1、第八讲第八讲 n 次独立重复试验与二项分布次独立重复试验与二项分布(理理) 知识梳理 双基自测 知 识 梳 理 知识点一 条件概率及其性质 条件概率的定义 条件概率的性质 设 A、 B 为两个事件，且 P(A)0， 称 P(B|A)PAB PA 为 在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的条件概率 (1)0P(B|A)1 (2)若 B、C 是两个互斥事件，则 P(B C)|A)_P(B|A)P(C|A)_ 知识点二 事件的相互独立性 设 A、B 为两个事件，如果 P(AB)_P(A)P(B)_，则称事件 A 与事件 B 相互独立 若事件 A、B 相互独立，则 P(B|A)P(B)；事件 A
2、与 B ， A 与 B， A 与 B 都相互独立 知识点三 独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验：在相同条件下重复做的 n 次试验称为 n 次独立重复试验，若用 Ai(i 1,2，n)表示第 i 次试验结果，则 P(A1A2A3An)_P(A1)P(A2)P(A3)P(An)_ (2)二项分布：在 n 次独立重复试验中，用 X 表示事件 A 发生的次数，设每次试验中事件 A 发生的概率为 p，则 P(Xk)Cknpk(1p)n k(k0,1,2，n)，此时称随机变量 X 服从二项 分布，记为 XB(n，p) 若 XB(n，p)，则 E(X)_np_，D(X)_np(1p)_ 归 纳 拓
3、展 1A，B 中至少有一个发生的事件为 AB 2A，B 都发生的事件为 AB 3A，B 都不发生的事件为A B 4A，B 恰有一个发生的事件为(AB )( A B) 5A，B 至多有一个发生的事件为( A B)(AB )(A B ) 双 基 自 测 题组一 走出误区 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)若事件 A，B 相互独立，则 P(B|A)P(B)( ) (2)P(B|A)表示在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的概率；P(BA)表示事件 A，B 同时发 生的概率，一定有 P(AB)P(A) P(B)( ) (3)二项分布是一个概率分布列，是一个用公式 P(Xk)C
4、knpk(1p)n k，k0,1,2，n 表示的概率分布列，它表示了 n 次独立重复试验中事件 A 发生的次数的概率分布( ) (4)二项分布是一个概率分布，其公式相当于(ab)n二项展开式的通项公式，其中 ap， b1p( ) (5)袋中有 5 个小球(3 白 2 黑)，现从袋中每次取一个球，不放回地抽取两次，则在第一次 取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是 0.5( ) (6)小王通过英语听力测试的概率是1 3，他连续测试 3 次，那么其中恰好第 3 次测试获得通 过的概率是 PC13 1 3 1 11 3 314 9( ) 题组二 走进教材 2(P55T3)天气预报，在元旦假期甲地的
5、降雨概率是 0.2，乙地的降雨概率是 0.3假设在 这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为( C ) A0.2 B0.3 C0.38 D0.56 解析 设甲地降雨为事件 A，乙地降雨为事件 B，则两地恰有一地降雨为 AB AB， P(AB AB)P(AB)P(AB) P(A)P(B )P(A)P(B) 0.20.70.80.3 0.38 或 1P(A) P(B)P( A )P( B )0.38 题组三 走向高考 3(2017 全国)一批产品的二等品率为 0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地 抽取 100 次，X 表示抽到的二等品件数，则 D(X)_
6、1.96_ 解析 由题意得 XB(100,0.02)， D(X)1000.020.981.96 4(2018 课标，8)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 p，各成员的支付方式 相互独立 设 X 为该群体的 10 位成员中使用移动支付的人数， D(X)2.4， P(X4)P(X6)， 则 p( B ) A0.7 B0.6 C0.4 D0.3 解析 由题知 XB(10， p)，则 D(X)10p(1p)2.4，解得 p0.4 或 0.6又P(X 4)P(X6)，即 C410p4(1p)6C610p6(1p)4(1p)2p2p0.5， p0.6，故选 B 5(2020 天津，13)已知甲、乙
