2021年湖南省怀化市高考数学一模试卷.docx下载_163文库

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2、2468 44aaaa，则 9 (S ) A66 B99 C110 D198 4 （5 分）陕西省西安市周至县的旅游景点楼观台，号称“天下第一福地” ，是我国著名的道教圣地，古代圣哲老子曾在此著道德经五千言景区内有一处景点建筑，是按古典著作连山易中记载的金、木、水、火、土之间相生相克的关系，如图所示，现从五种不同属性的物质中任取两种，则取出的两种物质恰好是相克关系的概率为( ) A 2 3 B 1 2 C 1 5 D 2 5 5 （5 分） 25 1 (1)(2)x x 展开式的常数项为( ) A112 B48 C112 D48 6 （5 分）已知函数(2)yf x的图象关于直线2x 对

3、称，在(0,)x时，( )f x单调递增若 3 (4 ) ln af，(2 ) e bf ， 1 ()cf ln （其中e为自然对数的底数，为圆周率），则a，第 2 页（共 21 页） b，c的大小关系为( ) Aacb Babc Ccab Dcba 7（5 分）我们把离心率互为倒数且焦点相同的椭圆和双曲线称为一对 “完美曲线” 已知 1 F， 2 F是一对“完美曲线”的焦点，M是它们在第一象限的交点，当 12 3 FMF 时，这一对 “完美曲线”中双曲线的离心率是( ) A2 B 2 3 3 C2 D3 8 （5 分）若实数x，y满足42xyxy，则x最大值是( ) A4 B18

4、 C20 D24 二、多项选择题：本大题共二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，分在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得有多项是符合题目要求的，全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9 （5 分）直线l过点(1,2)P且与直线30 xay平行，若直线l被圆 22 4xy截得的弦长为2 3，则实数a的值可以是( ) A0 B 3 4 C 4 3 D 4 3 10 （5 分）已知向量 1 e， 2 e是平面内的一组基向量，O为内的定点，对于内任

5、意一点P，当 12 OPxeye时，则称有序实数对( , )x y为点P的广义坐标若点A、B的广义坐标分别为 1 (x， 12 )(yx， 2) y，关于下列命题正确的是( ) A线段A、B的中点的广义坐标为 1212 (,) 22 xxyy BA、B两点间的距离为 22 1212 ()()xxyy C向量OA平行于向量OB的充要条件是 1221 x yx y D向量OA垂直于OB的充要条件是 1221 0 x yx y 11 （5 分）定义域为R的函数( )yf x，对任意两个不相等的实数 1 x， 2 x，都有 11221221 ()()()()x f xx f xx f xx f x

6、，则称函数为“Z函数” ，现给出如下函数，其中为“Z 函数”的有( ) A 3 1yxx B32(sincos )yxxx C 2 (2) xx yelne D 1 sin x x y ee 第 3 页（共 21 页） 12 （5 分）数学中有许多形状优美，寓意美好的曲线，曲线 22 :1 |C xyx y 就是其中之一（如图）给出下列四个结论，其中正确结论是( ) A图形关于y轴对称 B曲线C恰好经过 6 个整点（即横、纵坐标均为整数的点） C曲线C上存在到原点的距离超过2的点 D曲线C所围成的“心形”区域的面积大于 3 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题

7、 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）曲线( )sinf xxx在点( 2 ，) 2 处的切线方程是 14 （5 分）若 3 sin() 122 ，则 2 sin(2) 3 15（5 分）已知关于x的不等式 2 0(axbxca，b，)cR的解集为 |34xx，则 2 5c ab 的取值范围为 16 （5 分）四面体PABC中，3PA，其余棱长都为 2，动点Q在ABC的内部（含边界），设PAQ，二面角PBCA的平面角的大小为，APQ和BCQ的面积分别为 1 S， 2 S，且满足 1 2 3sin 4sin S S ，则 2 S的最大值为四、解答题：共四、解答题：共 70

8、分，解答应写出文宇说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文宇说明、证明过程或演算步骤 17（10 分）在ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足 2tan tantan Bb ABc （）求角A；（）若13a ，3b ，求ABC的面积 18 （12 分）在直三棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱） 11 ABCABC中，D为 1 B B中点，F为线段 1 C D的中点， 1 1 2 2 ACABBCC C （1）若M为AB中点，求证：/ /FM面 11 A ACC；第 4 页（共 21 页）（2）求二面角 111 FACB的余弦值 19 （12 分）已知数列 n a， n

