- 安徽省合肥市2021届高三下学期第二次教学质量检测数学(理)试题含答案
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高三数学试题(理科)答案 第 1 页(共 4 页) 合肥市2021 年高三第二次教学质量检测 数学试题(理科)参考答案及评分标准 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分. 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分. 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分. 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分. 13. 3 5 2 14.25和15 15. 31 sin 234 n 或 31 sin 234 n (二者填其一) 16. 三、解答题:本大题共6小题,满分70分. 17.(本小题满分12分) 三、解答题:本大题共6小题,满分70分. 17.(本小题满分12分) 解:(1)当2n 时, 1 123 23122 n n aaanan , 123-1 231222 n n aaanan, 1 12222 nnn n nannn ,2n n a (2n ). 1 12na,当1n 时,2n n a 也成立, 2n n a ( * nN). 6分 (2) 1 1 1 211 1121212121 n n n nn nn nn a b aa , 123nn Sbbbb 122311 11111111 321212121212121 nnn . * nN, 1 1 0 21 n , 1 3 n S . 12分 18.(本小题满分12分) 18.(本小题满分12分) 解:(1)随机变量X可以取到的值为0,1,2,3,所以 03 53 3 8 1 0 56 C C C P X, 12 53 3 8 15 1 56 C C C P X, 21 53 3 8 15 2 28 C C C P X, 30 53 3 8 5 3 28 C C P X C , 用户数量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 1 56 15 56 15 28 5 28 X的期望为 11515510515 0123 56562828568 EX .6分 (2)用随机变量Y表示n名用户中年龄为30岁以上的用户数量,则事件“至少一名用户年龄为30岁以上”的概 率为 1 110 2 P YP Y , 1 0 2 P Y,即 91 102 n , lg2 12lg3 n . lg2 6 7 12lg3 ,nN,n的最小值为7. 12分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B A C A C B D A C A D C 高三数学试题(理科)答案 第 2 页(共 4 页) A 19.(本小题满分12分)19.(本小题满分12分) (1)证明:如图,取AB的中点H,连接CH,DE,PE. 3BDAD,D为AH的中点,DECH. ACBC,CHAB,EDAB. 又点E在平面PAB上的射影F在线段PD上, EF 平面PAB,EFAB. EFEDE,EFDE ,平面PDE, AB 平面PDE,ABPE. 点E为棱AC的中点,PAPC,PEAC. 又ACABA,ACAB ,平面ABC, PE 平面ABC.PE 平面PAC, 平面PAC 平面ABC. 6分 (2)ACBC,以C为原点,以 CA CB ,所在方向为xy,轴正方向建立空间直角坐标系,如图. 3PAPC,2 2ACBC,4AB,2CH ,1PEDE,F为PD的中点, 0 0C0, , 0 2 2 0B, 2 0 0E, , 2 0 1P, , 3 22 22 D ,0, 5 221 442 F ,. 设平面ECF的法向量为 1111 xyz, ,n, 1 EF n, 1 EC n, 1 0EF n, 1 0EC n. 221 442 EF , 2 0 0CE , 20 221 0. 442 x xyz , 取 1 0 2 1, ,n. 设平面BCF的法向量为 2222 xyz, ,n, 2 CB n, 2 FB n, 2 0CB n, 2 0FB n. 2 2 0CB 0, 5 27 21 442 BF ,-, 2 222 2 20 5 27 21 0. 442 y xyz , 取 2 0 5 22,n, 12 12 12 5 25 cos 9354 , n n n n n n . 二面角ECFB的正弦值为 2 12 2 14 1 cos, 9 n n. 12分 20.(本小题满分12分) 20.(本小题满分12分) 解:(1)设椭圆的半焦距为c,由题意得 1 2 3 c a ac , , 解得 2 1. a c , ,3b , 椭圆C的标准方程为 22 1 43 xy .5分 (2)由题意知,直线l的斜率不为0,设其方程为xmyn,A( 11 xy,),B( 22 xy,). 