7、两球落入盒子的概率分别为1 2和 1 3假定两球是否落入盒子 互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_1 6_；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率 为_2 3_ 解析 设“甲、乙两球都落入盒子”为事件 A， 则 P(A)1 2 1 3 1 6 设“甲、乙两球至少有一个落入盒子”为事件 B， 则 P(B)1 11 2 11 3 11 3 2 3 或 P(B) 11 2 1 3 1 2 11 3 1 2 1 3 2 3 考点突破 互动探究 考点一 条件概率自主练透 例 1 (1)(2021 山东日照一中期中)根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概 率为 7 30，既吹东风又下雨的概率为 1
8、10则在吹东风的条件下下雨的概率为( B ) A 3 11 B3 7 C 7 11 D 1 10 (2)(2021 重庆市诊断)某班组织由甲、乙、丙等 5 名同学参加的演讲比赛，现采用抽签法 决定演讲顺序，在“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”的前提下，学生丙 第一个出场的概率为( A ) A 3 13 B 4 13 C1 4 D1 5 (3)(2021 辽宁沈阳模拟)已知甲、乙、丙三名同学同时独立地解答一道导数试题，每人均 有2 3的概率解答正确，且三个人解答正确与否相互独立，在三人中至少有两人解答正确的条件 下，甲解答不正确的概率( C ) A13 20 B 9 20 C1 5
9、 D 1 20 解析 (1)记“某地四月份吹东风”为事件 A， “某地四月份下雨”为事件 B 则 P(A) 7 30，P(AB) 1 10， P(B|A)PAB PA 1 10 7 30 3 7故选 B (2)公式法：设事件 A 为“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”；事件 B 为“学生丙第一个出场” 则 P(A)A 4 4C 1 3C 1 3A 3 3 A55 78 A55，P(AB) C13A33 A55 18 A55， 则 P(B|A)PAB PA 18 78 3 13，本题选 A 直接法：“学生甲不是第一个出场， 学生乙不是最后一个出场”有 A44C13C13A3378 种
10、； “学生丙第一个出场，学生乙不最后一个出场”有 C13A3318 种， 故所求概率为 P18 78 3 13 (3)记“三人中至少有两人解答正确”为事件 A；“甲解答不正确”为事件 B， 则 P(A)C23 2 3 21 3C 3 3 2 3 320 27； P(AB)1 3 2 3 2 3 4 27， P(B|A)PAB PA 1 5故选 C 名师点拨 条件概率的求法 (1)利用定义，分别求 P(A)和 P(AB)，得 P(B|A)PAB PA 这是通用的求条件概率的方法 (2)借助古典概型概率公式，先求事件 A 包含的基本事件数 n(A)，再在事件 A 发生的条件 下求事件 B 包含的基
11、本事件数，即 n(AB)，得 P(B|A)nAB nA 变式训练 1 (1)(2021 江苏淮安淮阴中学测试)小赵、小钱、小孙、小李到 4 个景点旅游，每人只去一 个景点，设事件 A 为“4 个人去的景点不完全相同”，事件 B 为“小赵独自去一个景点”，则 P()B|A ( A ) A3 7 B4 7 C5 7 D6 7 (2)(2021 陕西交大附中、龙岗中学联考)甲、乙两人同时向同一目标射击一次，已知甲命 中目标概率 0.6，乙命中目标概率 0.5，假设甲、乙两人射击命中率互不影响射击完毕后， 获知目标至少被命中一次，则甲命中目标概率为( B ) A0.8 B0.75 C0.6 D0.48
12、 解析 (1)设事件 A“4 个人去的景点不完全相同”， 事件 B“小赵独自去一个景点”， 则 P(A)4 44 44 63 64，P(B) 433 44 27 64， P(AB)43 3 44 27 64， 则 P(B|A)PAB PA 3 7，故选 A (2)设事件 A 为“目标至少被命中一次”，事件 B 为“甲命中目标”， 则 P(A)0.60.50.40.50.60.50.8， P(AB)0.60.50.60.50.6， P(B|A)PAB PA 0.75，故选 B 考点二 相互独立事件多维探究 角度 1 相互独立事件同时发生的概率 例 2 (1)(2021 石家庄质检)甲、乙独立地解
