1、第十讲第十讲 函数模型及其应用函数模型及其应用 知识梳理 双基自测 知 识 梳 理 知识点 函数模型及其应用 1几类常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)axb(a，b 为常数，a0) 反比例函数模型 f(x)k xb(k，b 为常数且 k0) 二次函数模型 f(x)ax2bxc(a，b，c 为常数，a0) 指数函数模型 f(x)baxc(a，b，c 为常数，b0，a0 且 a1) 对数函数模型 f(x)blogaxc(a，b，c 为常数，b0，a0 且 a1) 幂函数模型 f(x)axnb(a，b 为常数，a0) 2.三种函数模型的性质 函数 性质 yax(a1) yl
2、ogax(a1) yxn(n0) 在(0，)上 的增减性 单调_递增_ 单调_递增_ 单调递增 增长速度 越来越_快_ 越来越_慢_ 相对平稳 图象的变化 随 x 的增大逐渐表现 为与_y 轴_平行 随 x 的增大逐渐表现为 与_x 轴_平行 随 n 值变化而各 有不同 值的比较 存在一个 x0，当 xx0时，有 logaxxn0，b0，x0)在区间(0， ab内单调递减，在区间 ab，)内单 调递增 2直线上升、对数缓慢、指数爆炸 双 基 自 测 题组一 走出误区 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)函数 y2x的函数值比 yx2的函数值大( ) (2)“指数爆炸”是指数
3、型函数 ya bxc(a0，b0，b1)增长速度越来越快的形象比 喻( ) (3)幂函数增长比直线增长更快( ) (4)不存在 x0，使 ax0 xa0logax0.( ) 解析 (1)当 x1 时，2 11，a0 的指数型函数 g(x)a bxc. (3)幂函数增长速度是逐渐加快的，当变量较小时，其增长很缓慢，题目说的太绝对，也 没有任何条件限制 (4)当 a(0,1)时存在 x0，使 ax0 xa0logax0. 题组二 走进教材 2(必修 1P107BT1 改编)某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下 列说法中错误的是( D ) A收入最高值与收入最低值的比是 31 B
4、结余最高的月份是 7 月 C1 至 2 月份的收入的变化率与 4 至 5 月份的收入的变化率相同 D前 6 个月的平均收入为 40 万元 3(必修 1P107A 组 T1 改编)在某个物理实验中，测量得变量 x 和变量 y 的几组数据，如下 表： x 0.50 0.99 2.01 3.98 y 0.99 0.01 0.98 2.00 则对 x，y 最适合的拟合函数是( D ) Ay2x Byx21 Cy2x2 Dylog2x 解析 根据 x0.50，y0.99，代入计算，可以排除 A；根据 x2.01，y0.98，代入 计算，可以排除 B、C；将各数据代入函数 ylog2x，可知满足题意，故选
5、 D 4 (必修 1P104例 5 改编)某种动物繁殖量 y 只与时间 x 年的关系为 yalog3(x1)， 设这种 动物第 2 年有 100 只，到第 8 年它们将发展到( A ) A200 只 B300 只 C400 只 D500 只 解析 繁殖数量 y 只与时间 x 年的关系为 yalog3(x1)，这种动物第 2 年有 100 只， 100alog3(21)，a100，y100log3(x1)， 当 x8 时，y100log3(81)1002200.故选 A 5(必修 1P107AT2 改编)生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生 产某种商品 x 万件时的生产成本为
6、 C(x)1 2x 22x20(万元)一万件售价为 20 万元，为获取 更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为_18_万件 解析 利润 L(x)20 xC(x)1 2(x18) 2142， 当 x18 时，L(x)有最大值 题组三 走向高考 6(2020 全国，4)Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域有学者 根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数 I(t)(t 的单位：天)的 Logistic 模型：I(t) K 1e 0.23t53，其中 K 为最大确诊病例数当 I(t*)0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则 t*约为(ln 193)( C ) A60
