1、 1 / 15 北京市顺义区 2021 届高三下学期第二次统练数学试题 数 学 考 生 须 知 1本试卷共 4 页，共两部分21 道小题，满分 150分，考试时间 120分钟 2在答题卡上准确填写学恔名称、姓名、班级和教育 ID 号 3试题答案一律填涂或书写在答题卡，在试卷上作答无效 4在答题卡上选择题用 2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答 5考试结束后请将答题卡上交 第一部分（选择题 共 40分） 一、选择题共 10小题，每小题 4 分，共 40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1已知集合| 1 ,|02Ax xBxx剟，则AB（ ） A|2x x B| 12xx
2、C |01xx剟 D| 12xx 2在复平面内，复数(2)zi i对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3在 6 (2)x 的展开式中， 3 x的系数为（ ） A40 2 B40 2 C40 D40 4已知, a bR，且ab，则下列不等式恒成立的是（ ） A22 ab B 22 11 11ab C 33 ab D 22 lg1lg1ab 5某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是（ ） 2 / 15 A 5 2 B1 C2 D2 6已知函数 2 ( ) | 1log |f xxx ，则不等式( )0f x 的解集是（ ） A(0,1)(2,) B
3、(, 2)( 1,1)(2,) C(, 2)( 1,0)(0,1)(2,) D( 2, 1)(1,2) 7把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是 1 ，空气的温度是 0 那么mint后物体的温（单 位：）可由公式 010 c求得，其中 k 是一个随着物体与空气的接触情况而定的常数现有 46 的物体，放在 10的空气中冷却，1min以后物体的温度是 38，则 k的值约为(ln31.10,ln71.95)（ ） A0.25 B0.25 C0.89 D0.89 8已知圆 22 ()()1xayb经过原点，则圆上的点到直线2yx距离的最大值为（ ） A2 2 B22 C21 D2 9已知函数(
4、)sin , , f xx xa b，则“存在 12 , , x xa b使得 12 2f xf x”是“ba ”的（ ） A充分必要条件 B充分而不必要条件 C必要而不充分条件 D既不充分也不必要条件 10设函数 3 3 , ( ) 2 , xx xa f x x x a ，若( )f x恰有两个零点，则实数 a 的取值范围是（ ） A3, 3 B(3,) C(3, 3 D(, 3) 第二部分（非选择题 共 110 分） 二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25分 11设向量( ,3),(1,2),(1, 1)ambc，若()abc，则实数m_ 12若双曲线 22 22 :1(0,0
5、) xy Cab ab 的焦距等于实轴长的3倍，则 C 的渐近线方程为_ 13已知 n a为等差数列， n S为其前 n 项和，若 131 6,2aSa，则公差d _， n S的最大值为 _ 14已知是任意角，且满足cossin 6 k ，则常数 k的一个取值为_ 15曲线 C是平面内与两个定点 12 (0,1),(0, 1)FF的距离的积等于 3 2 的点 P 的轨迹，给出下列四个结论： 曲线 C 关于坐标轴对称； 12 FPF周长的最小值为26； 3 / 15 点 P到 y轴距离的最大值为 2 2 ； 点 P到原点距离的最小值为 2 2 其中所有正确结论的序号是_ 三、解答题共 6 小题，
6、共 85 分解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程 16（本小题 14分） 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形且PA 平面ABCD，M，N 分别为,PB PD的中点 （）求证：/ /MN平面ABCD； （）若2PAAB，求CN与平面PBD所成角的正弦值 17（本小题 13分） 在ABC中，已知sin3sin,30BC A，再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求： （）c的值； （）ABC的面积 条件：2 3ab ； 条件：sin6aB 注：如果选择条件和条件分别作答，按第一个解答计分 4 / 15 18（本小题 14分） 某学校食堂为了解师生对某种新推出的菜品的满意
