2021年吉林省吉林市高考数学第三次调研试卷（理科）.docx

1、第 1 页（共 24 页） 2021 年吉林省吉林市高考数学第三次调研试卷（理科）年吉林省吉林市高考数学第三次调研试卷（理科） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 题，每小题题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 个是符合题目要求个是符合题目要求. 1 （5 分）已知集合|1AxN x， 1B ，0，1，2，则AB的子集的个数为( ) A1 B2 C3 D4 2 （5 分）若( )f x是定义在R上的奇函数，且(2)( )f xf x ，则f（8）的值为( ) A1 B2 C0 D1 3 （5 分）已知直线l经过点

2、(1, 1)，且与直线250 xy垂直，则直线l的方程为( ) A210 xy B230 xy C210 xy D230 xy 4 （5 分） 周髀算经中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、 清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，前 三个节气日影长之和为 28.5 尺，最后三个节气日影长之和为 1.5 尺，今年 3 月 20 日 17 时 37 分为春分时节，其日影长为( ) A4.5 尺 B3.5 尺 C2.5 尺 D1.5 尺 5 （5 分）若圆C的半径为 1，圆心在第一象限，且与直线430 xy和x轴都相切，则该 圆的标准方程

3、是( ) A 22 (2)(1)1xy B 22 (2)(1)1xy C 22 (2)(1)1xy D 22 (3)(1)1xy 6 （5 分） 6 1 (1)(1)x x 的展开式中x的系数为( ) A6 B5 C9 D15 7 （5 分）已知圆锥SO的底面半径为r，当圆锥的体积为 3 2 6 r时，该圆锥的母线与底面 所成角的正弦值为( ) A 3 3 B 2 3 C 3 2 D 2 2 8 （5 分）已知函数sin(0)yaxb a的图象如图所示，则函数log () a yxb的图象可能 是( ) 第 2 页（共 24 页） A B C D 9 （5 分）已知m是 1 和 9 的等比中项

4、，则圆锥曲线 2 2 1 y x m 的离心率为( ) A 6 3 B 6 3 或 2 C 2 3 3 D 6 3 或 2 3 3 10 （5 分）如图：ABC和DEF是同一圆O的两个内接正三角形；且/ /BCEF一个质 点P在该圆内运动，用M表示事件“质点P落在扇形OEF（阴形区域）内” ， N表示事件 第 3 页（共 24 页） “质点P落在DEF内” ，则(|)(P N M ) A 3 3 4 B 3 2 C 1 3 D 2 3 11 （5 分） 已知A、B为平面上的两个定点， 且| 2AB ， 该平面上的动线段PQ的端点P、 Q，满足|5AP ，6AP AB，2AQAP ，则动线段PQ

5、所形成图形的面积为( ) A36 B60 C72 D108 12 （5 分）对于0 x ，0 x aelnxlna恒成立，则a的取值范围为( ) A 1 2e ，) B 2 2e ，) C 3 2e ，) D 1 e，) 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.其中第其中第 16 题的第一个空填对得题的第一个空填对得 2 分第二个空填对得分第二个空填对得 3 分分. 13 （5 分）己知i是虚数单位，复数 1 | | i z i ，则z的虚部为 14 （5 分）设 1.5 ae， 3 logbe， 1 3 log 5c ，则a，

6、b，c按从小到大的顺序为 15 （5 分）辛丑牛年春晚现场请来了荣获“人民英雄” “时代楷模” “全国道德模范”称号 的几位先进人物代表共度新春佳节，他们是“人民英雄”陈薇、 “时代楷模”毛相林、张连 刚、林占禧， “全国道德模范”张晓艳、周秀芳、张家丰、朱恒银，从中选出两位荣誉称号 不同的代表先后给全国人民拜年，则不同的发言情况有 种 16 （5 分）已知圆 22 :(1)16Cxy，P是圆C上任意点，若(1,0)A，线段AP的垂直平 分线与直线CP相交于点Q，则点Q的轨迹方程是 ；若A是圆C所在平面内的一定点， 线段AP的垂直平分线与直线CP相交于点Q， 则点Q的轨迹是： 一个点； 圆；

