1、第三讲第三讲 两角和与差的三角函数两角和与差的三角函数 二倍角公式二倍角公式 第一课时第一课时 三角函数公式的基本应用三角函数公式的基本应用 知识梳理 双基自测 知 识 梳 理 知识点一 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 知识点二 二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2_2sin cos _； (2)cos 2_cos2sin2_2cos2_11_2sin2_； (3)tan 2_ 2tan 1tan2_( k 2 4且 k 2，kZ) 知识点三 半角公式(不要求记忆) (1)sin 2 1cos 2 ； (2)cos 2 1cos 2 ； (3)tan 2 1cos 1cos sin
2、 1cos 1cos sin . 归 纳 拓 展 1降幂公式：cos21cos 2 2 ，sin21cos 2 2 . 2升幂公式：1cos 22cos2，1cos 22sin2. 3公式变形：tan tan tan( )(1tan tan ) 1tan 1tan tan 4 ； 1tan 1tan tan 4 cos sin 2 2sin ，sin 2 2tan 1tan2，cos 2 1tan2 1tan2，1 sin 2(sin cos ) 2. 4辅助角(“二合一”)公式： asin bcos a2b2sin()， 其中 cos _ a a2b2_，sin _ b a2b2_. 双 基
3、 自 测 题组一 走出误区 1判断正误(正确的打“”错误的打“”) (1)存在实数 ， 使等式 sin ()sin sin 成立( ) (2)在锐角ABC 中，sin Asin B 和 cos Acos B 大小不确定( ) (3)对任意角 都有 1sin sin 2cos 2 2.( ) (4)y3sin x4cos x 的最大值是 7.( ) (5)公式 tan () tan tan 1tan tan 可以变形为 tan tan tan ()(1tan tan )，且对 任意角 ， 都成立( ) 解析 根据正弦、余弦和正切的和角、差角公式知(2)(4)(5)是错误的，(1)(3)是正确的
4、题组二 走进教材 2(必修 4P131T5 改编)计算 sin 43 cos 13 sin 47 cos 103 的结果等于( A ) A1 2 B 3 3 C 2 2 D 3 2 解析 原式sin 43 cos 13 cos 43 sin 13 sin(43 13 )sin 30 1 2.故选 A 另解：原式cos 47 cos 13 sin 47 sin 13 cos(47 13 )cos 60 1 2.故选 A 3(必修 4P135T5 改编)cos2 8sin 2 8( B ) A1 2 B 2 2 C 3 2 D 2 2 解析 cos2 8sin 2 8cos 4 2 2 . 4(必
5、修 4P146A 组 T4 改编)(1tan 17 )(1tan 28 )的值为( D ) A1 B0 C1 D2 解析 原式1tan 17 tan 28 tan 17 tan 28 1tan 45 (1tan 17 tan 28 )tan 17 tan 28 112.故选 D 题组三 走向高考 5(2020 课标，13,5 分)若 sin x2 3，则 cos 2x_ 1 9_. 解析 sin x2 3，cos 2x12sin 2x12 2 3 21 9. 6(2020 江苏，8,5 分)已知 sin2 4 2 3，则 sin 2 的值是_ 1 3_. 解析 sin2 4 1cos 22 2
6、 1sin 2 2 2 3，sin 2 1 3. 7(2020 浙江，13,6 分)已知 tan 2，则 cos 2_3 5_，tan 4 _1 3_. 解析 因为 tan 2，所以 cos 2cos2sin2cos 2sin2 cos2sin2 1tan2 1tan2 14 14 3 5， tan 4 tan tan 4 1tan tan 4 21 12 1 3. 考点突破 互动探究 考点一 三角函数公式的直接应用自主练透 例 1 (1)若 cos 4 5， 是第三象限的角，则 sin 4 ( C ) A 2 10 B 2 10 C7 2 10 D7 2 10 (2)(2020 全国 9)已