13、决同一数学问题，甲解决这个问题的概 率是 0.8，乙解决这个问题的概率是 0.6，那么其中至少有 1 人解决这个问题的概率是( D ) A0.48 B0.52 C0.8 D0.92 (2)(2019 全国)甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队 获胜，决赛结束)根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”，设甲 队主场取胜的概率为 0.6，客场取胜的概率为 0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以 41 获胜的概率是_0.18_ (3)(2019 课标)11 分制乒乓球比赛，每赢一球得 1 分，当某局打成 1010 平后，每球交 换发球权，先多得 2
14、分的一方获胜，该局比赛结束甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲 发球时甲得分的概率为 0.5，乙发球时甲得分的概率为 0.4，各球的结果相互独立在某局双 方 1010 平后，甲先发球，两人又打了 X 个球该局比赛结束 求 P(X2)； 求事件“X4 且甲获胜”的概率 解析 (1)10.20.40.92，选 D 项 (2)前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以 41 获胜的概率是 0.630.50.520.108， 前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以 41 获胜的概率是 0.40.620.522 0.072， 综上所述，甲队以 41 获胜的概率是 P0.1080.0720.18 (3)X2
15、 就是 1010 平后，两人又打了 2 个球该局比赛结束，则这 2 个球均由甲得分， 或者均由乙得分 因此 P(X2)0.50.4(10.5)(10.4)0.5 X4 且甲获胜，就是 1010 平后，两人又打了 4 个球该局比赛结束，且这 4 个球的得 分情况为：前两球是甲、乙各得 1 分，后两球均为甲得分 因此所求概率为0.5 (10.4)(10.5) 0.40.50.40.1 引申(1)本例(1)中恰有一人解决这个问题的概率为_0.44_， 至多有一人解决这个问题的 概率为_0.52_ (2)本例(2)中乙以 40 获胜的概率为_0.04_，甲以 42 获胜的概率为_0.171_ 解析 (
16、1)记“恰有一人解决这个问题”为事件 A， 则 P(A)0.8(10.6)(10.8)0.60.44， 记“至多有一人解决这个问题”为事件 B， 则 P(B)1 0.80.60.52， 或 P(B)0.8(10.6)(10.8)0.6(10.8)(10.6)0.52 (2)P10.420.520.04； P2(C230.420.60.520.630.52C130.40.62C120.52)0.50.171 角度 2 与相互独立事件相关的数学期望 (4)(2020 陕西西安八校联考)某单位招聘职员，共有三轮考核，每轮考核回答一个问题， 能正确回答问题者进入下一轮考核，否则被淘汰已知甲选手能正确回
17、答第一、二、三轮问 题的概率分别是4 5、 3 5、 2 5且各轮问题能否正确回答互不影响 求该选手被淘汰的概率； 该选手在被考核中回答问题的个数记为 X，求 X 的分布列和数学期望 解析 设“该选手能正确回答第 i 轮问题”为事件 Ai()i1，2，3 ， “该选手被淘汰”为事件 M 则 P()A14 5，P( )A23 5，P( )A32 5 P( ) M P () A1A1A2A1A2A3 P( ) A1P()A1P( ) A2P()A1P()A2P( ) A3 1 5 4 5 2 5 4 5 3 5 3 5 101 125 该选手被淘汰的概率是101 125 X 的可能取值为 1,2,
18、3 P()X1 P( ) A11 5， P()X2 P( ) A1A2P()A1P( ) A24 5 2 5 8 25， P()X3 P()A1A2P()A1P()A24 5 3 5 12 25 X 的分布列为 X 1 2 3 P 1 5 8 25 12 25 E(X)11 52 8 253 12 25 57 25 名师点拨 利用相互独立事件求复杂事件概率的解题思路 (1)将待求复杂事件转化为几个彼此互斥简单事件的和 (2)将彼此互斥简单事件中的简单事件， 转化为几个已知(易求)概率的相互独立事件的积事 件 (3)代入概率的积、和公式求解 变式训练 2 (1)(角度 1)(2020 四川资阳诊
