2 sin60 2 3 3 .设ABC 外接圆的圆心为 O1， 连接 OO1， OA， O1A， 则 OO1平面 ABC， OO11 2AA1， O1Ar，OA2，所以 22r2 1 2
17、AA1 2 ，得 AA14 6 3 .因为 AA1平面 ABC，AA1CC1， 所以 CC1平面 ABC，所以 BC1与底面 ABC 所成的角是C1BC，所以 tanC1BCCC1 BC AA1 BC 4 6 3 BC 2 6 3 ， 得 BC2， 因此ABC 是边长为 2 的正三角形， 所以三棱柱 ABCA1B1C1 的体积 VSABCAA1 3 4 44 6 3 4 2.故选 C. 8 答案 D 解析 由三视图可得该几何体是一个直三棱柱截去一个三棱锥后余下的部 分，如图三棱柱的底面是以 4 为直角边长的等腰直角三角形，高为 4，三 棱锥的底面是三棱柱的上底面，顶点是三棱柱侧棱的中点，则该几
18、何体的 体积为1 24 241 3 1 24 2280 3 . 9 答案 B 解析 将三视图还原为直观图，可得该机械零件是由一个长方体及两个圆 柱组合而成，其中圆柱的底面圆心与长方体侧面的中心重合，圆柱的母线 与长方体左右侧面垂直，如图 由三视图可得，长方体的长、宽、高分别为 3，3，4， 两个圆柱的底面半径都为 1，高都为 1. 所以该机械零件的表面积为长方体的表面积与两个圆柱侧面积之和 因为长方体的表面积为 2(333434)66，两个圆柱的侧面积为 22114， 所以该机械零件的表面积为 664. 10 答案 C 解析 连接 AC.设球 O 的半径为 R，则 4R236，解得 R3.设底
19、面 ABCD 外接圆的半径 r，则由圆的内接四边形的性质可知BD180 ，又 ABAD1，BCCD2，AC AC.故ABCADC.故BD90 .故 AC 1222 52r. 故 PA （2R）2（2r）2 365 31.故选 C. 11 答案 C 解析 正方体的表面被该球面所截得的弧长是相等的三部分， 如图， 上底面被球面截得的弧 长是以 A1为圆心，1 为半径的圆周长的1 4，所以所有弧长之和为 3 2 4 3 2 .故选 C. 12 答案 B 解析 由题意知 A，B，C，D 四点都在球面上，且 AC 为直径，AC 中 点即为球心 O，如图所示， ADCABC 2， AC4，ACDACB 3
20、，BCCD2， 又BD2，BCD 为正三角形 取BCD 中心 H，连接 OH，HC. 则 OH面 BCD，又 HC平面 BCD，OHHC. 可求得 CH2 3 3 ，OC2，OH2 6 3 . 又AC 中点为 O，点 A 到面 BCD 的距离为点 O 到面 BCD 的距离的 2 倍， 即所求距离为4 6 3 .故选 B. 13 答案 D 解析 设球的内接正三棱柱的底面边长为 a cm， 高为 h cm， 球形铁质原材料的半径为 R cm， 则 1 2h 2 R2 3 3 a 2 ， 得h4R24 3a 2， 所以V 正三棱柱 3 4 a24R24 3a 21 2a 2 3R2a2 1 2 3R
21、2a4a6 (cm3) 令 ta2，则 t0，令 y3R2a4a6，可化为 yt33R2t2，则 y3t(t2R2)，所以函数 yt33R2t2在(0，2R2)上单调递增，在(2R2，)上单调递减，所以当 t2R2，即 a 2 R 时，正三棱柱的体积最大，为 R38，所以球形铁质原材料的体积为4 3 832 3 (cm3) 14 答案 12 5 15 答案 (R2l2) 解析 如图是题图所示几何体的轴截面图，OAABR，所以AOB 是等腰直角三角形又 CDOA，则 CDBC.设 O1Dx，则 CDR x.又 BCRl，故 xl，所以所求截面面积 SR2l2(R2l2) 16 答案 4 2 3