7、知 2tan tan 4 7，则 tan ( D ) A2 B1 C1 D2 (3)(2020 甘肃兰州一中高三上期中)若 cos 4 3 5，则 sin 2( D ) A 7 25 B1 5 C1 5 D 7 25 (4)(2020 吉林百校联盟 9 月联考)已知 tan B2tan A， 且 cos Asin B4 5， 则 cos AB3 2 ( D ) A4 5 B4 5 C2 5 D2 5 解析 (1)因为 cos 4 5， 是第三象限的角，所以 sin 1cos 23 5，所以 sin 4 sin cos 4cos sin 4 3 5 2 2 4 5 2 2 7 2 10 . (2
8、)本题考查两角和的正切公式的应用2tan tan 4 7，2tan 1tan 1tan 7， 2tan 2tan2 1tan 77tan ，即 tan24tan 40，解得 tan 2. (3)由三角函数的诱导公式得 cos 22 sin 2，所以 sin 2cos 22 cos 2 4 ，由二倍角公式可得 sin 2cos 2 4 2cos2 4 12 3 5 2118 25 25 25 7 25.故选 D (4)由 tan B2tan A，可得 cos Asin B2sin Acos B 又 cos Asin B4 5，sin Acos B 2 5， 则 cos AB3 2 sin(AB)
9、sin Acos Bcos Asin B2 5.故选 D 名师点拨 (1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征 (2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值 考点二 三角函数公式的逆用与变形用多维探究 角度 1 公式的逆用 例 2 (1)在ABC 中，若 tan Atan Btan Atan B1，则 cos C_ 2 2 _. (2)cos 9cos 2 9 cos 3 9 cos 4 9 _ 1 16_. (3) sin 10 1 3tan 10 _1 4_. (4)化简 sin235 1 2 cos 10 cos 80 _1_. 解析 (1)tan(AB)
10、 tan Atan B 1tan Atan B tan Atan B1 1tan Atan B1， tan C1，又 C(0，)，C 4，cos C 2 2 . (2)解法一：cos 9cos 2 9 cos 3 9 cos 4 9 1 2cos 9cos 2 9 cos4 9 1 2 8sin 9cos 9cos 2 9 cos 4 9 8sin 9 1 2 4sin 2 9 cos 2 9 cos 4 9 8sin 9 1 2 2sin 4 9 cos 4 9 8sin 9 1 2 sin 8 9 8sin 9 1 2 sin 9 8sin 9 1 2 sin 9 8sin 9 1 16.
11、 解法二：由 sin 22sin cos ，得 cos sin 2 2sin ， 原式 sin 2 9 2sin 9 sin 4 9 2sin 2 9 1 2 sin 8 9 2sin 4 9 1 16. (3) sin 10 1 3tan 10 sin 10 cos 10 cos 10 3sin 10 2sin 10 cos 10 4 1 2cos 10 3 2 sin 10 sin 20 4sin30 10 1 4. (4) sin235 1 2 cos 10 cos 80 1cos 70 2 1 2 cos 10 sin 10 1 2cos 70 1 2sin 20 1. 角度 2 公式
12、的变形应用 例 3 (1)(2020 天津耀华中学模拟)已知 sin()1 2，sin() 1 3，则 log 5(tan tan ) 2 ( B ) A5 B4 C3 D2 (2)(2020 陕西吴起高级中学模拟)已知 sin 22 3，则 cos 2 4 ( A ) A1 6 B1 6 C1 2 D2 3 解析 (1)sin()1 2，sin() 1 3， sin cos cos sin 1 2，sin cos cos sin 1 3， sin cos 5 12，cos sin 1 12， tan tan 5，log 5 tan tan 2log 55 24，故选 B (2)sin 22
13、3，cos 2 4 1cos 2 4 2 1sin 2 2 12 3 2 1 6，故选 A 名师点拨 (1)注意三角函数公式逆用和变形用的 2 个问题 公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系 注意特殊角的应用，当式子中出现1 2，1， 3 2 ， 3等这些数值时，一定要考虑引入特殊 角，把“值变角”构造适合公式的形式 (2)熟记三角函数公式的 2 类变式 和差角公式变形： sin sin cos()cos cos ， cos sin sin()sin cos . tan tan tan( ) (1tan tan ) 倍角公式变形： 降幂公式 cos21cos 2 2 ，sin21co