9、 b满足： 11 2 1 ,1, 41 n nnn n b aabb a （1）证明： 1 1 n b 是等差数列，并求数列 n b的通项公式；（2）设 1223341nnn Sa aa aa aa a ，求实数a为何值时4 nn aSb恒成立 20 （12 分）如图，已知点P是y轴左侧（不含y轴）一点，点F为抛物线 2 :C yx的焦点，且抛物线C上存在不同的两点A，B （1）若AB中点为M，且满足PA，PB的中点均在C上，证明：PM垂直于y轴；（2）若点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，6(OA OBO为坐标原点），且ABO与 AFO的面积分别为 1 S和 2 S，求

10、12 4SS最小值 21 （12 分）近年来我国肥胖人群的规模急速增长，肥胖人群有很大的心血管安全隐患目前，国际上常用身体质量指数(BodyMassIndex，缩写为)BMI来衡量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式是 22 : : kg BMI m 体重单位身高单位中国成人的BMI数值标准为：18.4BMI为偏瘦；18.523.9BMI剟为正常；2427.9BMI剟为第 5 页（共 21 页）偏胖；28BMI 为肥胖为了解某公司员工的身体质量指数，研究人员从公司员工体检数据中，抽取了 8 名员工（编号1 8)的身高()x cm和体重()y kg数据，并计算得到他们的

11、BMI值（精确到0.1)如表：编号 1 2 3 4 5 6 7 8 身高 ()cm 164 176 165 163 170 172 168 182 体重 ()kg 60 72 77 54 72 55 BMI（近似值） 22.3 23.2 28.3 20.3 23.5 23.7 25.5 16.6 （）现从这 8 名员工中选取 2 人进行复检，记抽取到BMI值为 “正常” 员工的人数为X 求 X的分布列及数学期望（）某调查机构分析发现公司员工的身高()x cm和体重()y kg之间有较强的线性相关关系，在编号为 6 的体检数据丢失之前调查员甲已进行相关的数据分析，并计算得出该组数

12、据的线性回归方程为0.5yxa，且根据回归方程预估一名身高为180cm的员工体重为71kg计算得到的其他数据如下 1 170,89920 n ii i xx y （1）求 a 的值及表格中 8 名员工体重的平均值y；（2）在数据处理时，调查员乙发现编号为 8 的员工体重数据有误，应为63kg，身高数据无误请你根据调查员乙更正的数据重新计算线性回归方程，并据此预估一名身高为180cm的员工的体重（附：对于一组数据 1 ( ,)x y， 2 (x， 2) y，( n x，) n y，其回归直线 ybxa的斜率和截距的最小二乘法估计分别为： 1 2 2 1 n ii i n i i x

13、 ynxy b xn x ， )aybx 22 （12 分）已知函数 2 ( )()() x f xaxxa eaR （1）若0a，函数( )f x的极大值为 5 e ，求实数a的值；（2）若对任意的0a，( )(1)f xbln x，在0 x，)上恒成立，求实数b的取值范围第 6 页（共 21 页） 2021 年湖南省怀化市高考数学一模试卷年湖南省怀化市高考数学一模试卷参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

15、 9 (S ) A66 B99 C110 D198 【解答】解：等差数列 n a中， 24685 444aaaaa，所以 5 11a ，则 9195 9 ()999 2 Saaa 故选：B 4 （5 分）陕西省西安市周至县的旅游景点楼观台，号称“天下第一福地” ，是我国著名的道教圣地，古代圣哲老子曾在此著道德经五千言景区内有一处景点建筑，是按古典著作连山易中记载的金、木、水、火、土之间相生相克的关系，如图所示，现从五种不同属性的物质中任取两种，则取出的两种物质恰好是相克关系的概率为( ) 第 7 页（共 21 页） A 2 3 B 1 2 C 1 5 D 2 5 【解答】解：现从五种