7、椭圆； 双曲线；抛物线，其中可能的结果有 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第 17-21 题为必考题，每题为必考题，每 个试题考生都必须作答个试题考生都必须作答.第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分. 17 （12 分）已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若向量(1, 2 )ma， 第 4 页（共 24 页） (,cos )naB ，且mn （）求角B； （）若2 2b ，2 3a ，求角A 18 （12 分

8、）2020 年是决胜全面建成小康社会、决战脱贫攻坚之年，面对新冠肺炎疫情和严 重洪涝灾害的考验， 党中央坚定如期完成脱贫攻坚目标决心不动摇， 全党全社会戮力同心真 抓实干，取得了积极成效某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地， 已知土地的使用面积x与相应的管理时间y的关系如表所示： 土地使用面积 x 1 2 3 4 5 管理时间y 8 11 14 24 23 并调查了某村 300 名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如表所示： 愿意参与管理 不愿意参与管理 男性村民 140 60 女性村民 40 （）做出散点图，判断土地使用面积x与管理时间y是否线性相关；并根据相关系数r说 明

9、相关关系的强弱， （若| |0.75r ， 认为两个变量有很强的线性相关性，r值精确到0.001) （） 若以该村的村民的性别与参与管理意愿的情况估计贫困县的情况， 且每位村民参与管 理的意愿互不影响， 则从该贫困县村民中任取 3 人， 记取到不愿意参与管理的女性村民的人 数为X，求X的分布列及数学期望 参考公式： 1 22 11 ()() ()() n ii i nn ii ii xxyy r xxyy 参考数据：16y ， 5 2 1 ()206 i i yy ，51522.7 19（12 分） 如图， 在三棱柱 111 ABCABC中， 侧棱 1 AA 底面 111 A BC，90BAC

10、，4AB ， 2AC ，M是AB中点，N是 11 A B中点，P是 1 BC与 1 B C的交点，点Q在线段 1 C N上 （）求证：/ /PQ平面 1 ACM； （）若二面角 1 ACMA的余弦值是 3 3 ，求点B到平面 1 ACM的距离 第 5 页（共 24 页） 20 （12 分）已知抛物线 2 :2(0)C xpy p上的点 0 (x，1)到其焦点F的距离为 3 2 ，过点F 的直线 1 与抛物线C相交于A，B两点，过原点O垂直于l的直线与抛物线C的准线相交 于Q点 （）求抛物线C的方程及F的坐标； （）设OAB，QAB的面积分别为 1 S， 2 S，求 12 11 SS 的最大值

11、21 （12 分）已知函数( )2sin x f xexx，( )( sincos) x g xexxa （）求函数( )f x的单调区间； （） 1 x， 2 0 x ， 2 ，使得不等式 12 ()()g xf x成立，求a的取值范围； （）不等式 ( )fxm lnx x 在(1,)上恒成立求整数m的最大值 选考题： 共选考题： 共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、 23 题中任选题中任选-题作答题作答.并用并用 2B 铅笔将所选题号涂黑， 多涂、铅笔将所选题号涂黑， 多涂、 错涂、漏涂均不给分错涂、漏涂均不给分.如果多做，则按所做的第一题计分如果多做，则按所做的第一题计分.选修

12、选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 2 2 ( 2 1 2 xt t yt 为参数） ，以坐标原 点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为4sin （）求曲线C的直角坐标方程； （）已知点P的直角坐标为(0,1)，l与曲线C交于A，B两点，求|PAPB 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数( ) |4|1|f xxx，xR （）解不等式：( ) 5f x ； （）记( )f x的最小值为M，若正实数a，b满足abM，试求： 11 21ab 的最小 第 6 页（共 24 页） 值 第

13、 7 页（共 24 页） 2021 年吉林省吉林市高考数学第三次调研试卷（理科）年吉林省吉林市高考数学第三次调研试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 题，每小题题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 个是符合题目要求个是符合题目要求. 1 （5 分）已知集合|1AxN x， 1B ，0，1，2，则AB的子集的个数为( ) A1 B2 C3 D4 【解答】解：因为集合|1AxN x， 1B ，0，1，2， 所以0AB ，1， 故AB的子集的个数为 2 24 故选：D

