1、第二讲第二讲 等差数列及其前等差数列及其前 n 项和项和 知识梳理 双基自测 知 识 梳 理 知识点一 等差数列的有关概念 (1)等差数列的定义 如果一个数列从第_2_项起，每一项与它的前一项的差等于_同一个常数_，那么这个 数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的_公差_，通常用字母_d_表示，定义的表 达式为_an1and(nN*)_. (2)等差中项 如果 a，A，b 成等差数列， 那么_A_叫做 a 与 b 的等差中项且_Aab 2 _. (3)通项公式 如果等差数列an的首项为 a1，公差为 d，那么通项公式为 an_a1(n1)d_am(n m)d(n，mN*) (4)前 n 项
2、和公式：Sn_na1nn1 2 d_a1ann 2 _. 知识点二 等差数列的性质 已知数列an是等差数列，Sn是其前 n 项和 (1)若 m1m2mkn1n2nk，则 am1am2amkan1an2ank.特 别地，若 mnpq，则 aman_apaq_. (2)am，amk，am2k，am3k，仍是等差数列，公差为_kd_. (3)数列 Sm，S2mSm，S3mS2m，也是等差数列 (4) Sn n 为等差数列 (5)n 为奇数时，Snna中，S奇_n1 2 _a中， S偶_n1 2 _a中，S奇S偶_a中_. n 为偶数时，S偶S奇nd 2 . (6)数列an，bn是公差分别为 d1，d
3、2的等差数列，则数列pan，anp，panqbn 都是等差数列(p，q 都是常数)，且公差分别为 pd1，d1，pd1qd2. 归 纳 拓 展 1等差数列前 n 项和公式的推证方法_倒序相加法_. 2danam nm . 3等差数列与函数的关系 (1)通项公式：当公差 d0 时，等差数列的通项公式 ana1(n1)ddna1d 是关于 n 的一次函数，且斜率为公差 d.若公差 d0，则为递增数列，若公差 d0，则为递减数列 (2)前 n 项和：当公差 d0 时，Snd 2n 2 a1d 2 n 是关于 n 的二次函数且常数项为 0.显然 当 d0 时，Sn有最小值 4在遇到三个数成等差数列时，
4、可设其为 ad，a，ad；四个数成等差数列时，可设 为 a3d，ad，ad，a3d 或 ad，a，ad，a2d. 双 基 自 测 题组一 走出误区 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数 列( ) (2)等差数列an的单调性是由公差 d 决定的( ) (3)等差数列的前 n 项和公式是常数项为 0 的二次函数( ) (4)若an是等差数列，公差为 d，则数列a3n也是等差数列( ) (5)若an，bn都是等差数列，则数列panqbn也是等差数列( ) 解析 (1)同一个常数 (2)因为在等差数列an中，当公
5、差 d0 时，该数列是递增数列，当公差 d0， 若 S5S9，则当 Sn最大时，n( B ) A6 B7 C10 D9 (2)(2021 黑龙江牡丹江一中月考)已知数列an为等差数列，若a11 a100 的最大值 n 为( B ) A11 B19 C20 D21 分析 (1)由 S5S9可求得 a1与 d 的关系，进而求得通项，由通项得到此数列前多少项 为负，或利用 Sn是关于 n 的二次函数，利用二次函数求最值的方法求解； (2)利用 Sn0a1an0 求解 解析 (1)解法一：由 S5S9得 a6a7a8a90， 即 a7a80，2a113d0，又 a10，d0，a8a2a70a8a9，
6、Sn最大时，n7，故选 B 解法二：Sn是关于 n 的二次函数，Snd 2n 2 a1d 2 n，且 d0，a1 130，d0. 令 an0， an10 得 a1n1 2 13a1 0， a1n 2 13a1 0， 解得13 2 n15 2 . nN*，当 n7 时，Sn最大 (2)Snd 2n 2 a1d 2 n 有最大值，d0，又a11 a100，a110，a10a110，即 a1a200， S2010(a1a20)0， 使 Sn0 的 n 的最大值为 19. 故选 B 引申本例(1)中若将“S5S9”改为“S5S10”，则当 Sn取最大值时 n_7 或 8_； 本例(1)中，使 Sn0
7、的 n 的最小值为_15_； 本例(2)中，使 Sn取最大值时 n_10_. 解析 若 S5S10，则 Snd 2n 2 a1d 2 n 的对称轴为 n7.5，但 nN*，故使 Sn最大 的 n 的值为 7 或 8. 由 a7a8a1a140 知 S140，又 a80，2a8a1a150，即 S150，使 Sn0，则其前 n 项和取最小 值时的 n 的值为( C ) A6 B7 C8 D9 (2)(2019 北京)设等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 a23，S510，则 a5_0_， Sn的最小值为_10_. 解析 (1)|a6|a11|且公差 d0，a6a11， a6a11a8a90，且 a80， a1a2a80a9a10， 使 Sn取最小值的 n 的值为 8.故选 C (2)设等差数列an的公差为 d， a23， S510， 即 a1d3， 5a110d10， 可得 a14， d1， a5a14d0. Snna1nn1 2 d1 2(n 29n)， 当 n4 或 n5 时，Sn取得最小值，最小值为10.