7、度，从品尝过该菜品的学生和老师中分别随机调查了 20 人， 得到师生对该菜品的满意度评分如下： 教师：60 63 65 67 75 77 77 79 79 82 83 86 87 89 92 93 96 96 96 学生：47 49 52 54 55 57 63 65 66 66 74 74 75 77 80 82 83 84 95 96 根据师生对该菜品的满意度评分，将满意度从低到高分为三个等级： 满意度评分 低于 70分 70 分到 89分 不低于 90 分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 假设教师和学生对该菜品的评价结果相互独立，根据所给数据，用事件发生的频率估计相应事件发生的概率
8、（）设数据中教师和学生评分的平均值分别为 1 和 2 ，方差分别为 1 和 2 ，试比较 1 和 2 ， 1 和 2 的 大小（结论不要求证明）； （）从全校教师中随机抽取 3 人，设 X为 3 人中对该菜品非常满意的人数，求随机变量 X的分布列及数学期 望； （）求教师的满意度等级高于学生的满意度等级的概率 19（本小题 14分） 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Gab ab 的离心率为 2 2 ，且过点(2, 2) （）求椭圆 G的方程； （）过点(0,1)M斜率为(0)k k 的直线 l交椭圆 G于 A，B 两点，在 y轴上是否存在点 N 使得 ANMBNM（点 N与点 M 不重
9、合），若你在，求出点 N 的坐标，若不存在，请说明理由 5 / 15 20（本小题 15分） 已知函数 2 ( )() x f xemx mR （）已知曲线( )yf x在点(1,(1)f处的切线方程为yexe，求 m 的值； （）若存在 0 0,1x ，使得 0 2f x ，求 m的取值范围 21（本小题 15分） 已知数列 n a n a N，记 12nn Saaa，首项 10 0an，若对任意整数2k，有01 k ak 剟， 且 k S是 k 的正整数倍 （）若 1 21a ，写出数列 n a的前 10 项； （）证明：对任意2n，数列 n a的第 n项 n a由 1 a唯一确定； （）
10、证明：对任意正整数 0 n，数列 n S从某一项起为等差数列 6 / 15 北京市顺义区 2021 届高三下学期第二次统练数学试题 参考答案 一. 选择题（共 10 小题,每小题 4分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项） 二.填空题(本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25分) (11) 2 (12) 2yx (13) 2，12（前 3 分，后 2 分） (14) 3（答案不唯一） (15) 三解答题（本大题共 6小题，共 85分,其它答案参考给分） （16）（共 14 分） 解：（）如图，连接BD， 因为M，N分别是PB，PD的中点， 所以MNBDP.-2
11、 分 又MNABCD平面，BDABCD平面， 所以MN P平面ABCD.-5 分 （）因为PA平面ABCD， ABABCD平面，ADABCD平面， 所以PAAB，PAAD. 因为底面ABCD是正方形， 所以ABAD. 以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为 x轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系-xyzA.-6 分 则()0,0,2P，()2,0,0B，()2,2,0C，()0,2,0D.-8 分 因为N是PD的中点， 题号 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) 答案 D B A C C D A B B C 7 / 15 所以()0,
12、1,1N. 所以( 2,1,1)CN = - uuu r ，(2,0,2)PB=- uur ，(0,2,2)PD=- uuu r .-10 分 设平面PBD的法向量为(), ,nx y z= r ， 所以 0 0 PB n PD n ? ? uur r uuu r r. 即 220 220 xz yz -= -= . 令1z ，则1x ，1y . 于是()1,1,1n= r .-12 分 设直线CN与平面PBD所成角为，则 |211|2 sin|cos,| 363 | CN n CN n CNn q -+ = =?= uuu r r uuu r r g uuu rr g .-14 分 所以CN
