1、 2020 年高考理科数学三角函数题型归纳与训练年高考理科数学三角函数题型归纳与训练 【题型归纳】【题型归纳】 题型一题型一 三角函数的概念、诱导公式及同角关系式三角函数的概念、诱导公式及同角关系式 例 1 （1）点 P 从(1,0)出发，沿单位圆 x2y21 逆时针方向运动2 3 弧长到达 Q 点，则 Q 点的坐标为( ) A(1 2， 3 2 ) B( 3 2 ，1 2) C(1 2， 3 2 ) D( 3 2 ，1 2) (2)已知角 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的正半轴重合，终边上一点 P(4,3)，则 cos()sin() 2 119 cos()sin() 22 的值为_ 【答案
2、】【答案】 （1）A（2）3 4 【解析】【解析】(1)设 Q 点的坐标为(x，y)， 则 xcos2 3 1 2，ysin 2 3 3 2 . Q 点的坐标为(1 2， 3 2 ) (2)原式sin sin sin cos tan . 根据三角函数的定义， 得 tan y x 3 4， 原式3 4. 【易错点】诱导公式和三角函数定义不熟练【易错点】诱导公式和三角函数定义不熟练 【思维点拨】【思维点拨】(1)涉及与圆及角有关的函数建模问题(如钟表、摩天轮、水车等)，常常借助三角函数的定义求 解应用定义时，注意三角函数值仅与终边位置有关，与终边上点的位置无关 (2)应用诱导公式时要弄清三角函数在
3、各个象限内的符号；利用同角三角函数的关系化简过程要遵循一定的 原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等 题型二题型二 三角函数的图象及应用三角函数的图象及应用 例例 1 已知曲线 1 cosCyx：， 2 2 sin 2 3 Cyx ：，则下面结正确的是（ ）. A.把 1 C上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 6 个单位长度，得到曲 线 2 C B.把 1 C上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 12 个单位长度，得到曲 线 2 C C.把 1 C上各点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右
4、平移 6 个单位长度，得到曲 线 2 C D.把 1 C上各点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 12 个单位长度，得到曲 线 2 C 【答案】【答案】D 【解析】 （【解析】 （1） 1: cosCyx ， 2 2 :sin 2 3 Cyx ， 首先曲线 1 C 、 2 C 统一为一三角函数名， 可将 1: cosCyx 用诱导公式处理 coscossin 222 yxxx 横坐标变换需将 1 变成 2 ，即 1 1 2 sinsin 2sin2 224 yxyxx C 上各坐短它原点横标缩来 2 sin 2sin2 33 yxx 注意的系数，在右平移需将
5、2 提到括号外面，这时 4 x 平移至 3 x ，根据“左加右减”原则，“ 4 x ” 到“ 3 x ”需加上 12，即再向左平移 12故选 D. 【易错点】【易错点】函数图像水平方向平移容易出错 【思维点拨】【思维点拨】平移变换理论 (1)平移变换: 沿 x 轴平移,按“左加右减”法则; 沿 y 轴平移,按“上加下减”法则. (2)伸缩变换: 沿 x 轴伸缩时,横坐标 x 伸长(01)为原来的 倍(纵坐标 y 不变); 沿 y 轴伸缩时,纵坐标 y 伸长(A1)或缩短(0A0， 20)，所以2 ，所以 2. 又 2 5 12 22k(kZ)，且 20,0| 2)为奇函数，且函数 yf(x)的
6、图象的两相 邻对称轴之间的距离为 2. (1)求 f( 6)的值； (2)将函数 yf(x)的图象向右平移 6个单位后，得到函数 yg(x)的图象，求函数 g(x)的单调递增区间 【答案】【答案】 （1）f( 6)2sin 3 3（2）k 12，k 5 12(kZ) 【解析】【解析】 （1）f(x)sin(x) 3cos(x) 21 2sin(x) 3 2 cos(x) 2sin(x 3) 因为 f(x)为奇函数，所以 f(0)2sin( 3)0， 又 0|0cos ，sin cos 0. 由(sin cos )212sin cos 18 9 17 9 ，得 sin cos 17 3 . 3.