16、不同属性的物质中任取两种，基本事件总数 2 5 10nC，取出的两种物质恰好是相克关系包含的基本事件个数 1 5 5mC，则取出的两种物质恰好是相克关系的概率为 51 102 m p n 故选：B 5 （5 分） 25 1 (1)(2)x x 展开式的常数项为( ) A112 B48 C112 D48 【解答】解： 5 1 (2) x 展开式的通项公式为 5 15 ( 2) rrr r TCx ，分别令3r 、5r ，可得 25 1 (1)(2)x x 展开式的常数项为8032112 ，故选：C 6 （5 分）已知函数(2)yf x的图象关于直线2x 对称，在(0,)x时，( )f

17、x单调递增若 3 (4 ) ln af，(2 ) e bf ， 1 ()cf ln （其中e为自然对数的底数，为圆周率），则a， b，c的大小关系为( ) Aacb Babc Ccab Dcba 【解答】解：根据题意，函数(2)yf x的图象关于直线2x 对称，则函数( )f x的图象关于y轴对称，第 8 页（共 21 页）即函数( )f x为偶函数，满足()( )fxf x，则 1 ()()cf lnf ln 31 444120 lne lnlne 又由(0,)x时，( )f x单调递增，则有acb；故选：A 7（5 分）我们把离心率互为倒数且焦点相同的椭圆和双曲线称为一

18、对 “完美曲线” 已知 1 F， 2 F是一对“完美曲线”的焦点，M是它们在第一象限的交点，当 12 3 FMF 时，这一对 “完美曲线”中双曲线的离心率是( ) A2 B 2 3 3 C2 D3 【解答】解：设 1 |FPm， 2 |F Pn， 12 | 2FFc，由余弦定理得 222 (2 )2cos60cmnmn，即 222 4cmnmn，设 1 a是椭圆的长半轴， 2 a是双曲线的实半轴，由椭圆及双曲线定义，得 1 2mna， 2 2mna， 12 maa， 12 naa，将它们及离心率互为倒数关系代入前式得 222 21 340aca， 12 3aa， 2 2 12 1

19、2 () 1 3 c acc e e aa ，解得 2 3e 故选：D 8 （5 分）若实数x，y满足42xyxy，则x最大值是( ) A4 B18 C20 D24 【解答】解：令ty，则 2 yt，故42xyxy即 2 42xtxt，两边平方得： 22 (4 )4()xtxt，整理得： 22 20840(*)txtxx 0t，关于t的方程(*)有 2 个非负数根，第 9 页（共 21 页） 22 2 1 2 6480(4 ) 0 1 (4 ) 0 20 xxx t txx ，0 x或420 x剟，故x的最大值是 20，故选：C 二、多项选择题：本大题共二、多项选择题：本大题共

20、4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，分在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得有多项是符合题目要求的，全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9 （5 分）直线l过点(1,2)P且与直线30 xay平行，若直线l被圆 22 4xy截得的弦长为2 3，则实数a的值可以是( ) A0 B 3 4 C 4 3 D 4 3 【解答】解：直线l过点(1,2)P且与直线30 xay平行，设直线:0l xayb，可得120ab，可得12ba ，所以直线:120l xaya 直线

21、l被圆 22 4xy截得的弦长为2 3，可得 2 2 | 12 | 4( 3)1 1 a a ，解得0a 或 4 3 a 故选：AD 10 （5 分）已知向量 1 e， 2 e是平面内的一组基向量，O为内的定点，对于内任意一点P，当 12 OPxeye时，则称有序实数对( , )x y为点P的广义坐标若点A、B的广义坐标分别为 1 (x， 12 )(yx， 2) y，关于下列命题正确的是( ) A线段A、B的中点的广义坐标为 1212 (,) 22 xxyy BA、B两点间的距离为 22 1212 ()()xxyy C向量OA平行于向量OB的充要条件是 1221 x yx y D向量OA

22、垂直于OB的充要条件是 1221 0 x yx y 【解答】解：根据题意得，由中点坐标公式知A正确；只有平面直角坐标系中两点间的距离公式B才正确，当向量 1 e与 2 e的夹角不是 2 时，第 10 页（共 21 页） 22 2112122121212112 | | |()()|()()2()()ABOBOAxx eyy exxyyxxyy e e，只有当向量 1 e与 2 e的夹角是 2 时，A、B两点间的距离才为 22 1212 ()()xxyy，因此B 错误；由向量平行的充要条件得C正确；当向量 1 e， 2 e是相互垂直的单位向量时，OA与OB垂直的充要条件为 1212