13、与平面PBD所成角的正弦值为 2 3 . （17）（共 13 分） 解：选择条件：2 3ab . （）在ABC中，由正弦定理： sinsin bc BC .-1 分 所以sin sin c bB C . 又sin3sinBC， 所以3bc.-2 分 因为2 3ab ， 所以 2 32 32 3 a bcc .-3 分 因为30A ， 8 / 15 所以 3 cos 2 A .-4 分 由余弦定理： 222 cos 2 bca A bc ，-5 分 所以 222 2 2 3( ) 3 22 3 cc c c .-6 分 解得 2 2c . 因为0c ， 所以2c .-8 分 （）因为2c ，3b
14、c， 所以6b .-10 分 所以 1113 sin62 2222 ABC SbcA .-13 分 选择条件：sin6aB （）在ABC中，因为 sinsinsin abc ABC ， 所以sinsin6bAaB.-3 分 因为30A ， 所以 1 sin 2 A . 所以 6 12 sin b A .-5 分 因为sin3sinBC， 所以3bc. 所以4 3c .-8 分 （）因为12b ，4 3c ，30A ， 9 / 15 所以 111 sin12 4 312 3 222 ABC SbcA .-13 分 （18）（共 14 分） 解：（） 12 ， 12 .-2 分 （）由题意可知，随
15、机抽取的教师对该菜品非常满意的概率为 51 204 . -3 分 X 的取值为 0，1，2，3，-4 分 则X 1 (3, ) 4 B， 3 3 13 ()( ) ( )(0,1,2,3) 44 kkk P XkCk . 所以 03 0 3 1327 0 4464 P XC ，-5 分 2 1 3 1 327 1 4 464 P XC ，-6 分 2 2 3 139 2 4464 P XC ，-7 分 30 3 3 131 3 4464 P XC .-8 分 所以X的分布列为： -9 分 故X的期望 13 ()3 44 E X .-10 分 （）设事件A为“教师对该菜品满意”，设事件B为“教师
16、对该菜品非常满意”，设事件C为“学生对该菜品不 满意”，设事件D为“学生对该菜品满意”，设事件E为“教师的满意度等级高于学生的满意度等级” 则EACBCBD.-11 分 X 0 1 2 3 P 27 64 27 64 9 64 1 64 10 / 15 易知 1112 ( )( )( )( ) 2425 P AP BP CP D，. 因为事件AC,BC，BD彼此互斥，事件A，B，C，D彼此独立， 所以( )()()()P EP ACP BCP BD ( ) ( )( ) ( )( ) ()P A P CP B P CP B P D 1 11 11 219 = 2 24 24 540 .-14
17、分 所以教师的满意度等级高于学生的满意度等级的概率为 19 40 . （19）（共 14 分） 解：（）由题意得 22 222 2 2 42 1 c a ab abc ，-1 分 解得2 2a ，2b.-3 分 所以椭圆G的方程为 22 1 84 xy .-4 分 （）解法一： 设 11 ( ,)A x y， 22 (,)B xy，(0, )Nt(1)t ， 所以直线 AN 的斜率为 1 1 1 yt k x ， 直线 BN 的斜率为 2 2 2 yt k x .-6 分 所以ANMBNM当且仅当 12 0kk.-7 分 即满足 12212121 1212 ytytx ytxx ytx xxx
18、 x 11 / 15 212121 12 (1)(1)x kxtxx kxtx x x 1212 12 2(1)()kx xtxx x x 0.-9 分 即1212 2(1)()0kx xt xx. 根据题意，直线 l的方程为1ykx.-10 分 由 22 1 1 84 ykx xy 得 22 (21)460kxkx.-11 分 则 12 2 4 21 k xx k ， 12 2 6 21 x x k .-13 分 所以 222 644 (4) 2(1)0 212121 kk t kt kkk g. 又因为0k ， 所以4t .-14 分 因此在y轴上存在点 N使得ANMBNM，点N的 坐标为
