1、2021 年高考理科数学预测猜题卷年高考理科数学预测猜题卷 全国卷版全国卷版 答案以及解析答案以及解析 一一、选择题选择题 1.答案：A 解析：因为 2 |56032 |Ax xxx xx或， |10|1Bx xx x ，所以 |1ABx xI.故选 A. 2.答案：C 解析：由题意得32iz ，其在复平面内对应的点为( 32)，位于第三象限.故选 C. 3.答案：B 解析：设正方形ABCD的边长为 2，则其内切圆半径 1 21 2 r ，外接圆半径 22 1 222 2 R ，由几何概型的概率计算公式知，所求概率 2 2 1 2 r P R .故选 B. 4.答案：B 解析： 2 11 lo
2、g13 44 f ，当3 2 x 时，36x .又( )f x在(0 2)，上是减函数，在(2) ， 上是增函数，所以使 1 ( ) 4 f xf 成立的x的取值范围是 1 36 4 ，.故选 B. 5.答案：B 解析：设数列 n a的公比为q，若1q ，则 2 2 m m S S ，与题中条件矛盾，故 1q . 2 1 2 1 1 1 19 1 1 m mm m m aq Sq q Saq q Q，8 m q. 21 21 1 1 51 8 1 m mm m m aa qm q aa qm Q，3m， 3 8q，2q.故选 B. 6.答案：C 解析： 法一： 如图， 连接 111 ACBC，
3、 则 F 是 11 AC的中点， 因为 E 为 1 A B的中点， 所以 1 EFBC. 连接 1 DC，则 Q 是 1 DC的中点，又 P 为 1 A D的中点，所以 11 PQAC，于是 11 AC B或其补 角是异面直线EF与PQ所成的角.易知 11 AC B是正三角形，所以 11 3 AC B，所以异面直 线EF与PQ所成角的大小是 3 ，故选 C. 法二：以 D 为原点， 1 DA DCDD，所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直 角坐标系，设正方体的棱长为 2，则(1 0 1)P ，(0 1 1)Q，(2 1 1)E，(1 1 2)F，则 ( 1 1 0)PQ
4、，( 1 0 1)EF ，.设异面直线EF与PQ所成的角为 0 2 ，则 |11 cos 2|22 EF PQ EFPQ ，所以 3 ，故选 C. 7.答案：D 解析：将函数 2 sin 2 3 yx 的图象向左平移个单位后，可得函数 2 sin 22 3 yx 的图象，再根据得到的图象关于y轴对称，可得 2 2 32 k，k Z，即 212 k ， k Z，令1k ，可得正数的最小值是 5 12 ，故选 D. 8.答案：B 解析：模拟执行程序框图，01Si，此时条件不成立，得到2 12S ，2i ；此时 条件不成立，得到2226S ，3i ；此时条件不成立，得到62312S ，4i ； 此时
5、条件不成立，得到122420S ，5i ；此时条件不成立，得到202530S ， 6i ；此时条件成立，输出30S .结合选项可知判断框中可填“6i？”，故选 B. 9.答案：D 解析：法一：由题知 1 4 DPDC uuu ruuu r ，则()AP ABABADDPAB ADAB DP uu u r uu u ruu u ruuu ruuu ruu u r uuu ruu u r uuu r 2 111 |cos60|431610 424 ABADAB uuu r uuu ruuu r .故选 D. 法二：如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，过点A且垂直于AB的直线为y轴，建立 直角坐标
6、系，则(0 0)A，(4 0)B， 3 3 3 22 D ，3CPPD uuruuu r Q，1DP， 5 3 3 22 P ， 5 3 3 22 AP uu u r ，(4 0)AB uu u r ， 53 3 4010 22 AP AB uuu r uuu r .故选 D. 10.答案：C 解析： 2 4yxQ，焦点(1 0)F， 准线:1l x ， 过焦点F且斜率为3的直线 1: 3(1)lyx， 将其与 2 4yx联立消去 y，解得3x 或 1 3 x (舍去)，故(3 2 3)A，| 4AK， 1 42 34 3 2 AKF S V .故选 C. 11.答案：A 解析： 由已知可得