23、0 x xy y，因此 D不正确；故选：AC 11 （5 分）定义域为R的函数( )yf x，对任意两个不相等的实数 1 x， 2 x，都有 11221221 ()()()()x f xx f xx f xx f x，则称函数为“Z函数” ，现给出如下函数，其中为“Z 函数”的有( ) A 3 1yxx B32(sincos )yxxx C 2 (2) xx yelne D 1 sin x x y ee 【解答】解：由 11221221 ()()()()x f xx f xx f xx f x得 1212 () ()()0 xxf xf x，所以( )f x在R上单调递增， 3 :( )1

24、A yf xxx，由于f（1）1，f（2）5 ，f（1）f（2），不满足在R 上单调递增，不符合题意； :( )32(sincos )B yf xxxx，( )32(cossin )32 2cos()0 4 fxxxx 恒成立，即( )f x在R上单调递增，符合题意； C：根据复合函数的单调性可知 2 (2) xx elne在R上单调递增，符合题意； 1 sin :( ) x x D yf x ee ，(0)0f，f（2）0，不满足单调递增，不符合题意故选：BC 12 （5 分）数学中有许多形状优美，寓意美好的曲线，曲线 22 :1 |C xyx y 就是其中之一（如图）给出下列四个

25、结论，其中正确结论是( ) 第 11 页（共 21 页） A图形关于y轴对称 B曲线C恰好经过 6 个整点（即横、纵坐标均为整数的点） C曲线C上存在到原点的距离超过2的点 D曲线C所围成的“心形”区域的面积大于 3 【解答】解：对于A，将x换成x，方程不变，所以图形关于y轴对称，故选项A正确；对于B，当0 x 时，代入方程可得 2 1y ，所以1y ，即曲线经过点(0, 1)，(0,1)，当0 x 时，方程变为 22 10yxyx ，所以 22 4(1) 0 xx ，解得 2 3 (0,) 3 x，因为x只能取整数 1，当1x 时， 2 0yy，解得0y 或1y ，即曲线经过点(

26、1,0)，(1,1)，根据对称性，可得曲线还经过( 1,0)，( 1,1)，故曲线一共经过 6 个整点，故选项B正确；对于选项C，当0 x 时，由 22 1xyxy ，可得 22 22 1 2 xy xyxy ，当且仅当xy 取等号，所以 22 2xy，所以 22 2xy，故曲线C上y轴右边的点到原点的距离不超过2，根据对称性可得，曲线C上任意一点到原点的距离都不超过2，故选项C错误；对于D，在x轴上方图形的面积大于矩形的面积1 22，在x轴下方图形的面积大于等腰直角三角形的面积 1 2 11 2 ，因此曲线C所围成的“心形”区域的面积大于213 ，故选项D正确故选：ABD

27、第 12 页（共 21 页）三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）曲线( )sinf xxx在点( 2 ，) 2 处的切线方程是 0 xy 【解答】解：( )sinf xxx， ( )sincosfxxxx ， ()1 2 f ， () 22 f ，曲线( )sinf xxx在点( 2 ，) 2 处的切线方程是 22 yx ，即0 xy 故答案为：0 xy 14 （5 分）若 3 sin() 122 ，则 2 sin(2) 3 1 2 【解答】解： 3 sin() 122 ， 22 31 cos(2 )12sin

28、()12() 61222 ， 21 sin(2)sin(2)cos(2)cos(2 ) 362662 故答案为： 1 2 15（5 分）已知关于x的不等式 2 0(axbxca，b，)cR的解集为 |34xx，则 2 5c ab 的取值范围为 2 5，) 【解答】解：关于x的不等式 2 0(axbxca，b，)cR的解集为 |34xx，所以0a ，且 3 和 4 是关于x的方程 2 0axbxc的两实数根，由根与系数的关系知， 34 34 b a c a ，解得7ba ，12ca，所以 22 5144555 242 ( 24 )2 5 766 ca aa abaaaa ，所以 2