14、s 2 2 ， 配方变形：1 sin sin 2 cos 2 2,1cos 2cos2 2，1cos 2sin 2 2. 变式训练 1 (1)(角度 1)(2020 河北武邑中学调研)下列式子的运算结果不等于 3的是( D ) Atan 25 tan 35 3tan 25 tan 35 B2(sin 35 cos 25 cos 35 cos 65 ) C1tan 15 1tan 15 D tan 6 1tan2 6 (2)(角度 2)(2018 课标， 15)已知 sin cos 1， cos sin 0， 则 sin()_1 2_. 解析 (1)对于 A，tan 25 tan 35 3tan
15、 25 tan 35 tan(25 35 )(1tan 25 tan 35 ) 3tan 25 tan 35 3 3tan 25 tan 35 3tan 25 tan 35 3. 对于 B,2(sin 35 cos 25 cos 35 cos 65 ) 2(sin 35 cos 25 cos 35 sin 25 )2sin 60 3. 对于 C，1tan 15 1tan 15 tan 45 tan 15 1tan 45 tan 15 tan 60 3. 对于 D， tan 6 1tan2 6 1 2 2tan 6 1tan2 6 1 2tan 3 3 2 . 综上，式子的运算结果为 3的是 A
16、BC故选 D (2)本题主要考查同角三角函数的平方关系与两角和的正弦公式 由 sin cos 1，cos sin 0， 两式平方相加，得 22sin cos 2cos sin 1，整理得 sin()1 2. 利用平方关系：sin2cos21，进行整体运算是求解三角函数问题时常用的技巧，应熟 练掌握 考点三 角的变换与名的变换师生共研 例 4 (1)(2018 课标全国，15)已知 tan 5 4 1 5，则 tan _ 3 2_. (2)已知 、 0， 2 ，且 cos 1 7，cos() 11 14，则 sin _ 3 2 _. (3)(2018 课标全国，15)设 为锐角，若 cos 6
17、1 3，则 sin 2 12 的值为( B ) A 7 25 B7 28 18 C17 2 50 D 2 5 解析 (1)本题主要考查两角差的正切公式 解法一：tan tan 5 4 5 4 tan 5 4 tan 5 4 1tan 5 4 tan 5 4 3 2. 解法二：tan 5 4 tan tan 5 4 1tan tan 5 4 tan 1 1tan 1 5， 解得 tan 3 2. (2)因为已知 0， 2 ， 0， 2 ， 且 cos 1 7，cos() 11 14， 所以 sin 1cos24 3 7 ， sin() 1cos25 3 14 ， 则 sin sin () sin
18、()cos cos()sin 5 3 14 1 7( 11 14) 4 3 7 3 2 . (3) 为锐角，0 2， 6 6 2 3 ，设 6，由 cos 6 1 3，得 sin 2 2 3 ， sin 22sin cos 4 2 9 ，cos 22cos217 9， sin 2 12 sin 2 3 4 sin 2 4 sin 2cos 4cos 2sin 4 4 2 9 2 2 7 9 2 2 7 28 18 .故选 B 名师点拨 (1)角的变换：明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角 的拆分与组合的技巧，半角与倍角的相互转化，如：2()()，()( )，40
19、 60 20 ， 4 4 2， 22 4等 (2)名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正 弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦 变式训练 2 (1)(2020 全国，5)已知 sin sin 3 1，则 sin 6 ( B ) A1 2 B 3 3 C2 3 D 2 2 (2)已知 tan 4 3 4，则 cos 2 4 ( B ) A 7 25 B 9 25 C16 25 D24 25 解析 (1)解法一： 本题考查两角和的正弦公式以及辅助角公式 因为 sin sin 3 sin 1 2sin 3 2 cos 3 2sin 3 2 cos 3sin