19、断)某项羽毛球单打比赛规则是 3 局 2 胜制，运动员甲和乙进 入了男子羽毛球单打决赛，假设甲每局获胜的概率为2 3，则由此估计甲获得冠军的概率为_ 20 27 _ (2)(角度2)(2021 广东新高考适应性测试)某电视台“挑战主持人”节目的挑战者闯第一关 需要回答三个问题，其中前两个问题回答正确各得 10 分，回答不正确得 0 分，第三个问题回 答正确得 20 分，回答不正确得10 分，如果一位挑战者回答前两个问题正确的概率都是2 3， 回答第三个问题正确的概率为1 2，且各题回答正确与否相互之间没有影响，若这位挑战者回答 这三个问题的总分不低于 10 分就算闯关成功 求至少回答对一个问题
20、的概率； 求这位挑战者回答这三个问题的总得分 X 的分布列； 求这位挑战者闯关成功的概率 解析 (1)因为甲获胜的方式有 20 和 21 两种， 所以甲获得冠军的概率 P 2 3 2C1 22 3 1 3 2 3 20 27 故答案为：20 27 (2)设至少回答对一个问题为事件 A， 则 P(A)11 3 1 3 1 2 17 18 这位挑战者回答这三个问题的总得分 X 的所有可能取值为10,0,10,20,30,40， 根据题意，P(X10)1 3 1 3 1 2 1 18， P(X0)2 3 1 3 1 22 2 9， P(X10)2 3 2 3 1 2 2 9， P(X20)1 3 1
21、 3 1 2 1 18， P(X30)2 3 1 3 1 22 2 9， P(X40)2 3 2 3 1 2 2 9 这位挑战者回答这三个问题的总得分 X 的分布列为 X 10 0 10 20 30 40 P 1 18 2 9 2 9 1 18 2 9 2 9 设这位挑战者闯关成功为事件 B， 则 P(B)2 9 1 18 2 9 2 9 13 18 考点三,独立重复试验的概率与二项分布师生共研 例 3 (1)(2021 “四省八校”联考)已知随机变量 服从二项分布 B(n，p)，若 E() 12， D3，则 n_48_ (2)(2020 山东新高考质量测评联盟联考)甲、乙两位同学参加诗词大会
22、，设甲、乙两人每 道题答对的概率分别为2 3和 3 4假定甲、乙两位同学答题情况互不影响，且每人各次答题情况 相互独立 用 X 表示甲同学连续三次答题中答对的次数，求随机变量 X 的分布列和数学期望； 设 M 为事件“甲、乙两人分别连续答题三次，甲同学答对的次数比乙同学答对的次数 恰好多 2”，求事件 M 发生的概率 解析 (1) Enp12 Dnp1p9 ，解得 n48 (2)X 的所有可能取值为 0,1,2,3， 则 P(X0) 1 3 31 27； P(X1)C13 2 3 1 3 22 9； P(X2)C23 2 3 21 3 4 9； P(X3) 2 3 38 27 随机变量 X 的
23、分布列为 X 0 1 2 3 P 1 27 2 9 4 9 8 27 E(X)0 1 271 2 92 4 93 8 272 或 E()np 2 3 设 Y 为乙连续 3 次答题中答对的次数， 由题意知 YB 3，3 4 ， P(Y0) 1 4 31 64， P(Y1)C13 3 4 1 1 4 29 64， 所以 P(M)P(X3 且 Y1)P(X2 且 Y0) 8 27 9 64 4 9 1 64 7 144 即事件 M 发生的概率为 7 144 名师点拨 独立重复试验概率求解的策略 (1)独立重复试验是在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验在这 种试验中，每一次试验只有两
24、种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且每次试验中发 生的概率都是一样的 (2)二项分布满足的条件：每次试验中，事件发生的概率是相同的；各次试验中的事 件是相互独立的；每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生；随机变量是这 n 次独立重复试验中事件发生的次数 (3)解此类题时常用互斥事件概率加法公式，相互独立事件概率乘法公式及对立事件的概 率公式 变式训练 3 (1)(2021 湖北黄冈模拟)一批产品的二等品率为 0.03，从这批产品中每次随机取一件，有 放回地抽取 100 次，X 表示抽到的二等品件数，则 D(X)_2.91_ (2)(2021 辽宁六校协作体联考)“新高考方案：31