29、 5c ab 的取值范围是2 5，) 故答案为：2 5，) 16 （5 分）四面体PABC中，3PA，其余棱长都为 2，动点Q在ABC的内部（含边第 13 页（共 21 页）界），设PAQ，二面角PBCA的平面角的大小为，APQ和BCQ的面积分别为 1 S， 2 S，且满足 1 2 3sin 4sin S S ，则 2 S的最大值为 4 36 【解答】解：四面体PABC中，3PA，其余棱长都为 2，取BC的中点D，连接PD，AD，则PDBC，ADBC，故BDA为二面角PBCA的平面角，因为等边三角形PBC，ABC，故3PDADPA，故60，设Q到BC的距离为h，则 1 2

30、1 sin 3sin 2 1 4sin 2 AP AQ S S BC h ，化简得，AQh，故点Q的轨迹为以点A为焦点，以BC为准线的抛物线在三角形ABC内部的一段弧，如图建立直角坐标系，则抛物线的方程为 2 2 3yx， 3 (0,) 2 A，直线AB的方程为： 33 () 32 yx ，由 2 2 3 33 () 22 yx yx ，得 2 3 7 30 4 xx，故圆弧与AB的交点横坐标为 7 312 2 x ，则Q到BC的最大距离 7 3123 4 36 22 h ，故 2 S的最大值为 1 2 (4 36)4 36 2 第 14 页（共 21 页）故答案为：4 36

31、四、解答题：共四、解答题：共 70 分，解答应写出文宇说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文宇说明、证明过程或演算步骤 17（10 分）在ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足 2tan tantan Bb ABc （）求角A；（）若13a ，3b ，求ABC的面积【解答】解：（） 2tan tantan Bb ABc ，由正弦定理可得： 2tansin tantansin BB ABC ，可得： sin 2 sin cos sinsin sin coscos B B B AB C AB ，可得： 2sin2sin 2sincossin coscos

32、sincossincossin sinsin coscoscoscos BB BAB BB ABBAC CC ABAB ， sin0B ，sin0C ，解得 1 cos 2 A ， (0, )A， 3 A ；（） 3 A ，13a ，3b ，由余弦定理 222 2cosabcbcA，可得： 2 1 13923 2 cc ，可得： 2 340cc，解得4c ，或1（舍去），第 15 页（共 21 页） 113 sin3 43 3 222 ABC SbcA 18 （12 分）在直三棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱） 11 ABCABC中，D为 1 B B中点，F为线段 1 C D的中点

33、， 1 1 2 2 ACABBCC C （1）若M为AB中点，求证：/ /FM面 11 A ACC；（2）求二面角 111 FACB的余弦值【解答】（1）证明：取 1 AA中点N，连结 1 C N，ND，取 1 C N中点E，连结EF，AE， / /ANBD，ANBD，四边形ANDB为平行四边形， / /ABND，ABND， 1 NEEC， 1 C FFD， /1 2 EFND，又 1 / / 2 AMND，四边形MAEF为平行四边形，/ /MFAE， MF 面 11 A ACC，AE 面 11 A ACC，/ /FM面 11 A ACC；（2）解：在平面 111 A BC上过 1

34、 A作垂直于 11 A B的直线为x轴，分别以 11 A B， 1 A A为y，z轴，建系 1 Axyz， 1 3 3 ( 3,1,0),(,1) 22 CF， 111 3 3 ( 3,1,0),(,1) 22 ACAF，第 16 页（共 21 页）设平面 11 FAC的法向量 11 ( , , )30nx y z n ACxy， 1 33 0 22 n AFxyz，取3,3,3xyz ，( 3, 3,3)n 平面 111 A BC的一个法向量(0,0,1)m ，设二面角 111 FACB的大小为， |321 cos | |7399 m n mn 19 （12 分）已知数列 n a，

35、 n b满足： 11 2 1 ,1, 41 n nnn n b aabb a （1）证明： 1 1 n b 是等差数列，并求数列 n b的通项公式；（2）设 1223341nnn Sa aa aa aa a ，求实数a为何值时4 nn aSb恒成立【解答】解：（1）证明： 1 1 (1)(1)(2)2 nn n nnnnn bb b aabbb ， 1 1 11 2 n n b b ， 1 211 1 111 n nnn b bbb 由 1 1 4 a ， 11 1ab，可得 11 3 1 4 ba ， 1 1 4 1b ，数列 1 1 n b 是以4为首项，1为公差的等差数列 1 4

