安徽省合肥市2021届高三下学期3月第二次教学质量检测理科数学试题含答案.zip

高三数学试题（理科）答案 第 1 页（共 4 页） 合肥市2021 年高三第二次教学质量检测 数学试题（理科）参考答案及评分标准 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 3 5 2 14.25和15 15. 31 sin 234 n 或 31 sin 234 n （二者填其一） 16. 三、解答题：本大题共6小题，满分70分. 17.(本小题满分12分) 三、解答题：本大题共6小题，满分70分. 17.(本小题满分12分) 解：(1)当2n 时， 1 123 23122 n n aaanan ， 123-1 231222 n n aaanan， 1 12222 nnn n nannn ，2n n a (2n ). 1 12na，当1n 时，2n n a 也成立， 2n n a ( * nN). 6分 (2) 1 1 1 211 1121212121 n n n nn nn nn a b aa ， 123nn Sbbbb 122311 11111111 321212121212121 nnn . * nN， 1 1 0 21 n ， 1 3 n S . 12分 18.(本小题满分12分) 18.(本小题满分12分) 解：(1)随机变量X可以取到的值为0，1，2，3，所以 03 53 3 8 1 0 56 C C C P X， 12 53 3 8 15 1 56 C C C P X， 21 53 3 8 15 2 28 C C C P X， 30 53 3 8 5 3 28 C C P X C ， 用户数量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 1 56 15 56 15 28 5 28 X的期望为 11515510515 0123 56562828568 EX .6分 (2)用随机变量Y表示n名用户中年龄为30岁以上的用户数量，则事件“至少一名用户年龄为30岁以上”的概 率为 1 110 2 P YP Y ， 1 0 2 P Y，即 91 102 n ， lg2 12lg3 n . lg2 6 7 12lg3 ，nN，n的最小值为7. 12分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B A C A C B D A C A D C 高三数学试题（理科）答案 第 2 页（共 4 页） A 19.(本小题满分12分)19.(本小题满分12分) (1)证明:如图，取AB的中点H，连接CH，DE，PE. 3BDAD，D为AH的中点，DECH. ACBC，CHAB，EDAB. 又点E在平面PAB上的射影F在线段PD上， EF 平面PAB，EFAB. EFEDE，EFDE ，平面PDE， AB 平面PDE，ABPE. 点E为棱AC的中点，PAPC，PEAC. 又ACABA，ACAB ，平面ABC， PE 平面ABC.PE 平面PAC， 平面PAC 平面ABC. 6分 (2)ACBC，以C为原点，以 CA CB ，所在方向为xy，轴正方向建立空间直角坐标系，如图. 3PAPC，2 2ACBC，4AB，2CH ，1PEDE，F为PD的中点， 0 0C0， ， 0 2 2 0B， 2 0 0E， ， 2 0 1P， ， 3 22 22 D ，0, 5 221 442 F ，. 设平面ECF的法向量为 1111 xyz， ，n， 1 EF n， 1 EC n， 1 0EF n， 1 0EC n. 221 442 EF ， 2 0 0CE ， 20 221 0. 442 x xyz ， 取 1 0 2 1， ，n. 设平面BCF的法向量为 2222 xyz， ，n， 2 CB n， 2 FB n， 2 0CB n， 2 0FB n. 2 2 0CB 0， 5 27 21 442 BF ，-， 2 222 2 20 5 27 21 0. 442 y xyz ， 取 2 0 5 22，n， 12 12 12 5 25 cos 9354 , n n n n n n . 二面角ECFB的正弦值为 2 12 2 14 1 cos, 9 n n. 12分 20.(本小题满分12分) 20.(本小题满分12分) 解:(1)设椭圆的半焦距为c，由题意得 1 2 3 c a ac ， ， 解得 2 1. a c ， ，3b ， 椭圆C的标准方程为 22 1 43 xy .5分 (2)由题意知，直线l的斜率不为0，设其方程为xmyn，A( 11 xy，)，B( 22 xy，). 由 22 1 43 xy xmyn 得 222 3463120mymnyn， 12 2 6 34 mn yy m ， 2 12 2 312 34 n y y m ， 2 2222 64 3431248 340mnmnmn . 1 1 1 2 y k x ， 2 2 2 2 y k x ， 121212 12 2 2 1212 1212 2222 22 y yy yy y k k xxmynmyn m y ym nyyn 高三数学试题（理科）答案 第 3 页（共 4 页） 2 2 2 22 2 2 22 312 323129 34 3126424 42 22 3434 n nn m nmnn n mm nn mm ，解得1n . 直线l的方程为 1xmy ，直线l过定点(1，0)，此时， 12 2 6 34 m yy m ， 12 2 9 34 y y m ， 2 222 121212 2 22 636 344 4 3 111ABmyymyyy y mm m m 22 2 2 2 222 2 1441121 133 3434 1 34 3 13 4 44 mm m m m mm m (当且仅当0m 时取等号)， AB的最小值为3. 12分 21.(本小题满分12分) 21.(本小题满分12分) 解：(1)因为 32332 xx fxa xexxae 若0a ，20 x ae . 当 3x ， 时， 0fx ；当 3x ， 时， 0fx . 当0a 时，函数 f x在3， 上单调递减，在 3 ， 上单调递增. 若0a ，由 0fx 解得 1 3x ， 2 2 lnx a . 若 3 02ae， 2 ln3 a . 当 2 3lnx a ， 时， 0fx ；当 2 3 lnx a ， 时， 0fx . 当 3 02ae时，函数 f x在3 ， ， 2 ln a ， 上单调递增，在 2 3 ln a ， 上单调递减. 若 3 2ae， 2 ln=3 a . 当Rx时， 0fx ，函数 f x在R上单调递增. 若 3 2ae， 2 ln x xx ax xe (0）. 令 2 ln2 x xx g x xe (0 x )，则 22 1 3ln x xxx gx x e . 