由 22 1 43 xy xmyn 得 222 3463120mymnyn, 12 2 6 34 mn yy m , 2 12 2 312 34 n y y m , 2 2222 64 3431248 340mnmnmn . 1 1 1 2 y k x , 2 2 2 2 y k x , 121212 12 2 2 1212 1212 2222 22 y yy yy y k k xxmynmyn m y ym nyyn 高三数学试题(理科)答案 第 3 页(共 4 页) 2 2 2 22 2 2 22 312 323129 34 3126424 42 22 3434 n nn m nmnn n mm nn mm ,解得1n . 直线l的方程为 1xmy ,直线l过定点(1,0),此时, 12 2 6 34 m yy m , 12 2 9 34 y y m , 2 222 121212 2 22 636 344 4 3 111ABmyymyyy y mm m m 22 2 2 2 222 2 1441121 133 3434 1 34 3 13 4 44 mm m m m mm m (当且仅当0m 时取等号), AB的最小值为3. 12分 21.(本小题满分12分) 21.(本小题满分12分) 解:(1)因为 32332 xx fxa xexxae 若0a ,20 x ae . 当 3x , 时, 0fx ;当 3x , 时, 0fx . 当0a 时,函数 f x在3, 上单调递减,在 3 , 上单调递增. 若0a ,由 0fx 解得 1 3x , 2 2 lnx a . 若 3 02ae, 2 ln3 a . 当 2 3lnx a , 时, 0fx ;当 2 3 lnx a , 时, 0fx . 当 3 02ae时,函数 f x在3 , , 2 ln a , 上单调递增,在 2 3 ln a , 上单调递减. 若 3 2ae, 2 ln=3 a . 当Rx时, 0fx ,函数 f x在R上单调递增. 若 3 2ae, 2 ln x xx ax xe (0). 令 2 ln2 x xx g x xe (0 x ),则 22 1 3ln x xxx gx x e . 设 3lnxxx , x 在 0 , 上单调递减, 10 , 30 , 0 1 3x,使得 000 3ln0 xxx (*). 当 0 0 xx, 时, 0gx ;当 0 xx, 时, 0gx . 00 00 0 22 00 ln21 xx xx g xg x x ex e . 由(*)知 00 3ln0 xx ,即 00 ln3xx , 0 3 0 x ex , 00 0 32 11 xx g x eee , 1 g xa e , 当 1 a e 时, 2 2ln3f xxxx.12分 高三数学试题(理科)答案 第 4 页(共 4 页) 22.(本小题满分10分) 22.(本小题满分10分) 解:(1)由 11 44 11 44 2 2 2 xtt ytt , 得 11 44 11 44 2 1 . 2 xtt ytt , , 两式平方相减得 22 1 24 2 yx,即 22 1 82 yx . 又 11 44 22 2 (t0)ytt ,曲线 1 C的直角坐标方程为 22 12 2 82 yx y. 曲线 2 C:sin2 20 4 ,sincos40,即40yx, 曲线 2 C的直角坐标方程为40 xy.5分 (2)设曲线 2 C的参数方程为 2 2 2 2 2. 2 xt yt , (t为参数). 代入曲线 1 C方程得 22 22 2428 22 tt ,即 2 320 2400tt. =3200.设方程的两个实数根为 12 tt,则 12 20 2 3 tt, 1 2 40 3 t t , 2 21121 2 12 12121212 8 5 4 11115 3 40 5 3 ttttt ttt MAMBtttttttt , 115 5MAMB 或 5 5 . 10分 23.(本小题满分10分) 23.(本小题满分10分) 证明:(1)由abc, ,都是正数得, 3 33abcabc, 3 1abc ,即1abc, 1113 =3 abc abbcacabcabc , 即 111 3 abbcac (当且仅当abc等号成立). 5分 (2) 222444444 222333abcbaccababcabcbaccab , 又3abc, 33312abc, 4444111 333 33312333 abc abcabc 1333333 3 3333333 bcacab aabbcc 1333333 33 3333333 bacacb abacbc , 222 3 abcbaccab (当且仅当abc等号成立).10分
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