7、若 cos() 5 3 且 2， ，则 sin()( ) A 5 3 B2 3 C1 3 D 2 3 【答案】【答案】B 【解析】【解析】cos ()cos 5 3 ，cos 5 3 . 又 2， ，sin 1cos 2 1 5 3 22 3， sin ()sin 2 3，故选 B 题型二题型二 三角函数图像三角函数图像 1.为了得到函数 ysin 3xcos 3x 的图象，可以将函数 y 2cos 3x 的图象( A ) A向右平移 12个单位 B向右平移 4个单位 C向左平移 12个单位 D向左平移 4个单位 【答案】【答案】A 【解析】【解析】因为 ysin 3xcos 3x 2cos
8、3x 4 ，所以将 y 2cos 3x 的图象向右平移 12个单位后可得到 y 2cos 3x 4 的图象. 2.函数 f(x)Asin(x) A0，0，| 2 的部分图象如图所示，若 x1，x2 6， 3 ，且 f(x1)f(x2)， 则 f(x1x2)( ) A1 B1 2 C 2 2 D 3 2 【答案】【答案】D 【解析】【解析】 观察图象可知，A1，T，2，f(x)sin(2x). 将 6，0 代入上式得 sin 3 0. 由|0)的最小正周期为 . (1)求 的值； (2)讨论 f(x)在区间 0， 2 上的单调性. 【答案】【答案】(1) 1(2) f(x)在区间 0， 8 上单
9、调递增， 在区间 8， 2 上单调递减. 【解析】【解析】 (1)因为 f(x)2sin 2x 4 的最小正周期为 ，且 0.从而有2 2，故 1 (2)因为 f(x)2sin 2x 4 . 若 0 x 2，则 42x 4 5 4 . 当 42x 4 2，即 0 x 8时，f(x)单调递增； 当 22x 4 5 4 ，即 80，函数 f(x)sin x 4 在 2， 上单调递减，则 的取值范围是( ) A 1 2， 5 4 B 1 2， 3 4 C 0，1 2 D0,2 【答案】【答案】A 【解析】【解析】由 2x0 得， 2 4x 4 4.又 ysin x 在 2， 3 2 上递减，所以 2
10、 4 2， 4 3 2 ， 解得1 2 5 4，故选 A 2.设函数 f(x)cos x 3 ，则下列结论错误的是( ) Af(x)的一个周期为2 Byf(x)的图象关于直线 x8 3 对称 Cf(x)的一个零点为 x 6 Df(x)在 2， 单调递减 【答案】【答案】D 【解析】【解析】根据函数解析式可知函数 f(x)的最小正周期为 2，所以函数一个周期为2，A 项正确；当 x8 3 时，x 33，所以 cos x 3 1，所以 B 项正确；f(x)cos x 3 cos x4 3 ，当 x 6时，x 4 3 3 2 ，所以 f(x)0，所以 C 项正确；函数 f(x)cos x 3 在 2
11、， 2 3 上单调递减，在 2 3， 上单调 递增，故 D 项不正确，故选 D 3.已知函数ysin xcos x，y2 2sin xcos x，则下列结论正确的是( ) A两个函数的图象均关于点 4，0 中心对称 B两个函数的图象均关于直线 x 4对称 C两个函数在区间 4， 4 上都是单调递增函数 D将函数的图象向左平移 4个单位得到函数的图象 【答案】【答案】C 【解析】【解析】 函数ysin xcos x 2sin x 4 ， y2 2 sin xcos x 2sin 2x， 由于的图象关于点 4，0 中心对称，的图象不关于点 4，0 中心对称，故 A 项不正确；由于函数的图象不可能关
12、于直线 x 4对称，故 B 项不正确；由于这两个函数在区间 4， 4 上都是单调递增函数，故 C 项正确；将函数的图 象向左平移 4个单位得到函数 y 2sin 2 x 4 的图象，而 y 2sin 2 x 4 2sin x 4 ，故 D 项不正 确，故选 C 题型四三角函数范围问题题型四三角函数范围问题 1.已知函数 f(x)=2sin x+sin 2x,则 f(x)的最小值是 . 【答案】【答案】3 3 2 【解析】【解析】由题意可得 T=2 是 f(x)=2sin x+sin 2x 的一个周期,所以求 f(x)的最小值可考虑求 f(x)在0,2)上的值域. 由 f(x)=2sin x+s
13、in 2x,得 f(x)=2cos x+2cos 2x=4cos2x+2cos x-2.令 f(x)=0,可得 cos x=1 2或 cos x=-1,x0,2)时,解得 x= 3或 x= 5 3 或 x=.因为 f(x)=2sin x+sin 2x 的最值只能在 x= 3,x= 5 3 ,x= 或 x=0 时取到,且 f( 3) = 33 2 ,f(5 3 )=-3 3 2 ,f()=0,f(0)=0,所以函数 f(x)的最小值为-3 3 2 . 2.已知 y3sin x2cos2x，x 6， 7 6 ，求 y 的最大值与最小值之和 【答案】【答案】23 8 【解析】【解析】 x 6， 7