25、2”模式，其中统考科目：“3”指语 文、数学、外语三门，不分文理：学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，“1”指首先在物 理、 历史 2 门科目中选择一门； “2”指再从思想政治、 地理、 化学、 生物 4 门科目中选择 2 门 某 校根据统计选物理的学生占整个学生的3 4；并且在选物理的条件下，选择地理的概率为 2 3；在 选历史的条件下，选地理的概率为4 5 求该校最终选地理的学生概率； 该校甲、乙、丙三人选地理的人数设为随机变量 X求 X 的概率分布表以及数学期望 解析 (1)由于是有放回的抽样，所以抽到二等品的件数符合二项分布，即 X B()100，0.03 ， 由二项分布的方差公式可
26、得 D( )X np()1p 1000.030.972.91 (2)该校最终选地理的学生为事件 A， P( ) A 3 4 2 3 1 4 4 5 7 10； P()X0 3 10 3 27 1 000， P()X1 C13 7 10 1 3 10 2189 1 000， P()X2 C23 7 10 2 3 10 441 1 000， P()X3 C33 7 10 3343 1 000， X 0 1 2 3 P 27 1 000 189 1 000 441 1 000 343 1 000 E(X)1 189 1 0002 441 1 0003 343 1 000 21 10 另解：显然 XB
27、 3， 7 10 ， E(X)3 7 10 21 10 名师讲坛 素养提升 概率中的“停止型”问题 例 4 (2020 甘肃天水一中阶段测试)甲、 乙两队进行一场排球比赛， 根据以往经验， 单局比赛甲队胜乙队的概率为2 3本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结 束设各局比赛相互间没有影响且无平局求： (1)前三局比赛甲队领先的概率； (2)设本场比赛的局数为 ，求 的概率分布和数学期望(用分数表示) 解析 (1)设“甲队胜三局”为事件 A，“甲队胜二局”为事件 B，则 P(A) 2 3 38 27， P(B)C23 2 3 21 3 4 9， 所以，前三局比赛甲队领先的概率为 P(
28、A)P(B)20 27 (2)甲队胜三局或乙胜三局， P(3) 2 3 3 1 3 31 3 甲队或乙队前三局胜 2 局，第 4 局获胜 P(4)C23 2 3 21 3 2 3C 2 3 1 3 22 3 1 3 10 27 甲队或乙队前四局胜 2 局，第 5 局获胜 P(5)C24 2 3 2 1 3 22 3C 2 4 1 3 2 2 3 21 3 8 27 的分布列为： 3 4 5 P 1 3 10 27 8 27 数学期望为 E()31 34 10 275 8 27 107 27 名师点拨 解决这类终止型问题，一定要弄清终止的条件，根据终止的条件确定各种可能结果，再 计算相应概率 变
29、式训练 4 设某人有 5 发子弹，他向某一目标射击时，每发子弹命中目标的概率为2 3若他连续两发 命中或连续两发不中则停止射击，否则将子弹打完 (1)求他前两发子弹只命中一发的概率； (2)求他所耗用的子弹数 X 的分布列 解析 记“第 k 发子弹命中目标”为事件 Ak，则 A1，A2，A3，A4，A5相互独立，且 P(Ak) 2 3，P( A k)1 3，k1,2,3,4,5， (1)解法一：他前两发子弹只命中一发的概率为 P(A1A2)P( A1A2)P(A1)P( A2)P( A1)P(A2) 2 3 1 3 1 3 2 3 4 9 解法二： 由独立重复试验的概率计算公式知， 他前两发子弹只命中一发的概率为 PC122 3 1 3 4 9 (2)X 的所有可能值为 2,3,4,5 P(X2)P(A1A2)P( A1A2) 2 3 2 3 1 3 1 3 5 9， P(X3)P(A1A2A3)P( A1A2A3) 2 3 1 3 21 3 2 3 22 9， P(X4)P(A1A2A3A4)P( A1A2A3A4) 2 3 31 3 1 3 32 3 10 81， P(X5)P(A1A2A3A4)P( A1A2A3A4) 2 3 2 1 3 2 1 3 2 2 3 28 81 故 X 的分布列为 X 2 3 4 5 P 5 9 2 9 10 81 8 81