36、(1)3 1 n nn b ， 12 1 33 n n b nn （2） 1 1 3 nn ab n 1 111 (3)(4)34 nn a a nnnn ， 12231 11111 4 55 6(3)(4)444(4) nnn n Sa aa aa a nnnn ， 2 2(1)(36)8 4 43(3)(4) nn annanan aSb nnnn 第 17 页（共 21 页）由条件可知 2 (1)(36)80anan 恒成立即可满足条件，设 2 ( )(1)3(2)8f nanan，当1a 时，( )380f nn 恒成立，当1a 时，由二次函数的性质知不可能成立当1a 时，对称

37、轴 3231 (1)0 2121 a aa ，( )f n在1，)为单调递减函数 f（1）(1)(36)84150aaa， 15 4 a ，即有1a 时，4 n aSb恒成立综上知：1a 时，4 n aSb恒成立 20 （12 分）如图，已知点P是y轴左侧（不含y轴）一点，点F为抛物线 2 :C yx的焦点，且抛物线C上存在不同的两点A，B （1）若AB中点为M，且满足PA，PB的中点均在C上，证明：PM垂直于y轴；（2）若点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，6(OA OBO为坐标原点），且ABO与 AFO的面积分别为 1 S和 2 S，求 12 4SS最小值【解答】解：

38、（1）证明：设 0 (P x， 0) y， 2 1 (A y， 1) y， 2 2 (B y， 2) y，因为直线PA，PB的中点在抛物线上，所以 1 y， 2 y为方程 2 200 () 22 yyyy 的两个根，即 22 000 2220yy yxy，的两个不同的实数根，所以 120 2yyy，所以PM垂直于y轴（2）根据题意可得 1 (4F，0)，设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y，则 2 11 xy， 2 22 xy，所以 22 1 2121212 6x xy yy yy y，则 12 3y y 或 12 2y y ，第 18 页（共 21 页

39、）因为A，B位于x轴的两侧，所以 12 3y y ，设直线AB的方程为xtym，联立 2 xtym yx ，得 2 0ytym，所以 12 3y ym ，则3m ，所以直线过定点(3,0)，所以 12121 111 43 | 4| 224 SSyyy 1 121111 111 313399 ()()22 26 222222 y yyyyyy yyy ，当且仅当 1 1 9 2 2 y y ，即 1 3 2 y 时取等号，故 12 4SS的最小值为 6 21 （12 分）近年来我国肥胖人群的规模急速增长，肥胖人群有很大的心血管安全隐患目前，国际上常用身体质量指数(Bod

40、yMassIndex，缩写为)BMI来衡量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式是 22 : : kg BMI m 体重单位身高单位中国成人的BMI数值标准为：18.4BMI为偏瘦；18.523.9BMI剟为正常；2427.9BMI剟为偏胖；28BMI 为肥胖为了解某公司员工的身体质量指数，研究人员从公司员工体检数据中，抽取了 8 名员工（编号1 8)的身高()x cm和体重()y kg数据，并计算得到他们的BMI值（精确到0.1)如表：编号 1 2 3 4 5 6 7 8 身高 ()cm 164 176 165 163 170 172 168 182 体重 ()kg 60 72

41、 77 54 72 55 BMI（近似值） 22.3 23.2 28.3 20.3 23.5 23.7 25.5 16.6 （）现从这 8 名员工中选取 2 人进行复检，记抽取到BMI值为 “正常” 员工的人数为X 求 X的分布列及数学期望第 19 页（共 21 页）（）某调查机构分析发现公司员工的身高()x cm和体重()y kg之间有较强的线性相关关系，在编号为 6 的体检数据丢失之前调查员甲已进行相关的数据分析，并计算得出该组数据的线性回归方程为0.5yxa，且根据回归方程预估一名身高为180cm的员工体重为71kg计算得到的其他数据如下 1 170,89920 n