22、32 27 解析 该六面体是由两个全等的正四面体组合而成， 正四面体的棱长为 2， 如图，在棱长为 2 的正四面体 SABC 中， 取 BC 的中点 D，连接 SD，AD， 作 SO平面 ABC，则垂足 O 在 AD 上， 则 ADSD 3，OD1 3AD 3 3 ，SO SD2DO22 6 3 ， 则该六面体的体积为 V2VSABC21 3 1 22 3 2 6 3 4 2 3 . 当该六面体内有一球，且该球的体积取最大值时， 球心为 O，且该球与 SD 相切， 过球心 O 作 OESD，则 OE 就是球的半径， 因为 SOODSDOE， 所以球的半径 OESOOD SD 2 6 3 3 3
23、 3 2 6 9 ， 所以该球的表面积为 4 2 6 9 2 32 27. 17 答案 90 8 14 3 解析 如图，由PAB90 及 ABAD，得 AB平面 PAD， 即 P 点在与 BA 垂直的圆面 O1内运动， 易知，当 P，O1，A 三点共线时，PA 达到最长， 此时，PA 是圆 O1的直径，则PDA90 ， 即 PDAD， 又 ABPD， 所以 DCPD， 又 ADDCD， AD， DC平面 ABCD， 所以 PD平面 ABCD， 此时可将四棱锥 PABCD 补形为长方体 A1B1C1PABCD， 其体对角线为 PB2R8，又底面是边长为 2 的正方形，故 PD2 14， 故四棱锥
24、体积 V1 342 14 8 14 3 . 18 答案 5 6 解析 如图所示： ABAD，BCCD，ACAC，ABCADC，ABCADC， 易知 A，B，C，D 四点共圆，则ABCADC180 ，ABCADC90 ， 四边形 ABCD 的外接圆直径为 AC AB2BC2 5， 设四棱锥 PABCD 的外接球半径为 R，则 4R236，解得 R3，则 PC2R6， PA平面 ABCD， 直线 PC 与底面 ABCD 所成的角为ACP， 在 RtPAC 中，cosACPAC PC 5 6 . 19 答案 4 解析 由题可得，四棱锥底面对角线的长为 2，则圆柱底面的半径为1 2，易知四棱锥的高为
25、512，故圆柱的高为 1，所以圆柱的体积为 1 2 2 1 4. 20 答案 (2 2)a 解析 方法一：由题意知，当球内切于四棱锥 PABCD 时半径最大设该四棱锥的内切球 的球心为 O，半径为 r，连接 OA，OB，OC，OD，OP，则 VPABCDVOABCDVOPAD VOPABVOPBCVOPCD， 即1 32a2a2a 1 3 4a221 22a2a2 1 22a2 2a r，解得 r(2 2)a. 方法二：易知当球内切于四棱锥 PABCD，即与四棱锥 PABCD 各个面均 相切时，球的半径最大作出相切时的侧视图如图所示，设四棱锥 PABCD 内切球的半径为 r，则1 22a2a
26、1 2(2a2a2 2a)r，解得 r(2 2)a. 备选题备选题 1 答案 A 解析 根据题意，可知该正方体的内切球的半径是正方体棱长的一半，即 r 1，则内切球的表面积 S14.设球与正方体的 6 个切点分别为 A，B，C， D，E，F，则易知这 6 个点分别是其所在的正方体的 6 个面的中心，连接这 6 个切点，得到如图所示的正八面体 ABCEDF，易知正八面体 ABCEDF 是 由 8 个全等的等边三角形围成的 正八面体 ABCEDF 的棱长 AB1 22 2 2，所以 S28SEAB8 1 2 2 2sin 3 4 3，所以S1 S2 4 4 3 3 3 .故选 A. 2 答案 B
27、解析 取 BC 中点 E 为坐标系原点， 以过点 E 且垂直于平面 BCD 的直线 为 z 轴，EB 所在直线为 x 轴，ED 所在直线为 y 轴，建立如图所示的空 间直角坐标系 由已知条件可得：B(1，0，0)，C(1，0，0)，D(0， 3，0)，A(1， 3， 1) 设四面体 ABCD 外接球的球心为 O(x，y，z)，由|OA|OB|OC|OD|，得： （x1）2（y 3）2（z1）2 （x1）2y2z2 （x1）2y2z2x2（y 3）2z2， 解得 x0， y 3 3 ， z3， 则球心 O 0， 3 3 ，3 ， 四面体 ABCD 外接球的半径 R|OA|12 3 3 3 2 （