7、13 36 3 32 ABABAB， 则6AB ， 设球心为O，O到平面ABCD的 距离为x，球O的半径为R，则由OPOA，得 22222 333(3 3)xx，解得3x ， 所以 22 33321R ， 3 4 28 21 3 VR 球 .故选 A. 12.答案：B 解析： 2 ( )32fxxax，令)(0fx ，得0 x 或 2 3 a x ， 0 0 3 a x ，0a. 当0 x 或 2 3 a x 时，)(0fx ，当 2 0 3 a x 时，)(0fx . ( )f x在(0)，上单调递增，在 2 0 3 a ，上单调递减，在 2 3 a ，上单调递增. ( )f x的极大值为(
8、0)1f，极小值为 3 24 1 327 aa f . ( )f xQ有三个零点， 3 4 10 27 a ，解得 3 3 2 2 a .故选 B. 二二、填空题填空题 13.答案：3yx 解析： 22 3(21)e3e331e xxx yxxxxx，所以曲线在点0 0，处的切线的斜率 为 3，所以切线方程为3yx. 14.答案：11 解析： 15 (21)x 的展开式的通项公式为 15 115 C (2 )(0 1 215) r r r Txr L， ，令155r，得 10r ，所以含 5 x的项是展开式的第 11 项. 15.答案： 1 231 n n a 解析：因为 1 32 nn aa
9、 ，所以 1 3 nn aa ，即 1 32 nn aa ，得到1，所以 1 131 nn aa .又 1 12a ，所以1 n a 是以 2 为首项，3 为公比的等比数列，所以 1 123n n a ，故 1 231 n n a . 16.答案： 2 2 yx 解析：设 11 A xy， 22 B xy，.由 2 2xpy得0 2 p F ，抛物线的准线方程为 2 p y .由抛 物线定义得 12 |AFBFyyp.| 2 p OF Q，结合| 4| 2AFBFOFp，得 12 yyp.将 2 2xpy代入 22 22 1 xy ab 得 2 22 2 1 pyy ab ，即 2 22 2
10、10 ypy ba ，则 2 2 12 2 2 2 2 1 p b p a yyp a b ， 2 2 2 1 b a ， 22 2ab，双曲线 22 22 1 xy ab 的渐近线方程为 2 2 yx . 三三、解答题解答题 17.解析：(1)ABCQV中，cos 2 c baC， 由正弦定理知， 1 sinsincossin 2 BACC，2 分 ABCQ， sinsin()sincoscossinBACACAC，4 分 1 sincoscossinsincossin 2 ACACACC， 1 cossinsin 2 ACC， 1 cos 2 A， 3 A.7 分 (2)由(1)及3AB
11、AC uuu r uuu r 得6bc ， 22222 2cos6266abcbcAbcbc，10 分 当且仅当6bc时取等号，故a的最小值为6.12 分 18.解析：(1)由已知得 2 2 3 AMAD. 取BP的中点T，连接AT TN，. 由N为PC的中点知TNBCP， 1 2 2 TNBC.2 分 又ADBCP，故TN AMP，四边形AMNT为平行四边形，于是MNATP. 因为AT 平面PAB，MN 平面PAB， 所以MNP平面PAB.5 分 (2)取BC的中点E，连接AE.由ABAC得AEBC， 从而AEAD，且 2 222 5 2 BC AEABBEAB . 以A为坐标原点，AE u
12、uu r 的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz. 由题意知，0,0,4P，0,2,0M，( 5,2,0)C， 5 ,1,2 2 N ， (0,2, 4)PM uuur ， 5 ,1, 2 2 PN uuu r ， 5 ,1,2 2 AN uuu r .8 分 设( , , )x y zn为平面PMN的法向量，则 0 0 PM PN n n uuur uuu r ， 即 240 5 20 2 yz xyz ，可取(0,2,1)n.10 分 于是 |8 5 |cos,| 25 | AN AN AN n n n uuu r uuu r uuu r， 则直线AN与平面PMN所成角的
13、正弦值为 8 5 25 .12 分 19.解析：(1)该社区内的成人每天晚上的平均学习时长为 550.1650.2750.4850.2950.175 min，2 分 而调查总时长为150 min，故 751 1502 p .4 分 (2)根据题意， 1 10000 2 XB ，. 故 1 ()100005000 2 E Xnp， 11 ()(1)100002500 22 D Xnpp.7 分 50001 100 502500 X ZX . 当49505100X时，12Z ，1)(0ZN，9 分 0.9540.683 ( 12)(2 )0.9540.8185 2 PZPZ . 故49505100