42、ii i xx y （1）求 a 的值及表格中 8 名员工体重的平均值y；（2）在数据处理时，调查员乙发现编号为 8 的员工体重数据有误，应为63kg，身高数据无误请你根据调查员乙更正的数据重新计算线性回归方程，并据此预估一名身高为180cm的员工的体重（附：对于一组数据 1 ( ,)x y， 2 (x， 2) y，( n x，) n y，其回归直线 ybxa的斜率和截距的最小二乘法估计分别为： 1 2 2 1 n ii i n i i x ynxy b xn x ， )aybx 【解答】解：( ) I由表中的BMI数值可知，8 名员工中BMI数值为“正常”的员工有 5 人，所以X

43、的可能取值为 0，1，2， 02 53 2 8 3 (0) 28 C C P X C ， 11 53 2 8 15 (1) 28 C C P X C ， 20 53 2 8 5 (2) 14 C C P X C ， X的分布列为 X 0 1 2 P 3 28 15 28 5 14 数学期望 3155355 ()012 282814284 E X ()II（1）根据回归方程预估一名身高为180cm的员工体重为71kg， 710.5 180a，解得19a ，故线性回归方程为0.519yx 样本中心点( , )x y一定在回归直线方程上， 0.5 170 1966y （2）由（1）知更正前的数据17

44、0,66xy， 8 11 8 2 222 11 8 0.5 8 n iiii ii n ii ii x ynxyx yxy b xn xxx ，第 20 页（共 21 页） 88 22 11 82(8)2(899208 17066)320 iii ii xxx yxy ，更正后的数据170 xx ， 668(6355) 67 8 y ， 888 8 111 8182 8 iiiiii iii x yx yxx y ， 88 (1)88 170 x yx yxy ， 888 111 888 222222 111 8(182 8)(88 170)(8)(182170) 8 96 0.50.8

45、320 888 iiiiii iii iii iii x yx yx yxyx yxy b xxxxxx ， 670.8 17069ayb x ，故更正后的线性回归方程为0.869yx 当180 x 时，0.8 1806975y ，重新预估一名身高为180cm的员工的体重约为75kg 22 （12 分）已知函数 2 ( )()() x f xaxxa eaR （1）若0a，函数( )f x的极大值为 5 e ，求实数a的值；（2）若对任意的0a，( )(1)f xbln x，在0 x，)上恒成立，求实数b的取值范围【解答】解：（1） 2 ( )() x f xaxxa e的导数为 2

46、 ( )(21)() xx f xaxeaxxa e 2 (1 2 )1(1)(1) xx eaxa xaexaxa 当0a 时，( )(1) x f xex ，令( )0fx，得1x ；( )0fx，得1x ，所以( )f x在(,1)单调递增(1,)单调递减所以( )f x的极大值为 15 (1)f ee ，不合题意当0a 时， 1 11 a ，令( )0fx，得 1 11x a ；令( )0fx，得 1 1x a 或1x ；第 21 页（共 21 页）所以( )f x在 1 (1,1) a 单调递增， 1 (,1) a ，(1,)单调递减所以( )f x的极大值为 215

47、 (1) a f ee ，得2a 综上所述2a （2）令g（a） 2 (1) xx exaxe ，0a，当0 x时， 2 () 0 x exx ，故g（a）于(，0上递增， g（a）(0) x gxe，(0)x 原问题(1) x xebln x 于0 x，)上恒成立当0b时，0 x ，(1)0bln x，0 x xe，此时(1) x xebln x ，不合题意当0b 时，令( )(1) x h xbln xxe，0 x，则 2 1 ( )() 1(1) x xx x bbex h xexe xxe ，其中(1)0 x xe，0 x ，令 2 ( )1 x p xbex，0 x ，

48、则( )p x在区间0，)上单调递增，（）1b时，( )(0)1 0p xpb厖，所以对0 x ，( ) 0h x，从而( )h x在0，)上单调递增，所以对任意0 x，( )(0)0h xh，即不等式(1) x bln xxe ，(1) x xebln x 于0 x，)上恒成立（）01b时，由(0)10pb ，p（1）0be及( )p x在区间0，)上单调递增，所以存在唯一的 0 0 x ，1使得 0 ()0p x，且 0 (0,)xx时， 0 ()0p x 从而 0 (0,)xx时，( )0h x，所以( )h x在区间 0 (0,)x上单调递减，则 0 (0,)xx时，( )(0)0h xh，即(1) x bln xxe，不符合题意综上所述，1b

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