14、2 （5 分）若( )f x是定义在R上的奇函数，且(2)( )f xf x ，则f（8）的值为( ) A1 B2 C0 D1 【解答】解：根据题意，若( )f x是定义在R上的奇函数，则(0)0f， 又由(2)( )f xf x ，则有(4)(2)( )f xf xf x ， 则f（8）f（4）(0)0f， 故选：C 3 （5 分）已知直线l经过点(1, 1)，且与直线250 xy垂直，则直线l的方程为( ) A210 xy B230 xy C210 xy D230 xy 【解答】解：因为直线l与直线250 xy垂直，所以直线l可设为20 xym， 因为直线l经过点(1, 1)， 所以12

15、( 1)0m ，解得1m ， 则直线l的方程为210 xy 故选：C 4 （5 分） 周髀算经中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、 清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，前 三个节气日影长之和为 28.5 尺，最后三个节气日影长之和为 1.5 尺，今年 3 月 20 日 17 时 37 分为春分时节，其日影长为( ) 第 8 页（共 24 页） A4.5 尺 B3.5 尺 C2.5 尺 D1.5 尺 【解答】解：设影长依次成等差数列 n a，其公差为d 则 123 28.5aaa， 101112 1.5aaa， 1 3328.5a

16、d， 1 3301.5ad， 解得 1 10.5a ，1d ， 7 10.56( 1)4.5a ， 今年 3 月 20 日 17 时 37 分为春分时节，其日影长为 4.5 尺 故选：A 5 （5 分）若圆C的半径为 1，圆心在第一象限，且与直线430 xy和x轴都相切，则该 圆的标准方程是( ) A 22 (2)(1)1xy B 22 (2)(1)1xy C 22 (2)(1)1xy D 22 (3)(1)1xy 【解答】解：设圆心坐标为(a，)(0b a ，0)b ， 由圆与直线430 xy相切，可得圆心到直线的距离 |43 | 1 5 ab dr ， 化简得：|43 | 5ab， 又圆与

17、x轴相切，可得|1br，解得1b 或1b （舍去） ， 把1b 代入得：435a 或435a ，解得2a 或 1 2 a （舍去） ， 圆心坐标为(2,1)， 则圆的标准方程为： 22 (2)(1)1xy 故选：A 6 （5 分） 6 1 (1)(1)x x 的展开式中x的系数为( ) A6 B5 C9 D15 【解答】解： 6 1 (1)(1) x x 的展开式中x的系数为 122 66 ( 1)( 1)9CC ， 故选：C 7 （5 分）已知圆锥SO的底面半径为r，当圆锥的体积为 3 2 6 r时，该圆锥的母线与底面 所成角的正弦值为( ) 第 9 页（共 24 页） A 3 3 B 2

18、3 C 3 2 D 2 2 【解答】解：设圆锥的高为h，则由题意可得， 23 12 36 Vr hr， 解得 2 2 h r ， 所以母线与底面所成角的正切值为 2 2 ， 由同角三角函数关系可得，母线与底面所成角的正弦值为 3 3 故选：A 8 （5 分）已知函数sin(0)yaxb a的图象如图所示，则函数log () a yxb的图象可能 是( ) A B C 第 10 页（共 24 页） D 【解答】解：由函数sin(0)yaxb a的图象可得01b， 2 23 a ，即 2 1 3 a 故函数log () a yxb是定义域内的减函数，且过定点(1,0)b， 故选：A 9 （5 分）

19、已知m是 1 和 9 的等比中项，则圆锥曲线 2 2 1 y x m 的离心率为( ) A 6 3 B 6 3 或 2 C 2 3 3 D 6 3 或 2 3 3 【解答】解：由题意，实数m是 1，9 的等比中项， 2 1 9m ，3m ， 当3m 时，方程为 2 2 1 3 y x ，表示椭圆， 2 3a ， 2 1b ， 2 2c ，2c ， 离心率为 26 33 c e a ； 当3m 时，方程为 2 2 1 3 y x ，表示双曲线， 2 1a ， 2 3b ， 2 4c ，2c ， 离心率为2 c e a ， 故选：B 10 （5 分）如图：ABC和DEF是同一圆O的两个内接正三角形

