1、第二讲第二讲 不等式的证明与柯西不等式不等式的证明与柯西不等式 知识梳理 双基自测 知 识 梳 理 知识点一 综合法 从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，最终推导出所要证明 的不等式成立，这种证明方法叫做综合法，即“由因导果”的方法 知识点二 分析法 从待证不等式出发， 逐步寻求使它成立的充分条件， 直到将待证不等式归结为一个已成 立的不等式(已知条件、定理等)，从而得出要证的不等式成立，这种证明方法叫做分析法， 即“执果索因”的方法 知识点三 放缩法 证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证 明的目的，这种方法称为放缩法 知识点四 均
2、值不等式 定理 1：设 a、bR，则 a2b2_2ab_当且仅当 ab 时，等号成立 定理 2：如果 a、b 为正数，则ab 2 _ ab_，当且仅当 ab 时，等号成立 定理 3：如果 a、b、c 为正数，则abc 3 _3abc_，当且仅当 abc 时，等号成 立 定理 4：(一般形式的算术几何平均不等式)如果 a1、a2、an为 n 个正数，则 a1a2an n _na1a2an_，当且仅当 a1a2an时，等号成立 知识点五 柯西不等式 (1)设 a、b、c、d 均为实数，则(a2b2)(c2d2)(acbd)2，当且仅当 adbc 时等号成 立 (2)若 ai、bi(iN)为实数，则
3、( n i1a 2 i)( n i1b 2 i)( n i1aibi) 2，当且仅当b1 a1 b2 a2 bn an(当 ai0 时，约定 bi0，i1,2，n)时等号成立 (3)柯西不等式的向量形式：设 、 为平面上的两个向量，则| |，当且仅当 ， 共线时等号成立 双 基 自 测 题组一 走出误区 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)当 a0，b0 时，ab 2 ab( ) (2)用反证法证明命题“a，b，c 全为 0”的假设为“a，b，c 全不为 0”( ) (3)若实数 x，y 适合不等式 xy1，xy2，则 x0，y0( ) (4)若 ma2b，nab21，则
4、nm( ) 题组二 走进教材 2(理)(P35例改编)(2020 宁夏银川一中月考)已知正数 x、y 满足 xy1，则1 x 4 1y的 最小值为( B ) A2 B9 2 C14 3 D5 (文)(P35例 3)已知 a，bR ，ab2，则1 a 1 b的最小值为( B ) A1 B2 C4 D8 解析 (理)xy1，所以 x(1y)2， 则 2 1 x 4 1y x(1y) 1 x 4 1y 4x 1y 1y x 52 4x 1y 1y x 59， 所以1 x 4 1y 9 2， 当且仅当 4x 1y 1y x xy1 ，即当 x2 3 y1 3 时，等号成立，故选 B (文)a，bR ，
5、且 ab2， 1 a 1 b 1 2(ab) 1 a 1 b 1 2 2b a a b 1 2 22 b a a b 2 (当且仅当 ab1 时“” 成立)， 1 a 1 b的最小值为 2，故选 B 3(P41习题 3.21 题改编)已知 a，b，c 是正实数，且 abc1，则1 a 1 b 1 c的最小值 为( C ) A3 B6 C9 D12 解析 方法一：1 a 1 b 1 c abc a abc b abc c 3 b a a b c a a c c b b c 32229当且仅当 abc1 3时取等号 方法二： 1 a 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c (abc)3 3 1 a
6、bc 3 3 abc9，当且仅当 abc 时，等 号成立，故选 C 方法三：由柯西不等式得 (abc) 1 a 1 b 1 c a1 a b 1 b c 1 c 2，即 1 1 a 1 b 1 c 9， 1 a 1 b 1 c9故选 C 4(P36习题 3 1.1 题改编)函数 f(x)3 x5 6x的最大值为_ 10_ 解析 函数的定义域为5,6且 f(x)0，f(x) 321 x52 6x2 10， 当且仅当 3 6x x5，即 x59 10时取等号， f(x)的最大值为 10 题组三 走向高考 5(2017 课标卷)已知 a0，b0，a3b32证明： (1)(ab)(a5b5)4； (2
7、)ab2 解析 (1)(ab)(a5b5)a6ab5a5bb6 (a3b3)22a3b3ab(a4b4) 4ab(a2b2)24 (2)因为(ab)3a33a2b3ab2b3 23ab(ab)23ab 2 4 (ab) 23ab 3 4 ， 所以(ab)38，因此 ab2 考点突破 互动探究 考点一 综合法、分析法证明不等式 例 1 (1)(2019 全国卷)已知 a，b，c 为正数，且满足 abc1证明： 1 a 1 b 1 ca 2b2c2； (ab)3(bc)3(ca)324 (2)(2021 云南模拟)已知 f(x)|x1|x1|，不等式 f(x)4 的解集为 M 求 M； 当 a，b