7、 B63 C66 D69 解析 本题以 Logistic 模型和新冠肺炎为背景考查指数、对数的运算由题意可得 I(t*) K 1e0.23t*530.95K， 化简得e0.23(t *53)1 19， 即0.23(t *53)ln 19， 所以t*ln 19 0.23 53 3 0.235366.故选 C 考点突破 互动探究 考点 函数模型及应用 考向 1 利用函数图象刻画实际问题的变化过程自主练透 例 1 (1)(2017 全国卷)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量， 收集并整理了 2014 年 1 月至 2016 年 12 月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下 面
8、的折线图 根据该折线图，下列结论错误的是( A ) A月接待游客量逐月增加 B年接待游客量逐年增加 C各年的月接待游客量高峰期大致在 7,8 月 D各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对于 7 月至 12 月，波动性更小，变化比较平稳 (2)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最 低气温的雷达图图中 A 点表示十月的平均最高气温约为 15 ，B 点表示四月的平均最低气 温约为 5 .下面叙述不正确的是( D ) A各月的平均最低气温都在 0 以上 B七月的平均温差比一月的平均温差大 C三月和十一月的平均最高气温基本相同 D平均最高气温高于 20 的月份有
9、5 个 (3)有一个盛水的容器，由悬在它的上空的一条水管均匀地注水，最后把容器注满，在注 水过程中时间 t 与水面高度 y 之间的关系如图所示若图中 PQ 为一线段，则与之对应的容器 的形状是( B ) 解析 (1)通过题图可知 A 不正确，并不是逐月增加，但是每一年是递增的，所以 B 正 确 从图观察 C 是正确的， D 也正确， 1 月至 6 月比较平稳， 7 月至 12 月波动比较大 故选 A (2)由图形可得各月的平均最低气温都在 0 以上，A 正确；七月的平均温差约为 10 ， 而一月的平均温差约为 5 ，故 B 正确；三月和十一月的平均最高气温都在 10 左右，基本 相同，C 正确
10、；平均最高气温高于 20 的月份只有 2 个，D 错误故选 D (3)由函数图象可判断出该容器必定有不同规则的形状，且函数图象的变化先慢后快，所 以容器下边粗，上边细再由 PQ 为线段，知这一段是均匀变化的，所以容器上端必是直的一 段，故排除 A、C、D，选 B 名师点拨 1用函数图象刻画实际问题的解题思路 将实际问题中两个变量间变化的规律(如增长的快慢、最大、最小等)与函数的性质(如单 调性、最值等)、图象(增加、减少的缓急等)相吻合即可 2判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法 (1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图 象 (2)验证法：当根
11、据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特 点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情 况的答案 考向 2 已知函数模型解决实际问题师生共研 例 2 (2020 北京十一中月考)已知 14C 的半衰期为 5 730 年(是指经过 5 730 年后，14C 的残余量占原始量的一半)设 14C 的原始量为 a，经过 x 年后的残余量为 b，残余量 b 与原始 量 a 的关系为 bae kx，其中 x 表示经过的时间，k 为一个常数现测得湖南长沙马王堆汉墓 女尸出土时 14C 的残余量约占原始量的 76.7%.请你推断一下马王堆汉墓修建距今约
12、_2 292_ 年(参考数据：log20.7670.4) 解析 由题意可知，当 x5 730 时，ae 5 730k1 2a，解得 k ln 2 5 730.现测得湖南长沙马王 堆汉墓女尸出土时 14C 的残余量约占原始量的 76.7%. 所以 76.7%e ln 2 5 730 x，得 ln 0.767ln 2 5 730 x， x5 730ln 0.767 ln 2 5 730log2 0.7672 292. 变式训练 1 (2021 山西太原模拟)某公司为了业务发展，制定了一项激励销售人员的奖励方案：销售 额为 8 万元时，奖励 1 万元；销售额为 64 万元时，奖励 4 万元，若公司拟
