1、立体几何之空间角 黄金解题技巧 立体几何之空间角 异面直线所成的角 一 线面角 二 二面角 三 角度中的探索性问题 四 一、异面直线所成的角 异面直线所 成的角 01 02 03 平移法 利用模型求异面直 线所成的角 向量法 异面直线所成的角平秱法 例1：S是正三角形ABC所在平面外的一点，如图SASBSC， 且 ，M、N分别是AB和SC的中 点求异面直线SM与BN所成的角的余弦值 2 CSSCS 答案： 5 10 异面直线所成的角平秱法 例2：长方体 中，若 ， ， 求 异面直线 与 所成角的余弦值 1111 DCBAABCD 3BC4AA1 DB1 1 BC 5AB 答案： 50 27 异
2、面直线所成的角平秱法 方法一：中位线平移法 异面直线所成的角平秱法 方法二：直接平移法 异面直线所成的角平秱法 方法三：补形平移法 异面直线所成的角平秱法 平移法方法总结：1. 中位线平移法 2. 直接平移法 3. 补形平移法 利用模型求异面直线所成的角 模型1(三余弦定理）： 已知平面的一条斜线AP与平面所 成的角为 ，平面内的一条直线b与斜线a 所成的角为，与它的射影a所成的角为 。 则 。 2 1 c b a P O A B 21 coscoscos 1 2 利用模型求异面直线所成的角 例3：如图，MA平面ABCD，四边形ABCD是正方形，且 MA=AB=a，试求异面直线MB与AC所成的
3、角。 A B C D M 解：由图可知，直线MB在平面ABCD内的射影为AB， 直线MB与平面ABCD所成的角为45， 直线AC与直线MB的射影AB所成的角为45， 所以直线AC与直MB所成的角为，满足 cos=cos45 cos45= ， 所以直线AC与MB所成的角为60 2 1 利用模型求异面直线所成的角 变式： 1. 如图，在立体图形P-ABCD中，底面ABCD是一个直角梯形，BAD=90，AD/BC， AB=BC=a，AD=2a，且PA底面ABCD，PD与底面成30角，AEPD于D。求异面 直线AE与CD所成的角的余弦值。 P E D F A B C 答案： 4 2 利用模型求异面直线
4、所成的角 模型2： 四面体ABCD两相对棱AC、BD间的夹角为 ，则有 BDAC2 DCABBCAD cos 2222 利用模型求异面直线所成的角 例4：长方体 中， ， ， 求异面直线 与 所成角的余弦值. 答案： 5 5 1111 DCBAABCD 2cmAAAB 1 11C A 1 BD 1cmAD 利用模型求异面直线所成的角 变式：如图，四面体ABCD中，ABBC，ABBD，BCCD ，且ABBC6，BD8，E是AD中点，求BE与CD所成角的 余弦值. 答案： 5 7 A B C D E 6 6 8 异面直线所成的角向量法 向量法： 设直线l，m的方向向量分别为 ， ，若两直线l，m所
5、成 的角为 ( ) ，则 ab 0 2 cos a b a b 二、线面角 线面角 1 2 3 射影法 等积求高法 空间向量法 线面角射影法 射影法：在线上取一点作面的垂线，斜足与垂足的连线与斜线所成的角即线 面角. 例5：正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BB1 的中点. 求D1E与 平面ADE所成的角正弦值. 答案： 15 54 求斜线与平面所成的角可以分三步求斜线与平面所成的角可以分三步 1.作出斜线在平面内的射影作出斜线在平面内的射影 2.证明角是直线与平面所成的角证明角是直线与平面所成的角 3.解直角三角形或解三角形，求出结果解直角三角形或解三角形，求出结果 线面角射影法 线面
6、角等积求高法 例例5： 线面角空间向量法 空间向量法：设直线l的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，且 直线与平面所成的角为 ( )，则 a n 0 2 sin a n a n 例5： 线面角空间向量法 x y z 三、二面角 二面角 二面角方法总结：1、几何法几何法 2、三垂线法、三垂线法 3、射影面积法、射影面积法 4、法向量夹角法、法向量夹角法 二面角 例6：如图：在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是正 方形，F是AA1的中点，AB=BC=1，AA1= ，求平面D1FB与 底面ABCD所成的角. D1 C1 B1 F C A A1 B D 2 二面角几何法 方法一：延长D
7、1F交DA的延长线于点P，连接PB，则直线PB 就是平面BFD1与平面ABCD的交线，连接BD. A1 B1 B D A F C1 D1 C P 二面角三垂线法 三垂线定理： 平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射 影垂直，那么它就和这条斜线垂直. 二面角三垂线法 方法二：延长D1F交DA的延长线于点P，连接PB，过A点作AE 垂直于PB，交PB于E，连接EF. A1 D1 C1 B1 F A D B E C P 二面角射影面积法 射影面积法： 通常使用于无棱的二面角的大小的计算。 即二面角的余弦值 原 影 S S cos 这种“射影面积法” 更适用于在选择和填空题！ 二面角射影面积法
8、 方法三：由题意可知，这是一个直四棱柱，D1FB 在底面上 的射影三角形就是ABD，故由射影面积关系可得 D1 C1 B1 F C B D A FBD ABD 1 S S cos 二面角空间向量法 方法四：设二面角的两个半平面的法向量分别为 与 ， 即二面角和 与 的夹角相等或互补. A1 D1 C1 B1 A B C D x z F y m mn n 注意： 1、合理建系. 本着“左右对称 就地取材”的建系原则. 2、视图取角. 二面角 变式1：如图，在三棱台DEFABC中，AB2DE，G，H分别为AC，BC的 中点，若CF平面ABC，ABBC，CFDE, BAC45，求平面FGH与 平面A
9、CFD所成的角(锐角)的大小 答案： 3 四、角度中的探索性问题四、角度中的探索性问题 角度中的探索性问题 用空间向量法解决角度中的探索问题 首先根据已知条件建立适当的空间直角坐标系并假设求解的结果存 在，寻找使这个结论成立的充分条件； 然后运用空间向量将立体几何问题转化为空间向量问题并进行计算 、求解； 得出结论，如果找到了符合题目结果要求的条件，则存在；如果找 不到符合题目结果要求的条件，或出现了矛盾，则不存在. 角度中的探索性问题 例7：如图，已知矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所在平面于直线 AB，且AB=BP=2，AD=AE=1， 且AEBP线段PD上是否存在一点N ，使得
10、直线BN与平面PCD所成角的正弦值等于 ？若存在，试确定点的位置； 若不存在，请说明理由 ,AEAB 2 5 答案：存在，当N点与D点重合时，直线BN与平面 PCD所成角的正弦值等于 . 2 5 角度中的探索性问题 变式1：如图，PC平面ABC，DAPC，ACB90，E为PB的中点， ACADBC1，PC2. 设Q为PB上一点， 试确定 的值， 使得二面角QCDB的大小为 . 答案： 45 22 总结 异面直线所成的角： 中位线平移法 直接平移法 补形平移法 线面角: 射影法 等积求高法 空间向量法 总结 二面角: 几何法 三垂线法 射影面积法 法向量夹角法 角度中的探索性问题: 用空间向量法解决角度中的探索问题 谢谢大家谢谢大家