28、31）2 31 3 ，四面体 ABCD 外接球的表面积 S4R2431 3 124 3 .故选 B. 答案 C 解析 当三棱锥 PBCM 体积最大时，P 点最高，此时 PMMC，PMBM，BMMC， 故三棱锥 PBCM 的外接球与以 MP，MB，MC 为邻边的长方体的外接球是同一个球， 设其半径为 R，因为 MPMC1，MB 3， 所以(2R)2MP2MC2MB21135， 所以三棱锥 PBCM 外接球的表面积为 4R25.故选 C. 答案 D 解析 如图所示，取 AC 中点 F，BC 中点 D，连接 OC，DF，PF，设 E 为APC 外接圆的圆心，作 EOFD，DOPF，则交点 O 即为三
29、棱锥 PABC 的外接球的球心，由题设可知，PF 2212 3，EF 3 3 ， 在直角三角形 ABC 中，BC2AB2AC2， 解得 BC2 5，所以 CD 5， 三棱锥的外接球半径 rOC（ 5）2 3 3 2 16 3 ， 则 S4r264 3 ，故选 D. 答案 C 解析 根据题意，在长方体中截取满足题意的几何体，如图所示，该长 方体长、宽、高分别为 5，4，3，且棱锥的几何特点均满足题意要求， 故三棱锥 DABC 与长方体有相同外接球 故可得外接球半径 r 324252 2 5 2 2 . 则其表面积 S4r250.故选 C. 答案 10 解析 O 为ABC 外接圆的圆心，且平面 P
30、BC平面 ABC，过 O 作面 ABC 的垂线 l，垂线 l 一定在面 PBC 内， 根据球的性质，球心一定在垂线 l 上， 球心 O1一定在面 PBC 内，球心 O1也是PBC 外接圆的圆心，如图，在PBC 中，由 余弦定理得 cosPBCPB 2BC2PC2 2BPBC 2 2 sinPBC 2 2 ， 由正弦定理得： PC sinB2R，解得 R 10 2 ， 三棱锥 PABC 外接球的表面积为 S4R210. 答案 48 解析 如图， 在等边三角形 BCD 中， 取 BD 的中点 F， 设等边三角形 BCD 的中心为 O，连接 AF，CF，OA，OB，OD.由 BC6，得 BOCODO
31、 2 3CF2 3，OF 3， 由已知可得ABD 是以 BD 为斜边的等腰直角三角形，AFBD， 又由已知可得平面 ABD平面 BCD，平面 ABD平面 BCDBD，AF平面 ABD，AF 平面 BCD，又 OF平面 BCD，AFOF， AO OF2AF22 3，OAOBOCOD2 3， O 为三棱锥 ABCD 外接球的球心，外接球半径 ROC2 3， 三棱锥 ABCD 外接球的表面积为 4(2 3)248. 答案 80 3 解析 设长方体 ABCDA1B1C1D1的三条棱长分别为 k，k，2k(k0)，长方体外接球的半径 为 R，则 4R216，R2， 于是得 2R4 k2k24k2 6k，
32、k 4 6， 因此，该长方体的表面积为 2(k22k22k2)25k280 3 . 9 答案 21 10 解析 如图， 设平面与平面 ABCD 的夹角为 ， 令 tan 2t， 则 t(0， 1) 记 与平面 ABCD 相切的球的半径为 r1，另一个球的半径为 r2，则 r1 3r1t，解得 r1 3t 1t，由 r2 4r2tan 2 2 tan 4 2 ，得 r222t.注意到两个球的直径 都不超过 3，得 0r1 3 2， 0r23 2， 解得 t 1 4，1 ，设 yr1r2，可得 y 3t 1t2t2，t 1 4，1 . 设 g(t) 3t 1t2t2，则其导函数 g(t) 3 （1t）22，当 1 4t1 时，g(t)0，所以 g(t)在 1 4，1 上单调递减，当 t 1 4时，g(t)取到最大值 21 10.