设 3lnxxx ， x 在 0 ， 上单调递减， 10 ， 30 ， 0 1 3x，使得 000 3ln0 xxx (*). 当 0 0 xx， 时， 0gx ；当 0 xx， 时， 0gx . 00 00 0 22 00 ln21 xx xx g xg x x ex e . 由(*)知 00 3ln0 xx ，即 00 ln3xx ， 0 3 0 x ex ， 00 0 32 11 xx g x eee ， 1 g xa e ， 当 1 a e 时， 2 2ln3f xxxx.12分 高三数学试题（理科）答案 第 4 页（共 4 页） 22.(本小题满分10分) 22.(本小题满分10分) 解：(1)由 11 44 11 44 2 2 2 xtt ytt ， 得 11 44 11 44 2 1 . 2 xtt ytt ， ， 两式平方相减得 22 1 24 2 yx，即 22 1 82 yx . 又 11 44 22 2 (t0)ytt ，曲线 1 C的直角坐标方程为 22 12 2 82 yx y. 曲线 2 C：sin2 20 4 ，sincos40，即40yx， 曲线 2 C的直角坐标方程为40 xy.5分 (2)设曲线 2 C的参数方程为 2 2 2 2 2. 2 xt yt ， (t为参数). 代入曲线 1 C方程得 22 22 2428 22 tt ，即 2 320 2400tt. =3200.设方程的两个实数根为 12 tt，则 12 20 2 3 tt， 1 2 40 3 t t ， 2 21121 2 12 12121212 8 5 4 11115 3 40 5 3 ttttt ttt MAMBtttttttt ， 115 5MAMB 或 5 5 . 10分 23.(本小题满分10分) 23.(本小题满分10分) 证明：(1)由abc， ，都是正数得， 3 33abcabc， 3 1abc ，即1abc， 1113 =3 abc abbcacabcabc ， 即 111 3 abbcac (当且仅当abc等号成立). 5分 (2) 222444444 222333abcbaccababcabcbaccab ， 又3abc， 33312abc， 4444111 333 33312333 abc abcabc 1333333 3 3333333 bcacab aabbcc 1333333 33 3333333 bacacb abacbc ， 222 3 abcbaccab (当且仅当abc等号成立).10分合肥市合肥市 2021 年高三第二次教学质量检测年高三第二次教学质量检测 数学试题（理科）数学试题（理科） （考试时间：120 分钟 满分：150 分） 注意事项： 1.答题前，务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名、准考证号和座位号后两位。 2.答第 I 卷时，每小题选出答案后，用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 3.答第 II 卷时，必须使用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整、笔迹清 晰。作图题可先用铅笔在答题卷规定的位置绘出，确认后再用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔描清 楚。必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上 答题无效。 4.考试结束，务必将答题卡和答题卷一并上交。 第第 I 卷卷 （满分（满分 60 分）分） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 60 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。一项是符合题目要求的。 1.设复数 z 满足 z-iz=4i(i 是虚数单位），则 z 在复平面内的对应点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.已知 A=x|x20，|)的形式，则 an= . 2 16.已知空间三条直线 l1,l2,l3满足 l1/l2/l3,两两之间的距离都为 2.点 A,B 是直线 l1上的两动点， 且 AB=2,C,D 分别在直线 l2,l3上运动下列命题： 四面体 ABCD 的体积是定值； 四面体 ABCD 的棱 AB 与 CD 所成角为 ,CDsin 是定值； 四面体 ABCD 表面积的最小值为+4; 37 四面体 ABCD 的内切球的体积最大值为 3 16 其中真命题是 （填上所有真命题的序号） 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，满分小题，满分 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.(本小题满分 12 分） 已知数列an满足 a1+2a2+3a3+nan =(n-1)2n+1+2(nN*). （1)求数列an的通项公式； （2)设 bn=,数列bn的前 n 项和为 Sn,求证：Snb0)的离心率为,右顶点 M 到左焦点的距离为 3,直线 l 与椭圆 C 22 22 xy ab 1 2 交于点 A,B. （1)求椭圆 C 的标准方程； （2)设直线 MA,MB 的斜率为 k1,k2.若 4k1k2+9=0,求AB|的最小值 21.(本小题满分 12 分） 已知函数 f(x)=a(x+2)ex-(x+3)2(aR,e 为自然对数的底数） （1)讨论函数 f(x)的单调性； （2)当 a时，证明：f(x-2)Inx-x2-x-3. 1 e 请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的 第一个题目计分，作答时，请用第一个题目计分，作答时，请用 2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑 22.(本小题满分 10 分）选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为（t 为参数）。在以原点为极 11 44 11 44 2 2 2 xtt ytt 点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2的极坐标方程为. sin2 20 4 （1)求曲线 C1和曲线 C2的直角坐标方程； （2)若曲线 C2与曲线 C1交于点 A,B,M(-2,2),求的值. 11 |MAMB 23.(本小题满分 10 分）选修 4-5:不等式选讲 已知a,b,c 为正数，且满足 a+b+c=3. （1)证明： （2)证明： 111 3; abbcac 222 3. abcbaccab