20、；且/ /BCEF一个质 点P在该圆内运动，用M表示事件“质点P落在扇形OEF（阴形区域）内” ， N表示事件 “质点P落在DEF内” ，则(|)(P N M ) 第 11 页（共 24 页） A 3 3 4 B 3 2 C 1 3 D 2 3 【解答】解：ABC和DEF是同一圆O的两个内接正三角形，设半径OEr， 3 EOF ， 22 13 sin 234 OEF Srr ， 2 1 3 OEF Sr 扇形 ， 1 () 3 P M， 3 () 4 P MN ， 3 3 3 4 (/) 1 4 3 P NM ， 故选：A 11 （5 分） 已知A、B为平面上的两个定点， 且| 2AB ， 该

21、平面上的动线段PQ的端点P、 Q，满足|5AP ，6AP AB，2AQAP ，则动线段PQ所形成图形的面积为( ) A36 B60 C72 D108 【解答】解：根据题意建立平面直角坐标系，如图所示； 则(0,0)A，(2,0)B，设( , )P x y，( , )APx y，(2,0)AB ； 由|5AP ，得 22 25xy； 又6AP AB， 26x，3x ； 2 16y； 44y 剟 动点P在直线3x 上，且44y 剟， 第 12 页（共 24 页） 由相似三角形可知AQ扫过的面积为 48， 即| 8PC ， 则AP扫过的三角形的面积为 1 8 312 2 ， 设点 0 (Q x， 0

22、) y 2AQAP ， 0 (x， 0) 2(yx ，)( 6y ，2 )y， 0 6x ， 0 2yy ， 动点Q在直线6x 上，且88y 剟， | 16QD， AQ扫过的三角形的面积为 1 16648 2 ， 因此和为 60， 故选：B 12 （5 分）对于0 x ，0 x aelnxlna恒成立，则a的取值范围为( ) A 1 2e ，) B 2 2e ，) C 3 2e ，) D 1 e，) 第 13 页（共 24 页） 【解答】解：0 x aelnxlna对于0 x 恒成立，所以 x aelnxlna对于0 x 恒成立， 即 x x aeln a 对于0 x 恒成立， 因为函数 x

23、yae与 x yln a 互为反函数， 则有 x aex对于0 x 恒成立， 故 x x a e 对于0 x 恒成立， 令( )(0) x x f xx e ，则 1 ( ) x x fx e ，当01x时，( )0fx，则( )f x单调递增，当1x 时，( )0fx，则( )f x单调递减， 所以当1x 时，( )f x取得最大值f（1） 1 e ， 所以 1 a e ， 故a的取值范围为 1 ,) e 故选：D 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.其中第其中第 16 题的第一个空填对得题的第一个空填对得 2 分第二个空

24、填对得分第二个空填对得 3 分分. 13 （5 分）己知i是虚数单位，复数 1 | | i z i ，则z的虚部为 1 【解答】解： 1 1 | | i zi i ， 则z的虚部为1， 故答案为：1 14（5 分） 设 1.5 ae， 3 logbe， 1 3 log 5c ， 则a，b，c按从小到大的顺序为 abc 【解答】解：因为 1.50 1aee， 33 0loglog 31be， 11 33 log 510clog， 所以a，b，c的大小关系为：abc， 故答案为：abc 15 （5 分）辛丑牛年春晚现场请来了荣获“人民英雄” “时代楷模” “全国道德模范”称号 的几位先进人物代表共

25、度新春佳节，他们是“人民英雄”陈薇、 “时代楷模”毛相林、张连 刚、林占禧， “全国道德模范”张晓艳、周秀芳、张家丰、朱恒银，从中选出两位荣誉称号 不同的代表先后给全国人民拜年，则不同的发言情况有 38 种 【解答】解：从中选出两位荣誉称号不同的代表先后给全国人民拜年，则发言情况有 3 类， 第 14 页（共 24 页） 一类： “人民英雄” “时代楷模” ，二类： “全国道德模范” “人民英雄” ， 三类： “时代楷模” “全国道德模范” ， 所以一类： “人民英雄” “时代楷模” ，发言方案： 12 32 6CA， 二类： “全国道德模范” “人民英雄” ， 12 42 8CA， 三类：

26、“时代楷模” “全国道德模范” ， 112 342 24CCA， 共有 38 种发言方案 故答案为：38 16 （5 分）已知圆 22 :(1)16Cxy，P是圆C上任意点，若(1,0)A，线段AP的垂直平 分线与直线CP相交于点Q，则点Q的轨迹方程是 22 1 43 xy ；若A是圆C所在平面内 的一定点，线段AP的垂直平分线与直线CP相交于点Q，则点Q的轨迹是：一个点； 圆；椭圆；双曲线；抛物线，其中可能的结果有 【解答】解：圆 22 :(1)16Cxy，则圆心( 1,0)C ，半径4r ， 因为线段AP的垂直平分线与直线CP相交于点Q， 则4QAQPPCQCQC， 所以42QAQCAC，