19、(0,4). （）解法二： 设 11 ( ,)A x y， 22 (,)B xy，(0, )Nt(1)t ， 当 t=0 时，(0,0)N，显然ANMBNM，不满足题意. 所以直线 AN 的斜率为 1 1 1 yt k x .-5 分 所以直线 AN 的方程为 111 ()0yt xx yxt. 所以原点 O到直线 AN的距离为 1 1 22 11 () xt d ytx . 12 / 15 同理可得原点 O到直线 BN的距离为 2 2 22 22 () x t d ytx .-6 分 所以ANMBNM当且仅当 12 dd.-7 分 即 12 2222 1122 ()() xtx t ytxy
20、tx . 因为0t ， 所以 22 12 2222 1122 ()() xx ytxytx . 根据题意，直线 l的方程为1ykx.-8 分 所以 22 12 2222 1122 (1)(1) xx kxtxkxtx . 整理得 2 12121212 2(1)()(1) ()()t kx xxxtxxxx 因为 12 xx，0t ， 所以 12 0 xx，10t . 所以 1212 2(1)()kx xt xx .-10 分 由 22 1 1 84 ykx xy 得 22 (21)460kxkx.-11 分 则 12 2 4 21 k xx k ， 12 2 6 21 x x k .-13 分
21、 所以 22 ( 6)( 4 ) 2(1) 2121 k kt kk . 又0k ， 所以4(1)12t . 所以4t .-14 分 因此在y轴上存在点 N使得ANMBNM，点N的 13 / 15 坐标为(0,4). （20）（共 15 分） 解：（） 2 x fxemx，-2 分 因为曲线 yf x在点 1,1f处的切线方程为yexe， 所以 1fe ，即2eme.-4 分 所以me.-5 分 （）存在 0 0,1x ，使得 0 ()2f x 等价于 2 2 mxexf x 在区间0,1上有解，-6 分 显然0 x不是( )2f x 的解， 即等价于 2 2 x e m x 在区间(0,1上
22、有解.-7 分 设 2 e2 ( ) x g x x ， (0,1x ， 则 3 e2e4 ( ) xx x g x x .-9 分 设 ( )e2e4 xx h xx ， (0,1x ， 则 ( )e (1)0 x h xx .-11 分 所以 ( )h x 在区间(0,1上单调递减. 所以 ( )(1)40h xhe .-12 分 所以 ( )0g x ，所以 ( )g x 在区间(0,1上单调递增. 所以 max ( )(1)2g xge .-14 分 依题意需 2 em ， 所以m的取值范围为( ,e2 .-15 分 14 / 15 （21）（共 15 分） 解：（）21，1，2，0，
23、1，5，5，5，5，5.-4 分 （）当2k 时，根据题意 12 2aab为偶数，并且 2 01a， 所以 1 2 1 0 1 a a a ， 若 为偶数 ，若 为奇数 . 从而 2 a由 1 a唯一确定.-6 分 接下来用反证法，假设数列的某一项可以有两种不同取值. 假设第1k项是第 1 个可以有两种不同取值的项， 即前面k项 12.k aaa， ，由 1 a唯一确定. 记第1k项的两种取值为 1k a 和 111kkk cac （）， 根据题意存在bcN，使得 121 .(1) kk aaaakb 且 121 .(1) kk aaackc 并且满足 11 0 kk ack ，. -8 分
24、由两式作差可知 +1+1kk ac是1k的倍数， 又因为 +1+1kk ack， 可知 11kk ac ，矛盾. 从而对任意2n，数列 n a的第 n项 n a由 1 a唯一确定. -10 分 （）方法一：方法一：因为 +11 + kkkk SSaSk ， 所以 +1+1 + 1 1 kkkk SSSkS kkkk .-11 分 因为 +1 1 kk SS kk ，都是正整数，由整数的离散性有 +1 1 kk SS kk .-13 分 15 / 15 因此，存在 0 m，当 0 nm时， n S n 为常数.-14 分 不妨记为= n S c n ，从而当 0 nm时，有 n Scn. 所以
25、n S从第 0 m项起为等差数列.-15 分 方法二：方法二：一方面，记 12kk Saaabk. 如果bk，取 1k ab ， 那么 +1121 +(1) kkk Saaaab k 是+1k的倍数.-11 分 同理 23kk abab ，.， 即从第+1k项起，数列 n a为常数.-12 分 另一方面，由于 +11 + kkkk SSaSk ， 所以 10 (1) 1 21 2 n n n SSnn .-13 分 当 0 nn时， 2 (1) 2 n n n Snn ， 所以当 0 nn时， 12 = nn Saaabn，满足bn. 取 0 kn，则从第k项起，数列 n S为等差数列.-15 分