14、120.8185PXPZ.10 分 1500.8185123 min， 即该社区每天晚上处于最佳学习氛围的时长约为123 min.12 分 20.解析：(1)因为长轴长是短轴长的2倍，所以2ab. 因为右焦点F的坐标为1,0，所以1c .2 分 结合 222 abc，得2a ，1b . 所以椭圆C的标准方程为 2 2 1 2 x y.4 分 (2)设 11 ,A x y， 22 ,B xy. 由 2 2 1, 2 (2) x y yk x 得 2222 218820kxk xk. 则 2 12 2 8 21 k xx k ， 2 12 2 82 21 k x x k .6 分 因为线段AB中点
15、的横坐标为 2 3 ， 所以 2 12 2 42 2213 xxk k . 解得 2 1 4 k ，即 1 2 k ，代入一元二次方程得0 ，符合题意， 所以直线 l的方程为 1 (2) 2 yx .9 分 因为 2 2 1212 2 5 |14 3 ABkxxx x . 点F到直线l的距离 2 |3 |3 5 5 1 k d k . 所以FABV的面积 12 53 5 1 235 FAB S V .12 分 21.解析：(1)当1a 时， 2 1 ( )2ln3 (0) 2 f xxxx x， 所以 2 23 2(2)(1) ( )3 xxxx fxx xxx .2 分 令)(0fx ，得0
16、1x或2x，令)(0fx ，得12x， 所以( )f x的单调递增区间为(0,1和2,)，单调递减区间为(1,2).4 分 (2)因为函数 323 414 ( )( )2 ln2 929 g xf xaxxxaxxx， 所以 2 2 4 ( )2 3 a g xxx x .6 分 要使函数( )g x在(0,)上单调递增， 则(0,)x时， 2 24 ( )0 3 2 a g xxx x ， 即 32 43660 xxxa，(0,)x，即 32 436 6 xxx a ，(0,)x. 令 32 436 ( ) 6 xxx h x ，(0,)x， 则 2 )21(2(1)(1)h xxxxx ，
17、8 分 所以当 1 0, 2 x 时，)(0h x ，( )h x在 1 0, 2 上单调递减， 当 1 , 2 x 时，)(0h x ，( )h x在 1 , 2 上单调递增， 所以 1 2 x 是( )h x的极小值点，也是最小值点. 10 分 又 17 224 h ， 所以 32 436 6 xxx y 在(0,)上的最大值为 7 24 . 所以a的取值范围为 7 , 24 .12 分 22.解析（1）由 2cos , 3sin x y 消去参数， 得曲线 C 的普通方程为 22 (2)(3)1xy， 即 22 42 360 xyxy，2 分 根据 222 xy，cosx，siny， 得
18、曲线 C 的极坐标方程，为 2 4 cos2 3 sin60.4 分 因为直线 l 的极坐标方程是 () 6 R， 所以直线 l 的直角坐标方程为 3 3 yx.5 分 （2）因为直线 10 :()lR与直线 l 垂直， 所以直线 1 l的一个极坐标方程为 5 () 3 R，7 分 将其代入曲线 C 的极坐标方程，得 2 13 42 360 22 ， 即 2 560，解得 12 2,3， 因为| |OMON，所以| 3OM .10 分 23.解析（1）当1a 时，( ) |1|21| 2f xxx. 因为( )1f x，所以|1|21| 1xx.1 分 当 1 2 x 时，121 1xx ，得
19、1x； 当 1 1 2 x 时，1(21) 1xx，得 1 1 3 x ； 当1x 时，1(21) 1xx ，得1x . 综上，不等式( )1f x的解集为 1 (, 1, 3 .4 分 （2）因为函数( )f x的图象上至少存在一点落在 x 轴上方， 所以关于 x 的不等式( )0f x 有解， 即关于 x 的不等式|1|21| |1|xxa有解， 即 max (|1| 21|)|1|xxa.6 分 设( ) |1|21|g xxx， 则 1 2, 2 1 ( )3 ,1, 2 2,1, xx g xxx xx 所以 max 13 ( ) 22 g xg ，8 分 所以 3 |1| 2 a ， 所以 33 1 22 a ，解得 51 22 a， 故实数 a 的取值范围是 5 1 , 2 2 .10 分