27、 故点Q的轨迹是以(1,0)A，( 1,0)C 为焦点，长轴长为 4 的椭圆， 所以1c ，2a ，故 222 3bac， 所以点Q的轨迹方程是 22 1 43 xy ； （1）若点A在圆C内不同于点C处，如图（1）所示，则有4QPQCPCAC， 由椭圆的定义可知，点Q的轨迹是以A，C为焦点，长轴长为 4 的椭圆，故选项成立； 第 15 页（共 24 页） （2）若点A在圆心C处，如图（2）所示，则有 1 2 2 QPQAPC， 由圆的定义可知，点Q的轨迹是以C为圆心，2 为半径的圆，故选项成立； （3）若点A在圆C上，如图（3）所示，则有AP的垂直平分线与PC交于点C， 故点Q与点C重合，点

28、Q的轨迹为一个点，故选项成立； （4） 若点A在圆外， 如图 （4） 所示， 则4QAQPPCQCQC， 所以4QAQCAC， 故点Q的轨迹是以A，C为焦点，4 为实轴长的双曲线的一支，故选项不成立； 第 16 页（共 24 页） 点A不论在什么位置，点Q的轨迹都不可能是抛物线，故选项不成立 故可能的结果有 故答案为： 22 1 43 xy ； 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第 17-21 题为必考题，每题为必考题，每 个试题考生都必须作答个试题考生都必须作答.第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作

29、答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分. 17 （12 分）已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若向量(1, 2 )ma， (,cos )naB ，且mn （）求角B； （）若2 2b ，2 3a ，求角A 【解答】解：( ) I由题意得2 cos0m naaB ， 故 2 cos 2 B ， 因为B为三角形的内角， 所以 4 B ； ()II若2 2b ，2 3a ， 4 B ， 由正弦定理得 sinsin ab AB ， 所以 2 2 3 sin3 2 sin 22 2 aB A b ， 因为ba， 所以AB， 故 3 A 或 2 3

30、A 第 17 页（共 24 页） 18 （12 分）2020 年是决胜全面建成小康社会、决战脱贫攻坚之年，面对新冠肺炎疫情和严 重洪涝灾害的考验， 党中央坚定如期完成脱贫攻坚目标决心不动摇， 全党全社会戮力同心真 抓实干，取得了积极成效某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地， 已知土地的使用面积x与相应的管理时间y的关系如表所示： 土地使用面积 x 1 2 3 4 5 管理时间y 8 11 14 24 23 并调查了某村 300 名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如表所示： 愿意参与管理 不愿意参与管理 男性村民 140 60 女性村民 40 （）做出散点图，判断土地使用面积

31、x与管理时间y是否线性相关；并根据相关系数r说 明相关关系的强弱， （若| |0.75r ， 认为两个变量有很强的线性相关性，r值精确到0.001) （） 若以该村的村民的性别与参与管理意愿的情况估计贫困县的情况， 且每位村民参与管 理的意愿互不影响， 则从该贫困县村民中任取 3 人， 记取到不愿意参与管理的女性村民的人 数为X，求X的分布列及数学期望 参考公式： 1 22 11 ()() ()() n ii i nn ii ii xxyy r xxyy 参考数据：16y ， 5 2 1 ()206 i i yy ，51522.7 【解答】解： （）散点图如下所示 由散点图知，土地使用面积x与

32、管理时间y线性相关 由题意知， 1 (12345)3 5 x ， 1 (811 142423)16 5 y ， 第 18 页（共 24 页） 5 1 ()()( 2)( 8)( 1)( 5)0( 2)1 82743 ii i xxyy ， 5 222222 1 ()( 2)( 1)01210 i i xx ， 5 222222 1 ()( 8)( 5)( 2)87206 i i yy ， 相关系数 1 22 11 ()() 434343 0.9470.75 45.4102062 515 ()() n ii i nn ii ii xxyy r xxyy ， 故土地使用面积x与管理时间y的线性相关