13、定的奖励模型为 y alog4xb(其中 x 为销售额，y 为相应的奖金)某业务员要得到 8 万元奖励，则他的销售额 应为_1 024_万元 解析 依题意得 alog48b1， alog464b4， 即 3 2ab1， 3ab4， 解得 a2， b2. 所以 y2log4x2，当 y8 时，有 2log4x28，解得 x1 024. 考向 3 构建函数模型解决实际问题多维探究 角度 1 一次函数、二次函数分段函数模型 例 3 某校学生研究学习小组发现，学生上课的注意力指标随着听课时间的变化而 变化，老师讲课开始时，学生的兴趣激增；接下来学生的兴趣将保持较理想的状态一段时间， 随后学生的注意力开
14、始分散，设 f(t)表示学生注意力指标 该小组发现 f(t)随时间 t(分钟)的变化规律(f(t)越大，表明学生的注意力越集中)如下： f(t) 100a t 10 600t10， 34010t20， 15t640200 且 a1) 若上课后第 5 分钟时的注意力指标为 140，回答下列问题： (1)求 a 的值； (2)上课后第 5 分钟和下课前第 5 分钟比较，哪个时间注意力更集中？并请说明理由； (3)在一节课中，学生的注意力指标至少达到 140 的时间能保持多长？ 解析 (1)由题意得，当 t5 时，f(t) 140， 即 100 a 5 10 60140，解得 a4. (2)因为 f
15、(5)140，f(35)1535640115，所以 f(5)f(35)，故上课后第 5 分钟时比 下课前第 5 分钟时注意力更集中 (3)当 0t10 时，由(1)知，f(t)100 4 t 1060140，解得 5t10； 当 10140 恒成立； 当 20t40 时，f(t)15t640140，解得 200)模型及应用 例 5 (2021 烟台模拟)小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业经过市 场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为 3 万元，每生产 x 万件，需另投入流动成本 为 W(x)万元在年产量不足 8 万件时，W(x)1 3x 2x(万元)；在年产量不小于 8 万件时
16、，W(x) 6x100 x 38(万元)每件产品售价为 5 元通过市场分析，小王生产的商品当年能全部售 完 (1)写出年利润 L(x)(万元)关于年产量 x(万件)的函数解析式；(注：年利润年销售收入 固定成本流动成本) (2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 解析 (1)因为每件产品售价为 5 元，则 x 万件产品的销售收入为 5x 万元，依题意得： 当 0 x8 时，L(x)5x 1 3x 2x 31 3x 24x3. 当 x8 时，L(x)5x 6x100 x 38 335 x100 x . 所以 L(x) 1 3x 24x3，0 x8， 35 x
17、100 x ，x8. (2)当 0 x8 时，L(x)1 3(x6) 29， 此时，当 x6 时，L(x)取得最大值 L(6)9(万元) 当 x8 时，L(x)35 x100 x 352x 100 x 352015(万元) 此时，当且仅当 x100 x ，即 x10 时，L(x)取得最大值 15 万元 因为 915，所以当年产量为 10 万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利 润为 15 万元 名师点拨 (1)解决此类问题时一定要关注函数的定义域 (2)利用模型 f(x)axb x求解最值时，注意取得最值时等号成立的条件 变式训练 3 某村计划建造一个室内面积为 800 m2的矩形
18、蔬菜温室、在矩形温室内，沿左、右两侧与 后侧内墙各保留 1 m 宽的通道，沿前侧内墙保留 3 m 宽的空地当矩形温室的边长各为_40 m,20 m_时，蔬菜的种植面积最大？最大面积是_648 m2_. 解析 设矩形温室的左侧边长为 x m，则后侧边长为800 x m，所以蔬菜种植面积 y(x 4) 800 x 2 8082 x1 600 x (4x400) 因为 x1 600 x 2x 1 600 x 80，所以 y808280648. 当且仅当 x1 600 x ，即 x40 时取等号，此时800 x 20，ymax648. 即当矩形温室的相邻边长分别为 40 m,20 m 时， 蔬菜的种植面积最大， 最大面积是 648 m2.