14、6 ，sin x 1 2，1 . 又 y3sin x2cos2x3sin x2(1sin2x) 2 sin x1 4 27 8， 当 sin x1 4时，ymin 7 8； 当 sin x1 2或 sin x1 时，ymax2. 故函数的最大值与最小值的和为 27 8 23 8 . 3.已知函数 f(x)sin(x)(01,0)是 R 上的偶函数，其图象关于点 M 3 4 ，0 对称. (1)求 ， 的值； (2)求 f(x)的单调递增区间； (3)若 x 3 4 ， 2 ，求 f(x)的最大值与最小值， 【答案】【答案】(1)2 3.(2) 3k3 2 ，3k ，kZ(3) 函数 f(x)的
15、最大值为 1，最小值为 0. 【解析】【解析】(1)因为 f(x)sin(x)是 R 上的偶函数，所以 2k，kZ，且 0，则 2，即 f(x) cos x. 因为图象关于点 M 3 4，0 对称， 所以 3 4 2m，mZ， 2 3 4m 3 ， 又 00. 又 (，2)， 3 2 ，2 ，7 4 . 2.已知函数 f(x)2cos2x12 3sin xcos x(01)，直线 x 3是函数 f(x)的图象的一条对称轴. (1)求函数 f(x)的单调递增区间； (2)已知函数 yg(x)的图象是由 yf(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍， 然后再向左平移2 3 个单位 长度得到的
16、，若 g 2 3 6 5， 0， 2 ，求 sin 的值. 【答案】 （【答案】 （1）f(x)的单调递增区间为 2k2 3 ，2k 3 (kZ)（2） 【解析】【解析】 (1)f(x)cos 2x 3sin 2x2sin 2x 6 ， （2）4 33 10 由于直线 x 3是函数 f(x)2sin 2x 6 的图象的一条对称轴， 所以 sin 2 3 6 1， 因此2 3 6k 2 (kZ)， 解得 3 2k 1 2(kZ)，又 01，所以 1 2， 所以 f(x)2sin x 6 .由 2k 2x 62k 2(kZ)，得 2k 2 3 x2k 3(kZ)， 所以函数 f(x)的单调递增区间
17、为 2k2 3 ，2k 3 (kZ). (2)由题意可得 g(x)2sin 1 2 x2 3 6 ，即 g(x)2cos x 2， 由 g 2 3 2cos 1 2 2 3 2cos 6 6 5，得 cos 6 3 5， 又 0， 2 ，故 6 6 2 3 ，所以 sin 6 4 5， 所以 sin sin 6 6 sin 6 cos 6cos 6 sin 6 4 5 3 2 3 5 1 2 4 33 10 . 3.已知 cos 6 3 3 ，求 cos 5 6 sin2 6 的值. 【答案】【答案】 32 3 【解析】【解析】 cos 5 6 sin 2 6 cos 6 sin2 6 cos
18、 6 1cos2 6 3 3 11 3 32 3 . 题型六题型六 简单的三角恒等变换简单的三角恒等变换 1.已知 sin 6 cos 6 ，则 cos 2( ) A1 B1 C.1 2 D0 【答案】【答案】选选 D 【解析】【解析】 sin 6 cos 6 ， 1 2cos 3 2 sin 3 2 cos 1 2sin ，即 1 2 3 2 sin 1 2 3 2 cos ， tan sin cos 1，cos 2cos 2sin2cos 2sin2 sin2cos2 1tan2 tan210. 2.计算 cos 10 3cos100 r(1sin 10 )_(用数字作答) 【答案】【答案
19、】 2 【解析】【解析】 cos 10 3cos100 r(1sin 10 )cos 10 3cos 80 1cos 80 cos 10 3sin 10 2sin 40 2sin 10 30 r(2 sin 40 ) 2. 3.已知 cos 1 7，cos() 13 14，且 0 2，则 _. 【答案答案】 3 【解析】【解析】由 cos 1 7，0 2， 得 sin 1cos2 1 1 7 24 3 7 ， 由 0 2，得 0 2，又cos() 13 14， sin() 1cos2 1 13 14 23 3 14 . 由 ()，得 cos cos() cos cos()sin sin() 1 7 13 14 4 3 7 3 3 14 1 2. 3.