33、性很强 （ ） 由 题 意 知 ， 调 查 的 300 名 村 民 中 不 愿 意 参 与 管 理 的 女 性 村 民 人 数 为 3 0 0(1 4 04 06 0 )6 0名， 从该贫困县中任选一人，取到不愿意参与管理的女性村民的概率 601 3005 p ， X的所有可能取值为 0，1，2，3， 03 3 464 (0)( ) 5125 P XC， 12 3 1448 (1)( ) 55125 P XC， 22 3 1412 (2)( ) 55125 P XC， 33 3 11 (3)( ) 5125 P XC， X的分布列为 X 0 1 2 3 P 64 125 48 125 12 1

34、25 1 125 数学期望 64481213 ()0123 1251251251255 E X 19（12 分） 如图， 在三棱柱 111 ABCABC中， 侧棱 1 AA 底面 111 A BC，90BAC，4AB ， 2AC ，M是AB中点，N是 11 A B中点，P是 1 BC与 1 B C的交点，点Q在线段 1 C N上 （）求证：/ /PQ平面 1 ACM； （）若二面角 1 ACMA的余弦值是 3 3 ，求点B到平面 1 ACM的距离 第 19 页（共 24 页） 【解答】 （）证明：连结MN，因为侧棱 1 AA 底面 111 A BC，所以三棱柱为直三棱柱， 由M，N是AB， 1

35、1 A B的中点，则 1 / /MNCC， 1 MNCC， 故四边形 1 MNC C为平行四边形，则 1/ / NCMC， 因为 1 NC 平面 1 ACM，MC 平面 1 ACM， 所以 1/ / NC平面 1 ACM， 连结PN，由P，N是 1 B C， 11 A B中点，则 1 / /PNAC， 又PN 平面 1 ACM， 1 AC 平面 1 ACM， 所以/ /PN平面 1 ACM，又 1 PNNCN，所以平面 1/ / PNC平面 1 ACM， 因为PQ 平面 1 PNC，所以/ /PQ平面 1 ACM； （）解：以A为原点，建立空间直角坐标系如图所示， 设 1(0 A，0，)(0)

36、h h ，(0M，2，0)，(2C，0，0)，(0B，4，0)， 所以 11 (0,2,),(2,0,)AMh ACh， 设平面 1 ACM的法向量为( , , )nx y z， 则 1 1 20 20 n AMyhz n ACxhz ， 令2z ，则xyh，故( , ,2)nh h， 又平面ACM的一个法向量为(0,0,1)m ， 因为二面角 1 ACMA的余弦值是 3 3 ， 则 2 23 |cos,| | |3 24 1 n m n m n m h ， 又0h ，解得2h ， 所以(2,2,2)n ，又(0,2,0)MB ， 第 20 页（共 24 页） 故点B到平面 1 ACM的距离

37、|42 3 |32 3 MB n d n 20 （12 分）已知抛物线 2 :2(0)C xpy p上的点 0 (x，1)到其焦点F的距离为 3 2 ，过点F 的直线 1 与抛物线C相交于A，B两点，过原点O垂直于l的直线与抛物线C的准线相交 于Q点 （）求抛物线C的方程及F的坐标； （）设OAB，QAB的面积分别为 1 S， 2 S，求 12 11 SS 的最大值 【解答】解： （）抛物线 2 :2(0)C xpy p的焦点(0,) 2 p F，准线方程为 2 p y ， 由抛物线的定义可得， 3 1 22 p ，解得1p ， 所以抛物线的方程为 2 2xy， 1 (0,) 2 F； （）由

38、（）可得 1 (0,) 2 F，设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 易得直线l存在斜率，设为k， 直线l的方程为 1 2 ykx， 与抛物线的方程 2 2xy联立， 消去x， 可得 22 1 (21)0 4 yky， 第 21 页（共 24 页） 42 440kk恒成立， 2 12 21yyk， 2 12 |22AByypk， 设原点O到直线l的距离为 1 d， 1 2 1 2 1 d k ， 所以 22 11 2 1111 |2(1)1 222 21 SAB dkk k ， 易得 1 ( 2 Qk， 1) 2 ，设Q到直线l的距离为 2 d， 2 2 2 2 21 k