20、6 1，所以 sin 6 3 3 .故选 B 解法二： 由已知得 sin 6 6 sin 6 6 1， 3sin 6 1， sin 6 3 3 . (2)由 tan 4 1tan 1tan 3 4， 解得 tan 1 7， 所以 cos2 4 1cos 22 2 1sin 2 2 1 2sin cos ， 又 sin cos sin cos sin2cos2 tan tan21 7 50， 故1 2sin cos 9 25. 名师讲坛 素养提升 辅助角公式的应用 应用 1 求值 例 5 (2020 届安徽江淮十校联考)已知 cos x 6 3 3 ，则 cos xcos x 3 ( C ) A
21、2 3 3 B 2 3 3 C1 D 1 解析 cos x 6 3 3 ，cos xcos x 3 cos xcos xcos 3sin xsin 3 3 2cos x 3 2 sin x 3 3 2 cos x1 2sin x 3cos x 6 3 3 3 1. 应用 2 求最值 例 6 (2017 全国)函数 f(x)2cos xsin x 的最大值为_ 5_. (2)函数 f(x)2 3sin x cos x2sin2x 的值域为_3,1_. 分析 (1)直接利用辅助角公式化为 Asin(x)； (2)高次的先用二倍角余弦公式降次，然后再用辅助角公式化为 Asin(x) 解析 (1)f(
22、x) 5 cos x 2 5 5 sin x 5 5 5sin(x)(其中 cos 5 5 ，sin 2 5 5 )， 显然 f(x)的最大值为 5. (2)f(x) 3sin 2xcos 2x1 2 3 2 sin 2x1 2cos 2x 1 2sin 2x 6 1. 显然 f(x)max1，f(x)min3. 故 f(x)的值域为3,1 应用 3 求单调区间 例 7 函数 f(x)cos2x 3sin xcos x(x0，)的单调递减区间为( B ) A 0， 3 B 6， 2 3 C 3， 5 6 D 5 6 ， 解析 函数 f(x)cos2x 3sin xcos x1 2 1 2cos
23、 2x 3 2 sin 2xsin 2x 6 1 2.由 2k 2 2x 6 3 2 2k，kZ，得 k 6x 2 3 k，kZ.x0，当 k0 时，可得单 调递减区间为 6， 2 3 ，故选 B 名师点拨 用辅助角公式变形三角函数式时： (1)遇两角和或差的三角函数，要先展开再重组； (2)遇高次时，要先降幂； (3)熟记以下常用结论： sin cos 2sin 4 ； 3sin cos 2sin 6 ； sin 3cos 2sin 3 . 变式训练 3 (1)(2020 湖南浏阳一中期中)已知 sin 6 cos 3 3 ，则 cos 6 ( C ) A2 2 3 B2 2 3 C1 3
24、D1 3 (2)(2020 北京， 14)若函数 f(x)sin(x)cos x 的最大值为 2， 则常数 的一个取值为_ 2 (取值满足 22k(kZ)即可)_. (3)已知函数 f(x)sin 2x sin x 3cos 2x，则 f(x)在 6， 2 3 上的增区间为( B ) A 5 12， 2 3 B 6， 5 12 C 6， 2 D 2， 2 3 分析 (1)将 sin 6 展开后重组再用辅助角公式化简 解析 (1)sin 6 cos 3 3 ， 1 2cos 3 2 sin cos 3 3 ， 即 3 2 sin 3 2cos 3 3 1 2sin 3 2 cos 1 3，即 s
25、in 3 1 3， cos 6 cos 2 3 sin 3 1 3，故选 C (2)本题考查三角恒等变换及辅助角公式的应用 f(x)sin(x)cos xsin xcos cos xsin cos xcos sin x(sin 1)cos x cos2sin 12 sin(x )( 其 中 tan sin 1 cos ) ， 由 f(x) 的 最 大 值 为 2 ， 所 以 cos2sin122，化简可得 sin 1，则 可为 2，其取值满足 22k(kZ)即可 (3)f(x)sin 2x sin x 3cos 2xcos xsin x 3 2 (1cos 2x)1 2sin 2x 3 2 cos 2x 3 2 sin 2x 3 3 2 ，当 x 6， 2 3 时，有 02x 3，从而当 02x 3 2时，即 6x 5 12时， f(x)单调递增；综上可知，f(x)在 6， 5 12 上单调递增，故选 B