8、M 时，证明：2|ab|4ab| 解析 (1)因为 a2b22ab，b2c22bc， c2a22ac，且 abc1， 故有 a2b2c2abbccaabbcca abc 1 a 1 b 1 c 所以1 a 1 b 1 ca 2b2c2 因为 a，b，c 为正数且 abc1，故有 (ab)3(bc)3(ca)3 33ab3bc3ac3 3(ab)(bc)(ac) 3(2 ab)(2 bc)(2 ac)24 所以(ab)3(bc)3(ca)324 另解：因为 abc1，a，b，cR ， 所以1 a 1 b 1 c abc a abc b abc c bcacab b 2c2 2 a 2c2 2 a
9、 2b2 2 a2b2c2 因为 a，b，cR ，abc1， 所以 1 24(ab) 3(bc)3(ca)3 1 3 ab 2 3 bc 2 3 ca 2 3 1 3(ab) 3 2(bc) 3 2(ca) 3 2 1 33 3 ab3 2 bc 3 2 ca 3 2 abc1， (ab)3(bc)3(ca)324 (2)由|x1|x1|4，得 x1， 2x4 或 1x1， 24 或 x1， 2x4， 解得2x2，所以 M(2,2) 要证 2|ab|4ab|， 只需证 4(a22abb2)a2b28ab16， 只需证 a2b24a24b2160， 即证(a24)(b24)0 因为 a，b(2,
10、2)，所以 a24，b24， 所以 a240，b240 所以(a24)(b24)0，所以原不等式成立 名师点拨 用综合法证明不等式是“由因导果”， 用分析法证明不等式是“执果索因”， 它们是两 种思路截然相反的证明方法综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在 实际应用时， 往往用分析法找思路， 用综合法写步骤， 由此可见， 分析法与综合法相互转化， 互相渗透，互为前提 变式训练 1 (1)(2021 河南洛阳统考)已知 a、b、c 是正数，且满足 abbcca1，求证：ab c 3； 已知 a、b 是正数，且满足 ab1，求证：a1 2 b1 22 (2)(2020 吉林长春模拟
11、)设不等式|x1|x1|2 的解集为 A 求集合 A； 若 a，b，cA，求证： 1abc abc 1 解析 (1)a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac 2a22b22c22(abbcca)， 即 a2b2c2abbcca (abc)23(abbcca)， abbcca1，(abc)23， a、b、c 是正数，abc 3 ab1，且 a、b 是正数， a1 2 b1 2 1 a1 2 2 1 b1 2 2 ab3 2 2(当且仅当 a1 2b 1 21， 即 ab1 2时取等号)， a1 2 b1 22 另解：ab1，由柯西不等式得 a1 2 b1 2 2(11) a1 2 b1 2
12、 2(ab1)4(当且仅当 ab1 2时取等号) a1 2 b1 22 (2)由已知， 令 f(x)|x1|x1| 2，x1， 2x，1x1， 2，x1. 由|f(x)|2 得 Ax|1x1 要证明 1abc abc 1，只需证|1abc|abc|， 只需证 1a2b2c2a2b2c2，只需证 1a2b2c2(1a2b2)， 只需证(1a2b2)(1c2)0，因为 a，b，cA，所以(1a2b2)(1c2)0 恒成立 故 1abc abc 1 考点二 放缩法证明不等式 例 2 设 s 12 23 34 nn1，求证：1 2n(n1)s 1 2n(n 2) 证明 s 11 22 33 nn123
13、n1 2n(n1)， s12 2 23 2 34 2 nn1 2 1 2357(2n1) 1 2n(n2) 1 2n(n1)s 1 2n(n2) 名师点拨 “放”和“缩”的常用技巧 放缩法证明不等式时，常见的放缩依据或技巧主要有：不等式的传递性；等量加不 等量为不等量；同分子(母)异分母(子)的两个分式大小的比较缩小分母、扩大分子，分 式值增大；缩小分子，扩大分母，分式值减小；全量不少于部分；每一次缩小和变小，需大 于所求；每一次扩大其和变大，需小于所求，即不能放缩不够也不能放缩过头，同时放缩有 时需便于求知 常用的放缩方法有： (1)舍去或加上一些项，如 a1 2 23 4 a1 2 2；