39、 d k ， 所以 2 222 22 2 1121 |2(1)(2)1 222 21 k SAB dkkk k ， 故 22 2 22222 12 11222(1)21 2 1(2)1(2)1 kk SSk kkkkk ， 设 2 1 1mk ， 2 12 11222 1 1 11 2 m SSm m m m m ， 当且仅当 1 m m ，即1m 时，取得等号， 所以 12 11 SS 的最大值为 1 21 （12 分）已知函数( )2sin x f xexx，( )( sincos) x g xexxa （）求函数( )f x的单调区间； （） 1 x， 2 0 x ， 2 ，使得不等式

40、12 ()()g xf x成立，求a的取值范围； （）不等式 ( )fxm lnx x 在(1,)上恒成立求整数m的最大值 【解答】解：( )( )2cos x I f xex，(0)0f， 当0 x 时，1 x e ，cos1x，2cos0 x ex， 即( )0fx的解集(,0)， 所以( )f x在(,0)上单调递减， 当0 x 时，设( )2cos x h xex，则( )sin0 x h xex， 故( )h x在(0,)上单调递增，且(0)0h， 所以( )(0)0h xh恒成立， 所以( )f x在(0,)上是增函数， 综上( )f x的单调减区间(,0)，增区间(0,)； 第

41、22 页（共 24 页） ()II由( ) I知( )(0)1 min f xf， 1 x， 2 0 x ， 2 ，使得不等式 12 ()()g xf x成立， 等价于不等式(cossin) 1 x exxa在0， 2 时有解，即sincos x axxe在0， 2 上有 解， 设( )sincos x F xxxe，0 x， 2 ，则( )sincos x F xxxe， 由于0 x， 2 ，sincos1xx，2，1 x e， 故( ) 0F x恒成立，( )F x在0， 2 上单调递增，( )(0)0 min F xF， 故a的范围0，)； ()III不等式 ( )fxm lnx x 在

42、(1,)上恒成立等价于(2cos) x min mexxlnx， 令( )2cos x H xexxlnx，则( )sin1 x H xexlnx， 1 ( )cos x Hxex x ， 因为1x ，所以 x ee，cos1x， 1 1 x ， 故( )20Hxe ， 故( )H x在(1,)上单调递增， ( )H xH（1）sin1 11 10ee ， 故( )H x在(1,)上单调递增， ( )H xH（1）2cos1e， 故2cos1me， 因为2cos1(1,2)e且Z， 所以整数m的最大值 1 选考题： 共选考题： 共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、 23 题中任选题中任

43、选-题作答题作答.并用并用 2B 铅笔将所选题号涂黑， 多涂、铅笔将所选题号涂黑， 多涂、 错涂、漏涂均不给分错涂、漏涂均不给分.如果多做，则按所做的第一题计分如果多做，则按所做的第一题计分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 2 2 ( 2 1 2 xt t yt 为参数） ，以坐标原 点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为4sin （）求曲线C的直角坐标方程； 第 23 页（共 24 页） （）已知点P的直角坐标为(0,1)，l与曲线C交于A，B两点，求|PAPB 【解答】解： （）曲线C

44、的极坐标方程为4sin，根据 222 cos sin x y xy ，转换为直角 坐标方程为 22 40 xyy，整理得 22 (2)4xy （）将直线l的参数方程为 2 2 ( 2 1 2 xt t yt 为参数） ，代入 22 40 xyy， 得到 2 230tt， 所以 12 2tt， 1 2 3t t ， 故 2 12121 2 | |()414PAPBttttt t 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数( ) |4|1|f xxx，xR （）解不等式：( ) 5f x ； （）记( )f x的最小值为M，若正实数a，b满足abM，试求： 11 21ab 的最小 值 【解答】解： （） 25,4 ( ) |4|1|3,14 25,1 xx f xxxx xx 剟， ( ) 5f x ， 25 5 4 x x 或14x剟或 25 5 1 x x ， 45x 或14x剟或01x ，05x 剟， 不等式的解集为 |05xx剟 （）由（）知，( )3 min f xM， 3abM， (2)(1)6ab， 11 21ab 第 24 页（共 24 页） 111 ()(2)(1) 621 ab ab 112 (2) 621 ba ab 112 (22) 621 ba ab 2 3 ， （当且仅当21ab时“”成立） ， 故 11 21ab 的最小值是 2 3