14、将分子或分母放大(缩小)，如 1 k2 1 kk1， 1 k2 1 kk1， 1 k 2 k k1， 1 k 2 k k1(kN *，k1)等 (2)利用函数的单调性 (3)真分数性质“若 0ab，m0，则a b am bm” 提醒：在用放缩法证明不等式时，“放”和“缩”均需把握一个度 变式训练 2 若 a，bR，求证： |ab| 1|ab| |a| 1|a| |b| 1|b| 解析 当|ab|0 时，不等式显然成立 当|ab|0 时， 由 0|ab|a|b| 1 |ab| 1 |a|b|， 所以 |ab| 1|ab| 1 1 |ab|1 1 1 1 |a|b| |a|b| 1|a|b| |a
15、| 1|a|b| |b| 1|a|b| |a| 1|a| |b| 1|b| 综上，原不等式成立 考点三,三个正数的算术、几何平均不等式问题 例 3 已知 x 为正实数，求函数 yx(1x2)的最大值 解析 yx(1x2)， y2x2(1x2)22x2(1x2)(1x2) 1 2 当 0 x1 时， 2x2(1x2)(1x2)2， y21 2 2x21x21x2 3 34 27 当且仅当 2x21x21x2，即 x 3 3 时，取“”， y2 3 9 当 x1 时，y0；当 x1 时，显然 y0ymax2 3 9 ， 另解：yxx3，y13x23 x 3 3 x 3 3 ，由 y0 得 0 x
16、3 3 ，由 y 0 得 x 3 3 ， 函数在 x 3 3 时取得极大值即最大值， ymax 3 3 11 3 2 3 9 名师点拨 利用基本不等式必须要找准“对应点”， 明确“类比对象”， 使其符合几个著名不等式 的特征，注意检验等号成立的条件，特别是多次使用基本不等式时，必须使等号同时成立 变式训练 3 设 a，b，c 为正实数，求证： 1 a3 1 b3 1 c3abc2 3 证明 a，b，c 为正实数，则由均值不等式，可得 1 a3 1 b3 1 c33 3 1 a3 1 b3 1 c3， 即 1 a3 1 b3 1 c3 3 abc， 当且仅当 abc 时取等号， 1 a3 1 b
17、3 1 c3abc 3 abcabc， 而 3 abcabc2 3 abc abc2 3， 当且仅当 abc 3时取等号， 1 a3 1 b3 1 c3abc2 3， 当且仅当 abc31 6时取等号 考点四,柯西不等式的应用 例 4 (1)(2019 课标全国，23)设 x，y，zR，且 xyz1 求(x1)2(y1)2(z1)2的最小值； 若(x2)2(y1)2(za)21 3成立，证明：a3 或 a1 (2)(2021 山西运城调研)已知函数 f(x)|2x1|x1| 解不等式 f(x)6； 记函数 g(x)f(x)|x1|的最小值为 m，若 a，b，cR，且 a2b3cm0，求 a2b
18、2c2的最小值 解析 (1)xyz1， 由柯西不等式得(x1)2(y1)2(z1)2 (121212)(x1)(y1)(z1)2(x yz1)24， (x1)2(y1)2(z1)24 3， 当且仅当 x1y1z1， 即 x5 3，yz 1 3时，等号成立， (x1)2(y1)2(z1)2的最小值为4 3 (x2)2(y1)2(za)2(121212) (x2)(y1)(za)2(a2)2 (x2)2(y1)2(za)2a2 3 2， 当且仅当 x4a 3 ，y1a 3 ，z2a2 3 时等号成立， (x2)2(y1)2(za)2的最小值为a2 2 3 由题设a2 2 3 1 3，即 a3 或
19、a1 (2)f(x)6 x1 3x6 或 1x1 2 2x6 或 x1 2 3x6 ， 解得2x2，即不等式 f(x)6 的解集为x|2x2 g(x)f(x)|x1|2x1|2x2|2x12x2|3，当且仅当(2x1)(2x2)0 时取等号，m3故 a2b3c3 由柯西不等式 (a2b2c2)(122232)(a2b3c)29， 整理得 a2b2c2 9 14当且仅当 a 1 b 2 c 3， 即 a 3 14，b 6 14，c 9 14时等号成立 所以 a2b2c2的最小值为 9 14 引申在本例(2)的条件下， a b c的最大值为_ 22 2 _ 解 析 由 柯 西 不 等 式 得a b
20、 c a 2 2 2b 3 3 3c a2b3c 11 2 1 3 22 2 当且仅当 a 1 2b 2 2 3c 3 3 ，即 a18 11，b 9 22，c 2 11时取等号， a b c的最大值 为 22 2 名师点拨 (1)利用柯西不等式证明不等式，先使用拆项重组、添项等方法构造符合柯西不等式的 形式及条件，再使用柯西不等式解决有关问题 (2)利用柯西不等式求最值，实质上就是利用柯西不等式进行放缩，放缩不当则等号可 能不成立，因此，一定不能忘记检验等号成立的条件 变式训练 4 (2018 江苏高考)若 x，y，z 为实数，且 x2y2z6，求 x2y2z2的最小值 解析 由柯西不等式，得(x2y2z2)(122222)(x2y2z)2 因为 x2y2z6，所以 x2y2z24， 当且仅当x 1 y 2 z 2时等号成立， 此时 x2 3，y 4 3，z 4 3 所以 x2y2z2的最小值为 4
